全等三角形證明經(jīng)典50題(含答案)

全等三角形證明經(jīng)典50題(含答案)1.已知三角形ABC中，AB=4，AC=2，D是BC中點(diǎn)，且AD是整數(shù)，求AD的值。解：將AD延長(zhǎng)至E點(diǎn)，使得AD=DE。由于D是BC的中點(diǎn)，所以BD=DC。在三角形ACD和BDE中，AD=DE，∠BDE=∠ADC，BD=DC，因此可以得出△ACD≌△BDE。所以BE=AC=2。在三角形ABE中，根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊的原理，可以得到1＜AD＜3。因此AD=2。2.已知在直角三角形ABC中，D是AB的中點(diǎn)，求證CD=AB/2。解：將CD延長(zhǎng)至P點(diǎn)，使得D為CP的中點(diǎn)。連接AP和BP。由于DP=DC，DA=DB，所以四邊形ACBP為平行四邊形。又因?yàn)椤螦CB=90°，所以ACBP為矩形。因此AB=CP=1/2AB。3.已知在三角形BEC和CFD中，BC=DE，∠B=∠E，∠C=∠D，F(xiàn)是CD的中點(diǎn)，求證∠1=∠2。解：連接BF和EF。因?yàn)锽C=ED，CF=DF，且∠BCF=∠EDF，所以根據(jù)邊角邊全等原理，可以得出三角形BCF≌三角形EDF。因此BF=EF，∠CBF=∠DEF。連接BE。在三角形BEF中，BF=EF，所以∠EBF=∠BEF。又因?yàn)椤螦BC=∠AED，所以∠ABE=∠AEB，因此AB=AE。在三角形ABF和三角形AEF中，AB=AE，BF=EF，且∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF。因此可以得出三角形ABF≌三角形AEF。所以∠BAF=∠EAF，即∠1=∠2。4.已知在三角形ABC中，∠1=∠2，CD=DE，EF//AB，求證EF=AC。解：過(guò)C作CG∥EF，交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G。因?yàn)镃G∥EF，所以∠EFD＝CGD。又因?yàn)镈E＝DC，∠FDE＝∠GDC（對(duì)頂角），因此可以得出△EFD≌△CGD。因此EF=CG，且∠CGD＝∠EFD。又因?yàn)镋F∥AB，所以∠EFD＝∠1=∠2，因此∠CGD＝∠2。所以△AGC為等腰三角形，因此AC=CG。又因?yàn)镋F=CG，所以EF=AC。5.已知在三角形ABC中，AD平分∠BAC，AC=AB+BD，求證∠B=2∠C。解：將AB延長(zhǎng)至E點(diǎn)，使得AE=AC，連接DE。因?yàn)锳D平分∠BAC，所以∠EAD＝∠CAD。又因?yàn)锳E=AC，AD=AD，所以△AED≌△ACD（SAS）。因此∠E＝∠C。因?yàn)锳C=AB+BD，所以AE=AB+BD。又因?yàn)锳E=AB+BE，所以BD=BE，因此∠BDE＝∠E。又因?yàn)椤螦BC＝∠E+∠BDE，所以∠ABC＝2∠E。因此∠ABC＝2∠C。6.已知：AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180°，求證：AE=AD+BE。證明過(guò)程如下：在AE上取點(diǎn)F，使EF＝EB，連接CF。因?yàn)镃E⊥AB，所以∠CEB＝∠CEF＝90°。又因?yàn)镋B＝EF，CE＝CE，所以△CEB≌△CEF，從而得到∠B＝∠CFE。由于∠B＋∠D＝180°，∠CFE＋∠CFA＝180°，所以∠D＝∠CFA。因?yàn)锳C平分∠BAD，所以∠DAC＝∠FAC。由于AC＝AC，所以△ADC≌△AFC（SAS）。因此，AD＝AF，所以AE＝AF＋FE＝AD＋BE。7.已知：AB=4，AC=2，D是BC中點(diǎn)，AD是整數(shù)，求AD。解題思路如下：延長(zhǎng)AD到E，使AD=DE。因?yàn)镈是BC中點(diǎn)，所以BD=DC。在△ACD和△BDE中，有AD=DE，∠BDE=∠ADC，BD=DC，所以△ACD≌△BDE。因此，AC=BE=2。在△ABE中，有AB-BE＜AE＜AB+BE。因?yàn)锳B=4，所以4-2＜2AD＜4+2，即1＜AD＜3。因此，AD=2。8.已知：D是AB中點(diǎn)，∠ACB=90°，求證：CD=CB/2。解題過(guò)程如下：延長(zhǎng)AD到E，使AD=DE。因?yàn)镈是AB中點(diǎn)，所以BD=DC。在△ACD和△BDE中，有AD=DE，∠BDE=∠ADC，BD=DC，所以△ACD≌△BDE。因此，AC=BE=2。在△ABE中，有AB-BE＜AE＜AB+BE。因?yàn)锳B=4，所以4-2＜2AD＜4+2，即1＜AD＜3。因此，AD=2。由于∠ACB=90°，所以AC2=AB2-BC2，即22=42-BC2，所以BC=√12。因?yàn)镈是AB中點(diǎn)，所以CD=CB/2，即√12/2=√3。9.