2017-2018學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷 word版

2017-2018學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷word版2017-2018學(xué)年第二學(xué)期期中測(cè)試高二數(shù)學(xué)試題一．選擇題（每小題5分，共60分）1.復(fù)數(shù)5i/(1-2i)的值為（）A．2-iB．1-2iC．-2+iD．-1+2i2.在平均變化率的定義中，自變量的增量Δx應(yīng)滿足（）A．Δx>0B．Δx<0C．Δx≠0D．Δx=03.函數(shù)y=e^-2的導(dǎo)數(shù)為（）A.-2e^-3B.-2e^-1C.e^-2D.04.曲線xy=xe^(2x+1)在點(diǎn)（0,1）處的切線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是（）A．-9B．-3C．1D．35.設(shè)a∈R，若函數(shù)y=ex+ax,x∈R有大于零的極值點(diǎn)，則（）A.a<-1B.a>-1C.a>-eD.a<-e6.設(shè)函數(shù)f(x)=xm+ax的導(dǎo)函數(shù)f'(x)=2x+1，則∫(2,1)f(-x)d(x)的值等于（）A.6B.2C.3D.57.觀察下列各式：7/273=49/343=74/2401=…則72011的末兩位數(shù)字為（）A.01B.43C.07D.498.用數(shù)學(xué)歸納法證明1+2/2+3/2+…+(2n-1)/2<(n+1)^2（n∈N*）時(shí)，第一步即證下述哪個(gè)不等式成立（）A.1<2B.1+2/2<2C.1+2/2+3/2<2D.1+2/2+3/2+…+(2n-1)/2<(n+1)^29.拋物線y=x^2-2x+3與直線y=2x-1相交于點(diǎn)P和Q，點(diǎn)Q在點(diǎn)P的右下方，則點(diǎn)P到直線y=x的距離為（）A．√10/2B．√5/2C．1/2D．√2/210．曲線y=cosx，x∈[0,π/2]與坐標(biāo)軸圍成的面積為（）A．4B．2C．π/2D．3/211.f'(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)，且f(x)=-2x^2+2xf'(2017)+2017lnx，則f'(1)=（）12.已知f(x)是定義在R上的函數(shù)，f'(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)，且f'(x)＞1-f(x)，f(0)=6，則不等式e^xf(x)＞e^x+5的解集為（）A.(0,+∞)B.(-∞,3)∪(3,+∞)C.(-∞,1)∪(1,+∞)D.(3,+∞)二．填空題（每題5分，共30分）13．函數(shù)y=log3(3-2x)的導(dǎo)數(shù)是___________14.∫(-2,2)√(4-x^2)d(x)=___________15.已知函數(shù)f(x)=x^3-3x^2-9x+5，g(x)=x^2-2x-3，則f(x)÷g(x)=___________1.函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)(5,f(5))處的切線方程為y=-x+8，f'(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù)。求f(5)+f'(5)。解答：根據(jù)題意，可知f'(5)為切線的斜率，即f'(5)=-1。由切線方程可知，f(5)為切線與y軸的交點(diǎn)，即f(5)=8。所以，f(5)+f'(5)=8-1=7。2.若a>0,b>0,且函數(shù)f(x)=4x-ax-2bx在x=1處有極值，則ab的最大值等于多少？解答：根據(jù)題意，可知f'(1)=0，即4-a-2b=0。又因?yàn)樵趚=1處有極值，所以f''(1)<0，即-2a<0，即a>0。將f'(1)=0代入f(x)中，可得f(1)=2-a-b。由于f(x)在x=1處有極值，所以a>0且b>0，即2-a-b<0。將f'(1)=0代入2-a-b<0中，可得a+2b>2。根據(jù)均值不等式，可知ab<=(a+b)^2/4。將a+2b>2代入其中，可得ab<=(a+b)^2/4<=(3a+3b)^2/4=9(a^2+b^2)/4。所以，ab的最大值為9/4。3.設(shè)函數(shù)f(x)=cos(3x+θ)(0<θ<π)，若f(x)+f'(x)為奇函數(shù)，則θ等于多少？解答：根據(jù)題意，可知f'(x)=-3sin(3x+θ)，f(x)+f'(x)=cos(3x+θ)-3sin(3x+θ)。由于f(x)+f'(x)為奇函數(shù)，所以f(x)+f'(x)在x=0處為0。代入可得cosθ=0，即θ=π/2或3π/2。由于0<θ<π，所以θ=π/2。4.函數(shù)y=x+2cosx在區(qū)間[0,π]上的最大值是多少？解答：將y=x+2cosx求導(dǎo)，可得y'=1-2sinx。令y'=0，可得sinx=1/2，即x=π/6或5π/6。