動(dòng)動(dòng)量矩方程

動(dòng)動(dòng)量矩方程第1頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月§12-1質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩§12-2動(dòng)量矩定理§12-3剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程§12-4剛體對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量§12-5質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理§12-6剛體的平面運(yùn)動(dòng)微分方程目錄第2頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月F

dAB

動(dòng)量矩,矢量，又稱為矢量矩矢方向垂直于矢徑r與動(dòng)量mv所形成的平面，指向按右手法則確定，其大小為

質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量矩質(zhì)點(diǎn)M的動(dòng)量對(duì)于O點(diǎn)的矩，定義為質(zhì)點(diǎn)對(duì)于O點(diǎn)的動(dòng)量矩，即面積在國(guó)際單位制中，動(dòng)量矩的單位是kgm2s-1?！?/p>

12-1質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩第3頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月如果以矩心O為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系Oxyz，根據(jù)矢量積的定義，有

質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量對(duì)固定點(diǎn)的動(dòng)量矩矢在通過該點(diǎn)的任一固定軸上的投影等于質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量對(duì)該固定軸的動(dòng)量矩動(dòng)量矩的量綱是§

12-1質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩第4頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量矩質(zhì)點(diǎn)系中所有各質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量對(duì)于固定點(diǎn)O的動(dòng)量矩矢之和稱之為該質(zhì)點(diǎn)系對(duì)O點(diǎn)的動(dòng)量矩。投影形式

質(zhì)點(diǎn)系對(duì)某固定點(diǎn)O的動(dòng)量矩矢在通過該點(diǎn)的軸上的投影等于質(zhì)點(diǎn)系對(duì)該軸的動(dòng)量矩。

對(duì)于平面問題，即質(zhì)點(diǎn)始終在某平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)的情形，動(dòng)量矩矢總是垂直于該平面，只需把它定義為代數(shù)量，并規(guī)定逆時(shí)針方向?yàn)檎?，順時(shí)針方向?yàn)樨?fù)。

§

12-1質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩第5頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月xxyyzzdBOA質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量矩定理F

質(zhì)點(diǎn)對(duì)固定點(diǎn)的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)等于作用于質(zhì)點(diǎn)上的力對(duì)同一點(diǎn)的力矩?！?/p>

12-2動(dòng)量矩定理第6頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月n個(gè)方程的矢量和質(zhì)系動(dòng)量矩定理設(shè)質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)有n個(gè)質(zhì)點(diǎn)，作用在第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)上的力有內(nèi)力和外力，按質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理，有i=1，2，…，n質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量矩定理:質(zhì)點(diǎn)系對(duì)于某固定點(diǎn)O的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)，等于作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力對(duì)同一點(diǎn)的主矩?！?/p>

12-2動(dòng)量矩定理第7頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月質(zhì)系對(duì)于x，y，z軸的動(dòng)量矩等于質(zhì)系中各質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量對(duì)于x，y，z軸動(dòng)量矩的代數(shù)和。動(dòng)量矩定理的投影形式質(zhì)點(diǎn)系對(duì)某定軸的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)，等于作用于質(zhì)點(diǎn)系上的外力對(duì)該軸之矩的代數(shù)和?！?/p>

12-2動(dòng)量矩定理第8頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月內(nèi)力不能改變質(zhì)系的動(dòng)量矩，只有作用于質(zhì)系的外力才能使質(zhì)系的動(dòng)量矩發(fā)生變化。在特殊情況下外力系對(duì)O點(diǎn)的主矩為零，則質(zhì)系對(duì)O點(diǎn)的動(dòng)量矩為一常矢量，即常矢量外力系對(duì)某軸力矩的代數(shù)和為零，則質(zhì)系對(duì)該軸的動(dòng)量矩為一常數(shù)。=常量d動(dòng)量矩守恒§

12-2動(dòng)量矩定理第9頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月動(dòng)量矩守恒§

12-2動(dòng)量矩定理bmhgkjllllldgfghfh如質(zhì)點(diǎn)在有心力F作用下的運(yùn)動(dòng)，如圖，此時(shí)，所以＝常，即的大小和方向不變，即質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量矩守恒。

