函數(shù)及其表示函數(shù)與導(dǎo)數(shù)

函數(shù)及其表示函數(shù)與導(dǎo)數(shù)第1頁(yè)，課件共30頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月返回目錄

1.函數(shù)的基本概念

(1)函數(shù)定義設(shè)集合A是一個(gè)非空的

,如果按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f,使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x,在集合B中都有

的數(shù)f(x)和它對(duì)應(yīng),那么就稱f:A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)，記作

.數(shù)集唯一確定y=f(x),x∈A第2頁(yè)，課件共30頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月返回目錄

(2)函數(shù)的定義域、值域在函數(shù)y=f(x),x∈A中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的

；與x的值相對(duì)應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的

.顯然,值域是集合B的子集.(3)函數(shù)的三要素:

、

和

.(4)相等函數(shù):如果兩個(gè)函數(shù)的

相同，并且

完全一致,則這兩個(gè)函數(shù)相等,這是判斷兩函數(shù)相等的依據(jù).2.函數(shù)的表示法表示函數(shù)的常用方法有:

、

和

.定義域值域定義域值域?qū)?yīng)法則定義域?qū)?yīng)關(guān)系解析法圖象法列表法第3頁(yè)，課件共30頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3.映射的概念設(shè)A,B是兩個(gè)非空的集合,如果按照某一個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f,使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)元素x,在集合B中都有唯一確定的元素y與之對(duì)應(yīng),則稱對(duì)應(yīng)f:A→B是集合A到集合B的一個(gè)

.4.由映射的定義可以看出,映射是

概念的推廣,函數(shù)是一種特殊的映射,要注意構(gòu)成函數(shù)的兩個(gè)集合A,B必須是

.非空數(shù)集返回目錄

映射函數(shù)第4頁(yè)，課件共30頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月返回目錄

考點(diǎn)一函數(shù)的概念下列四組函數(shù)中,f(x)與g(x)是否為同一函數(shù),為什么?(1)f(x)=lgx,g(x)=lgx2;(2)f(x)=x,g(x)=;(3)f(x)=,g(x)=logaax;(4)f(x)=lgx-2,g(x)=lg.【分析】判斷兩個(gè)函數(shù)是否為同一函數(shù),關(guān)鍵是判斷它們的對(duì)應(yīng)法則、定義域和值域是否分別相同.如果有一個(gè)不同,它們便不是同一函數(shù).第5頁(yè)，課件共30頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月返回目錄

【解析】(1)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞),g(x)的定義域?yàn)?-∞,0)∪(0,+∞),定義域不同,故f(x)與g(x)不是同一函數(shù).(2)函數(shù)f(x)的值域?yàn)?-∞,+∞),g(x)的值域?yàn)椋?,+∞),值域不同,故f(x)與g(x)不是同一函數(shù).(3)因?yàn)閒(x)=x(x＞0),g(x)=x(x∈R),定義域不同,故f(x)與g(x)不是同一函數(shù).(4)因?yàn)閒(x)=lgx-2(x＞0),g(x)=lg=lgx-2(x＞0),所以f(x)與g(x)的對(duì)應(yīng)法則、定義域和值域都分別相同,故它們是同一函數(shù).第6頁(yè)，課件共30頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月【評(píng)析】(1)只有當(dāng)兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)法則都分別相同時(shí),這兩個(gè)函數(shù)才是同一函數(shù),換言之就是:①定義域不同,兩個(gè)函數(shù)也就不同.②對(duì)應(yīng)法則不同,兩個(gè)函數(shù)也是不同的.③即使定義域和值域都分別相同的兩個(gè)函數(shù),它們也不一定是同一函數(shù),因?yàn)楹瘮?shù)的定義域和值域不能唯一地確定函數(shù)的對(duì)應(yīng)法則.(2)函數(shù)的對(duì)應(yīng)法則可以化簡(jiǎn),例如題型一(3)(4)中的函數(shù),再比如函數(shù)f(x)=|x|和g(x)=

,從表面上看它們的對(duì)應(yīng)法則不同,但實(shí)質(zhì)上是相同的.(3)當(dāng)一個(gè)函數(shù)的對(duì)應(yīng)法則和定義域給定后,它的值域便隨之確定,所以,函數(shù)的三要素可簡(jiǎn)化為定義域、對(duì)應(yīng)法則兩要素.返回目錄

第7頁(yè)，課件共30頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月返回目錄

＊對(duì)應(yīng)演練＊判斷下列各組函數(shù)是否為同一函數(shù).(1)f(x)=x2+2x-1,g(t)=t2+2t-1;(2)f(x)=,g(x)=x+1;(3)x+1(-1<x<0)x-1(0<x<1),g(x)=f-1(x).(4)f(x)=第8頁(yè)，課件共30頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月返回目錄

