第9章列聯(lián)分析

第9章列聯(lián)分析§1列聯(lián)表§2擬合優(yōu)度檢驗(yàn)§3獨(dú)立性檢驗(yàn)§4列聯(lián)表中的相關(guān)測(cè)量§5列聯(lián)分析中應(yīng)注意的問題1第9章列聯(lián)分析§1列聯(lián)表§1.1列聯(lián)表的構(gòu)造§1.2列聯(lián)表的分布2第9章列聯(lián)分析§1.1列聯(lián)表的構(gòu)造列聯(lián)表列聯(lián)表（Contingencytable）是由兩個(gè)或兩個(gè)以上的變量進(jìn)行交叉分類的頻數(shù)分布表。例如一個(gè)集團(tuán)公司在四個(gè)不同的區(qū)域設(shè)有分公司，現(xiàn)該集團(tuán)公司欲進(jìn)行一項(xiàng)改革，此項(xiàng)改革可能涉及到各分公司的利益，故采用抽樣調(diào)查方法，從四個(gè)分公司共抽取420個(gè)樣本單位，了解職工對(duì)此項(xiàng)改革的看法，調(diào)查結(jié)果見表9-1。3第9章列聯(lián)分析表9-1關(guān)于改革方案的調(diào)查結(jié)果單位：人第9章列聯(lián)分析§1.1列聯(lián)表的構(gòu)造解釋：表中的行（Row）是態(tài)度變量，這里劃分為兩類：贊成改革方案或反對(duì)改革方案；表中的列（Column）是單位變量，這里劃分為四類：即四個(gè)分公司。表中的每個(gè)數(shù)據(jù)，都反映著來自于態(tài)度和單位兩個(gè)方面的信息。將橫向變量（行）的劃分類別視為R，縱向變量（列）的劃分類別視為C，則可以把每一個(gè)具體的列聯(lián)表稱為R×C列聯(lián)表。5第9章列聯(lián)分析§1.2列聯(lián)表的分布列聯(lián)表的分布觀察值的分布（條件分布）行邊緣頻數(shù)列邊緣頻數(shù)條件頻數(shù)期望值的分布6第9章列聯(lián)分析§1.2列聯(lián)表的分布表9-2包含百分比的2×4列聯(lián)表7第9章列聯(lián)分析§1.2列聯(lián)表的分布表中各數(shù)據(jù)的含義條件頻數(shù)：如第一個(gè)單元第一個(gè)數(shù)字68為觀察值頻數(shù)；行百分?jǐn)?shù)：如第一個(gè)單元第二個(gè)數(shù)字24.4為行百分?jǐn)?shù)，即68/279=24.4%；列百分?jǐn)?shù)：如第一個(gè)單元第三個(gè)數(shù)字68.0為列百分?jǐn)?shù)，即68/100=68%；總百分?jǐn)?shù)：如第一個(gè)單元第四個(gè)數(shù)字為總百分?jǐn)?shù)，即68/420=16.2%；邊緣頻數(shù)：在最右邊和最下邊的合計(jì)欄中各有兩行數(shù)據(jù)，第一行是邊緣頻數(shù)，第二行是邊緣頻數(shù)的百分?jǐn)?shù)。如最右邊的66.4%=279/420，及最下邊的23.8%=100/420。第9章列聯(lián)分析§1.2列聯(lián)表的分布期望分布以前例為例。已知在全部420個(gè)樣本單位中，贊成改革方案的有279個(gè)，占到總數(shù)的66.4%，如果各分公司對(duì)這項(xiàng)改革方案的看法相同，那么對(duì)第一分公司贊成該方案的人數(shù)應(yīng)當(dāng)為：0.664×100=66人，第二分公司贊成的人數(shù)應(yīng)當(dāng)為：0.664×120=80人，這66人和80人就是本例中的期望值。由此可以計(jì)算出期望值的分布，如表9-3所示。9第9章列聯(lián)分析§1.2列聯(lián)表的分布表9-3期望值分布表