①方向不變，即質(zhì)點(diǎn)在r與mv

組成的平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，且此平面在空間的方位不變；②大小不變，即＝常，得＝常數(shù)，或＝常數(shù)。為矢徑在單位時(shí)間內(nèi)掃過的面積，稱為面積速度。所以在有心力作用下質(zhì)點(diǎn)的面積速度不變。第10頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月§12-3

剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程剛體對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)軸的動(dòng)量矩等于剛體對(duì)該軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與角速度的乘積。設(shè)剛體在外力作用下繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)，角速度，角加速度。令z軸與轉(zhuǎn)軸重合，剛體對(duì)z軸的動(dòng)量矩為

應(yīng)用質(zhì)系對(duì)z軸的動(dòng)量矩方程，得：第11頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月此式稱為剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的微分方程由于約束力對(duì)z軸的力矩為零，所以方程中只需考慮主動(dòng)力的矩（1）外力矩Mz越大，剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的角加速度也越大。當(dāng)Mz=0時(shí)，角加速度

=0，剛體作勻速轉(zhuǎn)動(dòng)或保持靜止。（2）在同樣的外力矩作用下，剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Jz越大，角加速度越小。Jz反映了剛體保持其勻速轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)能力的大小，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是剛體轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的慣性度量。

§12-3

剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程第12頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月例12-3已知?jiǎng)傮w的質(zhì)量為m，質(zhì)心到轉(zhuǎn)軸O的距離OC=a，剛體繞水平軸O作微幅擺動(dòng)的周期為T，求剛體相對(duì)于轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。解：建立剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程式，以擺的平衡位置作為角的起點(diǎn)，逆時(shí)針方向?yàn)檎?，作微幅擺動(dòng)時(shí)，，簡(jiǎn)化為

微分方程的通解為其中及由運(yùn)動(dòng)的初始條件確定，而振動(dòng)的周期為§12-3

剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程第13頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月例12-4卷揚(yáng)機(jī)的傳動(dòng)輪系如圖，設(shè)軸I和各自轉(zhuǎn)動(dòng)部分對(duì)其軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為I1和I2，軸I的齒輪C上受主動(dòng)力矩M的作用，卷筒提升的重齒輪A、B的節(jié)園半徑為，兩輪角加速度之比。卷筒半徑為R，不計(jì)軸承摩擦及繩的質(zhì)量。求重物的加速度?！?2-3

剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程第14頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月解：本題二根固定軸必須拆開，分別以兩軸及與其固連的齒輪為研究對(duì)象。軸I除受主動(dòng)力矩M和重力、軸承約束力外，還受有齒輪力Ft及Fn，現(xiàn)假設(shè)1與M的方向相同如圖。為使方程正負(fù)號(hào)簡(jiǎn)單，一般約定以的轉(zhuǎn)向?yàn)檎?，于是軸I的轉(zhuǎn)動(dòng)方程為再以軸和重物W為研究對(duì)象，畫出其受力圖。按運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系畫出2

(1反向)，以2轉(zhuǎn)向?yàn)檎瑧?yīng)用質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩定理，§12-3

剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程第15頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月式中有三個(gè)未知量1、2和Ft，還需建立補(bǔ)充方程。由運(yùn)動(dòng)學(xué)重物上升的加速度聯(lián)立解得§12-3

剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程第16頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月例12-5均質(zhì)梁AB長(zhǎng)l，重W，由鉸鏈A和繩所支持。若突然剪斷聯(lián)結(jié)B點(diǎn)的軟繩，求繩斷前后鉸鏈A的約束力的改變量。解：以梁為研究對(duì)象，繩未斷以前是靜力學(xué)問題。由靜平衡方程可求出繩未斷時(shí)，鉸鏈A的約束力繩斷之后，梁AB將繞A點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)。繩斷瞬時(shí)，

=0。應(yīng)用轉(zhuǎn)動(dòng)方程§12-3

剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程第17頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月再應(yīng)用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理求約束力。圖示瞬時(shí)，質(zhì)心C的加速度于是，繩斷前后，鉸鏈A約束力的改變量為§12-3

剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程第18頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月例12-6阿特伍德機(jī)的滑輪質(zhì)量為M，且均勻分布，半徑為r。兩重物系于繩的兩端，質(zhì)量分別為m1和m2。試求重物的加速度。解：以整體為研究對(duì)象，畫受力圖。設(shè)滑輪有逆時(shí)針方向的轉(zhuǎn)動(dòng)，角速度為，則滑輪對(duì)軸O的動(dòng)量矩、兩重物對(duì)軸O的動(dòng)量矩分別為

系統(tǒng)對(duì)軸O的動(dòng)量矩為上述三項(xiàng)動(dòng)量矩之和，即§12-3

剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程第19頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月應(yīng)用動(dòng)量矩定理重物的加速度§12-3

剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程第20頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月例12-7圖中質(zhì)量m1=5kg，半徑r=30cm的均質(zhì)圓盤，可繞鉛直軸z轉(zhuǎn)動(dòng)，在圓盤中心用鉸鏈D連接質(zhì)量m2=4kg的均質(zhì)細(xì)桿AB，AB桿長(zhǎng)為2r，可繞D轉(zhuǎn)動(dòng)。當(dāng)AB桿在鉛直位置時(shí)，圓盤的角速度為，試求桿轉(zhuǎn)到水平位置碰到銷釘C而相對(duì)靜止時(shí)，圓盤的角速度。解：以圓盤、桿及軸為研究對(duì)象，畫出其受力圖。由受力分析看出，在AB桿由鉛直位置轉(zhuǎn)至水平位置的整個(gè)過程中，作用在質(zhì)點(diǎn)系上所有外力對(duì)z軸之矩為零，即。因此，質(zhì)點(diǎn)系對(duì)z軸的動(dòng)量矩守恒。例題§12-3

剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程第21頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月桿在鉛直位置時(shí)，只有圓盤對(duì)z軸的動(dòng)量矩桿在水平位置時(shí)，設(shè)系統(tǒng)的角速度為1，系統(tǒng)包含圓盤及桿對(duì)z軸的動(dòng)量矩。系統(tǒng)動(dòng)量矩守恒將有關(guān)數(shù)值代入§12-3

剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程第22頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月

剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是描述剛體的質(zhì)量分布的另一個(gè)特征量。剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是剛體轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)慣性的度量，它等于剛體內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量與其到轉(zhuǎn)軸的垂直距離平方的乘積之和。轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與質(zhì)量大小有關(guān)，且與質(zhì)量的分布有關(guān)。§12-4剛體對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量若剛體的質(zhì)量是連續(xù)分布的，剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量公式轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的量綱是在國(guó)際單位制中，它的單位為千克·米2（㎏·m2）第23頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月

剛體對(duì)z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量也可用另一形式來表示。設(shè)剛體的總質(zhì)量為M，則rz稱為剛體對(duì)軸的回轉(zhuǎn)半徑或慣性半徑§12-4剛體對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量回轉(zhuǎn)半徑的物理意義為：

若將物體的質(zhì)量集中在以為半徑、為對(duì)稱軸的細(xì)圓環(huán)上，則轉(zhuǎn)動(dòng)慣量不變。

第24頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月等截面的均質(zhì)細(xì)長(zhǎng)桿

桿AB長(zhǎng)為l，質(zhì)量為m，該桿對(duì)于：1）通過質(zhì)心O且與桿垂直的y軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；2）與y軸相平行的y軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。解：設(shè)坐標(biāo)系Oxy的x軸沿著桿的軸線。該桿線密度（單位長(zhǎng)度的質(zhì)量）=m/l，則單元體dx的質(zhì)量dm=dx，于是

§12-4剛體對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量簡(jiǎn)單形狀的均質(zhì)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算

第25頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月2.圓板對(duì)其直徑軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量圖中厚度相等的均質(zhì)薄圓板的半徑為R，質(zhì)量為m.解：首先，將圓板分成無數(shù)同心的單元圓環(huán)，則單元圓環(huán)的質(zhì)量單元圓環(huán)對(duì)于中心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是r2dm

§12-4剛體對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量第26頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月

轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的平行軸定理轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的平行軸定理：剛體對(duì)任一軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，等于剛體對(duì)于通過質(zhì)心并與該軸平行的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，加上剛體的質(zhì)量與此兩軸間距離平方的乘積。即分別以O(shè)、C兩點(diǎn)為原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，則§12-4剛體對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量第27頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月注意到Cxy的坐標(biāo)原點(diǎn)與質(zhì)心C重合通過質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量最小§12-4剛體對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量第28頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月

