河南省封丘縣第一中學(xué)2022-2023學(xué)年數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末考試試題含解析

2022-2023高二下數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若，則（）A． B． C． D．2．已知函數(shù)，，若有最小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．3．雙曲線x2A．23 B．2 C．3 D．4．定義“規(guī)范01數(shù)列”{an}如下：{an}共有2m項(xiàng)，其中m項(xiàng)為0，m項(xiàng)為1，且對(duì)任意，中0的個(gè)數(shù)不少于1的個(gè)數(shù).若m=4，則不同的“規(guī)范01數(shù)列”共有A．18個(gè) B．16個(gè)C．14個(gè) D．12個(gè)5．函數(shù)在上的平均變化率是()A．2 B． C． D．6．甲、乙、丙三人每人準(zhǔn)備在3個(gè)旅游景點(diǎn)中各選一處去游玩，則在“至少有1個(gè)景點(diǎn)未被選擇”的條件下，恰有2個(gè)景點(diǎn)未被選擇的概率是（）A．17 B．18 C．17．從集合{0，1，2，3，4，5，6}中任取兩個(gè)互不相等的數(shù)，組成復(fù)數(shù)，其中虛數(shù)有（）A．30個(gè) B．42個(gè) C．36個(gè) D．35個(gè)8．已知隨機(jī)變量服從的分布列為123…nP…則的值為（）A．1 B．2 C． D．39．若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布在區(qū)間上的取值概率是0.2，則在區(qū)間上的取值概率約是()A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.810．某個(gè)命題與正整數(shù)有關(guān)，如果當(dāng)時(shí)命題成立，那么可推得當(dāng)時(shí)命題也成立.現(xiàn)已知當(dāng)時(shí)該命題不成立，那么可推得（）A．當(dāng)時(shí)該命題不成立 B．當(dāng)時(shí)該命題成立C．當(dāng)時(shí)該命題不成立 D．當(dāng)時(shí)該命題成立11．已知，則（）A． B． C． D．12．與復(fù)數(shù)相等的復(fù)數(shù)是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖，一個(gè)底面半徑為的圓柱形量杯中裝有適量的水，若放入一個(gè)半徑為的實(shí)心鐵球，水面高度恰好升高,則____________．14．三角形中，是邊上一點(diǎn)，，，且三角形與三角形面積之比為，則__________．15．已知拋物線的弦的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，則的最大值為__________．16．觀察下列等式：，，，……可以推測(cè)____（，用含有的代數(shù)式表示）．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知直線是拋物線的準(zhǔn)線，直線，且與拋物線沒有公共點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在拋物線上，點(diǎn)到直線和的距離之和的最小值等于2.（Ⅰ）求拋物線的方程；（Ⅱ）點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)做拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為，在平面內(nèi)是否存在定點(diǎn)，使得恒成立？若存在，請(qǐng)求出定點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．18．（12分）在四棱錐中，側(cè)面底面ABCD，底面ABCD為直角梯形，，，，，E，F(xiàn)分別為AD，PC的中點(diǎn)．Ⅰ求證：平面BEF；Ⅱ若，求二面角的余弦值．19．（12分）已知數(shù)列滿足：.（Ⅰ）若，且，，成等比數(shù)列，求；（Ⅱ）若，且，，，成等差數(shù)列，求.20．（12分）已知復(fù)數(shù)，，其中，為虛數(shù)單位.（1）若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，求實(shí)數(shù)的值；（2）在復(fù)平面內(nèi)，若復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，求實(shí)數(shù)的取值范圍.21．（12分）在二項(xiàng)式的展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)之和為256，求展開式中所有有理項(xiàng).22．（10分）已知f(x)=ln（1）若a=1，求函數(shù)H(x)=f(x)-g(x)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)H(x)=f(x)-g(x)在其定義域上不單調(diào)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】

