氣象統(tǒng)計(jì)方法第七章主分量分析課件

氣象統(tǒng)計(jì)方法主講：溫娜南京信息工程大學(xué)大氣科學(xué)學(xué)院2014年9月本課件主要參考南信大李麗平老師的課件氣象統(tǒng)計(jì)方法主講：溫娜南京信息工程大學(xué)本課件主要參考南信大第七章主分量分析/經(jīng)驗(yàn)正交函數(shù)分解（EOF）第七章主分量分析/經(jīng)驗(yàn)正交函數(shù)分解（EOF）重點(diǎn)掌握：1）EOF方法原理2）EOF方法在分析氣象問題中的應(yīng)用。重點(diǎn)掌握：一、引言

經(jīng)驗(yàn)正交函數(shù)（EOF）方法最早由統(tǒng)計(jì)學(xué)家pearson在1902年提出，由Lorenz[1]（1956）引入氣象問題分析中。該方法以場(chǎng)的時(shí)間序列為分析對(duì)象，對(duì)計(jì)算條件要求甚高，故直到20世紀(jì)60年代后期才在實(shí)際工作中得到廣泛應(yīng)用（Craddock，1969[2]；Kutzback，1970[3]；Kidson，1975[4]）。一、引言

近30年來，出現(xiàn)了適合于各種分析目的的EOF分析方法，如擴(kuò)展EOF（EEOF）方法，旋轉(zhuǎn)EOF（REOF）方法，風(fēng)場(chǎng)EOF（EOFW）方法，復(fù)變量EOF（CEOF）方法。

EOF方法不但用于觀測(cè)資料的分析，還用于GCM資料的分析和數(shù)值模式的設(shè)計(jì)?，F(xiàn)在，EOF方法已作為一種基本的分析手段頻繁地出現(xiàn)在大氣科學(xué)研究的文獻(xiàn)中。近30年來，出現(xiàn)了適合于各種分析目的的EOF二、主分量分析

主分量分析是把隨時(shí)間變化的氣象要素場(chǎng)分解為空間函數(shù)部分和時(shí)間函數(shù)部分?？臻g函數(shù)部分概況場(chǎng)的地域分布特點(diǎn)，這部分不隨時(shí)間變化；而時(shí)間函數(shù)部分則由空間點(diǎn)的線性組合構(gòu)成，稱為主分量，一般前幾個(gè)主分量可以解釋原有空間場(chǎng)總方差的很大一部分。二、主分量分析主分量分析是把隨時(shí)間變化的氣兩個(gè)變量的主分量如圖所示我們所分析的氣象要素場(chǎng)僅有兩個(gè)空間點(diǎn)

y1y2x1x2兩個(gè)變量的主分量如圖所示我們所分析的氣象要通過一種線性變換，使得產(chǎn)生的新變量y1的變化代替原場(chǎng)兩個(gè)變量的主要變化情況。通過一種線性變換，使得產(chǎn)生的新變量y1的主分量導(dǎo)出依據(jù)上例，我們希望以原變量組成一個(gè)新變量

（7.1）使它具有極大方差，即

極大（7.2）主分量導(dǎo)出依據(jù)上例，我們希望以原變量用（4.1）式帶入（4.2）有=（4.2）模型的極大值問題轉(zhuǎn)化為的極值問題。為了不同變量相互比較，對(duì)新變量中的線性組合系數(shù)通常還需加上約束條件用（4.1）式帶入（4.2）有在上面條件下，問題轉(zhuǎn)變成求下面函數(shù)的極值問題根據(jù)微積分學(xué)求極值有在上面條件下，上面線性方程組等價(jià)于其中S為x1和x2的協(xié)方差陣，I為單位陣，V為（v1,v2）的組合向量。

如果V有非零解，必須使

上式是矩陣S的特征多項(xiàng)式，因此問題就轉(zhuǎn)化為求矩陣S的特征值及其對(duì)應(yīng)特征向量的問題。上面線性方程組等價(jià)于因S的秩有兩個(gè)，故它有兩個(gè)非零特征值及其對(duì)應(yīng)特征向量：由此，可得到例中兩個(gè)新變量：因S的秩有兩個(gè)，故它有兩個(gè)非零特征值及其對(duì)應(yīng)特主分量性質(zhì)1、主分量的方差與它所對(duì)應(yīng)的特征值相等

以第一個(gè)主分量為例，說明這一性質(zhì)