(1)兩函數(shù)的定義域、值域、對(duì)應(yīng)法則均相同，所以它們是同一函數(shù).(2)y==x+1,但x≠1,而y=x+1中x∈R,所以它們不是同一函數(shù).(3)函數(shù)f(x)=的定義域?yàn)閧x|x≥0};而函數(shù)g(x)=的定義域?yàn)閧x|x≤-1或x≥0},它們的定義域不同,所以不是同一函數(shù).x-1,(0<x<1)x+1,(-1<x<0),f(x)與g(x)定義域、值域、對(duì)應(yīng)法則分別相同，故它們是同一函數(shù).(4)∵g(x)=f-1(x)=第9頁(yè)，課件共30頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月返回目錄

考點(diǎn)二映射的概念下列對(duì)應(yīng)是否為從A到B的映射？(1)A=R，B=R，f:x→y=;(2)(3)A={x|x≥0},B=R,f:x→y,y2=x;(4)A={平面α內(nèi)的矩形}，B={平面α內(nèi)的圓}，f:作矩形的外接圓.第10頁(yè)，課件共30頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月返回目錄

【解析】(1)當(dāng)x=-1時(shí)，y值不存在，所以不是映射.(2)A，B兩集合分別用列舉法表述為A={2,4,6,…},

由對(duì)應(yīng)法則f:a→b=，是映射.(3)不是映射，如A中元素1有兩個(gè)象±1.(4)是映射.【分析】解此題需要明確以下兩點(diǎn)：①集合A的元素是什么；②什么是A到B的映射.第11頁(yè)，課件共30頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月【評(píng)析】欲判斷對(duì)應(yīng)法則f:A→B是否是從A到B的映射，必須做兩點(diǎn)工作：①明確集合A，B中的元素.②根據(jù)對(duì)應(yīng)法則判斷A中的每個(gè)元素是否在B中能找到唯一確定的對(duì)應(yīng)元素.返回目錄

第12頁(yè)，課件共30頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月返回目錄

＊對(duì)應(yīng)演練＊設(shè)A={0,1,2,4},下列對(duì)應(yīng)法則能構(gòu)成A到B的映射的是（）A.f:x→x3-1B.f:x→(x-1)2C.f:x→2x-1D.f:x→2xC(由映射的定義知C滿足題意.故應(yīng)選C.)C第13頁(yè)，課件共30頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月考點(diǎn)三求函數(shù)解析式根據(jù)下列條件分別求出函數(shù)f(x)的解析式:(1)(2)f(x-2)=x2+3x+1;(3)f(x)+2=3x;(4)已知二次函數(shù)f(x)滿足f(3x+1)=9x2-6x+5,求f(x).返回目錄

第14頁(yè)，課件共30頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月【分析】(1)可用配湊法.(2)可將x-2看作一個(gè)整體,根據(jù)函數(shù)的定義,尋找x2+3x+1與x-2的對(duì)應(yīng)關(guān)系.(3)因考慮到x與的倒數(shù)關(guān)系,可通過(guò)解方程組來(lái)求解析式.(4)可用待定系數(shù)法求解析式,但此題也可采用多種方法.返回目錄

【解析】(1)因又≤-2或≥2,

則f(x)=x2-2,x∈(-∞,-2)∪(2,+∞).第15頁(yè)，課件共30頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月返回目錄

(2)令x-2=t,則x=t+2,代入已知得f(t)=(t+2)2+3(t+2)+1=t2+7t+11,所以f(x)=x2+7x+11,x∈R.(3)由已知f(x)+2f=3x.①以代替①中的x,得f+2f(x)=.②由①②解得f(x)=-x(x≠0).(4)解法一：換元法.令3x+1=t,則x=.∴f(t)=9·-6+5=t2-2t+1-2t+2+5=t2-4t+8.∴f(x)=x2-4x+8.第16頁(yè)，課件共30頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月返回目錄

解法二:配湊法.∵f(3x+1)=9x2-6x+5=(3x+1)2-12x+4=(3x+1)2-(3x+1)+8,∴f(x)=x2-4x+8.

解法三:待定系數(shù)法.

設(shè)f(x)=ax2+bx+c(a≠0),則

f(3x+1)=a(3x+1)2+b(3x+1)+c=9ax2+(6a+3b)x+a+b+c.∵f(3x+1)=9x2-6x+5,∴9ax2+(6a+3b)x+a+b+c=9x2-6x+5.9a=9a=16a+3b=-6b=-4a+b+c=5c=8,∴f(x)=x2-4x+8.

