數(shù)學物理方法-第8章-分離變數(shù)法課件

第八章分離變數(shù)法第八章分離變數(shù)法1分離變數(shù)法在數(shù)學物理方程中的地位:分離變數(shù)法是求解數(shù)學物理定解問題的基本方法，是貫穿數(shù)學物理方程內(nèi)容的主要線索，本章以分離變數(shù)法為主線，結(jié)合傅里葉級數(shù)法研究求解一維自由波動方程、一維無源輸運方程、直角坐標系中二維無源穩(wěn)定場方程的方法。引言分離變數(shù)法在數(shù)學物理方程中的地位:分離變數(shù)法是求解數(shù)學物理定2§8.1分離變數(shù)法詳析一、分離變數(shù)法介紹長為、兩端固定的均勻弦的自由微小橫振動的定解問題

,,§8.1分離變數(shù)法詳析一、分離變數(shù)法介紹長為、兩端固3即令：

代入定解問題中試解兩邊同除于

把偏微分方程轉(zhuǎn)化為易以求解的常微分方程，從而找出滿足邊界條件與初始條件的解。

思路：即令：代入定解問題中試解兩邊同除于把偏微分方程轉(zhuǎn)化為易以4為常數(shù)又由邊界條件：T(t)：X(x)：為常數(shù)又由邊界條件：T(t)：X(x)：5X(x)：T(t)：討論：（1）考慮邊界條件得：不存滿足邊界條件的、非零的可分離變數(shù)形式的特解

X(x)：T(t)：討論：（1）考慮邊界條件得：不存滿足邊界6(2)考慮邊界條件得：不存滿足邊界條件的、非零的可分離變數(shù)形式的特解

(2)考慮邊界條件得：不存滿足邊界條件的、非零的可分離變數(shù)形7(3)由要有非零解，必須：(3)由要有非零解，必須：8滿足給定邊界條件的可分離變數(shù)形式的特解為：

滿足給定邊界條件的可分離變數(shù)形式的特解為：9由于泛定方程是線性齊次方程，因此這些特解的線性疊加，仍然是泛定方程滿足給定的邊界條件的解。一般解取決于初始狀態(tài)由于泛定方程是線性齊次方程，因此這些特解的線性疊加，仍然是泛10的確定：的確定：11綜上，長為、兩端固定、均勻弦的自由微小橫振動問題的解：綜上，長為、兩端固定、均勻弦的自由微小橫振動問12二、兩端固定的弦振動解的物理意義1.本征解、本征振動本征解本征振動：本征解描述兩端固定的弦固有的振動方式。

二、兩端固定的弦振動解的物理意義1.本征解、本征振動本征解132.行波的一般表示

時刻

時刻P1P2表示以速率沿正向傳播的行波2.行波的一般表示時刻時刻P1P2表示以143.本征解是駐波解其中3.本征解是駐波解其中154.駐波形成條件駐波的波長只能取特定值。駐波的波長只能取某些特定值駐波的相位傳播速率駐波的角頻率基波

高次諧波

4.駐波形成條件駐波的波長只能取特定值。駐波16三、分離變數(shù)法的適用范圍分離變數(shù)法僅適用于求解具有齊次泛定方程和齊次邊界條件的定解問題。

若定解問題的泛定方程非齊次，或邊界條件非齊次，必須用其它辦法將邊界條件和泛定方程轉(zhuǎn)換成齊次的，然后應(yīng)用分離變數(shù)法求解。三、分離變數(shù)法的適用范圍分離變數(shù)法僅適用于求解具有齊次泛定方17四、分離變數(shù)法求解定解問題的基本步驟線性齊次的偏微分方程分離變數(shù)常微分方程1常微分方程2齊次邊界條件分離變數(shù)條件解1解2本征解（解1＊解2）本征值本征函數(shù)初始條件確定疊加系數(shù)四、分離變數(shù)法求解定解問題的基本步驟線性齊次的分離常微分方程18五、付里葉級數(shù)法代入方程令五、付里葉級數(shù)法代入方程令19——與采用分離變數(shù)法所得結(jié)果一致?！c采用分離變數(shù)法所得結(jié)果一致。20§8.2直角坐標系中有界空間上的齊次泛定方程例1：兩端自由的均勻桿的縱振動問題§8.2直角坐標系中有界空間上的齊次泛定方程例1：兩端自由的21解：由邊界條件，把展開為傅里葉余弦級數(shù)可滿足此條件，代入得

