概率一章課件

概率論與數(shù)理統(tǒng)計主講人蔣金鳳要求

1.上課不得遲到，課堂上不能吃東西，手機請關閉.2.課前要預習，課上要認真聽講，適當做筆記，課后自己獨立完成作業(yè)，杜絕抄襲作業(yè)。

3.每周一上午交作業(yè)，準備兩本作業(yè)本。

參考書

1.概率論與數(shù)理統(tǒng)計教程，峁詩松等編著，高等教育出版社

2.概率統(tǒng)計習題集，雙博士高等數(shù)學課題組編寫，機械工業(yè)出版社

3.概率論與數(shù)理統(tǒng)計試題精選題解，廖玉麟，劉凱編，華中科技大學出版社本學科的起源概率(或幾率)——隨機事件出現(xiàn)的可能性的量度——其起源與博弈問題有關。概率論產(chǎn)生于十七世紀中葉，是一門比較古老的數(shù)學學科，概率論的產(chǎn)生，卻起始于對賭博的研究，當時兩個賭徒約定賭若干局，并且誰先贏c局便是贏家，若一個賭徒贏a局(a<c)，另一賭徒贏b局(b<c)時終止賭博，問應當如何分賭本？他們求教于數(shù)學家帕斯卡，帕斯卡同費爾瑪討論這個問題，研究了較復雜的賭博問題，解決了“合理分配賭注問題”，從而他們共同建立了概率論的第一基本概念——數(shù)學期望。我國的概率論研究起步較晚，從1957年開始，先驅(qū)者是許寶馬錄先生。1957年暑期許老師在北大舉辦了一個概率統(tǒng)計的講習班，從此，我國對概率統(tǒng)計的研究有了較大的發(fā)展，現(xiàn)在概率與數(shù)理統(tǒng)計是數(shù)學系各專業(yè)的必修課之一，也是工科，經(jīng)濟類學科學生的公共課，許多高校都成立了統(tǒng)計學（特別是財經(jīng)類高校）。近年來，我國科學家對概率統(tǒng)計也取得了較大的成果。概率論與數(shù)理統(tǒng)計是研究隨機現(xiàn)象客觀規(guī)律的一門數(shù)學分支。理論嚴謹，應用廣泛，發(fā)展迅速。概率論與數(shù)理統(tǒng)計已廣泛應用于自然科學、工程技術、經(jīng)濟和人文學科。如：預測和濾波應用于空間技術和自動控制；時間序列分析應用于石油勘探和經(jīng)濟管理；本學科的應用

馬爾可夫過程與點過程應用于地震預報和氣象預報；數(shù)理統(tǒng)計方法應用于工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)等等。在理論聯(lián)系實際方面，概率論是數(shù)學最活躍的分支之一。概率論的理論和方法向各個基礎學科、工程學科的滲透，是近代科學技術發(fā)展的特征之一。概率論與其它學科相結合發(fā)展成不少邊緣學科，如生物統(tǒng)計，統(tǒng)計物理和數(shù)學地質(zhì)等；它又是許多新的重要學科的基礎，如信息論，控制論，可靠性理論和人工智能等。

1.深刻理解,牢固掌握基本概念;2.多做練習,很抓解題基本功.學習本課程的方法第一章事件與概率第一節(jié)隨機事件和樣本空間一、隨機現(xiàn)象兩個試驗：試驗I：一個盒子中有十個完全相同的白球（大小和形狀），攪勻后從中任取一球。試驗II：一個盒子中有十個相同（大小和形狀），其中5個是白色的；5個是黑色的，攪勻后從中任取一球.1.確定性現(xiàn)象試驗I所代表的類型，在試驗之前就能斷定它有一個確定的結果，這種類型的試驗所對應的現(xiàn)象，稱為確定性現(xiàn)象（即必然現(xiàn)象）。特點：試驗前有一個確定的結果.例如：（1）在標準大氣壓下，純水加熱到1000C，必然沸騰；（2）帶電物體之間，總是同性相斥異性相吸；（3）邊長為a,寬為b的矩形，其面積必是ab.2.隨機現(xiàn)象

試驗II所代表的類型，它有多于一種可能的試驗結果，但是在一次試驗之前不能肯定試驗會出現(xiàn)哪一個結果。就一次試驗而言，看不出有什么規(guī)律，但是，“大數(shù)次”地重復這個試驗，試驗結果又遵循某些規(guī)律，這種規(guī)律稱之為“統(tǒng)計規(guī)律”，這一類試驗稱之為隨機試驗。隨機試驗所代表的現(xiàn)象稱為隨機現(xiàn)象（或偶然現(xiàn)象）。例如：（1）某地區(qū)的年降雨量；（2）如投一枚硬幣，可能出現(xiàn)正面，也可能出現(xiàn)反面，事先不能作出確定的判斷；（3）檢查流水生產(chǎn)線上的一件產(chǎn)品，是合格品還是不合格品。