（7.4）上面第一式乘

，第二式乘相加，整理得于是：

主分量性質(zhì)1、主分量的方差與它所對(duì)應(yīng)的特征值相等2.不同主分量之間是無關(guān)的、相互獨(dú)立的

證明這一性質(zhì)，只需證明兩個(gè)主分量的協(xié)方差為零即可。

根據(jù)（7.4）式，y1和y2的協(xié)方差可寫為由，得證2.不同主分量之間是無關(guān)的、相互獨(dú)立的主分量的幾何意義如果把x1,x2變量第i個(gè)樣品看成2維因子空間中的一個(gè)點(diǎn),主分量中第i個(gè)樣品也可以看成是新變量空間中的一個(gè)點(diǎn)，那么它們可以看成是由因子空間作線性變換的一個(gè)結(jié)果，即其中

，轉(zhuǎn)化矩陣主分量的幾何意義如果把x1,x2變量

主分量也可以看成由原變量組成的坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)變換的結(jié)果，新變量y1,y2與原變量的變換關(guān)系式可寫為對(duì)例中坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)角。尋找主分量原則可以看成為尋找這樣的坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)角，使得樣品點(diǎn)在新坐標(biāo)系中對(duì)某一坐標(biāo)軸上投影有極大方差。主分量也可以看成由原變量組成的坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)變氣象統(tǒng)計(jì)方法第七章主分量分析課件多個(gè)變量的主分量

如果我們要研究對(duì)象是某一氣象要素場(chǎng)，場(chǎng)中有個(gè)空間點(diǎn)，樣本容量。由這變量線性組合成一個(gè)新變量：則（7.6）式

還可以寫

（7.7）其中

（7.6）多個(gè)變量的主分量如果我們要研究對(duì)象是某一氣象要素氣象統(tǒng)計(jì)方法第七章主分量分析課件主分量導(dǎo)出我們希望主分量有極大方差，即

（7.8）將新變量帶入（7.8）式，其中

主分量導(dǎo)出我們希望主分量有極大方差，即

在條件下的極值問題，轉(zhuǎn)化為求的極值問題，即有整理得。要使V有非零解，必須由于S為mxm的協(xié)方差陣，設(shè)它的秩為m，則它有m個(gè)非零特征值及其對(duì)應(yīng)的m個(gè)特征向量

在條件下的極值問主分量的性質(zhì)1.各主分量的方差分別與原m個(gè)變量的協(xié)方差的特征值相對(duì)應(yīng)。原場(chǎng)m個(gè)變量方差和等于其對(duì)應(yīng)協(xié)方差特征值之和主分量的性質(zhì)1.各主分量的方差分別與原m個(gè)變量的協(xié)方差的特第K個(gè)主分量解釋方差：前P個(gè)主分量累積解釋方差：第K個(gè)主分量解釋方差：2.主分量之間是正交的，彼此無關(guān)。2.主分量之間是正交的，彼此無關(guān)。三、EOF分析方法原理將某氣候變量場(chǎng)的觀測(cè)資料以矩陣形式給出m是空間點(diǎn)，n是時(shí)間序列長度。三、EOF分析方法原理將某氣候變量場(chǎng)的觀測(cè)資料以矩陣形氣象場(chǎng)的自然正交展開，是將X分解為時(shí)間函數(shù)Z和空間函數(shù)V兩部分,即或

含義：場(chǎng)中第i個(gè)格點(diǎn)上的第t次觀測(cè)值，可以看作是m個(gè)空間函數(shù)和時(shí)間函數(shù)的線性組合。氣象場(chǎng)的自然正交展開，是將X分解為時(shí)間函數(shù)Z和空間函其中，

是第j個(gè)典型場(chǎng)，只是空間的函數(shù)。其中，第t個(gè)空間場(chǎng)可表示為或者第t個(gè)空間場(chǎng)可表示為

上式表明，第t個(gè)場(chǎng)可以表示為m個(gè)空間典型場(chǎng)，按照不同的權(quán)重線性疊加而成。V的每一列表示一個(gè)空間典型場(chǎng)，由于這個(gè)場(chǎng)由實(shí)際資料確定，故又叫經(jīng)驗(yàn)正交函數(shù)。

