高中復(fù)習(xí)案例課后檢測(cè)

基礎(chǔ)練習(xí)1．一質(zhì)點(diǎn)沿直線運(yùn)動(dòng)，如果由始點(diǎn)起經(jīng)過t秒后的距離為s＝eq\f(4,3)t3－2t2，那么速度為0的時(shí)刻是()A．1秒末 B．0秒C．2秒末 D．0秒或1秒末2．某城市在發(fā)展過程中，交通狀況逐漸受到大家更多的關(guān)注，據(jù)有關(guān)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)顯示，從上午6時(shí)到9時(shí)，車輛通過該市某一路段的用時(shí)y(分鐘)與車輛進(jìn)入該路段的時(shí)刻t之間的關(guān)系可近似地用如下函數(shù)給出：y＝－eq\f(1,8)t3－eq\f(3,4)t2＋36t－eq\f(629,4)，則在這段時(shí)間內(nèi)，通過該路段用時(shí)最多的時(shí)刻是()A．6時(shí) B．7時(shí)C．8時(shí) D．9時(shí)3．某出版社出版一讀物，一頁上所印文字占去150cm2，上、下要留1.5cm空白，左、右要留1cm空白，出版商為節(jié)約紙張，應(yīng)選用的尺寸()A．左右長12cm，上下長18cmB．左右長12cm，上下長19cmC．左右長11cm，上下長18cmD．左右長13cm，上下長17cm4．某商品的進(jìn)價(jià)為3元/件，根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)，當(dāng)售價(jià)為8元/件時(shí)，可賣出30件，市場調(diào)查表明，當(dāng)售價(jià)每下降1元時(shí)，銷量可增加10件，且售價(jià)下降x元時(shí)，獲得的利潤為L(x)元，則L(x)的最大值為()A．220 B．200C．180 D．1605．甲、乙兩地相距240km，汽車從甲地以速度v(km/h)勻速行駛到乙地．已知汽車每小時(shí)的運(yùn)輸成本由固定成本和可變成本組成，固定成本為160元，可變成本為eq\f(1,6400)v3元．為使全程運(yùn)輸成本最小，汽車應(yīng)以________km/h的速度行駛．6．圓柱形金屬飲料罐的表面積為定值S，要使它的容積最大，它的高h(yuǎn)與底面半徑R的比應(yīng)為________．7．某廠生產(chǎn)x件產(chǎn)品的總成本為C萬元，產(chǎn)品單價(jià)為P萬元，且滿足C＝1200＋eq\f(2,75)x3，P＝eq\f(500,\r(x))，則當(dāng)x＝________時(shí)，總利潤最高．8．如圖是某市在城市改造中的沿市內(nèi)主干道城站路修建的圓形休閑廣場，圓心為O，半徑為100m，其與城站路一邊所在直線l相切于點(diǎn)M，MO的延長線交圓O于點(diǎn)N，A為上半圓弧上一點(diǎn)，過點(diǎn)A作l的垂線，垂足為點(diǎn)B.市園林局計(jì)劃在△ABM內(nèi)進(jìn)行綠化，設(shè)△ABM的面積為S(單位：m2)．(1)以∠AON＝θ(rad)為自變量，將S表示成θ的函數(shù)；(2)求使綠化面積最大時(shí)點(diǎn)A的位置及最大綠化面積．能力提升9．若球的半徑為R，作內(nèi)接于球的圓柱，則其側(cè)面積的最大值為()A．2πR2 B．πR2C．4πR2 D．eq\f(1,2)πR210．某銀行準(zhǔn)備設(shè)一種新的定期存款業(yè)務(wù)，經(jīng)預(yù)測(cè)，存款額與存款利率的平方成正比，比例系數(shù)為k(k>0)，貸款的利率為4.8%，假設(shè)銀行吸收的存款能全部放貸出去．若存款利率為x(x∈(0，4.8%))，則使銀行獲得最大收益的存款利率為________．11．水庫的蓄水量隨時(shí)間而變化，現(xiàn)用t表示時(shí)間，以月為單位，年初為起點(diǎn)，根據(jù)歷年數(shù)據(jù)，某水庫的蓄水量(單位：億立方米)關(guān)于t的近似函數(shù)關(guān)系式為V(t)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（－t2＋14t－40）e\f(1,4)t＋50，0<t≤10.,4（t－10）（3t－41）＋50，10<t≤12.))