泛函分析課件

泛函分析導(dǎo)引泛函分析導(dǎo)引1泛函分析概覽

形成于20世紀(jì)30年代的數(shù)學(xué)分支

從變分問題，積分方程和理論物理的研究中發(fā)展而來

綜合運(yùn)用了函數(shù)論，幾何學(xué)，代數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)

可看成是無限維向量空間的解析幾何及數(shù)學(xué)分析泛函分析概覽 形成于20世紀(jì)30年代的數(shù)學(xué)分支2研究?jī)?nèi)容

無限維向量空間上的函數(shù)，算子和極限理論

研究拓?fù)渚€性空間到拓?fù)渚€性空間之間滿足各種拓?fù)浜痛鷶?shù)條件的映射研究?jī)?nèi)容 無限維向量空間上的函數(shù)，算子和極限理論3泛函分析的產(chǎn)生

十九世紀(jì)后數(shù)學(xué)發(fā)展進(jìn)入了一個(gè)嶄新階段

對(duì)歐幾里得第五公設(shè)的研究，引出了非歐幾何

對(duì)于代數(shù)方程求解的研究，建立并發(fā)展了群論

對(duì)數(shù)學(xué)分析的研究又建立了集合論

二十世紀(jì)初出現(xiàn)了把分析學(xué)一般化的趨勢(shì)

瑞典數(shù)學(xué)家弗列特荷姆和法國(guó)數(shù)學(xué)家阿達(dá)瑪發(fā)表的著作

希爾伯特空間的提出

分析學(xué)中許多新理論的形成，揭示出分析、幾何、代數(shù)的許多概念和方法常常存在相似的地方

代數(shù)方程求根和微分方程求解都可以應(yīng)用逐次逼近法，并且解的存在和唯一性條件也極其相似

非歐幾何的確立拓廣了人們對(duì)空間的認(rèn)知，n維空間幾何的產(chǎn)生允許我們把多變函數(shù)用幾何學(xué)的語言解釋成多維空間的影響泛函分析的產(chǎn)生 十九世紀(jì)后數(shù)學(xué)發(fā)展進(jìn)入了一個(gè)嶄新階段4泛函分析的產(chǎn)生

函數(shù)概念被賦予了更為一般的意義

古典分析中的函數(shù)概念是指兩個(gè)數(shù)集之間所建立的一種對(duì)應(yīng)關(guān)系

現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展卻是要求建立兩個(gè)任意集合之間的某種對(duì)應(yīng)關(guān)系

在數(shù)學(xué)上，把無限維空間到無限維空間的變換叫做算子

研究無限維線性空間上的泛函數(shù)和算子理論，就產(chǎn)生了一門新的分析數(shù)學(xué)，叫做泛函分析。泛函分析的產(chǎn)生 函數(shù)概念被賦予了更為一般的意義5泛函分析的特點(diǎn)

把古典分析的基本概念和方法

一般化

幾何化

從有限維到無窮維

泛函分析對(duì)于研究現(xiàn)代物理學(xué)是一個(gè)有力的工具

從質(zhì)點(diǎn)力學(xué)過渡到連續(xù)介質(zhì)力學(xué)，就要由有窮自由度系統(tǒng)過渡到無窮自由度系統(tǒng)

現(xiàn)代物理學(xué)中的量子場(chǎng)理論就屬于無窮自由度系統(tǒng)泛函分析的特點(diǎn) 把古典分析的基本概念和方法6泛函分析的主要研究?jī)?nèi)容

泛函分析自身

算子譜理論、巴拿赫代數(shù)、拓?fù)渚€性空間理論、廣義函數(shù)論

與其他數(shù)學(xué)學(xué)科的關(guān)聯(lián)

微分方程、概率論、函數(shù)論、連續(xù)介質(zhì)力學(xué)、計(jì)算數(shù)學(xué)、控制論、最優(yōu)化理論等學(xué)科中都有重要的應(yīng)用，建立群上調(diào)和分析理論的基本工具

與其他科學(xué)學(xué)科的關(guān)聯(lián)

連續(xù)介質(zhì)力學(xué)、量子物理學(xué)，是研究無限個(gè)自由度物理系統(tǒng)的重要而自然的工具之一泛函分析的主要研究?jī)?nèi)容 泛函分析自身7Lp[a,b]空間

