2021-2022學(xué)年內(nèi)蒙古鑲黃旗一中高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷（理科） - 解析版

2021-2022學(xué)年內(nèi)蒙古鑲黃旗一中高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷（理科）參考答案與試題解析一、單選題（每題5分，共60分）1．（5分）若扇形的弧長(zhǎng)是3πcm，面積是6πcm2，則該扇形圓心角的弧度數(shù)θ＝（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先由弧長(zhǎng)公式求出扇形半徑，然后結(jié)合弧長(zhǎng)公式可求．【解答】解：由題意得，S＝＝＝6π，故r＝4cm，所以＝．故選：D．2．（5分）已知α為第二象限角，則在（）A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第二、三象限【答案】B【分析】根據(jù)角α的終邊在第二象限，建立角α滿足的不等式，兩邊除以2再討論整數(shù)k的奇偶性，可得的終邊所在的象限．【解答】解：∵角α的終邊在第二象限，∴2kπ+＜α＜2kπ+π，k∈Z∴kπ+＜＜kπ+，①當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，2nπ+＜＜2nπ+，n∈Z，得是第一象限角；②當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，（2n+1）π+＜＜（2n+1）π+，n∈Z，得是第三象限角；故選：B．3．（5分）已知角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)P（﹣2，），則sinα﹣2tanα＝（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由已知利用任意角的三角函數(shù)的定義即可求解．【解答】解：因?yàn)榻铅恋慕K邊經(jīng)過點(diǎn)P（﹣2，），所以則sinα＝＝，tanα＝﹣，則sinα﹣2tanα＝﹣2×（﹣）＝．故選：A．4．（5分）若α為第四象限角，則（）A．cos2α＞0 B．cos2α＜0 C．sin2α＞0 D．sin2α＜0【答案】D【分析】先求出2α是第三或第四象限角或?yàn)閥軸負(fù)半軸上的角，即可判斷．【解答】解：α為第四象限角，則﹣+2kπ＜α＜2kπ，k∈Z，則﹣π+4kπ＜2α＜4kπ，∴2α是第三或第四象限角或?yàn)閥軸負(fù)半軸上的角，∴sin2α＜0，故選：D．5．（5分）若四邊形ABCD是矩形，則下列命題中不正確的是（）A．與共線 B．與相等 C．與是相反向量 D．與模相等【答案】B【分析】根據(jù)四邊形ABCD是矩形再結(jié)合共線向量，相等向量，相反向量，向量的模的概念判斷即可．【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形∴AB∥CD故A，D答案對(duì)AC＝BD但的方向不同故B答案錯(cuò)AD＝CB且AD∥CB且的方向相反故C答案對(duì)故選：B．6．（5分）函數(shù)定義域?yàn)椋ǎ〢． B． C． D．【答案】C【分析】由函數(shù)的解析式求得cosx≥，再根據(jù)余弦函數(shù)的圖象可得2kπ﹣≤x≤2kπ+，k∈Z，由此求得x的范圍．【解答】解：∵函數(shù)，∴2cosx﹣1≥0，即cosx≥，∴2kπ﹣≤x≤2kπ+，k∈Z，故函數(shù)的定義域?yàn)閇2kπ﹣，2kπ+]，k∈Z，故選：C．7．（5分）函數(shù)f（x）＝2sin（2x+）的圖象（）A．關(guān)于直線x＝對(duì)稱 B．關(guān)于直線x＝﹣對(duì)稱 C．關(guān)于點(diǎn)（，0）對(duì)稱 D．關(guān)于點(diǎn)（π，0）對(duì)稱【答案】A【分析】由條件利用正弦函數(shù)的圖象的對(duì)稱性，得出結(jié)論．【解答】解：對(duì)于函數(shù)f（x）＝2sin（2x+），令2x+＝kπ+，求得x＝+，k∈Z，可得它的圖象關(guān)于直線x＝+對(duì)稱，故排除B，選A．令2x+＝kπ，求得x＝﹣，k∈Z，可得它的圖象關(guān)于點(diǎn)（﹣，0）對(duì)稱，故排除C，D，故選：A．8．（5分）下列區(qū)間中，函數(shù)f（x）＝7sin（x﹣）單調(diào)遞增的區(qū)間是（）A．（0，） B．（，π） C．（π，） D．