結(jié)合函數(shù)、不等式及絕對(duì)值含義判斷即可【詳解】對(duì)，若，則，但推不出，故錯(cuò)；對(duì)，若，設(shè)，則函數(shù)為增函數(shù)，則，故錯(cuò)；對(duì)，若，但推不出，故錯(cuò)誤；對(duì)，設(shè)，則函數(shù)為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則，故正確；故選：D【點(diǎn)睛】本題考查由指數(shù)、對(duì)數(shù)、冪函數(shù)及絕對(duì)值的含義比大小，屬于基礎(chǔ)題2、C【解析】

對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得出，由題意得出函數(shù)在上存在極小值點(diǎn)，然后對(duì)參數(shù)分類討論，在時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，無最小值；在時(shí)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得出，從而求出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】，，構(gòu)造函數(shù)，其中，則.①當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的，，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，此時(shí)，，則對(duì)任意的，.此時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，無最小值；②當(dāng)時(shí)，解方程，得.當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，.（i）當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，則對(duì)任意的，，此時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，無最小值；（ii）當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，由零點(diǎn)存在定理可知，存在和，使得，即，且當(dāng)和時(shí)，，此時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，.所以，函數(shù)在處取得極大值，在取得極小值，由題意可知，，，可得，又，可得，構(gòu)造函數(shù)，其中，則，此時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，則，.因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是，故選：C.3、A【解析】試題分析：雙曲線焦點(diǎn)到漸近線的距離為b，所以距離為b=23考點(diǎn)：雙曲線與漸近線．4、C【解析】

試題分析：由題意，得必有，，則具體的排法列表如下：,01010011;010101011,共14個(gè)【點(diǎn)睛】求解計(jì)數(shù)問題時(shí)，如果遇到情況較為復(fù)雜，即分類較多，標(biāo)準(zhǔn)也較多，同時(shí)所求計(jì)數(shù)的結(jié)果不太大時(shí)，往往利用表格法、樹狀圖將其所有可能一一列舉出來，常常會(huì)達(dá)到岀奇制勝的效果．5、C【解析】

根據(jù)平均變化率的計(jì)算公式列式，計(jì)算出所求的結(jié)果.【詳解】依題意，所求平均變化率為，故選C.【點(diǎn)睛】本小題主要考查平均變化率的計(jì)算，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.6、A【解析】

設(shè)事件A為：至少有1個(gè)景點(diǎn)未被選擇，事件B為：恰有2個(gè)景點(diǎn)未被選擇,計(jì)算P(AB)和P(A),再利用條件概率公式得到答案.【詳解】設(shè)事件A為：至少有1個(gè)景點(diǎn)未被選擇，事件B為：恰有2個(gè)景點(diǎn)未被選擇P(AB)=P(B故答案選A【點(diǎn)睛】本題考查了條件概率，意在考查學(xué)生對(duì)于條件概率的理解和計(jì)算.7、C【解析】

解：∵a，b互不相等且為虛數(shù)，∴所有b只能從{1，2，3，4，5，6}中選一個(gè)有6種，a從剩余的6個(gè)選一個(gè)有6種，∴根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理知虛數(shù)有6×6=36（個(gè)）．故選C8、A【解析】

由概率之和為1，列出等式，即可求得k值.【詳解】由概率和等于1可得：，即.故選A.【點(diǎn)睛】本題考查分布列中概率和為1，由知識(shí)點(diǎn)列式即可得出結(jié)論.9、A【解析】