表示區(qū)間[a,b]絕對(duì)值的p次冪L可積函數(shù)的全體，并把幾乎處處相等的函數(shù)看成是同一個(gè)函數(shù)。

拓展古典分析中的概念Lebesgue測(cè)度Lebesgue積分x(t)

L

[a,

b],

x(t)dt

(p

1)存在bppaLp[a,b]空間 表示區(qū)間[a,b]絕對(duì)值的p次冪L可積8從Riemann積分到Lebesgue積分Riemann積分的定義：

設(shè)

f(x)是定義在[a,b]上的有界函數(shù)

在[a,b]上任意取一組分點(diǎn)a=x0<x1…<xn-1<xn=b,并任意取ξi

∈

[xi-1,xi](i=1,2,…,n)，作和式nS

f

(i

)Δxii1

若其極限存在則稱Riemann可積nΔx

0i1(R)

f

(x)dx

lim

f

(i

)Δxiba從Riemann積分到Lebesgue積分Riemann積分9從Riemann積分到Lebesgue積分

Riemann積分的思想是，將曲邊梯形分成若干個(gè)小曲邊梯形，并用每一個(gè)小曲邊梯形的面積用小矩形來代替，小矩形的面積之和就是積分值的近似。剖分越精細(xì)，近似程度越好。

不可積分的反例：Dirichlet函數(shù)

該函數(shù)太不連續(xù)了，在小區(qū)間內(nèi)變化很大?1,D(x)

?當(dāng)x為有理數(shù)?0,

當(dāng)x為無理數(shù)從Riemann積分到Lebesgue積分Riema10從Riemann積分到Lebesgue積分

Legesgue積分的思想是，優(yōu)先照顧函數(shù)取值，將函數(shù)值相差不大的那些x集中起來，考慮集合Ei={x

|yi-1<f

(x)<yi

}，然后求其長(zhǎng)度，

yi

m(Ei)和yi-1m(Ei)用來近似所對(duì)應(yīng)的那塊面積，最后再對(duì)所有的小塊積分Dirichlet函數(shù)仍舊可以積分?1,D(x)

?當(dāng)x為有理數(shù)?0,

當(dāng)x為無理數(shù)從Riemann積分到Lebesgue積分 Legesgu11從Riemann積分到Lebesgue積分

Legesgue積分方法所面臨的問題：

給定直線上的點(diǎn)集E，如何定義它的“長(zhǎng)度”？引出了集合測(cè)度的概念

對(duì)于任何實(shí)數(shù)a和b，點(diǎn)集{x|a≤f(x)<

b}是否有長(zhǎng)度？該問題與函數(shù)y

=

f

(x)的性質(zhì)密切相關(guān)，引出了可測(cè)函數(shù)的概念從Riemann積分到Lebesgue積分 Legesgu12泛函分析中的三個(gè)“空間”概念

距離空間

Banach空間（完備的賦范線性空間）

Hilbert空間（完備的內(nèi)積空間）大千世界，具云：三千大千世界。四大部洲之上，加須彌山半腰的四天王天，及須彌山頂?shù)拟崂欤⒖臻g中的夜摩天、兜率天、化樂天、他化自在天等六天為欲界。再加上層的大梵天、梵眾天、梵輔天等，色界初禪天為一世界，千個(gè)世界為小千世界。又一小千世界，具千日、千月、千須彌山、千四大部洲、千四天王天、千忉利天、千夜摩天、千兜率天、千化樂天、千他化自在天、千梵天等。又千個(gè)小千世界為中千世界，具百萬日月、百萬須彌山、百萬四天下、百萬六欲天、百萬初禪天及千個(gè)二禪天。又千個(gè)中千世界為大千世界，具百億日月、百億須彌山、百億四天下、百億六欲天、百億初禪天、百億二禪天及千個(gè)三禪天。所謂三千世界，乃小千、中千、大千之所指三數(shù)目的千世界。又云大千，即指三千之中的大為目標(biāo)，故說「三千大千世界」，略云「大千世界」。泛函分析中的三個(gè)“空間”概念 距離空間大千世界，具云：三千13距離空間：定義