單位：人10第9章列聯(lián)分析§1.2列聯(lián)表的分布將表9-1和表9-3結(jié)合起來，便可以得到觀察值和期望值頻數(shù)對(duì)比分布表，如表9-4所示。表9.4觀察值和期望值頻數(shù)對(duì)比分布表11第9章列聯(lián)分析§1.2列聯(lián)表的分布如果各個(gè)分公司對(duì)改革方案的看法相同，即各分公司贊成改革方案的比例相同，就應(yīng)有

=0.664（

為第i個(gè)分公司贊成改革方案的百分比），那么在表9-4中，觀察值和期望值就應(yīng)當(dāng)非常接近。對(duì)于

=0.664的假設(shè)，可以采用

分布（Chi-squareDistribution）進(jìn)行檢驗(yàn)。12第9章列聯(lián)分析§2擬合優(yōu)度檢驗(yàn)§2.1統(tǒng)計(jì)量§2.2擬合優(yōu)度檢驗(yàn)13第9章列聯(lián)分析§2.1統(tǒng)計(jì)量統(tǒng)計(jì)量可以用于變量間擬合優(yōu)度檢驗(yàn)和獨(dú)立性檢驗(yàn)。若用fo表示觀察值頻數(shù)（ObservedFrequency），用fe表示期望值頻數(shù)（ExpectedFrequency），則

統(tǒng)計(jì)量可以寫為：

14第9章列聯(lián)分析§2.1統(tǒng)計(jì)量由

可以看出計(jì)算

統(tǒng)計(jì)量的步驟

步驟一：用觀察值

fo減去期望值

fe；

步驟二：將（fo-fe）之差平方；

步驟三：將(fo-fe）2結(jié)果除以fe；

步驟四：將步驟三的結(jié)果加總。15第9章列聯(lián)分析§2.1統(tǒng)計(jì)量實(shí)際頻數(shù)(fij)期望頻數(shù)(eij)fij-eij(fij-eij)2(fij-eij)2eij687557793245333166806073344030372-5-36-253-64259364259360.06060.31250.15000.49320.11760.62500.30000.973016第9章列聯(lián)分析§2.1統(tǒng)計(jì)量

統(tǒng)計(jì)量特征≥0，因?yàn)樗菍?duì)平方值結(jié)果的匯總；值的大小與觀察值和期望值的配對(duì)數(shù)，即R×C的多少有關(guān)。R×C越多，在不改變分布的情況下，值越大，因此，統(tǒng)計(jì)量的分布與自由度有關(guān)；統(tǒng)計(jì)量描述了觀察值與期望值的接近程度。如果兩者越接近，即

fo-fe的絕對(duì)值越小，計(jì)算出的值越??；反之，如果

fo-fe的絕對(duì)值越大，計(jì)算出的值也越大；

檢驗(yàn)是運(yùn)用的計(jì)算結(jié)果與

分布中的臨界值進(jìn)行比較，做出對(duì)原假設(shè)接受或是拒絕的統(tǒng)計(jì)決策。17第9章列聯(lián)分析§2.1統(tǒng)計(jì)量圖9-1自由度分別為1,5和10時(shí)的

分布

18第9章列聯(lián)分析§2.1統(tǒng)計(jì)量分布自由度的計(jì)算公式

自由度=（行數(shù)-1）（列數(shù)-1）=(R-1)(C-1)19第9章列聯(lián)分析§2.2擬合優(yōu)度檢驗(yàn)擬合優(yōu)度檢驗(yàn)若要對(duì)多個(gè)比例是否相等進(jìn)行檢驗(yàn)，就需要利用

檢驗(yàn)的方法。如果樣本是從總體的不同類別中分別抽取，研究目的是對(duì)不同類別的目標(biāo)量之間是否存在顯著性差異進(jìn)行檢驗(yàn)，把它稱為擬合優(yōu)度檢驗(yàn)，也稱為一致性檢驗(yàn)（Testofhomogeneity）。20第9章列聯(lián)分析§2.2擬合優(yōu)度檢驗(yàn)【例9.1】某集團(tuán)公司欲進(jìn)行一項(xiàng)改革，從所屬的四個(gè)分公司中共隨機(jī)抽取了420名職工，了解他們對(duì)改革方案的態(tài)度（見表9-1），以=0.1的顯著性水平檢驗(yàn)四個(gè)分公司對(duì)改革方案的看法是否存在差異。解：如果不存在差異，四個(gè)分公司贊成改革方案的比例應(yīng)該是一致的。于是原假設(shè)和備擇假設(shè)分別為：