特點：在一定條件下，試驗結果不止一個，對于某次試驗，試驗前無法確定其結果。二、隨機試驗如果一個試驗滿足下面三個條件：1.試驗可以在相同條件下重復進行;2.試驗的所有可能結果明確可知且不止一個;3.每次試驗總是恰好出現(xiàn)一個可能的結果，且試驗前不能確定何種結果。這樣的試驗稱為隨機試驗,簡稱試驗。三、隨機事件隨機試驗的每一個可能的結果稱為基本事件；由多個基本事件所組成的事件稱為復合事件；基本事件和復合事件統(tǒng)稱為隨機事件或事件。常用大寫字母A、B、C等表示事件。稱事件A發(fā)生，當且僅當A所包含的一個樣本點（基本事件）出現(xiàn).例1、某袋中裝有4只白球和2只黑球，我們考慮依次從中摸出兩球所可能出現(xiàn)的事件。如對球進行編號，4只白球分別編為1，2，3，4;2只黑球編為5，6。如果用(i,j)表示第一次摸得i號球，第二次摸得j號球,共有30個基本事件。現(xiàn)在研究下面的事件：A：第一次摸出黑球；B：第二次摸出黑球；C：第一次及第二次都摸出黑球；D：兩球號之和等于7。注：隨機事件的兩個極端情況:10必然事件：在一定條件下，必定出現(xiàn)的事件稱為必然事件，記為。例如：={水在00以下一定結冰}是必然事件。

20不可能事件：在一定條件下，必定不出現(xiàn)的事件稱為不可能事件，記為。例如：導體通電不發(fā)熱，是不可能事件。四、樣本空間隨機試驗的所有可能結果組成的集合，稱為樣本空間，記為={}。其中的元素稱為樣本點或基本事件。對于例1，30個結果作為樣本點，構成了樣本空間，事件A、B、C、D都是的一個子集。例2.在前述試驗II中，令1={取得白球}，2={取得黑球}，則={1，2}例3.投一枚硬幣，則={正，反}例4.連續(xù)投兩枚硬幣，={(正，正),(正，反),(反，正),(反，反)}A:至少出現(xiàn)一次正面B:兩次都是正面例5.(1)電視機壽命的樣本空間為={t,t0}(2)一天內(nèi)進入某商場的顧客數(shù)的樣本空間(3)測量誤差的樣本空間為={x,-<x<+}={0,1,2,,104,}1.樣本空間中的元素可以是數(shù)也可以不是數(shù)；2.樣本空間至少有兩個樣本點，僅含有兩個樣本注意：3.4.每一個事件對應于的一個子集，隨機事件可用樣本空間離散樣本空間樣本點的個數(shù)為有限個或可列個連續(xù)樣本空間樣本點的個數(shù)為不可列無限個點的樣本空間是最簡單的樣本空間；樣本空間的一個子集來表示.樣本空間也稱為必然事件?？占卜Q為不可能事件。五、事件間的關系及運算1事件的包含（特款）如果事件A發(fā)生必然導致事件B發(fā)生，則稱B包含A，或稱A是B的特款，記作AB例1.投一顆骰子試驗，A=“出現(xiàn)4點”，B=“出現(xiàn)偶數(shù)點”，A發(fā)生必然導致B發(fā)生，則2.事件的相等如果有同時成立，則稱事件A與B相等，記作例２．投兩枚骰子試驗，A＝“兩枚骰子的點數(shù)之和為奇數(shù)”，B＝“兩枚骰子的點數(shù)為一奇一偶”,則有3.事件的并（和）

AB“事件A與B中至少有一個發(fā)生”的事件，稱為事件A與B的并（或和）,記為，即由事件A和事件B的所有樣本點構成的集合。例３．設某種圓柱形產(chǎn)品，若底面直徑和高度都合格，則該產(chǎn)品合格．令A＝｛直徑不合格},B={高度不合格｝，則4.事件的交（積）

ABABAB“事件A與B同時發(fā)生”的事件，稱為事件A與B的交（或積），記作(或AB).即由A和B的公共樣本點構成的集合。例４．投一顆骰子試驗，A＝｛１，３，５｝，B＝｛１，２，３｝，則有5.事件的差ABAB“事件A發(fā)生而B不發(fā)生”的事件，稱為事件A與不包含B的樣本點所構成的集合。，即由包含A的樣本點而B的差，記作例５．投一顆骰子試驗，A＝｛１，３，５｝，B＝｛１，２，３｝，則有6.互不相容（互斥）