設(shè)X是非空集合，對(duì)于X中的任意兩元素x與y，按某一法則都對(duì)應(yīng)唯一的實(shí)數(shù)ρ(x,

y)，并滿足以下三條公理（距離公理）：1. 非負(fù)性：

ρ(x,

y)

≥0，

ρ(x,y)

=0當(dāng)且僅當(dāng)x=y；2. 對(duì)稱性：

ρ(x,

y)=ρ(y,

x)；3. 三角不等式；對(duì)任意的x,y,zρ(x,

y)

≤

ρ(x,

z) +

ρ(z,y)

則稱ρ(x,

y)為x與

y間的距離（或度量），并稱X是以ρ為距離的距離空間（或度量空間），記成(X,

ρ)，或簡(jiǎn)記為X；X中的元素稱為X中的點(diǎn)．距離空間：定義 設(shè)X是非空集合，對(duì)于X中的任意兩元素x與y14距離空間：注記

所謂距離空間，就是在集合X內(nèi)引入了距離．

在一個(gè)集合中，定義距離的方式不唯一。如果對(duì)同一個(gè)集合X引入的距離不同那么所構(gòu)成的距離空間也不同

在集合互中引入距離后，我們就說在X中引入了拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)

極限是數(shù)學(xué)分析中的基本概念之一，有了它可以派生出許多其它概念．泛函分析用距離來導(dǎo)出一般化的極限概念．

如n→∞時(shí)xn→a，我們應(yīng)理解為xn與a的距離當(dāng)n→∞時(shí)趨向于零．距離空間：注記 所謂距離空間，就是在集合X內(nèi)引入了距離．15距離空間：

Rn

n

維實(shí)（或復(fù)）Euclid空間

Rn是

n

維向量x=(a1,a2,…,an)的全體，其中ai是實(shí)（或復(fù)）數(shù).

對(duì)任何的x

=

(a1,a2,…,an),y=

(b1,b2,…,bn),規(guī)定

則Rn是距離空間1/

2

(x,

y)

?

(a

b

)2

??

i

i?

i??距離空間：Rn n維實(shí)（或復(fù)）Euclid空間Rn16距離空間：

Lp[a,b]

Lp[a,b]表示區(qū)間[a,b]絕對(duì)值的p次冪L可積函數(shù)的全體，并把幾乎處處相等的函數(shù)看成是同一個(gè)函數(shù)，對(duì)于x,

y∈Lp[a,b]，規(guī)定

則Lp[a,b]構(gòu)成一個(gè)距離空間，稱之為p次冪可積函數(shù)空間1/

p

(x,

y)

?x(t)

y(t)dt

?

,p

1bp?

a???距離空間：Lp[a,b]Lp[a,b]表示區(qū)間[a,17距離空間：開集與閉集

鄰域：給定距離空間

X

(x)

{y

|

(x,

y)

,

y

X

}

開集：設(shè)G

X，x

G，若存在

(x)

G，則x為G的內(nèi)點(diǎn)若G上的每一點(diǎn)都是內(nèi)點(diǎn)，G是X的開集

閉集：其補(bǔ)集是開集距離空間：開集與閉集 鄰域：給定距離空間X18距離空間：稠密性

設(shè)A,B為距離空間(

X,ρ)中的兩個(gè)集合，若對(duì)任意的x

∈A，總存在yn∈A，使得yn

→

x，則稱B在A中稠密

例子

有理數(shù)集R0在實(shí)數(shù)集R中稠密

多項(xiàng)式集P在連續(xù)函數(shù)集C[a,b]中稠密距離空間：稠密性設(shè)A,B為距離空間(X,ρ)中的兩19距離空間：可分性

設(shè)

X

是距離空間，如果

X中存在一個(gè)可列子集X0，使得X0在X中稠密，則距離空間

X

是可分的

例子n維Euclid空間是可分的

連續(xù)函數(shù)集C[a,b]是可分的

目的：用簡(jiǎn)單的逼近復(fù)雜的距離空間：可分性 設(shè)X是距離空間，如果X中存在一個(gè)20距離空間的完備性

柯西序列

設(shè){xn}是(X,ρ)中的點(diǎn)列，若對(duì)任意的ε>0，存在N>0，當(dāng)n,m>N時(shí)，有ρ(xn,

xm)<

ε.