：

=0.664贊成比例一致

：

不全相等

贊成比例不一致第9章列聯(lián)分析§2.2擬合優(yōu)度檢驗(yàn)由 得：自由度=（R-1）（C-1）=（2-1）（4-1）=3 =0.1，查表可知：22第9章列聯(lián)分析§2.2擬合優(yōu)度檢驗(yàn)圖9-2 檢驗(yàn)示意圖23第9章列聯(lián)分析§2.2擬合優(yōu)度檢驗(yàn)【例9.2】為了提高市場(chǎng)占有率，某行業(yè)兩個(gè)最主要的競(jìng)爭(zhēng)對(duì)手，A公司和B公司同時(shí)開展了廣告宣傳。在廣告宣傳戰(zhàn)之前，A公司的市場(chǎng)占有率為45%，B公司的市場(chǎng)占有率為40%，其他公司的市場(chǎng)占有率為15%。為了了解廣告戰(zhàn)之后A、B和其他公司的市場(chǎng)占有率是否發(fā)生變化，隨機(jī)抽取了200名消費(fèi)者，其中102人表示準(zhǔn)備購(gòu)買A公司產(chǎn)品，82人表示準(zhǔn)備購(gòu)買B公司產(chǎn)品，另外16人表示準(zhǔn)備購(gòu)買其他公司產(chǎn)品。以

的顯著性水平檢驗(yàn)廣告戰(zhàn)前后各公司的市場(chǎng)占有率是否發(fā)生了變化。24第9章列聯(lián)分析§2.2擬合優(yōu)度檢驗(yàn)解：采用擬合優(yōu)度的

檢驗(yàn)。為了檢驗(yàn)廣告戰(zhàn)之后各公司市場(chǎng)占有率的變化，把廣告戰(zhàn)之前各公司的市場(chǎng)占有率設(shè)為原假設(shè)。

：

，

，

：原假設(shè)的等式中至少有一個(gè)不成立如果廣告戰(zhàn)之后各公司產(chǎn)品的市場(chǎng)占有率沒有發(fā)生變化，即如果原假設(shè)仍然成立，則在200個(gè)被調(diào)查者中，喜歡各個(gè)公司產(chǎn)品人數(shù)的期望值應(yīng)當(dāng)是：各類別期望值的計(jì)算公式，，

25第9章列聯(lián)分析§2.2擬合優(yōu)度檢驗(yàn)表9-7觀察值、期望值及有關(guān)計(jì)算結(jié)果26第9章列聯(lián)分析§2.2擬合優(yōu)度檢驗(yàn)由

計(jì)算為：=8.18當(dāng)

,自由度=（R-1）*（C-1）=（2-1）*（3-1）=2時(shí)，=5.99147，

，故拒絕原假設(shè)，可以認(rèn)為廣告戰(zhàn)之后，各公司產(chǎn)品市場(chǎng)占有率發(fā)生了顯著變化。

27第9章列聯(lián)分析§3獨(dú)立性檢驗(yàn)獨(dú)立性檢驗(yàn)（TestofIndependence）在研究問題時(shí)有時(shí)會(huì)遇到要求判斷兩個(gè)分類變量之間是否存在聯(lián)系的問題。在這種情況下可以使用檢驗(yàn)，判斷兩組或多組的資料是否相互關(guān)聯(lián)。如果不相互關(guān)聯(lián)，就稱為獨(dú)立。把這類問題的處理稱為獨(dú)立性檢驗(yàn)（TestofIndependence）。28第9章列聯(lián)分析§3獨(dú)立性檢驗(yàn)【例9.3】一種原料來自三個(gè)不同的地區(qū)，原料質(zhì)量被分成三個(gè)不同等級(jí)。從這批原料中隨機(jī)抽取500件進(jìn)行檢驗(yàn)，結(jié)果如表9-9所示要求檢驗(yàn)各個(gè)地區(qū)和原料質(zhì)量之間是否存在依賴關(guān)系？表9-9原料抽樣的結(jié)果29第9章列聯(lián)分析§3獨(dú)立性檢驗(yàn)解：

