【重點突圍】2023學(xué)年九年級數(shù)學(xué)上冊重難點專題提優(yōu)訓(xùn)練（人教版） 相似三角形的基本六大模型(解析版)

相似三角形的基本六大模型考點一（雙）A字型相似考點二（雙）8字型相似考點三母子型相似考點四旋轉(zhuǎn)相似考點五K字型相似考點六三角形內(nèi)接矩形/正方形考點一（雙）A字型相似1．（2021·山東臨沂·三模）如圖在△ABC中DE∥BC若AE＝2EC＝3則△ADE與△ABC的面積之比為（

）A．4：25 B．2：3 C．4：9 D．2：5【答案】A【分析】根據(jù)相似三角形的判定定理得到△ADE∽△ABC根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方計算得到答案．【詳解】解：∵AE=2EC=3∴AC=AE+EC=5∵DEBC∴△ADE∽△ABC∴故選：A．【點睛】本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)掌握相似三角形的面積比等于相似比的平方是解題的關(guān)鍵．2．（2021·安徽·安慶市石化第一中學(xué)九年級期中）圖點H在BC上AC與BD交于點GAB＝2CD＝3求GH的長．【答案】【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理由可證△CGH∽△CAB由性質(zhì)得出由可證△BGH∽△BDC由性質(zhì)得出將兩個式子相加即可求出GH的長．【詳解】解：∵∴∠A=∠HGC∠ABC=∠GHC∴△CGH∽△CAB∴∵∴∠D=∠HGB∠DCB=∠GHB△BGH∽△BDC∴∴∵AB=2CD=3∴解得：GH=．【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)平行線性質(zhì)熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2021·上海市金山初級中學(xué)九年級期中）如圖在△ABC中點D在邊AB上點E、點F在邊AC上且DEBC．（1）求證：DFBE；（2）如且AF＝2EF＝4AB＝6．求證△ADE∽△AEB．【答案】（1）見詳解；（2）見詳解【分析】（1）由題意易得則有進而問題可求證；（2）由（1）及題意可知然后可得進而可證最后問題可求證．【詳解】解：（1）∵DEBC∴∵∴∴DFBE；（2）∵AF＝2EF＝4∴由（1）可知AE=6∵AB＝6∴∴∴∵∠A=∠A∴△ADE∽△AEB．【點睛】本題主要考查相似三角形的判定熟練掌握相似三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．4．（2021·江蘇揚州·九年級期中）王華同學(xué)在晚上由路燈AC走向路燈BD當他走到點P時發(fā)現(xiàn)身后他影子的頂部剛好接觸到路燈AC的底部當他向前再步行12m到達Q點時發(fā)現(xiàn)身前他影子的頂部剛好接觸到路燈BD的底部．已知王華同學(xué)的身高是1.6m兩個路燈的高度都是9.6m．(1)求兩個路燈之間的距離；(2)當王華同學(xué)走到路燈BD處時他在路燈AC下的影子長是多少？【答案】(1)18m(2)3.6m【分析】（1）如圖1先證明△APM∽△ABD利用相似比可得AP＝AB即得BQ＝AB則AB+12+AB＝AB解得AB＝18（m）；（2）如圖2他在路燈AC下的影子為BN證明△NBM∽△NAC利用相似三角形的性質(zhì)得然后利用比例性質(zhì)求出BN即可．(1)如圖1∵PMBD∴△APM∽△ABD即∴AP＝AB∵QB=AP∴BQ＝AB而AP+PQ+BQ＝AB∴AB+12+AB＝AB∴AB＝18．答：兩路燈的距離為18m；(2)如圖2他在路燈AC下的影子為BN∵BMAC∴△NBM∽△NAC∴即解得BN＝3.6．答：當他走到路燈BD時他在路燈AC下的影長是3.6m．【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)要求學(xué)生能根據(jù)題意畫出對應(yīng)圖形能判定出相似三角形以及能利用相似三角形的性質(zhì)即相似三角形的對應(yīng)邊的比相等的原理解決求線段長的問題等蘊含了數(shù)形結(jié)合的思想方法．5．（2022·湖南·寧遠縣水市鎮(zhèn)中學(xué)九年級階段練習(xí)）如圖在中點分別在上且．（1）求證：；（2）若點在上與交于點求證：．【答案】（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）直接利用兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似即可證得結(jié)論；（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)和平行線的判定方法可得EF∥BC于是可得△AEG∽△ABD△AGF∽△ADC再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可推出結(jié)論．