（，2π）【答案】A【分析】本題需要借助正弦函數(shù)單調(diào)增區(qū)間的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)求解．【解答】解：令，k∈Z．則，k∈Z．當(dāng)k＝0時(shí)，x∈[，]，（0，）?[，]，故選：A．9．（5分）函數(shù)的圖象可能是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】判斷函數(shù)的定義域以及奇偶性，利用排除法進(jìn)行判斷即可．【解答】解：函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x≠0}，f（﹣x）＝＝＝f（x），則f（x）是偶函數(shù)，排除C，D，當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f（x）＜0，排除A，故選：B．10．（5分）下列各式中不能化簡(jiǎn)為的是（）A．（﹣）﹣ B．﹣（+） C．﹣（+）﹣（+） D．﹣﹣+【答案】D【分析】根據(jù)向量加法的幾何意義進(jìn)行運(yùn)算即可．【解答】解：A.＝，∴A錯(cuò)誤；B.，∴B錯(cuò)誤；C.＝，∴C錯(cuò)誤；D.，∴D正確．故選：D．11．（5分）如圖，在△ABC中，＝3，＝，則＝（）A．+ B．﹣ C． D．﹣+【答案】B【分析】利用平面向量的線性運(yùn)算，平面向量基本定理求解即可．【解答】解：∵＝3，∴＝+＝+＝+（﹣）＝+，∵＝＝+，∴＝﹣＝+﹣＝﹣，故選：B．12．（5分）已知函數(shù)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．f（x）的一個(gè)周期為﹣π B．y＝f（x）的圖象關(guān)于直線對(duì)稱 C．f（x）在（0，）上單調(diào)遞增 D．y＝sin2x的圖象上所有的點(diǎn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度可得到f（x）的圖象【答案】C【分析】由題意利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，得出結(jié)論．【解答】解：對(duì)于函數(shù)，∵f（﹣π+x）＝f（x），故f（x）的一個(gè)周期為﹣π，故A正確；∵，為最小值，故f（x）的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，故B正確；∵上不單調(diào)，故C錯(cuò)誤；把y＝sin2x向左平移個(gè)單位得到，故D正確，故選：C．二、填空題（每題5分，共20分）13．（5分）已知tan（α﹣）＝，則tanα＝．【答案】【分析】由誘導(dǎo)公式及正切函數(shù)周期，將化為，再利用正切的差角公式展開即可求得．【解答】解：由已知：tan（）＝tan[（）﹣π]＝tan（）＝，可得＝，解得tanα＝．故答案為：．14．（5分）已知向量＝（2，5），＝（λ，4），若∥，則λ＝．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】根據(jù)題意，由∥，可得關(guān)于λ的方程，再求出λ即可．【解答】解：因?yàn)椋剑?，5），＝（λ，4），∥，所以8﹣5λ＝0，解得λ＝．故答案為：．15．（5分）已知向量＝（1，3），＝（3，4），若（﹣λ）⊥，則λ＝．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算求得﹣λ＝（1﹣3λ，3﹣4λ），再由（﹣λ）⊥，可得（﹣λ）?＝0，即可求解λ的值．【解答】解：因?yàn)橄蛄浚剑?，3），＝（3，4），則﹣λ＝（1﹣3λ，3﹣4λ），又（﹣λ）⊥，所以（﹣λ）?＝3（1﹣3λ）+4（3﹣4λ）＝15﹣25λ＝0，解得λ＝．故答案為：．16．（5分）sin20°sin80°﹣cos160°sin10°＝．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式與特殊角的三角函數(shù)值，化簡(jiǎn)即可．【解答】解：sin20°sin80°﹣cos160°sin10°＝sin20°cos10°+cos20°sin10°＝sin（20°+10°）＝sin30°＝．故答案為：．三、解答題（共70分）17．（10分）化簡(jiǎn)：（1）．（2）．【答案】（1）1．（2）﹣1．【分析】（1）利用誘導(dǎo)公式即可化簡(jiǎn)求解；（2）利用誘導(dǎo)公式即可化簡(jiǎn)求解．