追及與相遇問題

追及與相遇問題第1頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月第2頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月第3頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月追及與相遇問題第4頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月1、追及與相遇問題的實質(zhì)：2、理清三大關系：

兩者速度相等。它往往是物體間能否追上或（兩者）距離最大、最小的臨界條件，也是分析判斷的切入點。

研究的兩物體能否在相同的時刻到達相同的空間位置的問題。時間關系、速度關系、位移關系。3、巧用一個條件：第5頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月

1.物理分析法：抓好“兩物體能否同時到達空間某位置”這一關鍵，認真審題，挖掘題中的隱含條件，在頭腦中建立起一幅物體運動關系的圖景。

2.數(shù)學分析法：設相遇時間為t，根據(jù)條件列方程，得到關于t的方程（通常為一元二次方程），用判別式進行討論，若>0，即有兩個解，說明可以相遇兩次；若=0，說明剛好追上或相遇；若<0，說明追不上或不能相碰。

3.圖象法：將兩者的速度—時間圖象在同一坐標系中畫出，然后利用圖象求解。

4.相對運動法：巧妙地選取參照系，然后找兩物體的運動關系。

解答追及、相遇問題常用的方法第6頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月(1)速度小者追速度大者類型圖象說明勻加速追勻速①t=t0以前,后面物體與前面物體間距離增大②t=t0即速度相等時,兩物體相距最遠為x0+x③t=t0以后，后面物體與前面物體間距離減小④能追及且只能相遇一次勻速追勻減速勻加速追勻減速第7頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月1.在解決追及相遇類問題時，要緊抓“一圖三式”，即：過程示意圖，時間關系式、速度關系式和位移關系式，另外還要注意最后對解的討論分析。2.分析追及、相遇類問題時，要注意抓住題目中的關鍵字眼，充分挖掘題目中的隱含條件，如“剛好”“恰好”“最多”“至少”等，往往對應一個臨界狀態(tài)，滿足相應的臨界條件。解題思路分析兩物體運動過程畫運動示意圖找兩物體的關系式列方程求解第8頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月(1)汽車一定能追上自行車嗎？若能追上，汽車經(jīng)多長時間追上？追上時汽車的瞬時速度多大？例3一輛汽車以3m/s2的加速度開始啟動的瞬間，另一輛以6m/s的速度做勻速直線運動的自行車恰好從汽車的旁邊通過．(2)當v汽<v自時，兩者距離如何變化？當v汽>v自時，兩者距離如何變化？汽車追上自行車前多長時間與自行車相距最遠？此時的距離是多大？(3)畫出兩車運動的v－t圖象，并試著用圖象法解上述兩問題．第9頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月例3一輛汽車以3m/s2的加速度開始啟動的瞬間，解：汽車:第10頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月例3一輛汽車以3m/s2的加速度開始啟動的瞬間，另一輛以6m/s的速度做勻速直線運動的自行車恰好從汽車的旁邊通過．(1)汽車一定能追上自行車嗎？若能追上，汽車經(jīng)多長時間追上？追上時汽車的瞬時速度多大？(2)當v汽<v自時，兩者距離如何變化？當v汽>v自時，兩者距離如何變化？汽車追上自行車前多長時間與自行車相距最遠？此時的距離是多大？解：汽車:乘客:第11頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月第12頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月(3)畫出兩車運動的v－t圖象，并試著用圖象法解上述兩問題．第13頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月練一練、甲.乙兩車在平直公路上比賽，某一時刻，乙車在甲車前方L1＝11m處，乙車速度v乙＝60m/s，甲車速度v甲＝50m/s，此時乙車離終點線尚有L2＝600m，如圖所示.若甲車加速運動，加速度a＝2m/s2，乙車速度不變，不計車長.求：（1）經(jīng)過多長時間甲.乙兩車間距離最大，最大距離是多少？

（2）經(jīng)過多長時間甲乙兩車相遇？（3）試通過計算說明到達終點前甲車能否超過乙車？第14頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月(2)速度大者追速度小者類型圖象說明勻減速追勻速開始追及時，后面物體與前面物體間的距離在減小，當兩物體速度相等時，即t=t0時刻：①若x=x0，則恰能追及，兩物體只能相遇一次，這也是避免相撞的臨界條件②若x<x0，則不能追及，此時兩物體最小距離為x0-x③若x>x0，則相遇兩次，設t1時刻x1=x0，兩物體第一次相遇，則t2時刻兩物體第二次相遇勻速追勻加速勻減速追勻加速第15頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月