【詳解】解：（1）在△AEF和△ABC中∵∴△AEF∽△ABC；（2）∵△AEF∽△ABC∴∠AEF=∠ABC∴EF∥BC∴△AEG∽△ABD△AGF∽△ADC∴,∴．【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)屬于?？碱}型熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．6．（2021·山東·嘉祥縣馬集鎮(zhèn)中學(xué)九年級階段練習(xí)）中現(xiàn)有動點P從點A出發(fā)沿AC向點C方向運動動點Q從點C出發(fā)沿線段CB也向點B方向運動如果點P的速度是4cm/s點Q的速度是2cm/s它們同時出發(fā)當有一點到達所在線段的端點時就停止運動．設(shè)運動時間為t秒．（1）求運動時間為多少秒時P、Q兩點之間的距離為10cm?（2）若的面積為求關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式．（3）當t為多少時以點CPQ為頂點的三角形與相似?【答案】（1）3秒或5秒；（2）；（3）或【分析】（1）根據(jù)題意得到AP=4tcmCQ=2tcmAC=20cmCP=（20-4t）cm根據(jù)三角形的面積公式列方程即可得答案；（2）若運動的時間為ts則CP=（20-4t）cmCQ=2tcm利用三角形的面積計算公式即可得出S=20t-4t2再結(jié)合各線段長度非負即可得出t的取值范圍；（3）分①和②利用相似三角形得出比例式建立方程求解即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：由運動知AP=4tcmCQ=2tcm∵AC=20cm∴CP=（20-4t）cm在Rt△CPQ中即；∴秒或秒（2）由題意得則因此的面積為；（3）分兩種情況：①當時即解得；②當時即解得．因此或時以點、、為頂點的三角形與相似．【點睛】本題考查了勾股定理相似三角形的性質(zhì)用方程的思想解決問題是解本題的關(guān)鍵．7．（2022·上海·九年級專題練習(xí)）已知：矩形ABCD中AB＝9AD＝6點E在對角線AC上且滿足AE＝2EC點F在線段CD上作直線FE交線段AB于點M交直線BC于點N．（1）當CF＝2時求線段BN的長；（2）若設(shè)CF＝x△BNE的面積為y求y關(guān)于x的函數(shù)解析式并寫出自變量的取值范圍；（3）試判斷△BME能不能成為等腰三角形若能請直接寫出x的值．【答案】（1）BN＝10；（2）0＜x＜3；3＜x＜4.5；（3）x＝2或或【分析】（1）由得△CFE∽△AME△NCF∽△NBM進而求得；（2）分為0＜x＜3和3＜x＜4.5兩種情形作EG⊥BC于G根據(jù)三角形相似求出EG和BN；（3）分為BM＝BEEM＝BEEN＝BM三種可根據(jù)BM＝9﹣2CF求得．【詳解】解：（1）如圖1在矩形ABCD中BC＝AD＝6∴△CFE∽△AME△NCF∽△NBM∴,∴AM＝2CF＝4∴BM＝AB﹣AM＝5∴∴BN＝10；（2）當CF＝BM時此時△BEN不存在∴CF＝9﹣2CF∴CF＝3當點M和B點重合時AB＝2CF∴CF＝4.5∴分為0＜x＜3和3＜x＜4.5如圖2當0＜x＜3時作EG⊥BC于G由（1）知EG＝3AM＝2CF＝2x∴BM＝9﹣2x由得∴∴y＝＝＝；如圖3當3＜x＜4.5時由得∴CN＝∴y＝＝；（3）如圖4∵∴∴CG＝CB＝2∴GB＝CB﹣CG＝4∴BE＝5當BM＝BE＝5時9﹣2x＝5∴x＝2如圖5當EM＝EB＝5時作EH⊥AB于H∴BM＝2BH＝2EG＝6∴9﹣2x＝6∴x=如圖6當EM＝BM時作MH⊥BE于H在Rt△BMH中BH＝cos∠MBH＝cos∠BEG＝∴BM＝∴9﹣2x＝∴x＝綜上所述：x＝2或或．【點睛】此題考查相似三角形的判定及性質(zhì)銳角三角函數(shù)勾股定理解直角三角形矩形的性質(zhì)正確引出輔助線及掌握分類思想解決問題是解題的關(guān)鍵．考點二（雙）8字型相似1．（2021·海南?？凇ぞ拍昙壠谀┤鐖D在?ABCD中E為CD的中點連接AE、BD且AE、BD交于點F則：為（