:地區(qū)和原料等級(jí)之間是獨(dú)立的（不存在依賴關(guān)系）。:地區(qū)和原料等級(jí)之間不獨(dú)立

（存在依賴關(guān)系）。在第一行，甲地區(qū)的合計(jì)為140，用140╱500作為甲地區(qū)原料比例的估計(jì)值。在第一列，一級(jí)原料的合計(jì)為162，用162╱500作為一級(jí)原料比例的估計(jì)值。如果地區(qū)和原料等級(jí)之間是獨(dú)立的，可以用下式估計(jì)第一個(gè)單元（甲地區(qū)，一級(jí)）中的期望比例。30第9章列聯(lián)分析§3獨(dú)立性檢驗(yàn)令A(yù)=樣本單位來自甲地區(qū)的事件B=樣本單位屬于一級(jí)原料的事件根據(jù)獨(dú)立性的概率乘法公式有：P(第一單元)=P(A·B)=P(A)·P(B)

=0.0907231第9章列聯(lián)分析§3獨(dú)立性檢驗(yàn)計(jì)算任何一個(gè)單元中頻數(shù)的期望值公式

fe：給定單元中的頻數(shù)期望值

RT：給定單元所在行的合計(jì)

CT：給定單元所在列的合計(jì)

n：觀察值的總個(gè)數(shù)，即樣本容量。32第9章列聯(lián)分析§3獨(dú)立性檢驗(yàn)表9-103×3列聯(lián)表期望值計(jì)算過程33第9章列聯(lián)分析§3獨(dú)立性檢驗(yàn)

的自由度為（R-1）*（C-1）=4取

=0.05，查表知：

0.05(4)=9.488>0.05(4)，故拒絕H0，接受H1

，即地區(qū)和原料等級(jí)之間存在依賴關(guān)系，原料的質(zhì)量受地區(qū)的影響。34第9章列聯(lián)分析§4列聯(lián)表中的相關(guān)測(cè)量§4.1φ相關(guān)系數(shù)§4.2C列聯(lián)相關(guān)系數(shù)§4.3V相關(guān)系數(shù)§4.4數(shù)值分析35第9章列聯(lián)分析§4.1φ相關(guān)系數(shù)

系數(shù)

系數(shù)是描述2*2列聯(lián)表（四格表）數(shù)據(jù)相關(guān)程度最常用的一種相關(guān)系數(shù)。它的計(jì)算公式為：式中，

n為列聯(lián)表中的總頻數(shù)，即樣本容量。36第9章列聯(lián)分析§4.1φ相關(guān)系數(shù)

表9-112*2列聯(lián)表注：a,b,c,d均為條件頻數(shù)。37第9章列聯(lián)分析§4.1φ相關(guān)系數(shù)表9-11中，當(dāng)變量X,Y相互獨(dú)立，不存在相關(guān)關(guān)系時(shí)，頻數(shù)間應(yīng)有下面的關(guān)系

化簡(jiǎn)后有：ad=bc。結(jié)論差值ad-bc的大小可以反映變量之間相關(guān)程度的強(qiáng)弱。差值越大，說明兩個(gè)變量的關(guān)聯(lián)程度越高。38第9章列聯(lián)分析§4.1φ相關(guān)系數(shù)在2*2列聯(lián)表中，每個(gè)單元中頻數(shù)的期望值為：

39第9章列聯(lián)分析§4.1φ相關(guān)系數(shù)40第9章列聯(lián)分析§4.1φ相關(guān)系數(shù)當(dāng)ad=bc時(shí)，表明變量X,Y之間相互獨(dú)立，

