線性代數(shù)的幾何含義

線性代數(shù)的幾何含義第1頁(yè)，課件共39頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月線性代數(shù)概念的幾何含義

及MATLAB繪圖演示西安電子科技大學(xué)楊威2010.7第2頁(yè)，課件共39頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月一、線性方程組解的幾何含義二、向量及向量運(yùn)算的幾何含義四、行列式的幾何含義五、線性變換的幾何含義(特征向量)六、二次型的幾何含義基本內(nèi)容三、向量組線性相關(guān)性的幾何含義第3頁(yè)，課件共39頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月一、進(jìn)一步理解線性代數(shù)抽象概念的幾何含義二、掌握MATLAB軟件實(shí)現(xiàn)線性代數(shù)基本運(yùn)算的命令基本目標(biāo)三、靈活應(yīng)用MATLAB軟件的繪圖功能演示線性代數(shù)概念的幾何含義第4頁(yè)，課件共39頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月一、線性方程組解的幾何含義1、二元方程組例1求下列非齊次線性方程組的解，并用MATLAB繪出解的情況。第5頁(yè)，課件共39頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月解：用MATLAB解線性方程組Ax=b的方法有：用MATLAB繪制直線的簡(jiǎn)單方法為：（1）求逆法（A為方陣）：x=inv(A)*b，或x=A^-1*b（2）初等行變換法：rref([A,b])（3）左除法：x=A\bezplot(‘……')單引號(hào)內(nèi)為直線方程第6頁(yè)，課件共39頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月在MATLAB命令窗口中運(yùn)行程序g01.m，可以得到圖形：第7頁(yè)，課件共39頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月一、線性方程組解的幾何含義2、三元方程組例2求下列線性方程組的解，并用MATLAB繪出解的情況。（1）（2）（3）（4）第8頁(yè)，課件共39頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月解：用MATLAB的rref命令可以解得：用MATLAB繪制平面的簡(jiǎn)單方法為：方程組（1）有唯一解方程組（2）有無(wú)窮組解方程組（3）和（4）無(wú)解ezmesh(‘……’)單引號(hào)內(nèi)為平面方程第9頁(yè)，課件共39頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月在MATLAB命令窗口中運(yùn)行程序g02.m，可以得到圖形：第10頁(yè)，課件共39頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月一、線性方程組解的幾何含義3、用MATLAB解矛盾方程的近似解例3下表給出平面坐標(biāo)系中5個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，求過(guò)這5個(gè)點(diǎn)的圓心坐標(biāo)。并用MATLAB繪出該圓。12345x-1.10.64.10.65.0y1.24.1-0.8-1.01.2第11頁(yè)，課件共39頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月解：設(shè)圓心坐標(biāo)為(x，y)，根據(jù)圓心到已知5點(diǎn)的距離相等，列方程：進(jìn)行化簡(jiǎn)，可以得到以下線性方程組：第12頁(yè)，課件共39頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月在MATLAB命令窗口中運(yùn)行程序g03.m，可以得到圖形：第13頁(yè)，課件共39頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月二、向量及向量運(yùn)算的幾何含義1、向量的幾何含義二維（三維）向量可以理解為平面坐標(biāo)系（空間坐標(biāo)系）中一個(gè)有方向的線段，其起點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)。如下圖所示。第14頁(yè)，課件共39頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月二、向量及向量運(yùn)算的幾何含義2、向量加法的平行四邊形法則，如圖所示3、負(fù)向量與向量減法：u-v=u+(-v)第15頁(yè)，課件共39頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月二、向量及向量運(yùn)算的幾何含義4、向量的數(shù)乘設(shè)u=(1,2,3)T,那么2u=(2,4,6)T,如圖所示,可知2u與u共線，它們的長(zhǎng)度是2倍關(guān)系。第16頁(yè)，課件共39頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月二、向量及向量運(yùn)算的幾何含義5、向量的線性表示舉例例4已知向量，請(qǐng)用向量u和v來(lái)線性表示向量w，并用MATLAB繪制出線性表示情況。解：求解方程組，解得：第17頁(yè)，課件共39頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月在MATLAB命令窗口中運(yùn)行程序g04.m，可以得到圖形：第18頁(yè)，課件共39頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月三、向量組線性相關(guān)性的幾何含義1、若兩個(gè)向量的夾角不為零（不共線），則這兩個(gè)向量線性無(wú)關(guān)2、若兩個(gè)向量的夾角為零（共線），則這兩個(gè)向量線性相關(guān)3、若三個(gè)向量不共面，則這三個(gè)向量線性無(wú)關(guān)4、若三個(gè)向量共面，則這三個(gè)向量線性相關(guān)第19頁(yè)，課件共39頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月三、向量組線性相關(guān)性的幾何含義5、三個(gè)3維向量線性相關(guān)性的判斷例5分析向量組的線性相關(guān)性，并用MATLAB繪制其圖形。