生活中的優(yōu)化問題(兩課時)

1.4生活中的優(yōu)化問題舉例問題提出1.在什么條件下，函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a，b]上一定存在最大值和最小值？函數(shù)y＝f(x)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線2.如果在閉區(qū)間[a，b]上函數(shù)y＝f(x)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，那么如何求出函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上的最大值和最小值？將函數(shù)f(x)在開區(qū)間（a，b）上的所有極值與區(qū)間端點函數(shù)值進行比較，其中最大者為最大值，最小者為最小值.探究（一）：海報版面尺寸的設(shè)計

【背景材料】學(xué)校或班級舉行活動，通常需要張貼海報進行宣傳.現(xiàn)讓你設(shè)計一張如圖所示的豎向張貼的海報，要求版心面積為128dm2，上、下兩邊各空2dm，左、右兩邊各空1dm.思考1：版心面積為定值128dm2，海報的面積是否也為定值？思考2：設(shè)版心的高為x，則海報的面積為多少？海報四周空白的面積為多少？思考3：設(shè)海報四周空白的面積為S(x)，則S(x)的最簡表達式如何？其定義域是什么？思考4：海報四周空白的面積S(x)是否存在最值？若存在，如何求其最值？思考5：如何設(shè)計海報的尺寸，才能使四周空白面積最??？版心高為16dm，寬為8dm時，hr牛刀小試：要生產(chǎn)一批帶蓋的圓柱形鐵桶，要求每個鐵桶的容積為定值V，怎樣設(shè)計桶的底面半徑才能使材料最??？此時高與底面半徑比為多少？解:設(shè)圓柱的高為h,底半徑為r,則表面積S=2πrh+2πr2.由V=πr2h,得,則令,解得,從而

,即h=2r.由于S(r)只有一個極值,所以它是最小值.答:當(dāng)罐的高與底直徑相等時,所用的材料最省.例2.飲料瓶大小對飲料公司利潤的影響（1）你是否注意過，市場上等量的小包裝的物品一般比大包裝的要貴些？（2）是不是飲料瓶越大，飲料公司的利潤越大？如：匯源百分百果汁1升的是10.5元，600毫升的是7.5元探究（二）：飲料瓶大小對飲料公司利潤的影響

【背景材料】某制造商制造并出售球形瓶裝的某種飲料，瓶子的制造成本是0.8πr2分，其中r(單位：cm)是瓶子的半徑.已知每出售1mL的飲料，制造商可獲利0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半徑為6cm.思考1：1mL飲料所占的體積是多少cm3？半徑為r的瓶子最多能裝多少mL的飲料？思考2：每瓶滿裝的飲料的利潤(單位：分)是多少？思考3：設(shè)每瓶滿裝飲料的利潤為f(r)，則函數(shù)f(r)的定義域是什么？（0，6]

思考4：函數(shù)是否存在最值？若存在，如何求其最值？思考5：函數(shù)的大致圖象是什么？據(jù)圖象分析，瓶子半徑的大小對制造商的利潤產(chǎn)生什么影響？Oxy236當(dāng)0＜r＜3時，利潤為負值；當(dāng)r＝3時，利潤為零；當(dāng)r＞3時，利潤為正值，并隨著瓶子半徑的增大利潤也相應(yīng)增大.思考6：市場上等量的小包裝的物品一般比大包裝的要貴些（如半斤裝的白酒比一斤裝的白酒平均價格要高），在數(shù)學(xué)上有什么道理？將包裝盒捏成球狀，因為小包裝的半徑小，其利潤低，生產(chǎn)商就提高銷售價格來平衡與大包裝的利潤.探究（三）：磁盤的最大存儲量問題

【背景材料】計算機把信息存儲在磁盤上，磁盤是帶有磁性介質(zhì)的圓盤，并由操作系統(tǒng)將其格式化成磁道和扇區(qū).磁道是指不同半徑所構(gòu)成的同心圓軌道，扇區(qū)是指被圓心角分割成的扇形區(qū)域.磁道上的定長的弧可作為基本存儲單元，根據(jù)其磁化與否可分別記錄數(shù)據(jù)0或1，這個基本單元通常稱為比特，磁盤的構(gòu)造如圖所示.

為了保障磁盤的分辨率，磁道之間的寬度必須大于m，每比特所占用的磁道長度不得小于n.為了數(shù)據(jù)檢索的方便，磁盤格式化時要求所有磁道具有相同的比特數(shù).Rr思考1：現(xiàn)有一張半徑為R的磁盤，它的存儲區(qū)是半徑介于r與R的環(huán)形區(qū)域，且最外面的磁道不存儲任何信息，那么這張磁盤的磁道數(shù)最多可達多少？Rr思考2：由于每條磁道上的比特數(shù)相同，那么這張磁盤存儲量的大小取決于哪條磁道上的比特數(shù)？最內(nèi)一條磁道.

思考3：要使磁盤的存儲量達到最大，那么最內(nèi)一條磁道上的比特數(shù)為多少？Rr思考4：這張磁盤的存儲量最大可達到多少比特？思考5：若R為定值，r為變量，那么這張磁盤的存儲量如何變化？有何最值？時，存儲量最大.Rr思考6：如果每條磁道存儲的信息與磁道的長度成正比，那么如何計算磁盤的存儲量？此時，是不是r越小，磁盤的存儲量越大？Rr時，存儲量最大.理論遷移例某汽車制造廠有一條價值為60萬元的汽車生產(chǎn)線，現(xiàn)要通過技術(shù)改造來提高其生產(chǎn)能力，進而提高產(chǎn)品的增加值.已知投入x萬元用于技術(shù)改造，所獲得的產(chǎn)品的增加值為(60－x)x2萬元，并且技改投入比率.求當(dāng)技改投入多少萬元時，所獲得的產(chǎn)品的增加值為最大？技改投入40萬元

如何解決優(yōu)化問題?優(yōu)化問題優(yōu)化問題的答案用函數(shù)表示的數(shù)學(xué)問題用導(dǎo)數(shù)解決數(shù)學(xué)問題小結(jié)

2.解決優(yōu)化問題的實質(zhì)是將實際問題化歸為函數(shù)的最值問題來處理，其探究過程是一個典型的數(shù)學(xué)建模過程.對目標(biāo)函數(shù)的最值，要根據(jù)函數(shù)式的特點，用適當(dāng)?shù)姆椒ㄇ蠼猓袝r用基本不等式或二次函數(shù)圖象求最值比用導(dǎo)數(shù)更方便.

3.對優(yōu)化問題中的函數(shù)關(guān)系，要注意根據(jù)實際背景確定函數(shù)的定義域，如果目標(biāo)函數(shù)在定義域內(nèi)只有一個極值點，則這個極值點一般就是最值點.例1一艘輪船在航行中每小時的燃料費和它的速度的立方成正比，已知在速度為每小時10km時，燃料費是每小時6元，其它與速度無關(guān)的費用是每小時96元，問此輪船以何種速度航行時，能使每行駛1km的總費用最??？20km/h例2用總長為14.8m的鋼條制作一個長方體容器的框架，如果所制作的容器的底面的一邊比另一邊長