）A．1：5 B．4：25 C．4：31 D．4：35【答案】A【分析】根據(jù)平行四邊形對邊互相平行可得然后求出和相似再根據(jù)相似三角形面積的比等于相似比的平方求出兩三角形的面積的比為1：4設(shè)再根據(jù)等高的三角形的面積的比等于底邊的比求出然后表示出的面積再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得然后相比計算即可得解．【詳解】解：四邊形ABCD是平行四邊形AB=CD∵E為CD的中點∴DE：CD=1：2∵AB//DE∽：：：4EF:AF=1:2設(shè)則：：2：：：2是平行四邊形ABCD的對角線：：：5．故選A．【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)平行四邊形的性質(zhì)熟練掌握相似三角形的判定以及相似三角形面積的比等于相似比的平方是解題的關(guān)鍵不容易考慮到的是等高的三角形的面積的比等于底邊的比的應(yīng)用．2．（2022·全國·九年級課時練習(xí)）如圖在平行四邊形ABCD中點E是AD上一點連接BE交AC于點G延長BE交CD的延長線于點F則的值為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到AB∥CD則可判斷△ABG∽△CFG△ABE∽△DFE于是根據(jù)相似三角形的性質(zhì)和AE＝2ED即可得結(jié)果．【詳解】解：∵四邊形ABCD為平行四邊形∴AB∥CD∴△ABG∽△CFG∴＝∵△ABE∽△DFE∴＝∵AE＝2ED∴AB＝2DF∴＝∴＝．故選：A．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)相似三角形的判定和性質(zhì)解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)進行解題．3．（2021·內(nèi)蒙古·中考真題）如圖在中過點B作垂足為B且連接CD與AB相交于點M過點M作垂足為N．若則MN的長為__________．【答案】【分析】根據(jù)MN⊥BC,AC⊥BC,DB⊥BC得,可得,因為,列出關(guān)于MN的方程即可求出MN的長．【詳解】∵MN⊥BCDB⊥BC,∴AC∥MN∥DB∴∴即,又∵∴解得,故填：．【點睛】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)解題關(guān)鍵是根據(jù)題意得出兩組相似三角形以及它們對應(yīng)邊之比的等量關(guān)系．4．（2022·陜西渭南·八年級期末）如圖在平行四邊形ABCD中E是CD的中點F是AE的中點CF交BE于點G若則___．【答案】2【分析】延長CF、BA交于M根據(jù)已知條件得出EF＝AFCE＝DC根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出DC∥ABDC＝AB根據(jù)全等三角形的判定得出△CEF≌△MAF根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出CE＝AM求出BM＝3CE根據(jù)相似三角形的判定得出△CEG∽△MBG根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出比例式再求出答案即可．【詳解】解：延長CF、BA交于M∵E是CD的中點F是AE的中點∴EF＝AFCE＝DC∵四邊形ABCD是平行四邊形∴DC∥ABDC＝AB∴CE＝AB∠ECF＝∠M在△CEF和△MAF中∴△CEF≌△MAF（AAS）∴CE＝AM∵CE＝AB∴BM＝3CE∵DC∥AB∴△CEG∽△MBG∴∵BE＝8∴解得：GE＝2故答案為：2．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)平行四邊形的性質(zhì)全等三角形的性質(zhì)和判定相似三角形的性質(zhì)和判定等知識點能綜合運用知識點進行推理和計算是解此題的關(guān)鍵．5．（2021·重慶·九年級期末）如圖與交于且．（1）求證：∽．（2）若求的長．【答案】（1）證明見解析；（2）．【分析】（1）根據(jù)相似三角形的判定解答即可；（2）因為∽根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可知代入數(shù)據(jù)解答即可．【詳解】證明：（1）∽；（2）∽．【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)掌握相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．（2021·上海市奉賢區(qū)古華中學(xué)九年級期中）已知：如圖四邊形ABCD是平行四邊形在邊AB的延長線上截取BE＝AB點F在AE的延長線上CE和DF交于點MBC和DF交于點N聯(lián)結(jié)BD．（1）求證：△BND∽△CNM；（2）如果AD2＝AB?AF求證：CM?AB＝DM?CN．