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三角恒等變換第五章5.5.2簡單的三角恒等變換學(xué)習(xí)目標(biāo)能用兩角和與差的正弦、余弦、正切公式,二倍角的正弦、余弦、正切公式進(jìn)行簡單的恒等變換(包括推導(dǎo)出積化和差、和差化積、半角公式,這三組公式不要求記憶).核心素養(yǎng):數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算新知學(xué)習(xí)兩角差的余弦公式【嘗試】嘗試用和(差)角公式、二倍角公式兩個工具進(jìn)行三角恒等變換(1)試用cosα表示,,
解:在倍角公式中,用α代替2α,用代替α,得
所以
在倍角公式中,用α代替2α,用代替α,得
所以
作商,得
兩角差的余弦公式【半角公式】剛才的結(jié)果還可以表示為:
以上三個公式稱為半角公式,符號由α所在象限決定【記憶方法】半角公式帶根號,是正是負(fù)看半角;
1加或者減余弦,根號分母都是2.【問題】與之間有什么關(guān)系?
【解答】
兩角差的余弦公式【萬能公式】萬能公式是半角的正切與一倍角之間的互換公式:有了萬能公式,只需要知道一個角的正切,就可以求出二倍角的正弦余弦正切值.
【例1】求證:【證明】(1)因為
(1)+(2)得
即
(2)由(1)有
設(shè),則有
代入①中,有
換元法即時鞏固【例2】已知,且,求和的值.【解】∵,∴
∴
∴
即時鞏固【例3】已知一個等腰三角形的頂角的余弦等于,求這個三角形的底角的正切.【解】設(shè)等腰三角形的頂角為α,底角為β,則有
由題意知,
所以
所以即時鞏固【例4】求下列函數(shù)的周期、最大值和最小值.【解】輔助角公式
即周期為2π,最大值為2,最小值為-2.
令,則,所以
即,周期為2π,最大值為5,最小值為-5
即時鞏固積化和差公式與和差化積公式①積化和差公式
積化和差公式與和差化積公式②和差化積公式
【題】化簡:①三角函數(shù)式的化簡
【解】∵,∴
又∵,且
∴原式=
∵,∴,所以,原式=
常見題型匯總【題】已知α為鈍角,β為銳角,且,,求的值.②三角函數(shù)式的求值【解】因為α為鈍角,β為銳角,,,所以
所以
因為,所以,即
所以
常見題型匯總【題】已知,求證:③三角函數(shù)式的證明【解】由題意有
;②2-①2,得
常見題型匯總【題】已知在△ABC中,,求證:△ABC是直角三角形④在三角形中的應(yīng)用【證明】由題意有,∴常見題型匯總
利用和差化積公式,得
又∵,∴
∵,∴,兩邊平方,得
即,∴
∴,即或.A或者B有一個為直角
∴△ABC是直角三角形隨堂小測課堂小結(jié)1.學(xué)習(xí)三角恒等變換,千萬不要只顧死記硬背公式,而忽視對思想方法的理解,要學(xué)會借助前面幾個有限的公式來推導(dǎo)后繼公式,立足于在公式推導(dǎo)過程中記憶公式和運用公式.3.研究形如f(x)=a
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