將x=π/6或5π/6代入y=x+2cosx中，可得y=π/6+√3或5π/6-√3。所以，在區(qū)間[0,π]上，函數(shù)y=x+2cosx的最大值為5π/6-√3。計(jì)算題（本大題共5小題，每小題12分，共60分）19.求由拋物線y=-x^2+4x-3及其在點(diǎn)A(0,-3)和點(diǎn)B(3,0)處的切線所圍成圖形的面積。解答：首先求出拋物線在點(diǎn)A和點(diǎn)B處的切線方程。在點(diǎn)A處，拋物線的切線斜率為f'(0)=-3，切線方程為y=-3x-3。在點(diǎn)B處，拋物線的切線斜率為f'(3)=3，切線方程為y=3x-9。將兩條切線方程聯(lián)立，可得它們的交點(diǎn)為(2,-3)。所以，所求圖形的面積為∫[0,2](-x^2+4x-3+3x-9)dx+∫[2,3](-x^2+4x-3-3x+9)dx=8/3。20.已知函數(shù)f(x)=2x+ax+bx+1的導(dǎo)數(shù)為f'(x)，并且函數(shù)y=f'(x)的圖像關(guān)于直線x=-1/2對(duì)稱，f'(1)=1/2。求實(shí)數(shù)a,b的值和函數(shù)f(x)的極值。解答：由題意，可得f'(x)=2+a+2bx，f''(x)=2b。因?yàn)閥=f'(x)的圖像關(guān)于直線x=-1/2對(duì)稱，所以f'(-1/2)=f'(3/2)，即2+a-b=2+a+3b，解得b=1/4。又因?yàn)閒'(1)=1/2，所以2+a+1/2=1/2，解得a=-3/2。將a,b代入f(x)中，可得f(x)=x^2-5x+1/2。求導(dǎo)可得f'(x)=2x-5，令f'(x)=0，可得極值點(diǎn)x=5/2。所以，函數(shù)f(x)的極值為f(5/2)=-11/4。21.已知數(shù)列{an}滿足Sn=2n-an(n∈N+)。(1)分別計(jì)算a1，a2，a3，a4，并且由此猜想出通項(xiàng)公式an。(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想。解答：(1)當(dāng)n=1時(shí)，S1=2-a1，所以a1=2-S1=1。當(dāng)n=2時(shí)，S2=4-a2，所以a2=4-S2=2。當(dāng)n=3時(shí)，S3=6-a3，所以a3=6-S3=3。當(dāng)n=4時(shí)，S4=8-a4，所以a4=8-S4=4。由此可猜想，an=n。(2)當(dāng)n=1時(shí)，顯然成立。假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)成立，即ak=k。當(dāng)n=k+1時(shí)，由Sn=2n-an可得Sk=2k-ak，所以Sk+1=2(k+1)-ak+1=2k+2-a(k+1)=2k+2-(k+1)=k+1。所以，當(dāng)n=k+1時(shí)，猜想仍然成立。根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法原理，猜想成立。22.已知兩個(gè)函數(shù)分別為f(x)=lnx，g(x)=f(x)+f'(x)。(1)求g(x)的單調(diào)區(qū)間和最小值。(2)求a的取值范圍，使得g(a)-g(x)<a對(duì)任意x>a成立。(3)討論g(x)與x的大小關(guān)系。解答：(1)g(x)=lnx+1/x，g'(x)=1/x-1/x^2=(x-1)/x^2，所以g(x)在(0,1)和(1,+∞)上單調(diào)遞增，在x=1處取得最小值g(1)=0。(2)當(dāng)x>a時(shí)，g(x)-g(a)=ln(x/a)+(x-a)/xa<ln(x/a)+1，所以ln(x/a)+1<a，即ln(x/a)<a-1。當(dāng)a>1時(shí)，由于lnx在(0,+∞)上單調(diào)遞增，所以x/a<e^(a-1)，即x<ae^(a-1)。當(dāng)0<a<1時(shí)，由于lnx在(0,+∞)上單調(diào)遞減，所以x/a>e^(a-1)，即x>ae^(a-1)。所以，當(dāng)a>1時(shí)，a<e^(a-1)；當(dāng)0<a<1時(shí)，a>e^(a-1)。(3)當(dāng)x>a時(shí)，g(x)-x=lnx+1/x-x=(lnx-x^2+1)/x，所以g(x)>x當(dāng)且僅當(dāng)lnx-x^2+1>0，即x<√(e-1/2)或x>√(e+1/2)。當(dāng)0<x<a時(shí)，g(x)-x=lnx+1/x-x=(lnx-x^2+1)/x，所以g(x)<x當(dāng)且僅當(dāng)lnx-x^2+1<0，即x>√(e-1/2)或x<√(e+1/2)。當(dāng)x=√(e-1/2)或x=√(e+1/2)時(shí)，g(x)=x。綜上所述，g(x)與x的大小關(guān)系如下表所示：x<√(e-1/2)x=√(e-1/2)√(e-1/2)<x<√(e+1/2)x=√(e+1/2)x>√(e+1/2)g(x)>xg(x)=xg(x)<xg(x)=xg(x)>x把文章的格式錯(cuò)誤刪除，刪除明顯有問(wèn)題的段落，然后對(duì)每段話進(jìn)行小幅度的