AB則稱A與B互不相容（或互斥）.互不相容的事件沒有公共樣本點。若事件A與B不能同時發(fā)生，即例６．電視機的壽命T:A＝｛T>5000h},B＝{T<2000h｝.則有7.對立事件（逆事件）A由不包含A中的所有樣本點構成的集合，稱為A的逆事件(或?qū)α⑹录?，記?或說A不發(fā)生)例7．設有１００件產(chǎn)品，其中５件產(chǎn)品為次品，從中任取５０件產(chǎn)品．記A＝｛５０件產(chǎn)品中至少有一件次品｝,則8.n個事件的并和交的事件，稱作的并，記作，

的事件，稱作

的交，記作集合論與概率論中關系及運算的對照表符號概率論集合論

樣本空間、必然事件Ω

={}事件AΩ的子集A

不可能事件空集事件A發(fā)生事件A不發(fā)生

事件A發(fā)生導致事件B發(fā)生集合A被集合B包含

符號概率論集合論事件A與B至少發(fā)生一個集合A與集合B的并AB事件A與B同時發(fā)生集合A與集合B的交A-B

事件A發(fā)生而B不發(fā)生集合A與集合B的差集AB=事件A與B互不相容集合A與B無公共元素

A的對立事件集合A的余集例８.A和B是兩個事件,試把表示成兩個互不相容的事件的和。例９.若A、B、C是三個事件，試用A,B,C表示下列事件：(1）A發(fā)生而B與C都不發(fā)生；(2）A與B發(fā)生而C不發(fā)生；(3）這三個事件都發(fā)生；(4）這三個事件恰好發(fā)生一個；(5）這三個事件恰好發(fā)生兩個；(6）這三個事件至少發(fā)生一個；(7)這三個事件都不發(fā)生；(8）這三個事件至多發(fā)生一個；(9）不多于兩個事件發(fā)生；(10)A、B至少發(fā)生一個，C不發(fā)生；(11)A、B、C不全發(fā)生。(1)交換律：(2）結合律：

或(3)分配律：

六、事件的運算法則運算順序：逆交并差，括號優(yōu)先(4）德摩跟原則（對偶原則）：推廣到n個事件:（并的逆等于逆的交）（交的逆等于逆的并）定義2.1：隨機事件A發(fā)生可能性大小的度量（數(shù)值），稱為A發(fā)生的概率，記作P(A).§1.2概率和頻率1.定義定義2.2如果隨機事件A在n次反復試驗中發(fā)生了為A的頻率.次,稱2.頻率的穩(wěn)定性當試驗的次數(shù)n很大時，事件A發(fā)生的頻率總是在固定常數(shù)P(A)附近擺動。用fn(A)作為事件A的概率的一個度量，這樣計算的概率稱為統(tǒng)計概率。投一枚硬幣觀察正面向上的次數(shù)

n=4040,nH

=2048,fn(H)=0.5069

n=12000,nH

=6019,fn(H)=0.5016n=24000,nH

=12012,fn(H)=0.5005頻率穩(wěn)定性的實例

蒲豐(Buffon)投幣

皮爾森(Pearson)投幣例

DeweyG.統(tǒng)計了約438023個英語單詞中各字母出現(xiàn)的頻率,發(fā)現(xiàn)各字母出現(xiàn)的頻率不同：A:0.0788B:0.0156C:0.0268D:0.0389E:0.1268F:0.0256G:0.0187H:0.0573I:0.0707J:0.0010K:0.0060L:0.0394M:0.0244N:0.0706O:0.0776P:0.0186Q:0.0009R:0.0594S:0.0634T:0.0987U:0.0280V:0.0102W:0.0214X:0.0016Y:0.0202Z:0.0006頻率的應用第五章指出:當試驗次數(shù)較大時有事件發(fā)生的概率事件發(fā)生的頻率根據(jù)如下百年統(tǒng)計資料可得世界每年發(fā)生大地震的概率近百年世界重大地震1905.04.04克什米爾地區(qū)8.088萬1906.08.17智利瓦爾帕萊索港地區(qū)

8.4

2

1917.01.20印度尼西亞巴厘島1.5萬1920.12.16中國甘肅8.610萬1923.09.01日本關東地區(qū)7.914.2萬1935.05.30巴基斯坦基達地區(qū)7.55萬

時間地點級別死亡“重大”的標準①震級7級左右②

死亡5000人以上

時間地點級別死亡1948.06.28日本福井地區(qū)7.30.51萬1970.01.05中國云南7.71萬1976.07.28中國河北省唐山7.824.21978.09.16伊朗塔巴斯鎮(zhèn)地區(qū)7.9