(1)該水庫的蓄水量小于50的時(shí)期稱為枯水期，以i－1<t<i表示第i月份(i＝1，2，…，12)，問一年內(nèi)哪幾個(gè)月份是枯水期？(2)求一年內(nèi)該水庫的最大蓄水量(取e＝2.7計(jì)算)．12．(選做題)某工廠擬建一座平面圖為矩形且面積為200m2的三級(jí)污水處理池(平面圖如圖所示)．如果池四周圍墻建造單價(jià)為400元/m，中間兩道隔墻建造單價(jià)為248元/m，池底建造單價(jià)為80元/m2，水池所有墻的厚度忽略不計(jì)．(1)試設(shè)計(jì)污水處理池的長和寬，使總造價(jià)最低，并求出最低總造價(jià)；(2)若由于地形限制，該池的長和寬都不能超過16m．試設(shè)計(jì)污水池的長和寬，使總造價(jià)最低，并求出最低總造價(jià)．附答案：1．一質(zhì)點(diǎn)沿直線運(yùn)動(dòng)，如果由始點(diǎn)起經(jīng)過t秒后的距離為s＝eq\f(4,3)t3－2t2，那么速度為0的時(shí)刻是()A．1秒末 B．0秒C．2秒末 D．0秒或1秒末解析：選D.由題意可得t≥0，s′＝4t2－4t，令s′＝0，解得t1＝0，t2＝1.2．某城市在發(fā)展過程中，交通狀況逐漸受到大家更多的關(guān)注，據(jù)有關(guān)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)顯示，從上午6時(shí)到9時(shí)，車輛通過該市某一路段的用時(shí)y(分鐘)與車輛進(jìn)入該路段的時(shí)刻t之間的關(guān)系可近似地用如下函數(shù)給出：y＝－eq\f(1,8)t3－eq\f(3,4)t2＋36t－eq\f(629,4)，則在這段時(shí)間內(nèi)，通過該路段用時(shí)最多的時(shí)刻是()A．6時(shí) B．7時(shí)C．8時(shí) D．9時(shí)解析：選C.y′＝－eq\f(3,8)t2－eq\f(3,2)t＋36＝－eq\f(3,8)(t＋12)(t－8)．令y′＝0，得t＝8或t＝－12(舍去)，則當(dāng)6≤t＜8時(shí)，y′>0，當(dāng)8<t≤9時(shí)，y′<0，所以當(dāng)t＝8時(shí)，通過該路段所用的時(shí)間最多．故選C.3．某出版社出版一讀物，一頁上所印文字占去150cm2，上、下要留1.5cm空白，左、右要留1cm空白，出版商為節(jié)約紙張，應(yīng)選用的尺寸()A．左右長12cm，上下長18cmB．左右長12cm，上下長19cmC．左右長11cm，上下長18cmD．左右長13cm，上下長17cm解析：選A.設(shè)所印文字區(qū)域的左右長為xcm，則上下長為eq\f(150,x)cm，所以紙張的左右長為(x＋2)cm，上下長為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(150,x)＋3))cm，所以紙張的面積S＝(x＋2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(150,x)＋3))＝3x＋eq\f(300,x)＋156.所以S′＝3－eq\f(300,x2)，令S′＝0，解得x＝10.當(dāng)x>10時(shí)，S單調(diào)遞增；當(dāng)0<x<10時(shí)，S單調(diào)遞減．所以當(dāng)x＝10時(shí)，Smin＝216(cm2)，此時(shí)紙張的左右長為12cm，上下長為18cm.故當(dāng)紙張的邊長分別為12cm，18cm時(shí)最節(jié)約．4．某商品的進(jìn)價(jià)為3元/件，根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)，當(dāng)售價(jià)為8元/件時(shí)，可賣出30件，市場調(diào)查表明，當(dāng)售價(jià)每下降1元時(shí)，銷量可增加10件，且售價(jià)下降x元時(shí)，獲得的利潤為L(x)元，則L(x)的最大值為()A．220 B．200C．180 D．160解析：選D.