說明：①表中的x是開始追及以后，后面物體因速度大而比前面物體多運動的位移；

②x0是開始追及以前兩物體之間的距離；

③t2-t0=t0-t1；

④v1是前面物體的速度，v2是后面物體的速度。第16頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月解：汽車:乘客:此時人和車相距最近此過程：x人＝vt＝4×2m＝8m第17頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月在一條平直的公路上，乙車以10m/s的速度勻速行駛，甲車在乙車的后面做初速度為15m/s，加速度大小為0.5m/s2的勻減速運動，則兩車初始距離L滿足什么條件時可以使：（1）兩車不相遇；（2）兩車只相遇一次；（3）兩車能相遇兩次（設兩車相遇時互不影響各自的運動）第18頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月例1：一輛汽車在十字路口等候綠燈，當綠燈亮起時汽車以3m/s2的加速度開始行駛，恰在這時一輛自行車以6m/s的速度勻速駛來，從后面超過汽車。試求：汽車從路口開動后，在追上自行車之前經(jīng)過多長時間兩車相距最遠？此時距離是多少？第19頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月甲、乙兩車在一平直道路上同向運動，其v-t圖象如圖示，圖中△OPQ和△OQT的“面積”分別為x1和x2(x2>x1)。初始時，甲車在乙車前方x0處()A.若x0=x1+x2，兩車不會相遇B.若x0<x1，兩車相遇2次C.若x0=x1，兩車相遇1次D.若x0=x2，兩車相遇1次ABC第20頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月分析：汽車追上自行車之前，

v汽<v自時△x變大

v汽=v自時△x最大

v汽>v自時△x變小解法一物理分析法兩者速度相等時，兩車相距最遠。（速度關系）

v汽=at=v自∴t=v自/a=6/3=2s△x=v自t－at2/2=6×2－3

×22/2=6m第21頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月解法二用數(shù)學求極值方法來求解設汽車在追上自行車之前經(jīng)過t時間兩車相距最遠∵△x=x1－x2=v自t－at2/2（位移關系）∴△x=6t

－3t2/2由二次函數(shù)求極值條件知t=－b/2a=6/3s=2s時，△x最大∴△xm=6t－3t2/2=6×2－3

×22/2=6m第22頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月解法三用相對運動求解更簡捷

選勻速運動的自行車為參考系，則從運動開始到相距最遠這段時間內(nèi)，汽車相對參考系的各個物理量為：初速度v0=v汽初－v自=0－6=－6m/s末速度vt=v汽末－v自=6－6=0加速度a=a汽－a自=3－0=3m/s2∴相距最遠x===－6mvt2－v022a－622×3第23頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月解法四用圖象求解1）自行車和汽車的v－t圖象如圖v/（ms-1）v′60t/st′tV汽V自由于圖線與橫坐標軸所包圍的面積表示位移的大小，所以由圖上可以看出在相遇之前，在t時刻兩車速度相等時，自行車的位移（矩形面積）與汽車位移（三角形面積）之差（即斜線部分）達最大，所以t=v自/a=6/3=2s2）由圖可看出，在t時刻以后，由v自線與v汽線組成的三角形面積與標有斜線的三角形面積相等時，兩車的位移相等（即相遇）。所以由圖得相遇時，

t′=2t=4sv′=2v自=12m/s第24頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月

2．什么時候汽車追上自行車，此時汽車的速度是多少？解：汽車追上自行車時，二車位移相等（位移關系）則vt′=at′2/26×t′=at′2/2，t′=4sv′=at′=3×4=12m/s

思考：若自行車超過汽車2s后，汽車才開始加速。那么，前面的1、2兩問如何？第25頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月例2：A火車以v1=20m/s速度勻速行駛，司機發(fā)現(xiàn)前方同軌道上相距100m處有另一列火車B正以v2=10m/s速度與A火車同方向勻速行駛，A車立即做加速度大小為a的勻減速直線運動。要使兩車不相撞，a應滿足什么條件？第26頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月兩車恰不相撞的條件是：兩車速度相同時相遇.由A、B速度關系：由A、B位移關系：方法一：物理分析法第27頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月v/ms-1BAt/so10t020方法二：圖象法第28頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月代入數(shù)據(jù)得若兩車不相撞，其位移關系應為其圖像(拋物線)的頂點縱坐標必為正值,故有方法三：二次函數(shù)極值法第29頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月

代入數(shù)據(jù)得∵不相撞∴△<0方法四、判別式法：第30頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月

以B車為參照物，A車的初速度為v0=10m/s，以加速度大小a減速，行駛x=100m后“停下”，末速度為vt=0

以B為參照物,公式中的各個量都應是相對于B的物理量.注意物理量的正負號.方法五：相對運動法第31頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月例3、一車從靜止開始以1m/s2的加速度前進，車后相距x0為25m處，某人同時開始以6m/s的速度勻速追車，能否追上？如追不上，求人、車間的最小距離。一、數(shù)學分析法：依題意，人與車運動的時間相等，設為t,當人追上車時，兩者之間的位移關系為：x車+x0=x人即：at2／2+x0=v人t由此方程求解t，若有解，則可追上；若無解，則不能追上。代入數(shù)據(jù)并整理得：t2－12t+50=0△=b2－4ac=122－4×50×1=－56＜0所以，人追不上車。x0v=6m/sa=1m/s2第32頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月二、物理分析法在剛開始追車時，由于人的速度大于車的速度，因此人車間的距離逐漸減??；當車速大于人的速度時，人車間的距離逐漸增大。因此，當人車速度相等時，兩者間距離最小。at′=v人t′=6s在這段時間里，人、車的位移分別為：x人=v人t=6×6=36mx車=at′2/2=1×62/2=18m△x=x0+x車－x人=25+18－36=7m二、數(shù)學分析法△s=1/2×1×t2+25-6t=1/2×1×t2-6t+25△=-14<0△st第33頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月

例4.