上述分解要求滿足下列兩個(gè)條件：上式表明，第t個(gè)場(chǎng)可以表示為m個(gè)空間典型場(chǎng)性質(zhì)性質(zhì)分解方法

A為實(shí)對(duì)稱矩陣，根據(jù)實(shí)對(duì)稱矩陣分解原理，一定有或者分解方法

V的列就是A的特征向量，是A的特征值組成的對(duì)角矩陣。即Z就是時(shí)間系數(shù)矩陣，第i個(gè)特征向量對(duì)應(yīng)的時(shí)間系數(shù)序列的第t個(gè)值。V的列就是A的特征向量，是A的特征主分量分析/經(jīng)驗(yàn)正交函數(shù)經(jīng)驗(yàn)正交函數(shù)：主分量分析：主分量分析/經(jīng)驗(yàn)正交函數(shù)經(jīng)驗(yàn)正交函數(shù)：要素場(chǎng)的擬合

其中

是擬合場(chǎng).可以證明誤差要素場(chǎng)的擬合第i個(gè)特征向量對(duì)X場(chǎng)的貢獻(xiàn)率

（解釋方差）前p個(gè)特征向量對(duì)X場(chǎng)的貢獻(xiàn)率

（累積解釋方差）第i個(gè)特征向量對(duì)X場(chǎng)的貢獻(xiàn)率計(jì)算中的時(shí)空轉(zhuǎn)換當(dāng)時(shí)，先求出的特征值，然后求的特征向量，這種方法叫時(shí)空轉(zhuǎn)換。令的特征值為，其特征向量為，

的特征值也為，其特征向量為計(jì)算中的時(shí)空轉(zhuǎn)換當(dāng)轉(zhuǎn)換關(guān)系：轉(zhuǎn)換關(guān)系：1）根據(jù)分析目的，確定X的具體形態(tài)(距平或者標(biāo)準(zhǔn)化距平)；2）由X求協(xié)方差矩陣；3）求A的全部特征值、特征向量，h=1~H（通常使用Jacobi法）；計(jì)算步驟

1）根據(jù)分析目的，確定X的具體形態(tài)(距平或者標(biāo)準(zhǔn)化距平)；計(jì)4）將特征值作降序排列，并對(duì)特征向量序數(shù)作相應(yīng)變動(dòng)；

5）根據(jù),h=1~H和X總方差，求出全部、,h=1~H；

6）由X及主要求其時(shí)間系數(shù)、h=1~H，主要的數(shù)量由分析目的及分析對(duì)象定；

7）輸出主要計(jì)算結(jié)果。4）將特征值作降序排列，并對(duì)特征向量序數(shù)H是非0特征值總個(gè)數(shù)，對(duì)實(shí)際問題

需要強(qiáng)調(diào)的是，第1）步很重要。在大多數(shù)情況下，EOF分析對(duì)原觀測(cè)場(chǎng)時(shí)間序列、距平場(chǎng)時(shí)間序列和標(biāo)準(zhǔn)化距平場(chǎng)時(shí)間序列進(jìn)行。選擇何種形態(tài)作分析取決于分析目的和分析對(duì)象。H是非0特征值總個(gè)數(shù)，對(duì)實(shí)際問題經(jīng)驗(yàn)正交函數(shù)的物理意義第一特征向量（第一空間典型場(chǎng)）是與n張X圖平均最相似的，或者說具有與所要展開的資料矩陣的n個(gè)樣本最相似的特征。比如：若原始資料矩陣是7月份50年實(shí)測(cè)降水場(chǎng)（非距平場(chǎng)），則第一特征向量就可以解釋為這50年的平均場(chǎng)，其相應(yīng)的時(shí)間系數(shù)基本對(duì)應(yīng)我國大尺度旱澇年。但當(dāng)降水場(chǎng)由距平組成，第一特征向量就解釋為與50年夏季距平場(chǎng)最相似的特征場(chǎng)，它指出了我國夏季經(jīng)常出現(xiàn)的大尺度澇區(qū)和旱區(qū)。經(jīng)驗(yàn)正交函數(shù)的物理意義第一特征向量（第一空間典型場(chǎng)）是與n張EOF分析實(shí)例EOF分析實(shí)例例1：現(xiàn)有北京1951-1976年12月~2月氣溫資料，變量個(gè)數(shù)m=3,容量=26。對(duì)以上資料進(jìn)行主分量分析。例1：現(xiàn)有北京1951-1976年12月~2月氣溫資料，變量1.計(jì)算變量的協(xié)方差陣2.求解實(shí)對(duì)稱陣特征值及特征向量1.計(jì)算變量的協(xié)方差陣3.計(jì)算三個(gè)距平主分量4.計(jì)