則稱

{xn}是X中的柯西(Cauchy)序列，或稱基本序列

收斂的序列必然是柯西序列，而柯西序列未必是收斂的序列——空間的不完備性

若距離空間(X,ρ)中的每一個(gè)柯西序列都收斂于(X,ρ)中的某一元素，則稱(X,ρ)是完備的距離空間距離空間的完備性 柯西序列21距離空間的完備性

C[a,b]和

Lp[a,b]都是完備距離空間距離空間的完備性 C[a,b]和Lp[a,b]都是完備距22距離空間：不動(dòng)點(diǎn)原理

定義：設(shè)(X,

ρ)為距離空間，T是

X

到

X中

的映照，如果存在數(shù)a

(0<a<1)，使得對(duì)所有的x,y∈X都有ρ(Tx,

Ty)<aρ(x,y)，則稱T是壓縮映照

定理：完備距離空間

X上的壓縮映照T，必存唯一的不動(dòng)點(diǎn)x*,使得Tx*=x*.

（Banach壓縮映照定理）距離空間：不動(dòng)點(diǎn)原理 定義：設(shè)(X,ρ)為距離空間，T是23距離空間：不動(dòng)點(diǎn)原理

應(yīng)用：微分方程，代數(shù)方程，積分方程解的唯一存在性

例子：Fredholm第二類積分方程b

對(duì)充分小的|

λ

|，可證

當(dāng)f∈

C[a,

b]，

K(s,t)∈

C[a,

b;

a,

b]時(shí)有唯一連續(xù)解

當(dāng)f∈

L2[a,b]，

K(s,t)∈

L2

[a,

b;

a,

b]時(shí)有唯一平方可積解x(s)

f

(s)

K

(s,

t)x(t)dta距離空間：不動(dòng)點(diǎn)原理 應(yīng)用：微分方程，代數(shù)方程，積分方程解24線性空間

設(shè)V是一個(gè)非空集合，K是實(shí)（或復(fù)）數(shù)域，并可在其上定義“加法”，“數(shù)乘”運(yùn)算，而且滿足以下公理

加法交換律：x+y

=

y+x

加法結(jié)合律：(x+y)+z

=

x+(y+z)

存在零元：x+0=x

存在逆元：x+(-x)=0

數(shù)乘：1x=xa(bx)=(ab)x(a+b)x=ax+bxa(x+y)=ax+ay

則稱V是數(shù)域K上的線性空間x,y,z

∈Va,b∈K線性空間 設(shè)V是一個(gè)非空集合，K是實(shí)（或復(fù)）數(shù)域，并可在其25范數(shù)與賦范線性空間

設(shè)X是實(shí)（或復(fù)）線性空間，如果對(duì)于X中每個(gè)元素x，按照一定的法則對(duì)應(yīng)于實(shí)數(shù)||x||，且滿足：

||x||≥0，

||x||=0當(dāng)且僅當(dāng)x等于零元（x=0）

||ax||=|a|||x||，

a是實(shí)（或復(fù)）數(shù)

||x+y||≤||x||

+||y||

則稱X是實(shí)（或復(fù)）賦范線性空間，

||x||稱為x的范數(shù)

賦范線性空間必然是距離空間：

定義ρ(x,y)=||x－

y||范數(shù)與賦范線性空間 設(shè)X是實(shí)（或復(fù)）線性空間，如果對(duì)于X中26范數(shù)與賦范線性空間

距離空間未必是賦范空間

反例：所有數(shù)列構(gòu)成的空間

定義距離：

取S

{(x1

,

x2

,...,

xn

,...)

|

xi

R}i

1

2

1

1

(x,

y)xi

yiixi

yix

(1,1,...,1,...),

(0,

0,...,

0,...)i

1

2 1

2 3

1

2

2

(2x,

)

ii

1

1

2

1

(x,

)

2 11 2i2

(x,

)

(2x,

)范數(shù)與賦范線性空間 距離空間未必是賦范空間 反例：所有數(shù)27巴拿赫(Banach)空間

如果賦范線性空間

(X,

||.||)是完備的，則稱(X,

||.||)是Banach空間

例子n

維Euclid空間Rn是Banach空間

Lp[a,b](p≥1)是Banach空間，定義范數(shù)1/

px(t)dt

?

