第六章-二次型習(xí)題課課件

線性代數(shù)習(xí)題講解線性代數(shù)習(xí)題講解第六章二次型一、要點(diǎn)復(fù)習(xí)二、作業(yè)講解三、典型例題介紹第六章二次型一、要點(diǎn)復(fù)習(xí)2二次型定義矩陣表示可逆線性變換標(biāo)準(zhǔn)二次型正交變換配方法正定二次型正定矩陣定義判定一、要點(diǎn)復(fù)習(xí)二次型定義矩陣表示可逆線性變換標(biāo)準(zhǔn)二次型正交變換配方法正定二31.

二次型及其矩陣表示定義6.1含有個(gè)變量的二次齊次函數(shù)稱為元二次型，用矩陣表示為其中向量，矩陣稱為對(duì)稱矩陣的二次型，并稱的秩為該二次型的秩.所以是對(duì)稱矩陣，稱為二次型的矩陣，注二次型的矩陣要求是對(duì)稱矩陣.還有正定矩陣也是這樣.1.二次型及其矩陣表示定義6.1含有個(gè)變量4稱為的標(biāo)準(zhǔn)形或法式.稱這時(shí)的標(biāo)準(zhǔn)形為的規(guī)范形，即特別地，當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形中的系數(shù)只取1，-1或0時(shí)，只含平方項(xiàng)的二次型2.

二次型的標(biāo)準(zhǔn)形

二次型的標(biāo)準(zhǔn)形不唯一，但其規(guī)范形唯一（在實(shí)變換下）.標(biāo)準(zhǔn)形中所含非零平方項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)等于二次型的秩.

稱為的標(biāo)準(zhǔn)形或法式.稱這時(shí)的標(biāo)準(zhǔn)形為53.合同變換

對(duì)于階方陣，如果存在可逆方陣，使

則稱為合同矩陣或稱與合同，變換稱為合同變換，矩陣稱為合同變換矩陣.對(duì)任意可逆方陣，若對(duì)稱，則也對(duì)稱且

用可逆變換把實(shí)二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形等同于用合同變換把實(shí)對(duì)稱矩陣化為對(duì)角矩陣.實(shí)對(duì)稱矩陣可以用正交的相似變換對(duì)角化，又正交的相似變換也是合同變換.3.合同變換64.化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型方法和步驟定理任給實(shí)二次型總有正交變換

使化為標(biāo)準(zhǔn)形其中是的矩陣的特征值.（1）用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形4.化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型方法和步驟定理任給實(shí)二次型7步驟:第一步寫出二次型所對(duì)應(yīng)的實(shí)對(duì)稱矩陣；第二步求出的所有特征值；第三步對(duì)的每一特征值求出對(duì)應(yīng)的特征向量，把對(duì)應(yīng)于特征單根的特征向量規(guī)范化，對(duì)應(yīng)于特征重根的特征向量正交化、規(guī)范化；第四步以全體正交規(guī)范化向量為列向量構(gòu)成正交矩陣，得正交變換；第五步寫出標(biāo)準(zhǔn)形，其中為的特征值，其順序應(yīng)和中的列特征向量順序相對(duì)應(yīng).以上步驟與把實(shí)對(duì)稱矩陣化為對(duì)角陣的步驟基本一致.步驟:8(2)用配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形

這種方法是將二次型的各項(xiàng)歸并成完全平方項(xiàng)，即不含交叉項(xiàng)，再對(duì)這些平方項(xiàng)引入新變量以達(dá)到二次型成為關(guān)于新變量的平方項(xiàng)之和.具體做法是：如果二次型中含有某的平方項(xiàng)，則先把含的各項(xiàng)集中，按配成完全平方，然后按此法對(duì)其它變量配方，直至都配成平方項(xiàng)；如果二次型中不含平方項(xiàng)，但有某個(gè)，則先作一個(gè)可逆的線性變換：