1.5

1995.01.17日本阪神工業(yè)區(qū)7.20.6萬1999.08.17土耳其伊茲米特市7.41.7萬2003.12.26伊朗克爾曼省6.83萬2004.12.26印尼蘇門答臘島附近海域

9.015萬世界每年發(fā)生大地震概率約為14%3.頻率的性質(zhì)(1)非負性：對于任意事件A,有(2)規(guī)范性：對于必然事件，有則有（3）有限可加性：若A、B互不相容(即)頻率的其它幾個性質(zhì)：（3）對有限個兩兩互不相容事件，頻率具有可加性，（1）不可能事件的頻率為零，即（2）若則有即若4.統(tǒng)計概率的性質(zhì)5.概率與頻率的關系（1）當試驗次數(shù)n充分大時，事件A發(fā)生的頻率與概率應有(2)P(A)是A本身所固有的，不隨試驗而變化，隨試驗而變化。§1.3古典概型1.定義

如果隨機試驗具有下列兩種特征：（1）樣本空間的元素（即基本事件）只有有限個，不妨設為n個，并記它們?yōu)椋?）每個基本事件出現(xiàn)的可能性是相等的，即有把這種數(shù)學模型稱為古典概型.一、

古典概型樣本空間每個基本事件的概率對于任何一個隨機事件A,如果A包含有k個基本事件,則2.計算公式3.古典概率的性質(zhì)二、基本的組合分析式1.兩個基本原理（1）乘法原理若進行A1過程有n1種方法，進行A2過程有n2種方法，則進行A1過程后再進行A2過程共有（2）加法原理若進行A1過程有n1種方法，進行A2過程有n2種方法，假定A1過程與A2過程是并行的，則進行A1過程或進行A2過程的方法共有

2.排列從包含有n個不同元素的總體中取出r個來進行排列.有放回選取每次選取都是在全體元素中進行，同一元素可被重復選中——可重復排列，其種數(shù)共有種。（2）不放回選取

從n個元素中取出r個元素進行排列，其種數(shù)為——選排列，也可記為（3）不全相異元素的全排列則n個元素全部取出的排列稱為不全相異元素的全排列，其排列的總數(shù)為本質(zhì)不同的元素,而每類元素中分別有個元素若n個元素中有m類(4)環(huán)狀排列將n個不同元素環(huán)繞在一條封閉曲線上的排列，叫做環(huán)狀排列，它共有種排列.從n個相異元素里，每次取出m個相異元素的環(huán)狀排列的種數(shù)是說明：例1.用1，2，3，4四個數(shù)字可以排成多少個沒有重復數(shù)字的三位數(shù)。例2.某城市的電話號碼用七個數(shù)字組成，問最多可以安裝多少臺不同號碼的電話。3.組合（1）從n個不同元素中，每次取出r個元素組成一組，不考慮它們之間的順序，稱為組合，其種數(shù)為（2）n分成k組若把n個不同的元素分成k個部分，第一部分個，第二部分個，，第k個部分個，則不同的分法有(3)n個元素中

有個帶足標“1”

有

個帶足標“2”

有個帶足標“k”且從這n個元素中取出r個，使得帶足標“i”的元素有個,而這時不同取法總數(shù)為(4)可重復組合從n個不同的元素里，每次取出m個元素，元素可以重復選取，不管怎樣的順序并組成一組，叫做從n個元素里每次取出m個元素的可重復組合。其組合種數(shù)記為