,

p

1bp?

ax

????巴拿赫(Banach)空間 如果賦范線性空間(X,||28巴拿赫(Banach)空間例子：Ck[a,b]是Banach空間

Ck[a,b]表示定義在區(qū)間[a,b]上k階連續(xù)可導(dǎo)的函數(shù)全體.

在Ck[a,b]定義范數(shù)x

max

x(

j

)

(t)

,

x(0)

(t)

x(t)

C[a,

b]j

0

回憶在變分中提到的k階接近度k巴拿赫(Banach)空間例子：Ck[a,b]是Banach29有限維賦范線性空間

線性空間的維數(shù)：若線性空間

X中存在

n個(gè)線性無關(guān)的元素e1,e2,…,en,使得任意的x∈X都可以唯一的表示為x

c1e1

c2

e2

...

cnen

則稱{e1,e2,…,en}是X的基底，數(shù)組{c1,c2,…,cn}是x關(guān)于基底的坐標(biāo)，n是線性空間的維數(shù)

有限維賦范線性空間可以等價(jià)于Euclid空間

有限維線性空間與Euclid空間是線性同構(gòu)的

有限維賦范線性空間上的范數(shù)定義是等價(jià)的

有限維賦范線性空間是完備，可分的有限維賦范線性空間 線性空間的維數(shù)：若線性空間X中存在30有界線性算子

設(shè)T是由賦范線性空間

X中的某個(gè)子集

D

到賦范線性空間

X1

中的一個(gè)映照，則稱

T

是算子. D

是

T的定義域，記為D(T)，像集{y

|y=Tx,

x∈D}是T的值域，記為T(D)

.

若T進(jìn)一步滿足

可加性：T(x+y)=Tx+Ty

齊次性：T(ax)=aT(x)

則T是線性算子

若存在正數(shù)M使得對(duì)于一切x∈D(T)，有||Tx||≤

M||x||，則T是有界算子有界線性算子 設(shè)T是由賦范線性空間X中的某個(gè)子集D31有界線性算子

T是有界線性算子等價(jià)于T是連續(xù)線性算子

算子的范數(shù)：

對(duì)于一切x∈D(T)有||Tx||

≤

M||x||都成立的M的下確界，稱作算子的范數(shù)，記為||T||有界線性算子 T是有界線性算子等價(jià)于T是連續(xù)線性算子 算32有界線性算子

對(duì)于任何x∈L[a,b]定義

則T為L(zhǎng)[a,b]到其自身的有界線性算子，且T

b

a

容易證明線性

其次

等號(hào)成立情況(Tx)(t)

x(s)dstax(s)

dsdtTx(t)

dt

x(s)ds

dtx(s)

ds

dt

dtx(s)

ds

(b

a)

xbb taa abtaabbbbaaaaTx

有界線性算子 對(duì)于任何x∈L[a,b]定義 則T為L(zhǎng)[a33有界線性算子空間

定理：設(shè)

X

和

X1

都是賦范線性空間，在B(X,

X1)中定義加法和數(shù)乘運(yùn)算：(T1+T2)x=T1x+T2x (T1,T2∈

B(X,X1)

，x∈X)(aT)x=a(Tx)(T

∈

B(X,X1)

，a是數(shù))

則B(X,

X1)按照以上的線性運(yùn)算是一個(gè)線性空間，并以前述算子范數(shù)的定義構(gòu)成賦范線性空間若X1是Banach空間，則B(X,

X1)也是Banach空間有界線性算子空間 定理：設(shè)X和X1都是賦范線性空34有界線性算子空間：共軛空間

若X1是實(shí)數(shù)（或復(fù)數(shù)）域R，則B(X,

X1)稱為共軛空間，記為

X*

X*是定義在X上的所有有界線性泛函所構(gòu)成的賦范線性空間，泛函f∈

X*的范數(shù)是f

sup f

(x)x

1

實(shí)數(shù)（或復(fù)數(shù)）域R是完備的，因此共軛空間必定是Banach空間有界線性算子空間：共軛空間 若X1是實(shí)數(shù)（或復(fù)數(shù)）域R，則35不同的收斂方式

定義Tn，T∈

B(X,

X1)