比較兩端系數(shù),得第17頁(yè)，課件共30頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月返回目錄

【評(píng)析】（1）求解析式的目標(biāo)就是求定義域與值域中對(duì)應(yīng)元素的對(duì)應(yīng)關(guān)系式.(2)換元法求解析式時(shí)，要注意換元變量范圍應(yīng)保持一致.例如:已知f(cosx)=cosx，求f(x).可求得f(x)=x，但此處應(yīng)有|x|≤1.(3)求解析式的幾種常見(jiàn)方法:①代入法即已知f(x),g(x),求f(g(x))用代入法,只需將g(x)替換f(x)中的x即得;②換元法已知f(g(x)),g(x),求f(x)用換元法:g(x)=t,解得x=g-1(t),然后代入f(g(x))中即得f(t),從而求得f(x).當(dāng)f(g(x))的表達(dá)式較簡(jiǎn)單時(shí),可用“配湊法”(其實(shí)質(zhì)是換元素);

第18頁(yè)，課件共30頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月返回目錄

③待定系數(shù)法當(dāng)函數(shù)f(x)類型確定時(shí),可用待定系數(shù)法.如:已知f(x)是一次函數(shù),且滿足3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,求f(x).

解析:因?yàn)橐阎猣(x)是一次函數(shù),故可設(shè)f(x)=ax+b,從而根據(jù)題意列出恒等式,確定a,b的值.

解:設(shè)f(x)=ax+b,

則3f(x+1)-2f(x-1)=3ax+3a+3b+2a-2b-2ax=ax+b+5a=2x+17,

所以a=2,b=7,所以f(x)=2x+7;

第19頁(yè)，課件共30頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月④方程組法方程組法求解析式的實(shí)質(zhì)是用了對(duì)稱的思想.一般來(lái)說(shuō)，當(dāng)自變量互為相反數(shù)、互為倒數(shù)或是函數(shù)具有奇偶性時(shí)，均可用此法.

在解關(guān)于f(x)的方程時(shí),可作恰當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q,列出f(x)的方程組,求得f(x).

如:已知f(x)滿足f(x)+2f(-x)=x,求f(x)的解析式.

解:∵f(x)+2f(-x)=x,①

用-x替換x得f(-x)+2f(x)=-x.②

聯(lián)立①②消去f(-x),即得f(x)=-x.返回目錄

第20頁(yè)，課件共30頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月＊對(duì)應(yīng)演練＊根據(jù)下列條件分別求出函數(shù)f(x)的解析式：(1)f(+1)=x+2;(2)f(x)為二次函數(shù)且f(0)=3,f(x+2)-f(x)=4x+2.返回目錄

第21頁(yè)，課件共30頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月(1)令t=+1,∴t≥1,x=(t-1)2.則f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-1,即f(x)=x2-1,x∈［1,+∞).(2)設(shè)f(x)=ax2+bx+c(a≠0),∴f(x+2)=a(x+2)2+b(x+2)+c,則f(x+2)-f(x)=4ax+4a+2b=4x+2.4a=4a=14a+2b=2,b=-1,又f(0)=3c=3,∴f(x)=x2-x+3.返回目錄

∴∴第22頁(yè)，課件共30頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月返回目錄

考點(diǎn)四分段函數(shù)x2,x>01,x=0-,x<0.(1)畫(huà)出函數(shù)的圖象;(2)求f(1),f(-1),f［f(-1)］的值.【分析】考慮特殊函數(shù)的圖象在某區(qū)間內(nèi)的形狀,特別要注意區(qū)間的端點(diǎn)處.

已知函數(shù)f(x)=第23頁(yè)，課件共30頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月返回目錄

【評(píng)析】分段函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系是借助于幾個(gè)不同的表達(dá)式來(lái)表示的,處理分段函數(shù)的問(wèn)題時(shí),首先要確定自變量的數(shù)值屬于哪一個(gè)區(qū)間段,從而選相應(yīng)的關(guān)系式.對(duì)于分段函數(shù),注意處理好各段的端點(diǎn).【解析】(1)分別作出f(x)在x>0,x=0,x<0段上的圖象,如圖所示,作法略.(2)f(1)=12=1,f(-1)=-=1,f［f(-1)］=f(1)=1.第24頁(yè)，課件共30頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月返回目錄

＊對(duì)應(yīng)演練＊如圖，△OAB是邊長(zhǎng)為2的正三角形，直線x=t(0≤t≤2)截這個(gè)三角形所得的位于此直線左方的圖形的面積為f(t).(1)求函數(shù)y=f(t)的解析式，并指明它的定義域;(2)求函數(shù)y=f(t)的值域.第25頁(yè)，課件共30頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月返回目錄

（1）當(dāng)0＜t≤1時(shí)，所截圖形是一個(gè)直角三角形，其面積f(t)=t2·tan60°=t2;

當(dāng)1＜t＜2時(shí)，所截圖形是一個(gè)四邊形，它的面積可由正三角形OAB的面積減去一個(gè)直角三角形的面積來(lái)計(jì)算，即

f(t)=·2·-(2-t)·(2-t)tan60°=-(2-t)2;

當(dāng)t=2時(shí)，所截圖形即△OAB，f(t)=.t2，0＜t≤1.