根據(jù)正態(tài)分布曲線的對(duì)稱性可知，在區(qū)間上的取值概率是0.2，可得在區(qū)間上的取值概率是0.6，從而可得在區(qū)間上的取值概率?！驹斀狻拷猓簱?jù)題設(shè)分析知，因?yàn)殡S機(jī)變量服從正態(tài)分布且，根據(jù)對(duì)稱性可得，所求概率，故選A.【點(diǎn)睛】本題考查了正態(tài)分布的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟知正態(tài)曲線是關(guān)于對(duì)稱，在正態(tài)曲線下方和x軸上方范圍內(nèi)的區(qū)域面積為1等正態(tài)密度曲線圖象的特征.10、A【解析】分析：利用互為逆否的兩個(gè)命題同真同假的原來，當(dāng)對(duì)不成立時(shí)，則對(duì)也不成立，即可得到答案．詳解：由題意可知，原命題成立的逆否命題成立，命題對(duì)不成立時(shí)，則對(duì)也不成立，否則當(dāng)時(shí)命題成立，由已知必推得也成立，與當(dāng)時(shí)命題不成立矛盾，故選A．點(diǎn)睛：本題主要考查了數(shù)學(xué)歸納法以及歸納法的性質(zhì)，互為逆否的兩個(gè)命題同真同假的性質(zhì)應(yīng)用，其中正確四種命題的關(guān)系是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與論證能力，屬于基礎(chǔ)題．11、D【解析】

利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，誘導(dǎo)公式，二倍角的余弦函數(shù)公式即可求值得解．【詳解】∵cosθ?tanθ＝sinθ，∴sin（）＝cos2θ＝1﹣2sin2θ＝1﹣2．故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，誘導(dǎo)公式，二倍角的余弦函數(shù)公式在三角函數(shù)化簡(jiǎn)求值中的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．12、C【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)運(yùn)算，化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，即可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】試題分析：由題可知，小球的體積等于水面上升的的體積，因此有，化簡(jiǎn)可得，；考點(diǎn)：簡(jiǎn)單幾何體的體積公式14、【解析】分析：為的平分線，從而，根據(jù)余弦定理可得到，兩者結(jié)合可解出并求出，在中，由余弦定理可求出的長(zhǎng)度．詳解：因?yàn)闉榈钠椒志€，故．又，整理得，所以，故．又，故．填．點(diǎn)睛：（1）在中，若為的平分線（為上一點(diǎn)），則有；（2）在解三角形中，我們有時(shí)需要找出不同三角形之間相關(guān)聯(lián)的邊或角，由它們溝通分散在不同三角形的幾何量．15、1【解析】利用拋物線的定義可知，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1＋x2＝4，那么|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋2，由圖可知|AF|＋|BF|≥|AB|?|AB|≤1，當(dāng)AB過焦點(diǎn)F時(shí)取最大值為1．16、或或【解析】

觀察找到規(guī)律由等差數(shù)列求和可得.【詳解】由觀察找到規(guī)律可得：故可得解.【點(diǎn)睛】本題考查觀察能力和等差數(shù)列求和，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)存在定點(diǎn)，使得恒成立【解析】試題分析：（Ⅰ）作分別垂直和，垂足為，拋物線的焦點(diǎn)為，根據(jù)拋物線的定義可得的最小值即為點(diǎn)到直線的距離，故，從而可得結(jié)果；（Ⅱ）設(shè)，，，，利用導(dǎo)數(shù)得到切線斜率，可設(shè)出切線方程，根據(jù)點(diǎn)在切線上可得到和是一元二次方程的根，利用韋達(dá)定理以及平面向量數(shù)量積公式，可得時(shí)，從而可得結(jié)論.試題解析：（Ⅰ）作分別垂直和，垂足為，拋物線的焦點(diǎn)為，由拋物線定義知，所以，顯見的最小值即為點(diǎn)到直線的距離，故，所以拋物線的方程為．（Ⅱ）由（Ⅰ）知直線的方程為，當(dāng)點(diǎn)在特殊位置時(shí)，顯見兩個(gè)切點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，故要使得，點(diǎn)必須在軸上．故設(shè)，，，，拋物線的方程為，求導(dǎo)得，所以切線的斜率，直線的方程為，又點(diǎn)在直線上，所以，整理得，同理可得，故和是一元二次方程的根，由韋達(dá)定理得，，可見時(shí)，恒成立，所以存在定點(diǎn)，使得恒成立．18、(1)見解析;(2).【解析】