，n=1,2,…

若||Tn-T||→0,稱Tn按算子范數(shù)收斂于T(n→∞)，或稱Tn一致收斂于T

若對(duì)于任意的x，均有||Tnx-Tx||→0，則稱Tn強(qiáng)收斂于T

定義fn，f∈

X*，n=1,2,…

若||fn–f||→0，則稱fn強(qiáng)收斂于f(n→∞)

若對(duì)于任意的x，均有||

fnx

–

fx||→0，則稱

fn

弱*收斂于f(n→∞)

若對(duì)于任意的f，均有||

f(xn)–

f(x)||→0，則稱

xn弱收斂于x(n→∞)不同的收斂方式 定義Tn，T∈B(X,X1)，n=136Lp[a,b](p>1)上的有界線性泛函

設(shè)x∈Lp[a,b]，y∈Lq[a,b]，且1/p+1/q=1，則Lp[a,b]上的有界線性泛函是

且(Lp[a,b])*=

Lq[a,b]

當(dāng)p=q=2時(shí)，

(Lp[a,b])*=

Lq[a,b]，故空間L2[a,b]是自共軛空間f

(x)

x(t)

y(t)dtbaLp[a,b](p>1)上的有界線性泛函 設(shè)x∈Lp[a37賦范線性空間的幾個(gè)重要定理

非零有界線性泛函存在定理

逆算子定理

類似于反函數(shù)定理：?jiǎn)握{(diào)函數(shù)必存在反函數(shù)

有界線性算子T將Banach空間

X一一的映照到Banach空間

Y

，則

T的逆算子線性有界特例：Fourier變換，Laplace變換賦范線性空間的幾個(gè)重要定理 非零有界線性泛函存在定理38賦范線性空間的幾個(gè)重要定理

閉圖象定理

設(shè)T是定義在Banach空間X上值域包含在Banach空間Y上的線性算子，則T是有界算子的充要條件是T是閉算子

線性算子T的圖像GT

(x,Tx)

|

x

D(T

)

X

Y

是

X×Y中的閉集，則稱T是閉算子

閉圖象定理常用來驗(yàn)證算子的連續(xù)性賦范線性空間的幾個(gè)重要定理 閉圖象定理39賦范線性空間的幾個(gè)重要定理

共鳴定理：

對(duì)于有界線性算子序列，若代入每一個(gè)值都有上界，則有界線性算子序列本身有界。

可用于證明

Lagrange插值多項(xiàng)式作為連續(xù)函數(shù)近似表達(dá)時(shí)，插值點(diǎn)無限增多并不能更好的逼近插值函數(shù)。

存在連續(xù)函數(shù)其Fourier級(jí)數(shù)無法一致收斂賦范線性空間的幾個(gè)重要定理 共鳴定理：40有界線性算子的正則集與譜

相似性

矩陣的特征分解

Ax–

λx=yFourier級(jí)數(shù)展開有界線性算子的正則集與譜 相似性41內(nèi)積空間

幾何化：引入正交投影的概念

定義：設(shè)

X

是定義在實(shí)（或復(fù)）數(shù)域K上的線性空間，若對(duì)于X

任意一對(duì)有序元素x,y,

恒對(duì)應(yīng)數(shù)域K的值(x,

y)，且滿足

(ax,y)

=

a(x,y)；

(x+y,

z)=(x,z)

+(x,z)

(x,x)

≥0，且(x,

x)=0的充要條件是x=0

則稱X為內(nèi)積空間，(x,

y)稱為x,

y的內(nèi)積(x,

y)

(

y,

x)內(nèi)積空間 幾何化：引入正交投影的概念 (x,x)≥42Hilbert空間

可由內(nèi)積導(dǎo)出范數(shù)

完備的內(nèi)積空間稱為希爾伯特(Hilbert)空間Hilbert空間必為Banach空間x

x,

xHilbert空間 可由內(nèi)積導(dǎo)出范數(shù) 完備的內(nèi)積空間稱為43Hilbert空間

L2[a,b]中定義x,y的內(nèi)積(x,y)為

因此，

L2[a,b]是一個(gè)可分的Hilbert空間

Lp[a,b](p≠2)不可能誘導(dǎo)由范數(shù)誘導(dǎo)出內(nèi)積空間(x,

y)

x(t)

y(t)dt,

x(t),

y(t)