若b=0,c=0時(shí)，X與Y完全相關(guān)，

若a=0,d=0，X與Y完全相關(guān)，

在列聯(lián)表中，變量的位置可以任意變換，因此

的符號(hào)在這里沒有什么實(shí)際意義，其絕對(duì)值

只是表明X與Y完全相關(guān)。41第9章列聯(lián)分析§4.2列聯(lián)相關(guān)系數(shù)C系數(shù)列聯(lián)相關(guān)系數(shù)又稱列聯(lián)系數(shù)（CoefficientofContingency），簡(jiǎn)稱C系數(shù)，主要用于大于2*2列聯(lián)表的情況。C系數(shù)的計(jì)算公式為：42第9章列聯(lián)分析§4.2列聯(lián)相關(guān)系數(shù)C系數(shù)的特點(diǎn)當(dāng)列聯(lián)表中的兩個(gè)變量相互獨(dú)立時(shí)，系數(shù)C=0，但它不可能大于1。

C系數(shù)可能的最大值依賴于列聯(lián)表的行數(shù)和列數(shù)，且隨著R和C的增大而增大。根據(jù)不同的行和列計(jì)算的列聯(lián)系數(shù)不便于比較，除非兩個(gè)列聯(lián)表中行數(shù)和列數(shù)一致。43第9章列聯(lián)分析§4.3V相關(guān)系數(shù)V相關(guān)系數(shù)計(jì)算公式式中的min[(R-1),(C-1)]表示取（R-1）,（C-1）中較小的一個(gè)。當(dāng)兩個(gè)變量相互獨(dú)立時(shí)，V=0；當(dāng)兩個(gè)變量完全相關(guān)時(shí)，V=1。所以V的取值在0—1之間。如果列聯(lián)表中有一維為2，即min[(R-1),(C-1)]=1，則V值就等于

值。

44第9章列聯(lián)分析、C、V的比較同一個(gè)列聯(lián)表，、C、V的結(jié)果會(huì)不同不同的列聯(lián)表，、C、V的結(jié)果也不同在對(duì)不同列聯(lián)表變量之間的相關(guān)程度進(jìn)行比較時(shí)，不同列聯(lián)表中的行與行、列與列的個(gè)數(shù)要相同，并且采用同一種系數(shù)第9章列聯(lián)分析§4.4數(shù)值分析在【例9.3】中，對(duì)原料的等級(jí)和產(chǎn)地之間的關(guān)系進(jìn)行了獨(dú)立性檢驗(yàn)，結(jié)果表明，原料的等級(jí)和產(chǎn)地之間存在相互關(guān)系。下一個(gè)問題是，這種相關(guān)程度有多高，能否對(duì)此給出數(shù)量化描述？解：由前已知，計(jì)算出

=19.82，列聯(lián)表的總頻數(shù)n=500。這是3*3列聯(lián)表，min[(R-1),(C-1)]=3-1=2。于是46第9章列聯(lián)分析§4.4數(shù)值分析第9章列聯(lián)分析§4.4數(shù)值分析對(duì)于而言，當(dāng)R>2,C>2時(shí)，

值有可能突破1，相比之下，例9.3中的

=0.199不能認(rèn)為很大。對(duì)于C而言，其結(jié)果必然低于

值，因?yàn)镃值總是小于1。本例中是3*3列聯(lián)表，C的最大可能值是0.8165。相比0.8165而言，本例中的C=0.195也并不大。對(duì)于V而言，V=0.141則更小。綜上，雖然檢驗(yàn)表明原料和產(chǎn)地存在一定關(guān)系，但這種關(guān)系的密切程度卻不太高。48第9章列聯(lián)分析§4.4數(shù)值分析上例說明，對(duì)于同一個(gè)數(shù)據(jù)，系數(shù),C，V的結(jié)果不同。同樣，對(duì)于不同的列聯(lián)表，由于行數(shù)和列數(shù)的差異，也會(huì)影響系數(shù)值。結(jié)論在對(duì)不同列聯(lián)表變量之間的相關(guān)程度進(jìn)行比較時(shí)，不同列聯(lián)表中行與行，列與列的個(gè)數(shù)要相同，并且采用同一種系數(shù)，這樣的系數(shù)值才具有可比性。49第9章列聯(lián)分析§5列聯(lián)分析中應(yīng)注意的問題§5.1條件百分表的方向§5.2分布的期望值準(zhǔn)則50第9章列聯(lián)分析§5.1條件百分表的方向條件百分表方向一般在列聯(lián)表中變量的位置是任意的，既可以把變量X放在列的位置，也可以放在行的位置。如果變量X與Y存在因果關(guān)系，令X為自變量（原因），Y為因變量（結(jié)果），那么一般的做法是把自變量X放在列的位置，條件百分表也多按自變量的方向計(jì)算，因?yàn)檫@樣便于更好地表現(xiàn)原因?qū)Y(jié)果的影響。如有下面的一個(gè)2*2列聯(lián)表。51第9章列聯(lián)分析§5.1條件百分表的方向