【答案】（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）利用平行四邊形的性質(zhì)得AB=CDAB∥CD再證明四邊形BECD為平行四邊形得到BD∥CE根據(jù)相似三角形的判定方法由CM∥DB可判斷△BND∽△CNM；（2）先利用AD2=AB?AF可證明△ADB∽△AFD則∠1=∠F再根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠F=∠4∠2=∠3所以∠3=∠4加上∠NMC=∠CMD于是可判斷△MNC∽△MCD所以MC：MD=CN：CD然后利用CD=AB和比例的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形∴AB=CDAB∥CD而BE=AB∴BE=CD而BE∥CD∴四邊形BECD為平行四邊形∴BD∥CE∵CM∥DB∴△BND∽△CNM；（2）∵AD2=AB?AF∴AD：AB=AF：AD而∠DAB=∠FAD∴△ADB∽△AFD∴∠1=∠F∵CD∥AFBD∥CE∴∠F=∠4∠2=∠3∴∠3=∠4而∠NMC=∠CMD∴△MNC∽△MCD∴MC：MD=CN：CD∴MC?CD=MD?CN而CD=AB∴CM?AB=DM?CN．【點睛】本題考查了三角形相似的判定與性質(zhì)：在判定兩個三角形相似時應(yīng)注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件以充分發(fā)揮基本圖形的作用尋找相似三角形的一般方法是通過作平行線構(gòu)造相似三角形．在運用相似三角形的性質(zhì)時主要利用相似比計算線段的長．也考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)．7．（2021·四川廣元·中考真題）如圖在平行四邊形中E為邊的中點連接若的延長線和的延長線相交于點F．（1）求證：；（2）連接和相交于點為G若的面積為2求平行四邊形的面積．【答案】（1）證明見解析；（2）24．【分析】（1）根據(jù)E是邊DC的中點可以得到再根據(jù)四邊形ABCD是平行四邊形可以得到再根據(jù)即可得到則答案可證；（2）先證明根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出進而得出由得則答案可解．【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形∴∴∵點E為DC的中點∴在和中∴∴∴；（2）∵四邊形ABCD是平行四邊形點E為DC的中點∴∴∴∵的面積為2∴即∵∴∴∴∴．【點睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)相似三角形的判定和性質(zhì)解答本題的關(guān)鍵是明確題意利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．8．（2020·四川成都·八年級期末）如圖1在矩形ABCO中OA＝8OC＝6DE分別是ABBC上一點AD＝2CE＝3OE與CD相交于點F．（1）求證：OE⊥CD；（2）如圖2點G是CD的中點延長OG交BC于H求CH的長．【答案】（1）見解析；（2）CH的長為6．【分析】（1）根據(jù)四邊形ABCO是矩形可得OA=BC=8OC=AB=6根據(jù)勾股定理可得OE和CP的長進而得EF和CF的長再根據(jù)勾股定理的逆定理即可得OE⊥CD；（2）在Rt△CBD中CB=8BD=AB-AD=6-2=4根據(jù)勾股定理可得CD=4根據(jù)點G是CD的中點可得CG=DG=2所以得點G是CP的三等分點根據(jù)OA∥BC對應(yīng)邊成比例即可求出CH的長．【詳解】（1）∵四邊形ABCO是矩形∴OA=BC=8OC=AB=6在Rt△OCE中CE=3∴OE=∵AB∥OC即AD∥OC且AD=2∴∴∴PA=4∴PO=PA+OA=12∴在Rt△OPC中OC=6∴CP=∵OA∥BC即OP∥CE∴∴∴EF=OE=CF=CP=∵()2+()2==9∴EF2+CF2=CE2∴△CEF是直角三角形∴∠CFE=90°∴OE⊥CD；（2）在Rt△CBD中CB=8BD=AB﹣AD=6﹣2=4根據(jù)勾股定理得CD=∵點G是CD的中點∴CG=DG=2由（1）知：CP=6∴DP=CP﹣CD=2∴點G是CP的三等分點∵OA∥BC即OP∥CH∴∴∴CH=6．答：CH的長為6．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、勾股定理及其逆定理的應(yīng)用、相似三角形的判定與性質(zhì)以及平行線分線段成比例定理解決本題的關(guān)鍵是掌握矩形的性質(zhì)．考點三母子型相似1．（2021·北京市師達中學(xué)九年級階段練習(xí)）如圖中點在邊上且若則的長為______．【答案】2【分析】由∠ACD=∠ABC、∠A=∠A即可得出△ABC∽△ACD根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得出代入AC、AD的值可求出AB的長再根據(jù)BD=AB-AD即可求出結(jié)論．【詳解】解：∵∠ACD=∠ABC∠A=∠A∴△ABC∽△ACD∴．∵AC=AD=1∴∴AB=3∴BD=AB-AD=3-1=2．故答案為2【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)牢記相似三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．