已知：BC=DE，∠B=∠E，∠C=∠D，F(xiàn)是CD中點(diǎn)，求證：∠1=∠2。證明過(guò)程如下：連接BF和EF。因?yàn)锽C=ED，CF=DF，∠BCF=∠EDF，所以三角形BCF全等于三角形EDF（邊角邊）。因此，BF=EF，∠CBF=∠DEF。連接BE。在三角形BEF中，有BF=EF，所以∠EBF=∠BEF。又因?yàn)椤螦BC=∠AED，所以∠ABE=∠AEB，即AB=AE。在三角形ABF和三角形AEF中，有AB=AE，BF=EF，∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF。因此，三角形ABF和三角形AEF全等。因此，∠BAF=∠EAF，即∠1=∠2。10.已知：∠1=∠2，CD=DE，EF//AB，求證：EF=AC。證明過(guò)程如下：過(guò)C作CG∥EF，交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G。因?yàn)镃G∥EF，所以∠EFD＝CGD。因?yàn)镈E＝DC，所以∠FDE＝∠GDC（對(duì)頂角）。因此，△EFD≌△CGD，所以EF=CG。因?yàn)镋F//AB，所以∠A=∠1=∠2=∠B。因?yàn)锳C=AB+BC，所以AC=AB+CD+DE。因?yàn)镃D=DE，所以AC=AB+2CD。因此，AC=AB+2CD=AB+2EF=EF+2AB。因?yàn)镋F=CG，所以AC=CG+2AB。因?yàn)镃G=CD+DG=CD+DC/2=3CD/2，所以AC=3CD/2+2AB。因?yàn)镃D=DE，所以CD=DE=AB/2。因此，AC=3AB/2，即EF=AC。由題意可知，AB=CD且∠A=∠D，因此△ABD≌△DCB（SAS），得到BD=BC。又因?yàn)锳B∥CD，所以∠B+∠C=180°。假設(shè)∠B>∠C，則BD>BC，與BD=BC矛盾。因此，假設(shè)不成立，得證∠B=∠C。20.如圖，已知AD∥BC，∠PAB的平分線與∠CBA的平分線相交于E，CE的連線交AP于D。要證明AD+BC=AB。解法：首先在三角形ABF中，AE⊥BF，且AE為∠FAB的角平分線，所以三角形FAB為等腰三角形，AB=AF。又因?yàn)锽E=EF，所以三角形DEF與三角形BEC為全等三角形，因此DF=BC，從而得到AB=AD+DF=AD+BC。21.如圖，△ABC中，AD是∠CAB的平分線，且AB=AC+CD，要證明∠C=2∠B。解法：首先延長(zhǎng)AC到E，使AE=AC，連接ED，可得CD=CE。因?yàn)椤鰿DE為等腰三角形，所以∠CED=∠CDE。又因?yàn)锳D是∠CAB的平分線，所以∠CAD=∠BAD=∠BAC/2，從而得到∠AED=∠BAC/2。因?yàn)锳E=AC，所以∠AEC=∠ACB，而∠CED=∠CDE，因此∠B=∠E。由△ABC中的角度關(guān)系可得∠C=2∠ACB=2∠B。22.如圖①，E、F分別為線段AC上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，若AB=CD，AF=CE，BD交AC于點(diǎn)M。要證明MB=MD，ME=MF。解法：首先連接BE、DF。因?yàn)镈E⊥AC于E，BF⊥AC于F，所以∠DEC=∠BFA=90°，又因?yàn)锳B=CD，AF=CE，所以Rt△DEC≌Rt△BFA，因此DE=BF。于是四邊形BEDF是平行四邊形，從而得到MB=MD，ME=MF。對(duì)于圖②的情況，同樣可以得到DE=BF，因此四邊形BEDF是平行四邊形，從而仍然有MB=MD，ME=MF。因此上述結(jié)論在圖②的情況下依然成立。求證：MD=ND．證明：由于AC=BC，且∠ACB=90°，所以△ABC是一個(gè)等腰直角三角形，即AB=BC.又因?yàn)锳D⊥MN，所以∠ADM=∠NDM=90°.因此，在△ADM和△NDM中，∠DAM=∠DMN，AD=AD，MD=MD.而∠NDM=∠DAN，因?yàn)椤螪AB=∠ACB=90°，所以∠DAN=∠DAB+∠BAN=∠ACB+∠BAN=∠NAC.因此，∠NDM=∠NAC，且DM=DN.綜上所述，MD=ND.，BC=EF，∴△ABF≌△CDE（SAS）?！唷螧FA=∠CED，∠BFE=∠CDE，∠BAF=∠EDC，∴∠BFE+∠BAF=∠CDE+∠EDC，即∠AFE=∠DEC．∵AB=DE，AF=CD，∴△ABF≌△CDE（SAS），∴BF=CE．又因?yàn)椤螧FE=∠CDE=90°，∴BF∥CE∥EF．DFB中，∠DFB=∠DBF=(180°-∠FDB)/2>45°；RT△AFB中，∠FBA=90°-∠DBF<45°，而∠AFB=90°-∠FBA>45°，因此AB>AF。由于AB=CE，AF=DE，所以CE>DE。證明：AB=DC,AC=DB，BC=BC，因此△ABC≌△DCB。又因?yàn)锽E=CE，AB=DC，所以△ABE≌△DCE，從而AE=DE。如圖9所示，作CG⊥AB，交AD于H，