當(dāng)售價(jià)下降x元時(shí)，每件利潤為(5－x)元，此時(shí)銷量為(30＋10x)件，所以L(x)＝(5－x)(30＋10x)＝10(5－x)(3＋x)＝10(－x2＋2x＋15)(0≤x≤5)，所以L′(x)＝10(－2x＋2)＝20(－x＋1)，令L′(x)＝0，得x＝1；令L′(x)>0，得0≤x＜1，L(x)單調(diào)遞增；令L′(x)<0，得1<x≤5，L(x)單調(diào)遞減．所以當(dāng)x＝1時(shí)，L(x)取得最大值，為160，故選D.5．甲、乙兩地相距240km，汽車從甲地以速度v(km/h)勻速行駛到乙地．已知汽車每小時(shí)的運(yùn)輸成本由固定成本和可變成本組成，固定成本為160元，可變成本為eq\f(1,6400)v3元．為使全程運(yùn)輸成本最小，汽車應(yīng)以________km/h的速度行駛．解析：設(shè)全程運(yùn)輸成本為y元，由題意知y＝eq\f(240,v)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(160＋\f(1,6400)v3))(v>0)，y′＝240eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(160,v2)＋\f(2,6400)v))，令y′＝0，得v＝80，當(dāng)v>80時(shí)，y′>0；當(dāng)0<v<80時(shí)，y′<0.所以v＝80時(shí)，ymin＝720.答案：806．圓柱形金屬飲料罐的表面積為定值S，要使它的容積最大，它的高h(yuǎn)與底面半徑R的比應(yīng)為________．解析：因?yàn)镾＝2πRh＋2πR2，所以h＝eq\f(S－2πR2,2πR)，所以V(R)＝eq\f(S－2πR2,2πR)πR2，＝eq\f(1,2)(S－2πR2)R＝eq\f(1,2)SR－πR3.由V′(R)＝eq\f(1,2)S－3πR2＝0，得S＝6πR2，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性知當(dāng)S＝6πR2時(shí)，容積最大，此時(shí)6πR2＝2πRh＋2πR2.即h∶R＝2∶1.答案：2∶17．某廠生產(chǎn)x件產(chǎn)品的總成本為C萬元，產(chǎn)品單價(jià)為P萬元，且滿足C＝1200＋eq\f(2,75)x3，P＝eq\f(500,\r(x))，則當(dāng)x＝________時(shí)，總利潤最高．解析：設(shè)總利潤為L(x)萬元，則由題意得L(x)＝x·eq\f(500,\r(x))－1200－eq\f(2,75)x3＝－eq\f(2,75)x3＋500eq\r(x)－1200(x>0)．由L′(x)＝－eq\f(2,25)x2＋eq\f(250,\r(x))＝0，得x＝25.令L′(x)>0，得0<x<25；令L′(x)<0，得x>25，得L(x)在區(qū)間(0，25)上單調(diào)遞增，在區(qū)間(25，＋∞)上單調(diào)遞減，所以當(dāng)x＝25時(shí)，總利潤最高．答案：258．如圖是某市在城市改造中的沿市內(nèi)主干道城站路修建的圓形休閑廣場，圓心為O，半徑為100m，其與城站路一邊所在直線l相切于點(diǎn)M，MO的延長線交圓O于點(diǎn)N，A為上半圓弧上一點(diǎn)，過點(diǎn)A作l的垂線，垂足為點(diǎn)B.市園林局計(jì)劃在△ABM內(nèi)進(jìn)行綠化，設(shè)△ABM的面積為S(單位：m2)．(1)以∠AON＝θ(rad)為自變量，將S表示成θ的函數(shù)；(2)求使綠化面積最大時(shí)點(diǎn)A的位置及最大綠化面積．解：(1)由題意知，BM＝100sinθ，AB＝100＋100cosθ，故S＝5000sinθ(1＋cosθ)(0<θ<π)．(2)因?yàn)镾＝5000sinθ(1＋cosθ)(0<θ<π)，所以S′＝5000(cosθ＋cos2θ－sin2θ)＝5000(2cos2θ＋cosθ－1)＝5000(cosθ＋1)(2cosθ－1)．令S′＝0，得cosθ＝eq\f(1,2)或cosθ＝－1(舍去)，又θ∈(0，π)，故θ＝eq\f(π,3).當(dāng)0<θ<eq\f(π,3)時(shí)，eq\f(1,2)<cosθ<1，S′>0；當(dāng)eq\f(π,3)<θ<π時(shí)，－1<cosθ<eq\f(1,2)，S′<0.故當(dāng)θ＝eq\f(π,3)時(shí)，S取得極大值，也是最大值，最大值為3750eq\r(3)，此時(shí)AB＝150.