解法（一）：把n個不同的元素編號為1，2，……，n,再把重復組合的每一組中數(shù)從小到大排列，每個數(shù)依次加上0,1,2,……,m-1,則這一組數(shù)就變成了從1,2,……n+m-1共n+m-1個數(shù)中，取出m個數(shù)的不重復組合中的一組，這種運算構成兩者之間的一一對應。解法二：取出的m個數(shù)中間可設m-1個間壁，當取出的m個數(shù)全部相同時，可以看成中間沒有間壁，故間壁有種取法，這時只須取一個數(shù)字，有種取法，可得有利事件的個數(shù)為；當m個數(shù)由兩樣數(shù)構成時，看成間壁數(shù)為1，分成左右兩段，分別由小大兩個數(shù)填上，而間壁的位置有種取法，數(shù)字有種取法，有利事件的個數(shù)有；當m個數(shù)由三樣數(shù)構成時，可得有利事件數(shù)為，。最后，當m個數(shù)均為不同數(shù)字時，有m-1個間壁，有種取法；數(shù)字有種取法，這時有利事件的個數(shù)有所以共有有利事件數(shù)為：例3.100件產(chǎn)品，98件正品，2件次品，任取3件。（1）取法共有多少種？（2）恰好有一件次品的取法有多少種？（3）至多有一件次品的取法有多少種？（4）至少有一件次品的取法有多少種？三、概率直接計算的例子幾種典型問題1.摸球問題2.抽樣問題3.彩票問題4.分房問題5.隨機取數(shù)問題例1.p18,例1.7一套五卷的選集，隨機地放到書架上去，求各冊自左至右或自右至左恰成1、2、3、4、5的順序的概率。例2.(摸球問題）袋中有a個黑球，b個白球，從中接連任意取出k個球，且每次取出的球不再放回去，求第k次取出的球是黑球的概率。[解法一]：設Ak={第k次摸出的球是黑球}于是得到設想每只球都是有區(qū)別的，將黑球編號為1，2，…，a，白球編號為a+1，a+2，…，a+b，把它們逐次放到直線上a+b個位置，每一個可能的排列作為樣本點，a+b個球全部可能排列為(a+b)!Ak的有利場合：先將黑球放到第k個位置上，有a種可能，而其余a+b-1個位置則任意放，有(a+b-1)!種可能,故Ak的有利場合數(shù)為:a(a+b-1)![解法二：]每取出k個排列好的球就構成一個基本Ak有利場合數(shù)為第k次取出的黑球可以從a個球中取出一個，有a種取種取法。于是種取法。事件，從a+b個球中取出k個球有法，其余k-1個球可以從a+b-1個球種任意取出，有[解法三]：于是得到把a只黑球看作是沒有區(qū)別的，把b只白球也看作是沒有區(qū)別的，仍把摸出的球依次放在排列成一直線的a+b個位置上，樣本點總數(shù)：故Ak的有利場合數(shù)為:[解法四]：于是得到考慮第k次摸球情況樣本點總數(shù)：Ak的有利場合數(shù)為:例3.（不放回抽樣問題）一批產(chǎn)品共有N個，其中M個是不合格品，N-M個是合格品。從中隨機取出n個，試求事件Am=“取出的n個產(chǎn)品中有m個不合格品”的概率。例4.（放回抽樣問題）一批產(chǎn)品共有N個，其中M個是不合格品，N-M個是合格品。有放回地從中隨機取出n個，試求事件Bm=“取出的n個產(chǎn)品中有m個不合格品”的概率。例5.（彩票問題）一種福利彩票稱為幸福35選7，即從01，02，03，……，35中不重復地開出7個基本號碼和一個特殊號碼。中各等獎的規(guī)則如下，試求各等獎中獎的概率。幸福35選7的中獎規(guī)則中獎級別一等獎二等獎三等獎四等獎五等獎六等獎七等獎7個基本號碼全中中6個基本號碼及特殊號碼中6個基本號碼中5個基本號碼及特殊號碼中5個基本號碼中4個基本號碼及特殊號碼中4個基本號碼或中3個基本號碼及特殊號碼中獎規(guī)則例6.（分房問題）設有n個人，每個人都等可能地被分配到N個房間的任一間去住(nN)，求下列事件的概率。（1）指定的n個房間各有一個人住；（2）恰好有n個房間，其中各住一人；（3）某一指定房間中有m個人住(mn).例6的“分房問題”可應用于很多類似場合“人”可視為球“房子”相應視為盒子信封信鑰匙門鎖女舞伴生日人男舞伴例7.（生日問題）某班級有n個人（n《365），問至少有兩個人的生日在同一天的概率為多大？n102023304050P(A)0.120.410.510.710.890.97對于不同的n,計算得相應的概率P(A)例8.（隨機取數(shù)問題）從1，2，…，10共十個數(shù)字中任取一個，假定每個數(shù)字都以相同的概率被取中，取后還原。先后取出7個數(shù)字，試求下列各事件Ai(i=1,2,3,4)的概率.A1

={7個數(shù)字全不相同}A2

={不含10與1}A3

={10恰好出現(xiàn)兩次}A4

={至少出現(xiàn)兩次10}練習：在1，2，…，9這9個數(shù)字中，有放回地隨機抽出n個數(shù)，求這n個數(shù)乘積能被10整除的概率。§1.4、概率的公理化定義及概率的性質(zhì)例1.某人午覺醒來，發(fā)覺表停了，他打開收音機，想聽電臺報時，求他等待的時間少于10分鐘的概率。例3.在400毫升自來水中有一個大腸桿菌，今從中隨機取出2毫升水放到顯微鏡下觀察，求發(fā)現(xiàn)大腸桿菌的概率。例2.如果在一個5萬平方公里的海域里有表面積達40平方公里的大陸架貯藏著石油，假如在這海域里隨意選定一點鉆探，問鉆到石油的概率是多少？一、幾何概率注意：如果是一維空間度量為長度；二維空間度量為面積；三維空間度量為體積。1、幾何概率定義例1.（約會問題）甲、乙兩人約定在7點到8點在某處會面，并約定先到者應等候另一個人一刻鐘，過時即離去，求兩人能會面的概率。解：以x,y分別表示甲乙兩人到達的時刻，在平面上建立直角坐標系，則A={兩個人能會面}所求概率為例2.（蒲豐(Buffon)投針問題）平面上畫有等距離為a(a>0)的平行線，向平面任意投擲一枚長為l(l<a)的針.試求針與平行線相交的概率P。解:設x表示針投在平面上時中點M與最近一條平行線的距離,