在平直公路上有兩輛汽車A、B平行同向行駛，A車以vA=4m/s的速度做勻速直線運動，B車以vB=10m/s的速度做勻速直線運動，當B車行駛到A車前x=7m處時關閉發(fā)動機以2m/s2的加速度做勻減速直線運動，則從此時開始A車經(jīng)多長時間可追上B車？分析：畫出運動的示意圖如圖所示：vA=4m/svB=10m/s7m追上處a=-2m/s2A車追上B車可能有兩種不同情況：B車停止前被追及和B車停止后被追及。究竟是哪一種情況，應根據(jù)解答結(jié)果，由實際情況判斷。第34頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月解答：設經(jīng)時間t追上。依題意：vBt+at2/2+x=vAt10t-t

2+7=4tt=7st=-1s(舍去)B車剎車的時間t′=vB/a=5s顯然，B車停止后A再追上B。B車剎車的位移xB=vB2/2a=102/4=25mA車的總位移xA=xB+x=32m∴t=xA/vA=32/4=8s思考：若將題中的7m改為3m，結(jié)果如何？答：甲車停止前被追及錯解：4t=7+10t–?×2t2

t=-1(舍)t=7第35頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月例5.汽車正以10m/s的速度在平直公路上做勻速直線運動,突然發(fā)現(xiàn)正前方10m處有一輛自行車以4m/s的速度同方向做勻速直線運動,汽車立即關閉油門,做加速度為6m/s2的勻減速運動,問：汽車能否撞上自行車?若汽車不能撞上自行車，汽車與自行車間的最近距離為多少？汽車在關閉油門減速后的一段時間內(nèi)，其速度大于自行車速度，因此，汽車和自行車之間的距離在不斷的縮小，當這距離縮小到零時，若汽車的速度減至與自行車相同，則能滿足汽車恰好不碰上自行車v汽=10m/sv自=4m/s10m追上處a=-6m/s2分析：畫出運動的示意圖如圖所示第36頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月物理分析法解：（1）汽車速度減到4m/s時運動的時間和發(fā)生的位移分別為t=(v自-v汽)/a=（4-10）/(-6）s=1sx汽=（v自2-v汽2）/2a=(16-100)/(-12)=7m這段時間內(nèi)自行車發(fā)生的位移x自=v自t=4m因為x0+x自>x汽所以，汽車不能撞上自行車。汽車與自行車間的最近距離為△x=x0+x自－x汽=（10+4－7）m=7m數(shù)學分析法△x=x0+x自－x汽=(10+4t)-(10t-1/2×6t2)=3t2-6t+10△=-84<0，無解不相遇△st第37頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月第38頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月典例二追及類問題【例2】摩托車先由靜止開始以25/16m/s2的加速度做勻加速運動，后以最大行駛速度

25m/s勻速運動，追趕前方以15m/s的速度同向勻速行駛的卡車。已知摩托車開始運動時與卡車的距離為1000m，則：

(1)追上卡車前二者相隔的最大距離是多少？

(2)摩托車經(jīng)過多少時間才能追上卡車？

【解析】(1)對摩托車由靜止開始勻加速至vm=25m/s，用時t1=vm/a=16s。發(fā)生位移x1=vm2/(2a)=200m，顯然未追上卡車。則追上卡車前二者共速時，間距最大(如圖所示)，即x=x0+x卡-x摩①

x摩=v2/(2a)

②

x卡=v·v/a③

由①②③聯(lián)立得x=1072m。第39頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月

1.通過運動的分析，找隱含條件

2.利用二次函數(shù)求極值的方法

3.因追及相遇問題至少涉及兩個物體的運動問題，對描述它們的物理量必須選同一參考系?；舅悸肥牵孩俜謩e對兩物體研究②畫出運動過程示意圖③列出方程④找出時間關系⑤解出結(jié)果，必要時進行討論(2)追上時，由運動情景圖(如圖所示)分析可知，

x摩′=x卡′+x0

vm2/(2a)+vm(t-t1)=x0+vt

解得t=120s。【答案】(1)1072m(2)120s第40頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月A、B兩輛汽車在筆直的公路上同向行駛。當B車在A車前84m處時，B車速度為4m/s，且正以2m/s2的加速度做勻加速運動；經(jīng)過一段時間后，B車加速度突然變?yōu)榱?。A車一直以20m/s的速度做勻速運動。經(jīng)過12s后兩車相遇。問B車加速行駛的時間是多少？【答案】6s第41頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月典例三