初等數(shù)論第二章課件

對(duì)于高于二次的多元不定方程，人們知道得不多。

另一方面，不定方程與數(shù)學(xué)的其他分支如代數(shù)數(shù)論、

代數(shù)幾何、組合數(shù)學(xué)等有著緊密的聯(lián)系，

在有限群論在有限群論和最優(yōu)設(shè)計(jì)中也常常提出不定方程的問題，

這就使得不定方程這一古老的分支繼續(xù)吸引著許多數(shù)學(xué)家的注意，成為數(shù)論中重要的研究課題之一。對(duì)于高于二次的多元不定方程，人們知道得不多。另一方面，不定第一節(jié)二元一次不定方程研究不定方程一般需要要解決以下三個(gè)問題：②有解時(shí)決定解的個(gè)數(shù)。①判斷何時(shí)有解。③求出所有的解。本節(jié)討論能直接利用整除理論來判定是否有解，以及有解時(shí)求出其全部解的最簡(jiǎn)單的不定方程———二元一次不定方程。第一節(jié)二元一次不定方程研究不定方程一般需要要解決以下三初等數(shù)論第二章課件初等數(shù)論第二章課件注：定理的證明過程實(shí)際給出求解方程（1）的方法：注：定理的證明過程實(shí)際給出求解方程（1）的方法：初等數(shù)論第二章課件初等數(shù)論第二章課件初等數(shù)論第二章課件注：利用輾轉(zhuǎn)相除法求（a,b)時(shí)，前提為a,b為正整數(shù)，且a大于b，因此求解此方程時(shí)可以考慮用變量替換。注：利用輾轉(zhuǎn)相除法求（a,b)時(shí)，前提為a,b為正整數(shù)，且a初等數(shù)論第二章課件3、下面通過具體例子介紹一種判定方程是否有解，及其求出其解的直接算法——整數(shù)分離法3、下面通過具體例子介紹一種判定方程是否有解，及其求出其解的初等數(shù)論第二章課件初等數(shù)論第二章課件或先求出原方程的一個(gè)特解，再給出一切整數(shù)解。注：這種解不定方程的算法實(shí)際上是對(duì)整個(gè)不定方程用輾轉(zhuǎn)相除法，依次化為等價(jià)的不定方程，直至得到一個(gè)變量的系數(shù)為正負(fù)1的方程為止。這樣的不定方程或先求出原方程的一個(gè)特解，再給出一切整數(shù)解。注：這種解不定方可以直接解出。再依次反推上去，就得到原方程的通解。為了減少運(yùn)算次數(shù)，在用帶余除法時(shí)，總?cè)〗^對(duì)值最小余數(shù)。下面我們來討論當(dāng)二元一次不定方程（1）可解時(shí)，它的非負(fù)解和正解問題。由通解公式知這可歸結(jié)為去確定參數(shù)t的值，使x,y均為非負(fù)或正。顯見，當(dāng)a,b異號(hào)時(shí)，不定方程（1）可解時(shí)總有無窮多組非負(fù)解或正解，理由是：可以直接解出。再依次反推上去，就得到原方程的通解。為了減少運(yùn)所以下面只討論a,b均為正整數(shù)的情形，先來討論非負(fù)解：所以下面只討論a,b均為正整數(shù)的情形，先來討論非負(fù)解：下面討論正整數(shù)解：下面討論正整數(shù)解：例7、求方程5x+3y=52的全部正整數(shù)解解：x=8,y=4是一組特解，方程的全部解為：x=8+3t,y=4-5t正整數(shù)解滿足8+3t>0,4-5t>0例7、求方程5x+3y=52的全部正整數(shù)解解：x=8,y=4注：若只求方程正整數(shù)解的個(gè)數(shù)，可考慮以下不等式的整數(shù)解個(gè)數(shù)：注：若只求方程正整數(shù)解的個(gè)數(shù)，可考慮以下不等式的整數(shù)解個(gè)數(shù)：第二節(jié)多元一次不定方程第二節(jié)多元一次不定方程初等數(shù)論第二章課件注：定理1的證明給出了n元一次不定方程的解法過