表示針與最近一條平行線的夾角.上兩式可以確定平面上的一個矩形針與平行線相交的充要條件是由這個不等式表示的區(qū)域A是圖中的陰影部分，由等可能性知隨機地向區(qū)間(0,1]投擲一個質(zhì)點，令事件

A

為該質(zhì)點落入?yún)^(qū)間

事件

Ak

為該質(zhì)點落入?yún)^(qū)間01（]A](0](]((](]](例3(1)非負性：P(A)0;則2.幾何概率的基本性質(zhì)(3)可列可加性（完全可加性）：(2)規(guī)范性：P()=1;定義1、若是一個樣本空間，F(xiàn)

是由的某些子集所組成的集合類，如果F滿足條件：二、事件域則稱F為布爾代數(shù)。1.定義定義2.如果F滿足則稱F

為-代數(shù)(-域)

，也稱F為事件域，記作（，F(xiàn)）稱為具有-代數(shù)結構的樣本空間，或簡稱為可測空間，特別對有限樣本空間，則稱為有限可測空間。三、概率的公理化定義及性質(zhì)(1)非負性：P(A)

0;(3)可列可加性（完全可加性）:(2)規(guī)范性：P()=1;定義：設（，F(xiàn)）是可測空間，對每一集有一實數(shù)與之對應，記為P(A).如果它滿足下面三個條件：1.概率的定義則稱實數(shù)集函數(shù)P為（，F(xiàn)

）上的概率。P(A)為事件A的概率.(1)樣本空間;(2)事件域（代數(shù)）F;(3)概率（F上的規(guī)范測度）P習慣上把這三者寫成，并稱作是一個概率空間。2.概率空間3.概率的其它性質(zhì)(2)有限可加性：即若（3）對任意隨機事件A,有例1.36只燈泡中4只是60W，其余都是40W的，現(xiàn)從中任取3只，求至少取到一只60W燈泡的概率。例2.拋一枚硬幣5次，求既出現(xiàn)正面又出現(xiàn)反面的概率。(4)（概率的單調(diào)性）系1:系2:對于任意兩個事件A、B，有若對于任意兩個事件A、B，有4、概率的加法公式對于任意三個事件A、B、C，有這個公式也稱為概率的一般加法公式推論（半可加性）對于任意兩個事件A、B有例6.（匹配問題）在一個n個人參加的晚會上，每個人帶了一件禮物，且假定各人帶的禮物都不相同。晚會期間各人從放在一起的n件禮物中隨機抽取一件，問至少有一個人自己抽到自己禮物的概率是多少？則稱概率P是上連續(xù)的.5.概率的連續(xù)性定義(概率函數(shù)連續(xù)性)對F上的一個概率P則稱概率P是下連續(xù)的.性質(zhì)（概率連續(xù)性）若P為事件域F上的概率，則P既是下連續(xù)的，又是上連續(xù)的.定理.若P是F上非負的、規(guī)范的集函數(shù)，則P具有可列可加性的充要條件是（1）P是有限可加的；（2）P在F上是下連續(xù)的。§1.5條件概率、全概率公式和貝葉斯公式一、條件概率例1.考察有兩個小孩的家庭，假定男女出生率一樣，討論下列事件的概率：(1)事件A=“家庭中至少有一個女孩”發(fā)生的概率；(2)若在已知事件B=“家庭中至少有一個男孩”發(fā)生條件下，求A發(fā)生的概率。、定義1、若（,F,P）是一個概率空間,

BF,且P(B)>0,

則對任意的事件AF,稱為在已知事件B發(fā)生的條件下，事件A發(fā)生的條件概率。1、條件概率的定義AF,且P(A)>0,

則對任意的事件BF,稱為在已知事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的條件概率。例2.設100件某一產(chǎn)品中有5件不合格品，而5件不合格品中又有3件是廢品。現(xiàn)在100件產(chǎn)品中任取一件，求(1)抽得的是次品的概率；(2)已知抽得的是不合格品，它是次品的概率。