（1）連接交于，并連接，，由空間幾何關(guān)系可證得，利用線面平行的判斷定理可得平面.（2）（法一）取中點(diǎn)，連，，，由二面角的定義結(jié)合幾何體的特征可知為二面角的平面角,計(jì)算可得二面角的余弦值為.（法二）以為原點(diǎn)，、、分別為、、建立直角坐標(biāo)系，則平面法向量可?。?平面的法向量,由空間向量的結(jié)論計(jì)算可得二面角的余弦值為.【詳解】（1）連接交于，并連接，，，，為中點(diǎn)，，且，四邊形為平行四邊形，為中點(diǎn)，又為中點(diǎn)，，平面，平面，平面.（2）（法一）由為正方形可得，.取中點(diǎn)，連，，，側(cè)面底面，且交于，，面，又，為二面角的平面角,又，，，，所以二面角的余弦值為.（法二）由題意可知面，，如圖所示，以為原點(diǎn)，、、分別為、、建立直角坐標(biāo)系，則，，，.平面法向量可?。?平面中，設(shè)法向量為，則,取,，所以二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題主要考查線面平行的判斷定理，二面角的定義與求解，空間向量的應(yīng)用等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.19、（Ⅰ）或；（Ⅱ）是小于等于的所有實(shí)數(shù)值.【解析】

（Ⅰ）根據(jù)所給的遞推公式，把，用表示，然后根據(jù)，，成等比數(shù)列，列出等式，求出；（Ⅱ）根據(jù)所給的遞推公式，把，用表示，然后根據(jù)，，成等差數(shù)列，列出等式，求出；【詳解】（I）因?yàn)?，所以，因?yàn)?，，成等比?shù)列，所以，①時(shí)，所以，得；②當(dāng)，所以，得（舍）或綜合①②可知，或.（II）因?yàn)?，所以，，因，，，成等差?shù)列，而顯然，，成等差數(shù)列且公差為4，所以得，即，故即所求是小于等于的所有實(shí)數(shù)值.【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義，考查了絕對(duì)值的運(yùn)算，考查了數(shù)列遞推公式的應(yīng)用，考查了分類思想.20、（1）.（2）【解析】

利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算化簡(jiǎn)，再由實(shí)部為0且虛部不為0求解；

求出，再由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加法運(yùn)算化簡(jiǎn)，由實(shí)部大于0且虛部小于0聯(lián)立不等式組求解．【詳解】（1）由，得，又為純虛數(shù)，所以，且，所以.（2），又復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，所以，且，所以的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的基本概念，考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，屬于中檔題．21、答案見解析【解析】

由題意首先求得n的值，然后結(jié)合展開式的通項(xiàng)公式即可確定展開式中所有有理項(xiàng).【詳解】由題意可得：，解得：，則展開式的通項(xiàng)公式為：，由于且，故當(dāng)時(shí)展開式為有理項(xiàng)，分別為：，，.【點(diǎn)睛】(1)二項(xiàng)式定理的核心是通項(xiàng)公式，求解此類問題可以分兩步完成：第一步根據(jù)所給出的條件(特定項(xiàng))和通項(xiàng)公式，建立方程來確定指數(shù)(求解時(shí)要注意二項(xiàng)式系數(shù)中n和r的隱含條件，即n，r均為非負(fù)整數(shù)，且n≥r，如常數(shù)項(xiàng)指數(shù)為零、有理項(xiàng)指數(shù)為整數(shù)等)；第二步是根據(jù)所求的指數(shù)，再求所求解的項(xiàng)．(2)求兩個(gè)多項(xiàng)式的積的特定項(xiàng)，可先化簡(jiǎn)或利用分類加法計(jì)數(shù)原理討論求解．22、（1）H(x)單增區(qū)間為(0,1)，單減區(qū)間為(1,+∞)（2）a>0【解析】

（1）求出導(dǎo)函數(shù)H'(x)，由H'(x)>0確定增區(qū)間，由H'(x