河北正定弘文中學(xué)2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末調(diào)研模擬試題含解析

2022-2023高二下數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．下列命題:①在一個列聯(lián)表中,由計算得,則有的把握確認(rèn)這兩類指標(biāo)間有關(guān)聯(lián)②若二項(xiàng)式的展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)之和為，則展開式中的系數(shù)是③隨機(jī)變量服從正態(tài)分布,則④若正數(shù)滿足，則的最小值為其中正確命題的序號為()A．①②③ B．①③④ C．②④ D．③④2．已知函數(shù)，則函數(shù)滿足（）A．最小正周期為 B．圖像關(guān)于點(diǎn)對稱C．在區(qū)間上為減函數(shù) D．圖像關(guān)于直線對稱3．某同學(xué)同時擲兩顆骰子，得到點(diǎn)數(shù)分別為，則橢圓的離心率的概率是()A． B． C． D．4．已知10件產(chǎn)品有2件是次品．為保證使2件次品全部檢驗(yàn)出的概率超過0.6，至少應(yīng)抽取作檢驗(yàn)的產(chǎn)品件數(shù)為()A．6 B．7 C．8 D．95．曲線在處的切線與直線垂直，則（）A．-2 B．2 C．-1 D．16．對于偶函數(shù)，“的圖象關(guān)于直線對稱”是“是周期為2的周期函數(shù)”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．既不充分也不必要條件 D．充要條件7．函數(shù)y的圖象大致為（）A． B．C． D．8．在中,為銳角,,則的形狀為()A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．以上都不對9．方程表示雙曲線的一個充分不必要條件是（）A．－3＜m＜0 B．－3＜m＜2C．－3＜m＜4 D．－1＜m＜310．橢圓的左右焦點(diǎn)分別是，以為圓心的圓過橢圓的中心，且與橢圓交于點(diǎn)，若直線恰好與圓相切于點(diǎn)，則橢圓的離心率為()A． B． C． D．11．已知奇函數(shù)在上是增函數(shù)，若，，，則的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．12．中國古代數(shù)學(xué)的瑰寶——《九章算術(shù)》中涉及到一種非常獨(dú)特的幾何體——鱉擩，它是指四面皆為直角三角形的四面體.現(xiàn)有四面體為一個鱉擩，已知平面，，若該鱉擩的每個頂點(diǎn)都在球的表面上，則球的表面積為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知橢圓，，，斜率為的直線與相交于兩點(diǎn)，若直線平分線段，則的離心率等于__________．14．已知方程x2-2x+p=0的兩個虛根為α、β，且α-β=4，則實(shí)數(shù)15．在直角中，，，，為斜邊的中點(diǎn)，則=．16．函數(shù)在點(diǎn)處切線方程為，則=______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）函數(shù)，.（Ⅰ）求函數(shù)的極值；（Ⅱ）若，證明：當(dāng)時，.18．（12分）已知函數(shù)，（1）當(dāng)，時，求函數(shù)在上的最小值；（2）若函數(shù)在與處的切線互相垂直，求的取值范圍；（3）設(shè)，若函數(shù)有兩個極值點(diǎn)，，且，求的取值范圍．19．（12分）對任意正整數(shù)n，設(shè)表示n的所有正因數(shù)中最大奇數(shù)與最小奇數(shù)的等差中項(xiàng)，表示數(shù)列的前n項(xiàng)和.（1）求，，，，的值；（2）是否存在常數(shù)s，t，使得對一切且恒成立？若存在，求出s，t的值，并用數(shù)學(xué)歸納法證明；若不存在，請說明理由.20．（12分）在2018年高校自主招生期間，某校把學(xué)生的平時成績按“百分制”折算，選出前名學(xué)生，并對這名學(xué)生按成績分組，第一組，第二組，第三組，第四組，第五組.如圖為頻率分布直方圖的一部分，其中第五組、第一組、第四組、第二組、第三組的人數(shù)依次成等差數(shù)列，且第四組的人數(shù)為60.（1）請寫出第一、二、三、五組的人數(shù)，并在圖中補(bǔ)全頻率分布直方圖；（2）若大學(xué)決定在成績高的第3，4，5組中用分層抽樣的方法抽取6名學(xué)生進(jìn)行面試.①若大學(xué)本次面試中有，，三位考官，規(guī)定獲得至少兩位考官的認(rèn)可即為面試成功，且各考官面試結(jié)果相互獨(dú)立.已知甲同學(xué)已經(jīng)被抽中，并且通過這三位考官面試的概率依次為，，，求甲同學(xué)面試成功的概率；②若大學(xué)決定在這6名學(xué)生中隨機(jī)抽取3名學(xué)生接受考官的面試，第3組有名學(xué)生被考官面試，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.21．（12分）已知函數(shù)，；.（1）求的最大值；（2）若對，總存在使得成立，求的取值范圍；（3）證明不等式.22．（10分）已知直線的參數(shù)方程是，在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）將曲線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)直線與軸的交點(diǎn)是，是曲線上一動點(diǎn)，求的最大值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】