2．（2021·山西·中考真題）如圖在中點是邊上的一點且連接并取的中點連接若且則的長為__________．【答案】．【分析】延長BE交AC于點F過D點作由可得此時為等腰直角三角形E為CD的中點且則在等腰中根據(jù)勾股定理求得長度由可得,即由可得即,求得．【詳解】如下圖延長BE交AC于點F過D點作∵∴為等腰．由題意可得E為CD的中點且∴在等腰中又∵在∴（AAS）∴∵∴∴∴．故答案為：．【點睛】本題考察了等腰直角三角形的性質(zhì)勾股定理求對應(yīng)邊的長度全等三角形的性質(zhì)與判定相似三角形的性質(zhì)與判定構(gòu)造合適的相似三角形綜合運用以上性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2021·安徽滁州·九年級期中）如圖在△ABC中D是BC上的點E是AD上一點且∠BAD＝∠ECA．（1）求證：AC2＝BC?CD；（2）若AD是△ABC的中線求的值．【答案】（1）證明見解析；（2）【分析】（1）首先利用相似三角形的判定得出得進而求出再利用相似三角形的性質(zhì)得出答案即可；（2）由可證進而得出再由（1）可證由此即可得出線段之間關(guān)系．【詳解】（1）證明：．（2）解：AD是△ABC的中線即：∴．【點睛】此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及重心的性質(zhì)等知識根據(jù)已知得出是解題關(guān)鍵．4．（2022·江蘇省南菁高級中學(xué)實驗學(xué)校九年級階段練習(xí)）如圖在△ABC中點D在BC邊上點E在AC邊上且AD＝AB∠DEC＝∠B．（1）求證：△AED∽△ADC；（2）若AE＝1EC＝3求AB的長．【答案】（1）見解析；（2）2【分析】（1）利用三角形外角的性質(zhì)及∠DEC=∠ADB可得出∠ADE=∠C結(jié)合∠DAE=∠CAD即可證出△AED∽△ADC；（2）利用相似三角形的性質(zhì)可求出AD的長再結(jié)合AD=AB即可得出AB的長．【詳解】解：（1）證明：∵∠DEC=∠DAE+∠ADE∠ADB=∠DAE+∠C∠DEC=∠ADB∴∠ADE=∠C．又∵∠DAE=∠CAD∴△AED∽△ADC．（2）∵△AED∽△ADC∴即∴AD＝2或AD＝﹣2（舍去）．又∵AD＝AB∴AB＝2【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)解題的關(guān)鍵是：（1）利用“兩角對應(yīng)相等兩三角形相似”證出△AED∽△ADC；（2）利用相似三角形的性質(zhì)求出AD的長．5．（2020·浙江紹興·九年級期末）如果兩個相似三角形的對應(yīng)邊存在2倍關(guān)系則稱這兩個相似三角形互為母子三角形．（1）如果與互為母子三角形則的值可能為（

）A．2

B．

C．2或（2）已知：如圖1中是的角平分線．求證：與互為母子三角形．（3）如圖2中是中線過射線上點作交射線于點連結(jié)射線與射線交于點若與互為母子三角形．求的值．【答案】（1）C；（2）見解析；（3）或3．【分析】（1）根據(jù)互為母子三角形的定義即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)兩角對應(yīng)相等兩三角形相似得出再根據(jù)從而得出結(jié)論；（3）根據(jù)題意畫出圖形分當分別在線段上時和當分別在射線上時兩種情況加以討論；【詳解】（1）∵與互為母子三角形∴或2故選：C（2）是的角平分線．又與互為母子三角形．

（3）如圖當分別在線段上時與互為母子三角形是中線又．．如圖當分別在射線上時與互為母子三角形是中線又．．綜上所述或3【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、分類討論的數(shù)學(xué)思想以及接受與理解新生事物的能力．準確理解題設(shè)條件中互為母子三角形的定義是正確解題的先決條件在分析與解決問題的過程中要考慮全面進行分類討論避免漏解．考點四旋轉(zhuǎn)相似1．（2022·吉林長春·九年級期末）在同一平面內(nèi)如圖①將兩個全等的等腰直角三角形擺放在一起點A為公共頂點．如圖②若△ABC固定不動把△ADE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)使AD、AE與邊BC的交點分別為M、N點M不與點B重合點N不與點C重合．【探究】求證：．【應(yīng)用】已知等腰直角三角形的斜邊長為4．(1)的值為______．(2)若則MN的長為______．【答案】(1)8(2)【探究】利用三角形外角的性質(zhì)可證又由可證明結(jié)論；【應(yīng)用】（1）首先求出等腰直角三角形的直角邊長再由得則；（2）由得由（1）知得從而得出答案．(1)∵△ABC為等腰直角三角形∴同理∵∴∴；(2)（1）∵等腰直角三角形的斜邊長為4∴∵∴∴∴故答案為：8；（2）∵∴∵∴∴故答案為：．