練習：

任意拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，令A表示“第一次出現(xiàn)正面”,B表示”第二次出現(xiàn)正面”.容的事件Ai(i=1,2,…)有2.條件概率的性質(zhì)(1)非負性：對于任意的AF,P(AB)0.(2)規(guī)范性：P(B)=1(3)可列可加性：對于任意的一列兩兩互不相3.其它性質(zhì)：定理1（乘法定理）若對于任意兩個事件A、B，都有P(A)>0,P(B)>0,則

P(AB)=P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B)二、概率的乘法公式乘法公式定理2.設A1,A2,…,,,An

為任意n個事件，

n2,且則有例3.(抽簽問題)有一張電影票，7個人抓鬮決定誰得到它，問第i個人抓到票的概率是多少？（i=1，2，…，7）(用乘法公式)例4.某人忘記了電話號碼的最后一個數(shù)字，因而他隨意地撥號，求他撥號不超過三次而接通電話的概率。若已知最后一個數(shù)字是奇數(shù)，那么此概率又是多少？（用乘法公式）例5.有外形相同的球分裝三個盒子，每盒10個。其中第一個盒子中7個標有字母A，3個標有字母B;第二個盒子中有紅球和白球各5個；第三個盒子中有紅球8個，白球2個。試驗按如下規(guī)則進行：先在第一個盒子中任取一球，若取得標有字母A的球，則在第二個盒子中任取一球；若第一次取得標有字母B的球，則在第三個盒子中任取一球。如果第二次取出的球是紅球，則稱試驗成功。求試驗成功的概率。定理2(全概率公式)

三、全概率公式例6.（p38）某工廠有四條生產(chǎn)線生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，該四條流水線的產(chǎn)量分別占總產(chǎn)量的15%，20%，30%，35%，又這四條流水線的不合格品率為5%，4%，3%，及2%，現(xiàn)在從出廠的產(chǎn)品中任取一件，問恰好抽到不合格品的概率為多少？例7.設1000件產(chǎn)品中有200件是不合格品，依次作不放回抽取二件產(chǎn)品，求第二次取到的是不合格品的概率。(用全概率公式）

練習：乒乓球盒中有12個球，其中8個是沒有用過的新球。第一次比賽時從中任取3個使用，用后仍放回盒中。第二次比賽時再從中任取3個，求這3個球都是新球的概率。例8.在一種數(shù)字通訊中，信號是由數(shù)字0和1的長序列所組成，設發(fā)報臺分別以概率0.6與0.4發(fā)出信號0和1，由于通訊系統(tǒng)受到隨機干擾，當發(fā)出信號0時，收報臺未必收到信號0，而分別以概率0.8與0.2收到信號0和1；同理，當發(fā)出信號1時，收報臺分別以概率.9與0.1收到信號1和0，求（1）收報臺收到信號0的概率；（2）當收報臺收到信號0時，發(fā)報臺確是發(fā)出信號0的概率。定理3、（貝葉斯公式）若B1,B2,…,Bn,…為一列兩兩互不相容的事件，且則對任一事件A，有四、貝葉斯(Bayes)公式上式稱為貝葉斯(Bayes)公式稱為后驗概率，它是在試驗得到結果“A發(fā)生”后求得的關于Bi

的概率.

稱P(Bi)為先驗概率，它是由以往的經(jīng)驗得到的，它是事件

A

的原因.例9.用甲胎蛋白法普查肝癌，令

C={被檢驗者患肝癌}

A={甲胎蛋白檢驗結果為陽性}則{被檢驗者未患肝癌}{甲胎蛋白檢驗結果為陰性}由過去的資料已知又已知某地居民的肝癌發(fā)病率為P（C）=0.0004.在普查中查出一批甲胎蛋白檢驗結果為陽性的人，求這批人中真的患肝癌的概率例10.伊索寓言“孩子與狼”講的是一個小孩每天到山上放羊，山里有狼出沒。第一天，他在山上喊：“狼來了，狼來了！”，山下的村民聞聲便去打狼，可到山上，發(fā)現(xiàn)狼沒有來；第二天仍是如此；第三天，狼真的來了，可無論小孩怎么喊叫，也沒有人來救他，因為前兩次說了謊，人們不再相信他了?！?.6獨立性引例.設一盒中有五個球(二白三黑),每次從中取一球,有放回地取兩次,記A={第一次取得黑球},B={第二次取得黑球}.求：P(A),P(B),P(B|A).一、事件的獨立性1.兩個事件的獨立性定義1.對于任意的兩個事件A、B，若成立