根據(jù)可知①正確；代入可求得，利用展開式通項(xiàng)，可知時，為含的項(xiàng)，代入可求得系數(shù)為，②錯誤；根據(jù)正態(tài)分布曲線的對稱性可知③正確；由，利用基本不等式求得最小值，可知④正確.【詳解】①，則有的把握確認(rèn)這兩類指標(biāo)間有關(guān)聯(lián)，①正確；②令，則所有項(xiàng)的系數(shù)和為：，解得：則其展開式通項(xiàng)為：當(dāng)，即時，可得系數(shù)為：，②錯誤；③由正態(tài)分布可知其正態(tài)分布曲線對稱軸為，③正確；④，，（當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號），④正確.本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查命題真假性的判斷，涉及到獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想、二項(xiàng)展開式各項(xiàng)系數(shù)和與指定項(xiàng)系數(shù)的求解、正態(tài)分布曲線的應(yīng)用、利用基本不等式求解和的最小值問題.2、D【解析】∵函數(shù)f（x）=cos（x+）sinx=（cosx﹣sinx）?sinx=sin2x﹣?=（sin2x+cos2x）﹣=sin（2x+）+，故它的最小正周期為，故A不正確；令x=，求得f（x）=+=，為函數(shù)f（x）的最大值，故函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=對稱，且f（x）的圖象不關(guān)于點(diǎn)（，）對稱，故B不正確、D正確；在區(qū)間（0，）上，2x+∈（，），f（x）=sin（2x+）+為增函數(shù)，故C不正確，故選D．3、C【解析】共6種情況4、C【解析】

根據(jù)古典概型概率計算公式列出不等式，利用組合數(shù)公式進(jìn)行計算，由此求得至少抽取的產(chǎn)品件數(shù).【詳解】設(shè)抽取件，次品全部檢出的概率為，化簡得，代入選項(xiàng)驗(yàn)證可知，當(dāng)時，符合題意，故選C.【點(diǎn)睛】本小題主要考查古典概型概率計算，考查組合數(shù)的計算，屬于基礎(chǔ)題.5、B【解析】分析：先求導(dǎo)，然后根據(jù)切線斜率的求法得出切線斜率表達(dá)式，再結(jié)合斜率垂直關(guān)系列等式求解即可.詳解：由題可知：切線的斜率為：由切線與直線垂直，故，故選B.點(diǎn)睛：考查切線斜率的求法，直線垂直關(guān)系的應(yīng)用，正確求導(dǎo)是解題關(guān)鍵，注意此題導(dǎo)數(shù)求解時是復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，屬于中檔題.6、D【解析】

將兩個條件相互推導(dǎo)，根據(jù)推導(dǎo)的結(jié)果選出正確選項(xiàng).【詳解】依題意，函數(shù)為偶函數(shù)，即.“的圖象關(guān)于直線對稱”“是周期為2的周期函數(shù)”.故為充要條件，即本小題選D.【點(diǎn)睛】本小題主要考查充分、必要條件的判斷，考查函數(shù)的奇偶性、對稱性和周期性，屬于中檔題.7、B【解析】