使二次型出現(xiàn)平方項(xiàng)，再按上面方法配方.(2)用配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形95.慣性定理一個(gè)二次型的標(biāo)準(zhǔn)形是不唯一的，但其所含非零項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)是確定的（即二次型的秩）.不僅如此，在限定變換為實(shí)變換時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)形中正平方項(xiàng)的個(gè)數(shù)是不變的（從而負(fù)平方項(xiàng)的個(gè)數(shù)也是不變的）.5.慣性定理106.正定二次型

設(shè)有實(shí)二次型，如果對(duì)任何都（），則稱為正定二次型，并稱對(duì)稱矩陣是正定的，記作；如果對(duì)任何都有則稱為負(fù)定二次型，并稱對(duì)稱矩陣是負(fù)定的，記作.6.正定二次型11判斷實(shí)二次型正定的充要條件（1)實(shí)二次型標(biāo)準(zhǔn)形中的個(gè)系數(shù)全為正；（2)實(shí)二次型的矩陣的特征值全為正；（3)實(shí)二次型的矩陣的各階順序主子式全大于零.至于的負(fù)定性可通過的正定性來判斷.判斷實(shí)二次型正定的充要條件12注判斷一實(shí)對(duì)稱矩陣的正定性可用定義也可用充要條件若是一具體的實(shí)對(duì)稱矩陣一般用順序主子式判斷相對(duì)方便些.另要強(qiáng)調(diào)的是,我們說是正定矩陣是在為實(shí)對(duì)稱矩陣的大前提下講的,離開了這一點(diǎn)就會(huì)犯下列錯(cuò)誤:各階順序主子式大于0的矩陣為正定矩陣；特征值全大于0的矩陣為正定矩陣；對(duì)任意,使的矩陣為正定矩陣.注判斷一實(shí)對(duì)稱矩陣的正定性可用定義也可用充要13二、作業(yè)講解用矩陣記號(hào)表示下列二次型：(1)(2)(3)解：(1)二、作業(yè)講解用矩陣記號(hào)表示下列二次型：解：(1)14(3)(2)(3)(2)152.求一個(gè)正交變換將下列二次型化成標(biāo)準(zhǔn)形：解：得，，當(dāng)時(shí)，特征向量為當(dāng)時(shí)，特征向量為當(dāng)時(shí)，特征向量為分析這是本章的一個(gè)主要問題，只要按步驟求解即可，關(guān)鍵還是求特征值和特征向量。2.求一個(gè)正交變換將下列二次型化成標(biāo)準(zhǔn)形：解：得，，當(dāng)時(shí)16取則利用正交變換二次型可化為標(biāo)準(zhǔn)型取則利用正交變換二次型可化為標(biāo)準(zhǔn)型173.求一個(gè)正交變換將下列二次型化成標(biāo)準(zhǔn)形：解：.得，當(dāng)時(shí)，特征向量為，通過施密特正交化得到，

3.求一個(gè)正交變換將下列二次型化成標(biāo)準(zhǔn)形：解：.得，當(dāng)時(shí)18當(dāng)時(shí)，特征向量為單位化得取則利用正交變換二次型可化為標(biāo)準(zhǔn)型當(dāng)時(shí)，特征向量為單位化得取則利用正交變換二次型可化為標(biāo)準(zhǔn)型194.求一個(gè)正交變換將下列二次型化成標(biāo)準(zhǔn)形：解：得，，當(dāng)時(shí)，特征向量為，當(dāng)時(shí)，特征向量為當(dāng)時(shí)，特征向量為4.求一個(gè)正交變換將下列二次型化成標(biāo)準(zhǔn)形：解：得，，當(dāng)時(shí)20取則利用正交變換二次型可化為標(biāo)準(zhǔn)型取則利用正交變換二次型可化為標(biāo)準(zhǔn)型215.二次型通過正交變換可化為標(biāo)準(zhǔn)形求參數(shù)及所用的正交變換矩陣.