即當(dāng)點(diǎn)A距路邊的距離為150m時(shí)，綠化面積最大，最大面積為3750eq\r(3)m2.能力提升9．若球的半徑為R，作內(nèi)接于球的圓柱，則其側(cè)面積的最大值為()A．2πR2 B．πR2C．4πR2 D．eq\f(1,2)πR2解析：選A.設(shè)內(nèi)接圓柱的高為h，底面半徑為x，則x＝eq\r(R2－\f(h2,4))，所以S側(cè)＝2πxh＝2πheq\r(R2－\f(h2,4))＝2πeq\r(R2h2－\f(h4,4))，令t＝R2h2－eq\f(h4,4)，則t′＝2R2h－h(huán)3，令t′＝0，得h＝eq\r(2)R(舍負(fù))或h＝0(舍去)，當(dāng)0<h<eq\r(2)R時(shí)，t′>0，當(dāng)eq\r(2)R<h<2R時(shí)，t′<0，所以當(dāng)h＝eq\r(2)R時(shí)，圓柱的側(cè)面積最大．所以側(cè)面積的最大值為2πeq\r(2R4－R4)＝2πR2，故應(yīng)選A.10．某銀行準(zhǔn)備設(shè)一種新的定期存款業(yè)務(wù)，經(jīng)預(yù)測(cè)，存款額與存款利率的平方成正比，比例系數(shù)為k(k>0)，貸款的利率為4.8%，假設(shè)銀行吸收的存款能全部放貸出去．若存款利率為x(x∈(0，4.8%))，則使銀行獲得最大收益的存款利率為________．解析：依題意知，存款額是kx2，銀行應(yīng)支付的存款利息是kx3，銀行應(yīng)獲得的貸款利息是0.048kx2，所以銀行的收益是y＝0.048kx2－kx3(0<x<0.048)，故y′＝0.096kx－3kx2.令y′＝0，解得x＝0.032或x＝0(舍去)．當(dāng)0<x<0.032時(shí)，y′>0；當(dāng)0.032<x<0.048時(shí)，y′<0.因此，當(dāng)x＝0.032時(shí)，y取得極大值，也是最大值，即當(dāng)存款利率為3.2%時(shí)，銀行可獲得最大收益．答案：3.2%11．水庫的蓄水量隨時(shí)間而變化，現(xiàn)用t表示時(shí)間，以月為單位，年初為起點(diǎn)，根據(jù)歷年數(shù)據(jù)，某水庫的蓄水量(單位：億立方米)關(guān)于t的近似函數(shù)關(guān)系式為V(t)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（－t2＋14t－40）e\f(1,4)t＋50，0<t≤10.,4（t－10）（3t－41）＋50，10<t≤12.))(1)該水庫的蓄水量小于50的時(shí)期稱為枯水期，以i－1<t<i表示第i月份(i＝1，2，…，12)，問一年內(nèi)哪幾個(gè)月份是枯水期？(2)求一年內(nèi)該水庫的最大蓄水量(取e＝2.7計(jì)算)．解：(1)根據(jù)t的范圍分段求解：①當(dāng)0<t≤10時(shí)，V(t)＝(－t2＋14t－40)eeq\f(1,4)t＋50<50，化簡得t2－14t＋40>0，解得t<4或t>10.又0<t≤10，故0<t<4.②當(dāng)10<t≤12時(shí)，V(t)＝4(t－10)(3t－41)＋50<50，化簡得(t－10)(3t－41)<0，解得10<t<eq\f(41,3).又10<t≤12，故10<t≤12.綜上得0<t<4或10<t≤12.故知枯水期為1月，2月，3月，4月，11月，12月共6個(gè)月．(2)由第一問知：V(t)的最大值只能在(4，10)內(nèi)達(dá)到，由V′(t)＝eeq\s\up8(\f(1,4))teq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)t2＋\f(3,2)t＋4))＝－eq\f(1,4)eeq\s\up8(\f(1,4))t(t＋2)(t－8)．令V′(t)＝0，解得t＝8(t＝－2舍去)，當(dāng)t變化時(shí)，V′(t)與V(t)的變化情況如下表：t(4，8)8(8，10)V′(t)＋0－V(t)極大值由上表，V(t)在t＝8時(shí)取得最大值V(8)＝8e2＋50＝108.32(億立方米)．故一年內(nèi)該水庫的最大蓄水量是108.32億立方米．12．(選做題)某工廠擬建一座平面圖為矩形且面積為200m2的三級(jí)污水處