解：設(shè)A=(u,v,w)，計(jì)算A的行列式|A|，可以判斷其線性相關(guān)性。第20頁(yè)，課件共39頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月在MATLAB命令窗口中運(yùn)行程序g05.m，可以得到圖形：第21頁(yè)，課件共39頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月四、行列式的幾何含義1、行列式的幾何含義設(shè)u、v為二維列向量，以它們?yōu)橄噜忂厴?gòu)成的平行四邊形的面積為矩陣A=(u,v)的行列式|A|的絕對(duì)值。設(shè)u、v，w為三維列向量，以它們?yōu)橄噜徖鈽?gòu)成的平行六面體的體積為矩陣A=(u,v,w)的行列式|A|的絕對(duì)值。第22頁(yè)，課件共39頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月四、行列式的幾何含義2、行列式幾何含義的應(yīng)用舉例例6（1）已知三角形ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為：(1,2),(3,3),(4,1)，計(jì)算該三角形的面積；（2）已知凸九邊形九個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為：(0,8.5),(3,7),(6,0),(3,-4),(1,-5),(-5,-3),(-7,0),(-5,6),(-3,8),計(jì)算該九邊形的面積。（3）在平面坐標(biāo)系中畫出以上三角形和九邊形。第23頁(yè)，課件共39頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月解：(1)如圖所示，三角形ABC的面積就等于向量AB和向量AC所構(gòu)成平行四邊形面積的一半。其中：第24頁(yè)，課件共39頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月解：(2)如圖所示，凸九邊形面積是由9-2=7個(gè)三角形面積組成。第25頁(yè)，課件共39頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月在MATLAB命令窗口運(yùn)行程序g06.m，即可以算出三角形和九邊形面積，同時(shí)可以得到圖形：第26頁(yè)，課件共39頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月五、線性變換的幾何含義1、線性變換幾何含義舉例例7已知向量。請(qǐng)分析經(jīng)過(guò)線性變換后，向量與向量的幾何關(guān)系。其中分別為：第27頁(yè)，課件共39頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月在MATLAB命令窗口運(yùn)行程序g07.m，可以得到圖形：第28頁(yè)，課件共39頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月五、線性變換的幾何含義2、特征向量幾何含義的舉例例8已知矩陣MATLAB分析特征向量的幾何含義。，求它們的特征值和特征向量，并用第29頁(yè)，課件共39頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月解：用MATLAB求矩陣特征值和特征向量的方法為：用MATLAB演示矩陣A的特征向量幾何含義的命令為：（1）r=eig(A),列向量r為矩陣A的特征值（2）[V,D]=eig(A)，對(duì)角矩陣D的對(duì)角線元素為矩陣A的特征值，矩陣V的列向量為矩陣A的特征向量。eigshow(A)第30頁(yè)，課件共39頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月在MATLAB命令窗口運(yùn)行程序g08.m，可以分別得到圖形：第31頁(yè)，課件共39頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月五、線性變換的幾何含義3、線性變換應(yīng)用舉例（剛體的平面運(yùn)動(dòng)）例9用下列數(shù)據(jù)表示一個(gè)“A”形狀的剛體。利用線性變換，對(duì)該剛體進(jìn)行以下平面運(yùn)動(dòng)。（1）向上移動(dòng)15，向左移動(dòng)30；（2）先逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)90°,然后向上移動(dòng)30，向右移動(dòng)20；（3）先向上移動(dòng)30，向右移動(dòng)20,然后逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)90°。x04610853.56.16.53.220y014140011664.54.500第32頁(yè)，課件共39頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月解：用3×n的矩陣X來(lái)表示剛體圖形，其中第3行全為1。設(shè)平移矩陣為：，平移變換為：。轉(zhuǎn)動(dòng)矩陣為：，轉(zhuǎn)動(dòng)變換為：。第33頁(yè)，課件共39頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月在MATLAB命令窗口運(yùn)行程序g09.m，可以得到圖形：第34頁(yè)，課件共39頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月六、二次型的幾何含義1、利用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的幾何含義。例10用正交變換，把下列二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形，并討論變換前后所對(duì)應(yīng)的二次曲線及。解：用MATLAB命令eig可以算出二次型矩陣的特征值分別為：4.3820，6.6180和3.7016，-2.7016。第35頁(yè)，課件共39頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月在MATLAB命令窗口運(yùn)行程序g10.m，可以得到圖形：