當(dāng)物體由幾個(gè)簡(jiǎn)單幾何形狀的物體組成時(shí)，計(jì)算整體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量時(shí)，可先分別計(jì)算每一簡(jiǎn)單幾何形體對(duì)同一軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，然后求和即可。如果物體有空心部分，可把這部分的質(zhì)量視為負(fù)值來處理?！?2-4剛體對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量第29頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月應(yīng)用平行軸定理，有解：擺對(duì)于水平軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量即細(xì)長(zhǎng)桿的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和圓盤的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量例

鐘擺簡(jiǎn)化模型如圖。已知均質(zhì)細(xì)桿和均質(zhì)圓盤的質(zhì)量分別為M1和M2，桿長(zhǎng)為l，圓盤直徑為d，求擺對(duì)于通過懸掛點(diǎn)O的水平軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量IO

§12-4剛體對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量第30頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月§12-4剛體對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量第31頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月§

12.5

質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理質(zhì)系對(duì)于固定點(diǎn)O的動(dòng)量矩與相對(duì)于質(zhì)心C的動(dòng)量矩之間的關(guān)系質(zhì)系對(duì)于固定點(diǎn)O的矩為建立以質(zhì)心C為原點(diǎn)的平移坐標(biāo)系，有第32頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月代入質(zhì)點(diǎn)系對(duì)固定點(diǎn)的動(dòng)量矩定理得

質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于隨質(zhì)心平移坐標(biāo)系的相對(duì)動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)，等于質(zhì)點(diǎn)系的外力對(duì)質(zhì)心之矩的矢量和。這就是相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理

§

12.5

質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理第33頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月質(zhì)系在相對(duì)動(dòng)坐標(biāo)系的運(yùn)動(dòng)中對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩與在絕對(duì)運(yùn)動(dòng)中對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩之間的關(guān)系建立以質(zhì)心C為原點(diǎn)的平移坐標(biāo)系，有質(zhì)系在絕對(duì)運(yùn)動(dòng)中對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩，等于質(zhì)系在相對(duì)質(zhì)心平動(dòng)系的運(yùn)動(dòng)中對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩?！?/p>

12.5

質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理第34頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月質(zhì)系相對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩定理：

在相對(duì)隨質(zhì)心平動(dòng)坐標(biāo)系的運(yùn)動(dòng)中，質(zhì)系對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩對(duì)于時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)，等于外力系對(duì)質(zhì)心的主矩?！?/p>

12.5

質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理第35頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月如將質(zhì)系的運(yùn)動(dòng)分解為跟隨質(zhì)心的平動(dòng)和相對(duì)質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)，則可分別用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理和相對(duì)質(zhì)心動(dòng)量矩定理來建立這兩種運(yùn)動(dòng)與外力系的關(guān)系。質(zhì)系相對(duì)質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)只與外力系對(duì)質(zhì)心的主矩有關(guān)，而與內(nèi)力無關(guān)。當(dāng)外力系相對(duì)質(zhì)心的主矩為零時(shí)，質(zhì)系相對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩守恒。討論§

12.5

質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理第36頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月§

12.6

剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程剛體的平面運(yùn)動(dòng):分解為跟隨質(zhì)心的平動(dòng)和相對(duì)質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)。剛體在相對(duì)運(yùn)動(dòng)中對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩應(yīng)用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理和相對(duì)質(zhì)心動(dòng)量矩定理得剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程第37頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月例

圖中均質(zhì)輪的圓筒上纏一繩索，并作用一水平方向的力200N，輪和圓筒的總質(zhì)量為50kg，對(duì)其質(zhì)心的回轉(zhuǎn)半徑為70mm。已知輪與水平面間的靜、動(dòng)摩擦系數(shù)分別為f=0.20和f=0.15，求輪心O的加速度和輪的角加速度。解：假設(shè)輪子作純滾動(dòng)，受力圖中F為靜滑動(dòng)摩擦力，，輪心的加速度為a，角加速度為。由于滾動(dòng)而不滑動(dòng)，有，即。建立圓輪的平面運(yùn)動(dòng)方程，得§

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剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程第3