【點睛】本題是相似形綜合題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)相似三角形的判定與性質(zhì)利用前面探索的結(jié)論解決新的問題是解題的關(guān)鍵．2．（2022·全國·九年級專題練習(xí)）如圖1在Rt△ABC中∠C＝90°∠A＝30°BC＝1點DE分別為ACBC的中點．△CDE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α（0°≤α≤360°）記直線AD與直線BE的交點為點P．(1)如圖1當α＝0°時AD與BE的數(shù)量關(guān)系為______AD與BE的位置關(guān)系為______；(2)當0°＜α≤360°時上述結(jié)論是否成立？若成立請僅就圖2的情形進行證明；若不成立請說明理由；(3)△CDE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)一周請直接寫出運動過程中P點運動軌跡的長度和P點到直線BC距離的最大值．【答案】(1)AD＝BEAD⊥BE(2)結(jié)論仍然成立證明見解析(3)P點運動軌跡的長度是π；P點到直線BC距離的最大值是【分析】（1）分別求出AD、BE的長即可解答；（2）先證明△BCE∽△ACD可得＝∠CBO＝∠CAD即可解答；（3）利用銳角三角函數(shù)可求∠EBC=30°由弧長公式可求P點運動軌跡的長度由直角三角形的性質(zhì)可求P點到直線BC距離的最大值即可．（1）解：在Rt△ABC中∠C=90°∠A=30°BC=1∴AC=BC=AB=2BC=2AD⊥BE∵點DE分別為ACBC的中點∴AD=CD=AC=BE=EC=BC=∴AD＝BE．故答案為：AD＝BEAD⊥BE．（2）解：結(jié)論仍然成立理由如下：∵AC＝BC＝1CD＝EC＝∴＝∴∵△CDE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)∴∠BCE＝∠ACD∴△BCE∽△ACD∴＝∠CBO＝∠CAD∴AD＝BE∵∠CBO+∠BOC＝90°∴∠CAD+∠AOP＝90°∴∠APO＝90°∴BE⊥AD．（3）解：∵∠APB＝90°

∴點P在以AB為直徑的圓上如圖3取AB的中點G作⊙G以點C為圓心CE為半徑作⊙C當BE是⊙C切線時點P到BC的距離最大過點P作PH⊥BC交BC的延長線于H連接GP∵BE是⊙C切線∴CE⊥BE∵＝∴∠EBC＝30°

∴∠GBP＝30°

∵GB＝GP∴∠GBP＝∠GPB＝30°

∴∠BGP＝120°∵點P的運動軌跡為點C→點P→點C→點B→點C∴P點運動軌跡的長度＝×2＝π∵∠ABP＝30°BP⊥AP∴AP＝AB＝1BP＝AP＝∵∠CBP＝30°PH⊥BH∴PH＝BP＝．

∴P點到直線BC距離的最大值．【點睛】本題是幾何變換綜合題主要考查了直角三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)等知識點靈活應(yīng)用相關(guān)知識是解答本題的關(guān)鍵．3．（2022·全國·九年級專題練習(xí)）（1）嘗試探究：如圖①在中點、分別是邊、上的點且EF∥AB．①的值為_________；②直線與直線的位置關(guān)系為__________；（2）類比延伸：如圖②若將圖①中的繞點順時針旋轉(zhuǎn)連接則在旋轉(zhuǎn)的過程中請判斷的值及直線與直線的位置關(guān)系并說明理由；（3）拓展運用：若在旋轉(zhuǎn)過程中當三點在同一直線上時請直接寫出此時線段的長．【答案】（1）①②；（2）證明見解析；（3）或【分析】（1）①由銳角三角函數(shù)可得AC＝BCCF＝CE可得AF＝AC?CF＝（BC?CE）BE＝BC?CE即可求；②由垂直的定義可得AF⊥BE；（2）由題意可證△ACF∽△BCE可得∠FAC＝∠CBE由余角的性質(zhì)可證AF⊥BE；（3）分兩種情況討論由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和勾股定理可求AF的長．【詳解】解：（1）∵∴∴∵∴∴∴∴∴∵∴故答案為：；（2）如圖連接延長交于交于點∵旋轉(zhuǎn)∴∵∴且∴∴∵∴∴；（3）①如圖過點作交的延長線于點∵∴∵∴且三點在同一直線上∴∵旋轉(zhuǎn)∴∴且∴∴∴；②如圖過點作于點∵∴∵∴∵旋轉(zhuǎn)∴且∴∴∴．【點睛】本題是相似綜合題考查了平行線的性質(zhì)直角三角形的性質(zhì)相似三角形的判定和性質(zhì)勾股定理熟練運用這些性質(zhì)進行推理是本題的關(guān)鍵．4．（2022·全國·九年級課時練習(xí)）一次小組合作探究課上老師將兩個正方形按如圖所示的位置擺放（點E、A、D在同一條直線上）發(fā)現(xiàn)且．小組討論后提出了下列三個問題請你幫助解答：（1）將正方形繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)（如圖1）還能得到嗎？