解：由邊界條件，把展開為傅里葉余弦級數(shù)可滿足此條件，代入得22由初始條件由初始條件23，，

，24【討論】本征解與泛定方程、邊界條件類型的關(guān)系的解本征值問題的解本征值問題的微分方程分離變數(shù)邊界條件泛定方程兩端自由的桿的縱振動兩端固定的弦的橫振動【討論】本征解與泛定方程、邊界條件類型的關(guān)系的解本征值25例2：研究細桿導熱問題，初始時刻桿的一端溫度為零度，另一端溫度為，桿上溫度梯度均勻，零度的一端保持溫度不變，另一端跟外界絕熱。試求細桿上溫度的變化。解:不妨設(shè)端為溫度保持零度的端，即端與外界絕熱，即本導熱問題可表示為:例2：研究細桿導熱問題，初始時刻桿的一端溫度為零度，另一端溫26【解法一】分離變數(shù)法令【解法一】分離變數(shù)法令27當時齊次方程組只有零解無意義。

當時齊次方程組只有零解無意義。28當時無意義

當時無意義29當時齊次方程組有非零解當時齊次方程組30數(shù)學物理方法-第8章-分離變數(shù)法ppt課件31【解法二】付里葉級數(shù)法把限制在上得滿足邊界條件的傅里葉級數(shù)展開為傅里葉級數(shù)【解法二】付里葉級數(shù)法把限制在上得滿足邊界條件的傅里葉級數(shù)展32代入一維無源熱傳導方程得：

解得則與分離變數(shù)法相同

代入一維無源熱傳導方程得：解得則與分離變數(shù)法相同33【討論】，的解本征值問題的解本征值問題的微分方程分離變數(shù)邊界條件泛定方程本例（熱傳導問題）兩端固定的弦的橫振動【討論】，的解本征值問題的解本征值問題34例3：細桿導熱問題。桿的初始溫度是均勻的，保持桿的一端的溫度為不的，至于另一端則有強度恒定的熱流流入。解：

，，

例3：細桿導熱問題。桿的初始溫度是均勻的，保持桿的35因邊界條件非齊次，必須將其轉(zhuǎn)換為齊次邊界條件，才能應(yīng)用分離變數(shù)法。設(shè)是滿足

的特解

令此時泛定方程是齊次的、邊界條件也是齊次的

因邊界條件非齊次，必須將其轉(zhuǎn)換為齊次邊界條件，才能應(yīng)用分離變36令的定解問題轉(zhuǎn)換為的定解問題令的定解問題轉(zhuǎn)換為37數(shù)學物理方法-第8章-分離變數(shù)法ppt課件38例4：如圖所示，散熱片的橫截面為矩形，它的一邊處于較高溫度，其他邊,和則處于冷卻介質(zhì)中因而保持較低的溫度。試求解這橫截面上的穩(wěn)定溫度分布。xyOaUbu0u0例4：如圖所示，散熱片的橫截面為矩形，它的一邊39解：本問題是二維無源穩(wěn)定溫度分布，其定解問題可表為【方法一】疊加法令解：本問題是二維無源穩(wěn)定溫度分布，其定解問題可表為【方法一】40和的定解問題均是齊次的泛定方程，且一個變量的邊界條件是齊次邊界條件，均可用分離變數(shù)法求解。和的定41【方法二】溫標移動法令（為新溫標的零點）

根據(jù)邊界條件：把展開為傅里葉正弦級數(shù)，即【方法二】溫標移動法令（為新溫標的零點）根據(jù)邊界42代入

得：求疊加系數(shù)

代入得：求疊加系數(shù)43因此散熱片內(nèi)的穩(wěn)定溫度分布為因此散熱片內(nèi)的穩(wěn)定溫度分布為44【討論】

的解本征值問題的解本征值問題方程分離變數(shù)邊界條件泛定方程本例（矩形域穩(wěn)定場問題）兩端固定的弦的橫振動【討論】本征值問題的解本征值問題45本章小結(jié)

本章研究當邊界條件是齊次邊界條件時，一維自由波動方程、一維無源輸運方程、矩形域無源穩(wěn)定場方程的求解。分離變數(shù)法是基本方法，傅里葉級數(shù)法是輔助方法。本章小結(jié)本章研究當邊界條件是齊次邊界條件時，一維自由波動方461.直角坐標系中有限區(qū)間上（或矩形區(qū)域內(nèi)）分離變數(shù)法求解定解問題的基本步驟，本征值問題的求解方法。2.駐波解的物理意義。3.直角坐標系中有限區(qū)間上（或矩形區(qū)域內(nèi)）分離變數(shù)法適用的定解問題。4.直角坐標系中有限區(qū)間上（或矩形區(qū)域內(nèi)）一些基本定解問題的解。有12種基本類型如下表所示。1.直角坐標系中有限區(qū)間上（或矩形區(qū)域內(nèi)）分離變數(shù)法求解定47表：直角坐標系中有限區(qū)間上(或矩形區(qū)域內(nèi))12種