程：即求解方程組（由n-1個(gè)方程組成）注：定理1的證明給出了n元一次不定方程的解法過程：即求解方程初等數(shù)論第二章課件初等數(shù)論第二章課件初等數(shù)論第二章課件解：原方程化為：解：原方程化為：初等數(shù)論第二章課件進(jìn)一步可求非負(fù)整數(shù)解：由通解公式給出非負(fù)整數(shù)解中m,k應(yīng)滿足進(jìn)一步可求非負(fù)整數(shù)解：由通解公式給出非負(fù)整數(shù)解中m,k應(yīng)滿足初等數(shù)論第二章課件第三節(jié)勾股數(shù)第三節(jié)勾股數(shù)初等數(shù)論第二章課件初等數(shù)論第二章課件初等數(shù)論第二章課件②再證滿足條件（2）的解都可以表成（3）的形式。②再證滿足條件（2）的解都可以表成（3）的形式。初等數(shù)論第二章課件初等數(shù)論第二章課件初等數(shù)論第二章課件例1、求一個(gè)邊長(zhǎng)為整數(shù)的直角三角形，它的面積在數(shù)值上等于它的周長(zhǎng)。例1、求一個(gè)邊長(zhǎng)為整數(shù)的直角三角形，它的面積在數(shù)值上等于它的初等數(shù)論第二章課件例2、求不定方程（*）的滿足條件0<z<26的全部互素的解。baxyz12345235121314158173472425例2、求不定方程（*）的滿足條件0<z<26的全部互素的解。例3、求z=65的滿足方程（*）的全部正整數(shù)解。例3、求z=65的滿足方程（*）的全部正整數(shù)解。初等數(shù)論第二章課件例5、假定(x,y,z)是(*)的解，并且(x,y)=1，那么在x,y中有一個(gè)是3的倍數(shù)，有一個(gè)是4的倍數(shù)，在x,y,z中有一個(gè)是5的倍數(shù)。例5、假定(x,y,z)是(*)的解，并且(x,y)=1，那初等數(shù)論第二章課件注意：定理中所說的在x,y中有一個(gè)是3的倍數(shù)，有一個(gè)是4的倍數(shù)，并不是說在x,y中一個(gè)是3的倍數(shù)，另一個(gè)是4的倍數(shù)，很可能3的倍數(shù)與4的倍數(shù)是同一個(gè)數(shù)。如（5,12,13），又如（11,60,61）注意：定理中所說的在x,y中有一個(gè)是3的倍數(shù)，有一個(gè)是4的倍初等數(shù)論第二章課件初等數(shù)論第二章課件初等數(shù)論第二章課件3、無窮遞降法1659年，法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬寫信給他的一位朋友卡爾卡維，稱自己創(chuàng)造了一種新的數(shù)學(xué)方法.

由于費(fèi)馬的信并沒有發(fā)表，

人們一直無從了解他的這一方法.

直到

1879年，人們?cè)诤商m萊頓大學(xué)圖書館惠更斯的手稿中發(fā)現(xiàn)了一篇論文，才知道這種方法就是無窮遞降法.無窮遞降法是證明某些不定方程無解時(shí)常用的一種方法.其證明模式大致是:先假設(shè)方程存在一個(gè)最小正整數(shù)解，

3、無窮遞降法1659年，法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬寫信給他的一位朋友卡然后在這個(gè)最小正整數(shù)解的基礎(chǔ)上找到一個(gè)更小的構(gòu)造某種無窮遞降的過程，再結(jié)合最小數(shù)原理得到矛盾，從而證明命題.

無窮遞降法在解決問題過程中主要有兩種表現(xiàn)形式:其一，由一組解出發(fā)通過構(gòu)造得到另一組解，并且將這一過程遞降下去，從而得出矛盾;其二，假定方程有正整數(shù)解，且存在最小的正

整數(shù)解，設(shè)法構(gòu)造出方