上海閔行數(shù)學(xué)暑假補(bǔ)習(xí)班 高中數(shù)學(xué)輔導(dǎo)班

3.2.3空間角與距離的向量方法/1共54頁自學(xué)導(dǎo)引 (學(xué)生用書P84)通過本節(jié)的學(xué)習(xí)掌握直線和平面所成的角的概念,二面角的有關(guān)概念,并能求直線與直線所成的角,直線與平面所成的角及二面角的大小.了解空間距離的有關(guān)概念及簡單運(yùn)算.2共54頁課

前

熱

身

(學(xué)生用書P84)1.空間角(1)兩條異面直線所成的角的范圍是________,其大小可以通過這兩條異面直線的________的夾角來求.若設(shè)兩條異面直線所成的角為θ,它們的方向向量的夾角為φ,則有________.方向向量cosθ=|cosφ|

3共54頁(2)直線和平面所成的角是指這條直線與它在這個(gè)平面內(nèi)的射影所成的角,其范圍是________,直線和平面所成的角為θ,直線的方向向量與平面的法向量的夾角為φ,則有________.(3)二面角的大小就是指二面角的平面角的大小,其范圍是________,二面角的平面角的大小(或其補(bǔ)角的大小)可以通過兩個(gè)平面的法向量的________求得.sinθ=|cosφ|[0,π]夾角4共54頁2.空間距離(1)空間中兩點(diǎn)間的距離公式:若P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,y2),則|P1P2|=________.(2)點(diǎn)面距離的求法:如圖,設(shè)n是平面α的法向量,AB是平面α的一條斜線,則點(diǎn)B到平面α的距離d=________.5共54頁名

師

講

解

(學(xué)生用書P84)1.空間角公式(1)異面直線所成角公式:設(shè)a,b分別是異面直線l1、l2上的方向向量,θ為異面直線所成的角,則有cosθ=|cos<a,b>|=6共54頁(2)線面角公式:設(shè)l為平面α的斜線,a為l的方向向量,n為平面α的法向量,θ為l與α成的角,則有sinθ=|cos<a,n>|=(3)二面角公式:設(shè)n1,n2分別為平面α、β的法向量.二面角為θ,則θ=<n1,n2>或θ=π-<n1,n2>(根據(jù)具體情況判斷相等或互補(bǔ)).

其中cosθ7共54頁2.空間距離(1)點(diǎn)面距離公式:P為平面α外一點(diǎn),過點(diǎn)P的斜線交α于A,設(shè)n為平面α的法向量,d為P到α的距離,則有(2)線面距離、面面距離都可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離.8共54頁典例剖析 (學(xué)生用書P84)題型一直線與平面所成的角9共54頁例1:正三棱柱ABC—A1B1C1的底面邊長為a,側(cè)棱長為求AC1與側(cè)面ABB1A1所成的角.分析:建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系,寫出有關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo),利用AC1與其在面ABB1A1內(nèi)的射影所成的角來求或利用面ABB1A1的法向量來求.10共54頁11共54頁12共54頁13共54頁14共54頁規(guī)律技巧:充分利用圖形的幾何特征建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系,再用向量有關(guān)知識求解線面角.方法2給出了一般的方法,先求平面法向量與斜線夾角,再進(jìn)行轉(zhuǎn)化.15共54頁變式訓(xùn)練1:如圖所示,ABCD是直角梯形,∠ABC=90°,SA⊥平面ABCD,SA=AB=BC=1,AD=

.求:SC與平面ABCD所成角的正弦值.16共54頁17共54頁題型二

二面角的求法例2:在底面是直角梯形的四棱錐S-ABCD中,∠ABC=90°,SA⊥面ABCD,SA=AB=BC=1,AD=

,求面SCD與面SBA所成的二面角的正切值.分析:可建立空間直角坐標(biāo)系,求出兩個(gè)平面的法向量,通過法向量的夾角進(jìn)行求解.18共54頁19共54頁20共54頁變式訓(xùn)練2:正方體ABCD-A1B1C1D1中,E、F分別是A1D1、A1C1的中點(diǎn).求:(1)異面直線AE與CF所成角的余弦值;(2)二面角C-AE-F的余弦值的大小.21共54頁22共54頁23共54頁24共54頁題型三

空間距離問題例3:如圖,在四棱錐O-ABCD中,底面ABCD是邊長為1的菱形,∠ABC OA⊥底面ABCD,OA=2,M為OA的中點(diǎn).(1)求異面直線AB與MD所成角的大小;(2)求點(diǎn)B到平面OCD的距離.25共54頁分析:解答本題可先利用圖形條件建立坐標(biāo)系,再利用 所成角求異面直線所成角,利用公式求點(diǎn)面距.26共54頁解:作AP⊥CD于點(diǎn)P.如圖所示,分別以AB,AP,AO所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系.則A(0,0,0),B(1,0,0),27共54頁28共54頁29共54頁30共54頁變式訓(xùn)練3:已知ABCD是邊長為4的正方形,E、F分別是AB、AD的中點(diǎn),CG垂直于ABCD所在的平面,且CG=2,求點(diǎn)B到平面EFG的距離.31共54頁32共54頁33共54頁技能演練 (學(xué)生用書P86)基礎(chǔ)強(qiáng)化34共54頁答案:B35共54頁答案:B36共54頁37共54頁3.平面α與平面β交于l,自一點(diǎn)P分別向兩個(gè)面引垂線,垂足分別為A、B,則∠APB與α、β夾角的大小關(guān)系是()A.相等

B.互補(bǔ)C.相等或互補(bǔ)

D.不能確定解析:當(dāng)點(diǎn)P在平面α、β夾角的內(nèi)部時(shí),∠APB與平面α、β夾角互補(bǔ);當(dāng)點(diǎn)P在平面α、β夾角的外部時(shí),∠APB與平面α、β的夾角相等.答案:C38共54頁答案:A39共54頁40共54頁41共54頁答案:C42共54頁6.△ABC的邊BC在平面α內(nèi),頂點(diǎn)A?α,△ABC邊BC上的高與平面α所夾的角為θ,△ABC的面積為S,則△ABC在平面α上的投影圖形面積為________.答案:Scosθ解析:△ABC在平面α內(nèi)的投影三角形為A′BC,它的高A′D=ADcosθ(AD為△ABC的高),∴S△A′BC=

·BC·A′D=

BC·ADcosθ=Scosθ.43共54頁7.給出四個(gè)命題:①若l1∥l2,則l1、l2與平面α所成的角相等;②若l1、l2與平面α所成的角相等,則l1∥l2;③l1與平面α所成的角為30°,l2⊥l1,則l2與平面α所成的角為60°;④兩條異面直線與同一平面所成的角不會相等.以上命題正確的是________.答案:①解析:①正確.②不正確,l1與l2不一定平行.③不正確,l2與平面α所成角不確定.④不正確,有可能相等.44共54頁能力提升8.已知長方體ABCD—A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=2,E是側(cè)棱BB1的中點(diǎn).求直線AE與平面A1ED1所成的角的大小.45共54頁解:以D為原點(diǎn),DA,DC,DD1分別為x,y,z軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系.46共54頁47共54頁品味高考9.(2008·福建,6)如下圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=1,則BC1與平面BB1D1D所成角的正弦值為()48共54頁答案:D解析:建立坐標(biāo)系如圖所示49共54頁50共54頁10.(2009·天津)如圖,在五面體ABCDEF中,FA⊥平面ABCD,AD∥BC∥FE,AB⊥AD,M為EC的中點(diǎn),AF=AB=BC=FE=

AD.(1)求異面