表9-14職業(yè)背景與工作價(jià)值觀取向52第9章列聯(lián)分析§5.1條件百分表的方向

表9-14分析

數(shù)據(jù)顯示，總共調(diào)查了225人，其中制造業(yè)145人，服務(wù)業(yè)80人；在制造業(yè)被調(diào)查者中，以物質(zhì)報(bào)酬為價(jià)值取向的有105人，占該群體的72%；以人情關(guān)系為價(jià)值取向的有40人，占該群體的28%。而服務(wù)業(yè)被調(diào)查者中，以物質(zhì)報(bào)酬為價(jià)值取向的有45人，占該群體的56%；以人情關(guān)系為價(jià)值取向的有35人，占該群體的44%；數(shù)據(jù)表明，與制造業(yè)相比，服務(wù)業(yè)就業(yè)人員更注重人情關(guān)系。人們的職業(yè)背景不同，工作的價(jià)值觀有可能不同。53第9章列聯(lián)分析§5.1條件百分表的方向特殊情況如果因變量在樣本內(nèi)的分布不能代表其在總體內(nèi)的分布，例如，為了滿足分析的需要，抽樣時(shí)擴(kuò)大了因變量某項(xiàng)內(nèi)容的樣本容量，這時(shí)仍以自變量的方向計(jì)算百分表就會(huì)歪曲實(shí)際情況。54第9章列聯(lián)分析§5.1條件百分表的方向例:社會(huì)學(xué)家欲研究家庭狀況（自變量）對(duì)青少年犯罪（因變量）的影響。該地區(qū)有未犯罪記錄的青少年10000名，犯罪記錄的青少年150名。如果從未犯罪青少年中抽取百分之一，即100名進(jìn)行研究，則用相同比例從犯罪青少年中抽取的樣本量?jī)H為1.5人。顯然，這樣少的數(shù)量無法滿足對(duì)比研究的需要。因此，對(duì)犯罪青少年的抽樣比要擴(kuò)大，譬如擴(kuò)大到二分之一，即抽取75人。假定從兩個(gè)樣本調(diào)查所獲得的數(shù)據(jù)如表9-15所示。55第9章列聯(lián)分析§5.1條件百分表的方向

表9-15家庭狀況與青少年犯罪56第9章列聯(lián)分析§5.1條件百分表的方向表9-15是調(diào)查結(jié)果的條件分布。由表9-15可以計(jì)算其條件百分表，如表9-16表9-16家庭狀況與青少年犯罪百分表57第9章列聯(lián)分析§5.1條件百分表的方向表9-16分析

表9-16中得到的顯示是，在完整家庭接受調(diào)查的130人中，犯罪青少年所占的比例是29%。其實(shí)，這個(gè)比例是歪曲的，這是由于抽樣時(shí)擴(kuò)大了對(duì)犯罪青少年抽取的數(shù)量。如果把計(jì)算百分表的方向變換一下，改為按因變量方向計(jì)算，則得到表9-1758第9章列聯(lián)分析§5.1條件百分表的方向

表9-17家庭狀況與青少年犯罪百分表59第9章列聯(lián)分析§5.1條件百分表的方向表9-17分析在完整家庭中，未犯罪青少年的比例占到92%，而在離異家庭中，這個(gè)比例僅為8%。完整家庭的青少年未犯罪率遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于離異家庭的這個(gè)比例。家庭狀況對(duì)青