通過函數(shù)的單調(diào)性和特殊點(diǎn)的函數(shù)值，排除法得到正確答案.【詳解】因?yàn)?，其定義域?yàn)樗?，所以為奇函?shù)，其圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱，故排除A、C項(xiàng)，當(dāng)時，，所以D項(xiàng)錯誤，故答案為B項(xiàng).【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)的奇偶性和特殊點(diǎn)的函數(shù)值來判斷函數(shù)的圖像，屬于簡單題.8、A【解析】分析：由正弦定理化簡并結(jié)合選項(xiàng)即可得到答案.詳解：，則由正弦定理可得：，即，則當(dāng)時，符合題意，故選：A.點(diǎn)睛：(1)三角形的形狀按邊分類主要有：等腰三角形，等邊三角形等；按角分類主要有：直角三角形，銳角三角形，鈍角三角形等．判斷三角形的形狀，應(yīng)圍繞三角形的邊角關(guān)系進(jìn)行思考，主要看其是不是正三角形、等腰三角形、直角三角形、鈍角三角形或銳角三角形，要特別注意“等腰直角三角形”與“等腰三角形或直角三角形”的區(qū)別．(2)邊角轉(zhuǎn)化的工具主要是正弦定理和余弦定理．9、A【解析】由題意知，，則C，D均不正確，而B為充要條件，不合題意，故選A.10、A【解析】

由題得，再利用橢圓定義得的長度，利用勾股定理求解即可【詳解】由題得，且又由勾股定理得，解得故選：A【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的定義及幾何意義，準(zhǔn)確求得是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題11、D【解析】

利用奇函數(shù)性質(zhì)，將a轉(zhuǎn)化成，利用單調(diào)性比較函數(shù)值大小，先比較自變量的大小，再根據(jù)增函數(shù)，即可比較函數(shù)值的大小關(guān)系.【詳解】根據(jù)題意，為奇函數(shù)，則，又由，又由在上是增函數(shù)，則有，故選：D.【點(diǎn)睛】比較指數(shù)值或?qū)?shù)值時可以跟1或0進(jìn)行比較再排列出大小順序.12、B【解析】分析：把此四面體放入長方體中，BC，CD，AB剛好是長方體的長、寬、高，算出長方體體對角線即可.詳解：把此四面體放入長方體中，BC，CD，AB剛好是長方體的長、寬、高，則，，故.故選：B.點(diǎn)睛：本題主要考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想的運(yùn)用.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

利用點(diǎn)差法求出的值后可得離心率的值．【詳解】設(shè)，則，故即，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，故即，所以即，故，填．【點(diǎn)睛】圓錐曲線中的離心率的計算，關(guān)鍵是利用題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于的一個等式關(guān)系．而離心率的取值范圍，則需要利用坐標(biāo)的范圍、幾何量的范圍或點(diǎn)的位置關(guān)系構(gòu)建關(guān)于的不等式或不等式組．另外，與弦的中點(diǎn)有關(guān)的問題，可用點(diǎn)差法求解．14、5【解析】

根據(jù)題意得出Δ<0，然后求出方程x2-2x+p=0的兩個虛根，再利用復(fù)數(shù)的求模公式結(jié)合等式α-β=4可求出實(shí)數(shù)【詳解】由題意可知，Δ=4-4p<0，得p>1.解方程x2-2x+p=0，即x-12=1-p，解得所以，α-β=2p-1故答案為5.【點(diǎn)睛】本題考查實(shí)系數(shù)方程虛根的求解，同時也考查了復(fù)數(shù)模長公式的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題.15、【解析】試題分析：由于為直角三角形，且，，所以，由正弦定理得，，.考點(diǎn)：1.正弦定理；2.平面向量的數(shù)量積16、4【解析】分析：因?yàn)樵邳c(diǎn)處的切線方程，所以，由此能求出．詳解：因?yàn)樵邳c(diǎn)處切線方程為，，