【解答】解：（1）＝＝1．（2）＝＝﹣1．18．（10分）已知0＜α＜，sinα＝．（1）求tan2α的值；（2）求的值；（3）若0＜β＜且cos（α+β）＝﹣，求sinβ的值．【答案】（1），（2），（3）．【分析】（1）由已知利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式以及二倍角的正切公式即可求解tan2α的值；（2）利用二倍角公式可求cos2α，sin2α的值，進(jìn)而利用兩角和的余弦公式即可求解；（3）利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求sin（α+β）的值，進(jìn)而利用兩角差的正弦公式即可求解sinβ的值．【解答】解：因?yàn)?＜α＜，sinα＝，所以cosα＝＝，tanα＝＝，（1）tan2α＝＝＝﹣；（2）因?yàn)閏os2α＝2cos2α﹣1＝﹣，sin2α＝2sinαcosα＝，所以＝（cos2α﹣sin2α）＝×（﹣﹣）＝；（3）因?yàn)?＜β＜，0＜α＜，所以α+β∈（0，π），又cos（α+β）＝﹣，所以sin（α+β）＝＝，所以sinβ＝sin[（α+β）﹣α]＝sin（α+β）cosα﹣cos（α+β）sinα＝×﹣（﹣）×＝．19．（10分）已知．（1）當(dāng)k為何值時(shí)，與共線？（2）當(dāng)k為何值時(shí)，與垂直？（3）當(dāng)k為何值時(shí)，與的夾角為銳角？【答案】（1），（2）﹣，（3）k＞﹣且k≠．【分析】（1）根據(jù)題意，求出與的坐標(biāo)，由向量平行的坐標(biāo)表示方法可得（k+2）×2﹣1×5＝0，解可得k的值，即可得答案；（2）根據(jù)題意，求出與的坐標(biāo)，由向量垂直的判斷方法可得（）?（）＝2（k+2）﹣5＝0，解可得k的值，即可得答案；（3）根據(jù)題意，求出與的坐標(biāo)，分析可得（）?（）＞0且與不共線，據(jù)此可得關(guān)于k的不等式，解可得答案．【解答】解：（1）根據(jù)題意，，則＝（k+2，1），＝（5，2），若與共線，則有（k+2）×2﹣1×5＝0，解可得：k＝，（2）根據(jù)題意，＝（k+2，1），＝（5，2），若與垂直，則（）?（）＝2（k+2）﹣5＝0，解可得：k＝﹣，（3）根據(jù)題意，＝（k+2，1），＝（5，2），若與的夾角為銳角，則有（）?（）＞0且與不共線，即（）?（）＝2（k+2）﹣5＞0且（k+2）×2﹣1×5≠0，解可得：k＞﹣且k≠．20．（10分）如圖所示，O是正六邊形ABCDEF的中心，且．（1）與的長(zhǎng)度相等、方向相反的向量有哪些？（2）與共線的向量有哪些？（3）請(qǐng)一一列出與．相等的向量．【答案】（1），，，；（2），，，，，，，，；（3）與相等的向量有：，，，與相等的向量有：，，，與相等的向量有：，，．【分析】根據(jù)圖形，結(jié)合向量相等，相反的概念直接觀察可得．【解答】解：（1）由正六邊形可知，與的長(zhǎng)度相等、方向相反的向量有，，，；（2）與共線的向量有，，，，，，，，；（3）與相等的向量有：，，，與相等的向量有：，，，與相等的向量有：，，．21．（15分）在平行四邊形ABCD中，AC與BD相交于點(diǎn)O，E是線段OD的中點(diǎn)，AE的延長(zhǎng)線與CD交于點(diǎn)F，若．（1）求λ+μ的值；（2）若，，試用基底表示．【答案】（1）λ+μ＝，（2）＝+．【分析】（1）根據(jù)題意，分析易得△DEF∽△AEB，由此可得DF＝AB，即＝，由向量加法的三角形法則可得＝+＝+，求出λ、μ的值，相加可得答案；（2）根據(jù)題意，由向量加法的平行四邊形法則可得，變形可得＝（﹣），＝（+），代入＝+中，變形計(jì)算可得答案．【解答】解：（1）根據(jù)題意，在平行四邊形ABCD中，DF∥AB，則有△DEF∽△AEB，故＝＝，則DF＝AB，則＝，則有＝+＝+，故λ＝，μ＝1，λ+μ＝；（2）根據(jù)題意，，，則，解可得＝（﹣），＝（+），由（1）的結(jié)論：＝+，則＝（+）+×（﹣）＝+．22．（15分）已知函數(shù)．（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；（Ⅱ）若，求sinα的值．【答案】（Ⅰ）[2kπ﹣，2kπ+]，k∈Z；（Ⅱ）．【分析】（Ⅰ）由輔助角公式知f（x）＝2sin（x+），再結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性，得解；（Ⅱ）易知sin（α+）＝，進(jìn)一步推出α+∈[，π]，從而得cos（α+）的值，再利用湊角思想，由α＝（α