P(AB)=P(A)P(B)則稱事件A、B是相互獨立的，簡稱為獨立。定理1.(2)(1)定理2.若事件A與B獨立，則下列各事件也相互獨立例1.設甲、乙兩射手獨立地射擊同一目標，他們擊中目標的概率分別為0.9和0.8。求在一次射擊中，目標被擊中的概率。例2.分別擲兩枚均勻的硬幣，令A={硬幣甲出現(xiàn)正面}B={硬幣乙出現(xiàn)正面}驗證A、B是相互獨立的。例3.一個家庭中有若干個小孩，假定生男生女是等可能的令A={一個家庭中有男孩，又有女孩}

B={一個家庭中最多有一個女孩}對下述兩種情形，討論A與B的獨立性（1）家庭中有兩個小孩（2）家庭中有三個小孩定義2.2.多個事件的獨立性定義3.對于事件A、B、C，若下列四個等式同時成立，則稱它們相互獨立.注：10.兩兩獨立相互獨立；(例4）20.若P(ABC)=P(A)P(B)P(C)A、B、C兩兩獨立；（例5）30.兩兩獨立沒有傳遞性。（例6）A與C獨立即A與B獨立，B與C獨立例4.一個均勻的正四面體，其第一面染成紅色，第二面染成白色，第三面染成黑色，第四面同時染成紅、白、黑三種顏色，現(xiàn)在我們以A、B、C分別記投一次四面體出現(xiàn)紅、白、黑顏色的事件。（驗證：注10）例5.若有一個均勻正八面體，其第1，2，3，4面染成紅色，1，2，3，5面染成白色，1，6，7，8面染成黑色，現(xiàn)在以A、B、C分別表示投一次八面體出現(xiàn)紅、白、黑事件。（驗證注20）例6.一個家庭有兩個孩子={（男，男），（男，女），（女，男），（女，女）}A={老大為男），B={一男一女}，C={老大為女}（驗證注30）定義4.設A1,A2,…,An是n個事件，若對所有的組合1i<j<k<…n成立著P(AiAj)=P(Ai)P(Aj)P(AiAjAk)=P(Ai)P(Aj)P(Ak)………P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An)則稱A1,A2,…,An相互獨立。定理3.設n個事件A1，A2，…，An相互獨立，那么把其中任意m(1mn)個事件相應換成它們的對立事件，則所得n個事件仍然相互獨立。二、獨立性的性質(zhì)特別地，若A1,A2,…,An相互獨立，則若A1,A2,…,An相互獨立，則因此有三、獨立性的應用1.相互獨立事件至少發(fā)生其一的概率計算例7.假若每個人血清中含有肝炎病毒的概率為０.４％，混合１００個人的血清．求此血清中含有肝炎病毒的概率.例８.張、王、趙三同學各自獨立地去解一道數(shù)學題，他們解出題的概率為1/5，1/3，1/4，試求（1）恰有一人解出的概率；（2）難題被解出的概率。2.在可靠性理論中的應用所謂元件或系統(tǒng)的可靠度，通常是指在某一時間區(qū)間內(nèi)元件或系統(tǒng)無故障（正常工作）的概率。例9.如果構成系統(tǒng)的每個元件的可靠度均為r，0<r<1，且各元件能否正常工作是相互獨立的，用2n個元件構成一個系統(tǒng).試求下面兩種系統(tǒng)的可靠度：第一種:先串聯(lián)后并聯(lián)；第一種:先并聯(lián)后串聯(lián)。12n12n1122nn圖1圖2§1.7貝努里概型（一）貝努里概型1.貝努里試驗事件域取為F={，A,,},并稱出現(xiàn)A為“成功”，出現(xiàn)為“失敗”這種只有兩種可能結果的試驗稱為貝努里試驗。

P(A)=p,P()=q顯然有p0,p+q=1重復進行n次獨立的貝努里試驗,在每次試驗中事件A、事件的概率保持不變,這種試驗稱為n重貝努里試驗，記作En.2.n重貝努里試驗若只進行一次貝努里試驗，則或是事件A出現(xiàn)，或是事件出現(xiàn)，記概率

（二）貝努里概型中一些常見的分布其中0p1,p+q=1，概率(1)稱為貝努里分布。(1)1.貝努里分布例1.投一枚均勻硬幣就是這種分布的典型代表.n重貝努里試驗中事件A出現(xiàn)k次的概率稱為二項分布，記為Pn(k)或b(k;n,p)，其中p為事件A在每次試驗中出現(xiàn)的概率,p+q=1.2.二項分布（2）在n重貝努里試驗中，通常要求下列事件的概率：（1）事件A發(fā)生的次數(shù)小于k次；（<k)（2）事件A發(fā)生的次數(shù)多于k次；(>k)

（3）事件A發(fā)生的次數(shù)至少為k次；(》k)

（4）事件A發(fā)生的次數(shù)至多為k次；（《k)例2.在本章古典概型中，N件產(chǎn)品中有M件次品，有放回取n