所以從而．

即答案為4.點(diǎn)睛：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)處的切線方程，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(Ⅰ)有極小值，無極大值.(Ⅱ)證明見解析.【解析】試題分析：（1）求出，分別令求得的范圍，可得函數(shù)增區(qū)間，求得的范圍，可得函數(shù)的減區(qū)間，根據(jù)單調(diào)性可得函數(shù)的極值；（2）不等式等價于，由（1）得，可得，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性可得，進(jìn)而可得結(jié)果.試題解析：（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，，由得，得，所以函?shù)在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)只有極小值.（2）不等式等價于，由（1）得：.所以，，所以.令，則，當(dāng)時，，所以在上為減函數(shù)，因此，，因?yàn)?，所以，?dāng)時，，所以，而，所以.18、（1）；（2）或；（3）【解析】

（1）求導(dǎo)后可得函數(shù)的單調(diào)性，從而得到；（2）利用切線互相垂直可知，展開整理后可知關(guān)于的方程有解，利用可得關(guān)于的不等式，解不等式求得結(jié)果；（3）根據(jù)極值點(diǎn)的定義可得：，，從而得到且，進(jìn)而得到，令，利用導(dǎo)數(shù)可證得，從而得到所求范圍.【詳解】（1）當(dāng)，時，，則當(dāng)時，；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增（2）由解析式得：，函數(shù)在與處的切線互相垂直即：展開整理得：則該關(guān)于的方程有解整理得：，解得：或（3）當(dāng)時，是方程的兩根，且，，令，則在上單調(diào)遞增即：【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的作用，涉及到函數(shù)最值的求解、導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用、導(dǎo)數(shù)與極值之間的關(guān)系；本題的難點(diǎn)在于根據(jù)極值點(diǎn)的定義將轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù)，從而通過構(gòu)造函數(shù)的方式求得函數(shù)的最值，進(jìn)而得到取值范圍.19、（1），，，，；（2），見解析.【解析】

（1）根據(jù)定義計算即可；（2）先由，，確定出s，t的值，再利用數(shù)學(xué)歸納法證明.【詳解】（1）1的最大正奇因數(shù)為1，最小正奇因數(shù)為1，所以，2的最大正奇因數(shù)為1，最小正奇因數(shù)為1，所以，3的最大正奇因數(shù)為3，最小正奇因數(shù)為1，所以，4的最大正奇因數(shù)為1，最小正奇因數(shù)為1，所以，5的最大正奇因數(shù)為5，最小正奇因數(shù)為1，所以.（2）由（1）知，，，，所以，解得.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：①當(dāng)時，，成立；②假設(shè)當(dāng)（，）時，結(jié)論成立，即，那么當(dāng)時，易知當(dāng)n為奇數(shù)時，；當(dāng)n為偶數(shù)時，.所以.所以當(dāng)時，結(jié)論成立.綜合①②可知，對一切且恒成立.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列中的新定義問題，利用數(shù)學(xué)歸納法證明等式，考查學(xué)生的邏輯推理能力，是一道有一定難度的題.20、(1)45，75，90，30，圖見解析.（2）①.②分布列見解析；.【解析】分析：（1）第四組的人數(shù)為60，所以總?cè)藬?shù)為300，再利用直方圖性質(zhì)與等差數(shù)列的性質(zhì)即可得出；（2）①設(shè)事件為“甲同學(xué)面試成功”，利用相互獨(dú)立與互斥事件的概率計算公式即可得出；②由題意可得，，，即可得出分布列與數(shù)學(xué)期望.詳解：（1）第一、二、三、五組的人數(shù)分別是45，75，90，30，（2）①設(shè)事件為“甲同學(xué)面試成功”.則：.②由題意得：，，，，.0123.點(diǎn)睛：本題考查了頻率分布直方圖的性質(zhì)、相互獨(dú)立與互斥事件的概率計算公式、超幾何分布列的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題.21、【解析】試題分析：（1）對函數(shù)求導(dǎo)，，時，，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，函數(shù)取得極大值，也是最大值，所以的最大值為