解：二次型矩陣為特征值為，，故，又，得當(dāng)時(shí)，特征向量為當(dāng)時(shí)，特征向量為當(dāng)時(shí)，特征向量為

分析本題是已知二次型通過正交變換所得到的標(biāo)準(zhǔn)形，這等于知道了二次型矩陣的特征值.5.二次型通過正交變換可化為標(biāo)準(zhǔn)形求參數(shù)及所用的正交變換矩22取用正交變換二次型標(biāo)準(zhǔn)型為取用正交變換二次型標(biāo)準(zhǔn)型為236.用配方法化為規(guī)范形，寫出所用變換的矩陣．由得得二次型的規(guī)范型為取C可逆，由變換分析化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形可用正交變換法也可用配方法，這要看題目的具體要求.若無要求，在變量不多時(shí)配方法相對(duì)簡(jiǎn)單些.

解：6.用配方法化為規(guī)范形，寫出所用變換的矩陣．由得得24注用配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形所用的線性變換只是可逆的，這實(shí)際上是對(duì)二次型作了合同變換.而特征向量正交、規(guī)范化所得的變換是正交變換.由于配方的方法不同，因此所作的合同變換是不唯一的，自然所得到的標(biāo)準(zhǔn)形也不唯一.注用配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形所用的線性變換只是可逆的，這實(shí)際257.判別下列二次型的正定性：(1)(2)解：（1）分析：判斷一二次型或?qū)崒?duì)稱矩陣的正定性可用定義也可用充要條件，若是一具體的實(shí)對(duì)稱矩陣一般用順序主子式判斷相對(duì)方便些.故負(fù)定.7.判別下列二次型的正定性：(2)解：（1）分析：判斷一二26(2)故為正定(2)故為正定278.二次型取何值時(shí)是正定二次型？二次型正定即要求所有順序主子式可得時(shí)此二次型正定.

解：二次型矩陣為8.二次型取何值時(shí)是正定二次型？二次型正定即要求所有順序主289.已知為階方陣，是正定矩陣，證明為正定矩陣.是正定矩陣，所以所以，即為對(duì)稱矩陣.證明：因?yàn)闉榈娜我庖粋€(gè)特征值，則是的一個(gè)特征值設(shè)為正定矩陣，所以從而，因此為正定矩陣.因?yàn)榉治霰绢}所涉及的是抽象矩陣，根據(jù)已知條件，可用特征值證明9.已知為階方陣，是正定矩陣，證明為正定矩陣.是正定矩陣，2910.設(shè)為可逆矩陣，，證明為正定二次型．證明：令，因?yàn)榭赡妫?有從而為正定二次型。

對(duì)任意分析本題所涉及的是抽象問題，根據(jù)已知條件，可用定義證明。10.設(shè)為可逆矩陣，，證明為正定二次型．證明：令，因?yàn)榭赡?0三、典型例題介紹解寫出對(duì)應(yīng)的二次型矩陣，并求其特征值例1三、典型例題介紹解寫出對(duì)應(yīng)的二次型矩陣，并求其特征值例131從而得特征值求特征向量將特征向量正交化得正交向量組從而得特征值求特征向量將特征向量正交化得正交向量組32將正交向量組單位化，得正交矩陣將正交向量組單位化，得正交矩陣33于是所求正交變換為于是所求正交變換為34例2判別二次型是否正定.解二次型的矩陣為用特征值判別法.故此二次型為正定二次型.即知是正定矩陣，例2判別二次型是否正定.解二次型的矩陣為用特征值判別35例3判別二次型的正定性.解例3判別二次型的正定性.解36例4設(shè)為階實(shí)對(duì)稱矩陣，試證明：矩陣可逆的充要階方陣，使為正定矩陣.條件是存在證由題設(shè)已知為實(shí)對(duì)稱矩陣，所以又即也為實(shí)對(duì)稱矩陣.所以而為正定矩陣，故為正定矩陣.存在，?。ū匾裕┮蚶?設(shè)為階實(shí)對(duì)稱矩陣，試證明：矩陣可逆的充要階方陣，使為37（充分性）用兩種方法證明：因此，對(duì)任給，恒有即齊次方程組只有零解