若能請給出證明請說明理由；（2）把背景中的正方形分別改成菱形和菱形將菱形繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)（如圖2）試問當與的大小滿足怎樣的關(guān)系時；（3）把背景中的正方形分別改寫成矩形和矩形且（如圖3）連接．試求的值（用ab表示）．【答案】（1）見解析；（2）當時理由見解析；（3）．【分析】（1）由正方形的性質(zhì)得出得出則可證明從而可得出結(jié)論；（2）由菱形的性質(zhì)得出則可證明由全等三角形的性質(zhì)可得出結(jié)論；（3）設(shè)與交于Q與交于點P證明得出得出連接由勾股定理可求出答案．【詳解】（1）∵四邊形為正方形∴又∵四邊形為正方形∴∴∴在△AEB和△AGD中∴∴；（2）當時理由如下：∵∴∴又∵四邊形和四邊形均為菱形∴在△AEB和△AGD中∴∴；（3）設(shè)與交于Q與交于點P由題意知∵∴∴∵∴∴連接∴∵∴在Rt△EAG中由勾股定理得：同理∴．【點睛】本題考查了矩形、菱形、正方形的性質(zhì)三角形全等的判定與性質(zhì)三角形相似的判定與性質(zhì)勾股定理等知識熟練掌握特殊平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．由(3)可得結(jié)論：當四邊形的對角線相互垂直時四邊形兩組對邊的平方和相等．考點五K字型相似1．（2021·湖南長沙·九年級專題練習(xí)）如圖在矩形ABCD中BC＝6AB＝2Rt△BEF的頂點E在邊CD或延長線上運動且∠BEF＝90°EF＝BEDF＝則BE＝_____．【答案】3．【分析】過F作FG⊥CD交CD的延長線于G依據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到FG＝ECGE＝2＝CD；設(shè)EC＝x則DG＝xFG＝x再根據(jù)勾股定理即可得到CE2＝9最后依據(jù)勾股定理進行計算即可得出BE的長．【詳解】如圖所示過F作FG⊥CD交CD的延長線于G則∠G＝90°∵四邊形ABCD是矩形∴∠C＝90°AB＝CD＝2又∵∠BEF＝90°∴∠FEG+∠BEC＝90°＝∠EBC+∠BEC∴∠FEG＝∠EBC又∵∠C＝∠G＝90°∴△BCE∽△EGF∴＝＝即＝＝∴FG＝ECGE＝2＝CD∴DG＝EC設(shè)EC＝x則DG＝xFG＝x∵Rt△FDG中FG2+DG2＝DF2∴（x）2+x2＝（）2解得x2＝9即CE2＝9∴Rt△BCE中BE＝＝＝3故答案為：3．【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理的運用在判定兩個三角形相似時應(yīng)注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件以充分發(fā)揮基本圖形的作用尋找相似三角形的一般方法是通過作平行線構(gòu)造相似三角形；或依據(jù)基本圖形對圖形進行分解、組合；或作輔助線構(gòu)造相似三角形．2．（2022·全國·九年級單元測試）如圖在等邊△ABC中P為BC上一點D為AC上一點且∠APD＝60°2BP＝3CDBP＝1．（1）求證△ABP∽△PCD；（2）求△ABC的邊長．【答案】（1）證明見解析；（2）3．【分析】（1）由△ABC是等邊三角形證明∠B＝∠C＝60°再利用平角的定義與三角形的內(nèi)角和定理證明：∠BPA＝∠PDC從而可得結(jié)論；（2）由先求解設(shè)再利用相似三角形的性質(zhì)可得：列方程解方程即可得到答案．【詳解】證明：（1）∵△ABC是等邊三角形∴AB＝BC＝AC∠B＝∠C＝60°∵∠BPA＋∠APD＋∠DPC＝180°且∠APD＝60°∴∠BPA＋∠DPC＝120°∵∠DPC＋∠C＋∠PDC＝180°∴∠DPC＋∠PDC＝120°∴∠BPA＝∠PDC∴△ABP∽△PCD；（2）∵2BP＝3CD且BP＝1∴∵△ABP∽△PCD設(shè)則∴經(jīng)檢驗：是原方程的解所以三角形的邊長為：3．【點睛】本題考查的是等邊三角形的性質(zhì)相似三角形的判定與性質(zhì)分式方程的解法掌握三角形的判定及利用相似三角形的性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵．3．（2022·山東菏澤·三模）（1）問題如圖1在四邊形ABCD中點P為AB上一點當時求證：．（2）探究若將90°角改為銳角或鈍角（如圖2）其他條件不變上述結(jié)論還成立嗎？說明理由．（3）應(yīng)用如圖3在中以點A為直角頂點作等腰．點D在BC上點E在AC上點F在BC上且若求CD的長．【答案】（1）見解析；（2）成立理由見解析；（3）【分析】（1）由∠DPC=∠A=B=90°可得∠ADP＝∠BPC即可證到△ADP△BPC然后運用相似三角形的性質(zhì)即可解決問題；（2）由∠DPC＝∠A＝∠B＝α可得∠ADP=∠BPC即可證到△ADP△BPC然后運用相似三角形的性質(zhì)即可解決問題；（3）先證△ABD△DFE求出DF=4再證△EFC△DEC可求FC＝1進而解答即可．【詳解】（1）證明：如題圖1∵∠DPC=∠A=∠B=90°∴∠ADP＋∠APD=90°∠BPC＋∠APD=90°∴∠ADP=∠BPC∴△ADP△BPC∴ADBC=APBP（2）結(jié)論仍然成立理由如下又設(shè)∴ADBC=APBP（3）是等腰直角三角形,．【點睛】本題考查相似三角形的綜合題三角形的相似；能夠通過構(gòu)造45°角將問題轉(zhuǎn)化為一線三角是解題的關(guān)鍵．4．（2021·吉林·長春市綠園區(qū)教師進修學(xué)校九年級期末）【感知】如圖①在四邊形ABCD中點P在邊AB上（點P不與點A、B重合）．易證．（不需要證明）【探究】如圖②在四邊形ABCD中點P在邊AB上（點P不與點A、B重合）．若求AP的長．【拓展】如圖③在中點P在邊AB上（點P不與點A、B重合）連結(jié)CP作PE與邊BC交于點E當是等腰三角形時直接寫出AP的長．【答案】【探究】3；【拓展】4或．【分析】探究：根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式計算即可；拓展：證明△ACP∽△BPE分CP=CE、PC=PE、EC=EP三種情況根據(jù)相似三角形的性質(zhì)計算即可．【詳解】探究：證明：∵是的外角∴即∵∴又∵∴∴∵∴解得：；拓展：∵AC=BC∴∠A=∠B∵∠CPB是△APC的外角∴∠CPB=∠A+∠PCA即∠CPE+∠EPB=∠A+∠PCA∵∠A=∠CPE∴∠ACP=∠BPE∵∠A=∠B∴△ACP∽△BPE當CP=CE時∠CPE=∠CEP∵∠CEP＞∠B∠CPE=∠A=∠B∴CP=CE不成立；當PC=PE時△ACP≌△BPE則PB=AC=8∴AP=AB-PB=128=4；當EC=EP時∠CPE=∠ECP∵∠B=∠CPE∴∠ECP=∠B∴PC=PB∵△ACP∽△BPE∴即解得：∴AP=ABPB=綜上所述：△CPE是等腰三角形時AP的長為4或．【點睛】本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)靈活運用分情況討論思想是解題的關(guān)鍵．5．（2021·全國·九年級專題練習(xí)）如圖在Rt△ABC中∠ACB＝90°CD⊥AB于點D點E是直線AC上一動點連接DE過點D作FD⊥ED交直線BC于點F．（1）探究發(fā)現(xiàn)：如圖1若m＝n點E在線段AC上則＝；（2）數(shù)學(xué)思考：①如圖2若點E在線段AC上則＝（用含mn的代數(shù)式表示）；②當點E在直線AC上運動時①中的結(jié)論是否仍然成立？請僅就圖3的情形給出證明；（3）拓展應(yīng)用：若AC＝BC＝2DF＝4請直接寫出CE的長．【答案】（1）1；；（2）①；②；（3）或【分析】（1）先用等量代換判斷出得到∽再判斷出∽即可；（2）方法和一樣先用等量代換判斷出得到∽再判斷出∽即可；（3）由的結(jié)論得出∽判斷出求出DE再利用勾股定理計算出即可．【詳解】解：當時即：即∽∽即∽∽成立如圖3又即∽∽．由有∽如圖4圖5圖6連接EF．在中如圖4當E在線段AC上時在中根據(jù)勾股定理得或舍如圖5當E在AC延長線上時在中根據(jù)勾股定理得或舍③如圖6當E在CA延長線上時在中根據(jù)勾股定理得或（舍）綜上：或．【點睛】本題是三角形綜合題主要考查了三角形相似的性質(zhì)和判定勾股定理判斷相似是解決本題的關(guān)鍵求CE是本題的難點．考點六三角形內(nèi)接矩形/正方形1．（2022·山東東營·中考真題）如圖在中點F、G在上點E、H分別在、上四邊形是矩形是的高．那么的長為____________．【答案】##4.8【分析】通過四邊形EFGH為矩形推出因此△AEH與△ABC兩個三角形相似將AM視為△AEH的高可得出再將數(shù)據(jù)代入即可得出答案．【詳解】∵四邊形EFGH是矩形∴∴∵AM和AD分別是△AEH和△ABC的高∴∴∵代入可得：解得∴故答案為：．【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)及矩形的性質(zhì)靈活運用相似三角形的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．2．（2021·全國·九年級課時練習(xí)）一塊直角三角形木板的面積為一條直角邊為怎樣才能把它加工成一個面積最大的正方形桌面？甲、乙兩位木匠的加工方法如圖所示請你用學(xué)過的知識說明哪位木匠的方法符合要求（加工損耗忽略不計計算結(jié)果中的分數(shù)可保留）．【答案】乙木匠的加工方法符合要求．說明見解析．【分析】要求哪位木匠的加工方法符合要求需要先求出兩種加工方式中正方形的邊長邊長最大就符合要求；由已知三角形的面積和一條直角邊的邊長可求出其余兩邊的邊長根據(jù)乙加工方案中的平行關(guān)系得到相似三角形根據(jù)相似三角形對應(yīng)變成比例可求出