北師大高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊第三章 空間向量與立體幾何 單元測試卷（含解析）

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第三章空間向量與立體幾何單元測試卷(原卷版)

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.

1.已知向量a＝，b＝，且a∥b，則t＝(D)

A.10B.－10

C.4D.－4

2.在空間四邊形ABCD中，＝a，＝b，＝c，P在線段AD上，且DP＝2PA，Q為BC的中點，則＝(A)

A.－a＋b＋c

B.a＋b－c

C.a－b＋c

D.a＋b－c

3.如圖，在棱長為2的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為BC的中點，點P在底面ABCD上(包括邊界)移動，且滿足B1P⊥D1E，則線段B1P的長度的最大值為(D)

A.B.2

C.2D.3

4.設(shè)x，y∈R，向量a＝(x，1，1)，b＝(1，y，1)，c＝(2，－2，2)，且a⊥c，b∥c，則|a＋b|＝(C)

A.2B.3

C.D.4

5.正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面邊長為2，側(cè)棱長為4，則點B1到平面AD1C的距離為(A)

A.B.

C.

6.已知在正方體ABCD－A1B1C1D1中，P為線段C1D1上的動點，則直線BC1與直線AP所成角余弦值的范圍是(A)

A.B.

C.D.

7.如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AA1＝3，AB＝AC＝BC＝2，則AA1與平面AB1C1所成角的大小為(A)

A.30°B.45°

C.60°D.90°

8.已知四棱錐P－ABCD中，＝(4，－2，3)，＝(－4，1，0)，＝(－6，2，－8)，則點P到底面ABCD的距離為(D)

A.B.

C.1D.2

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.下列說法錯誤的是(ABD)

A.任何三個不共線的向量可構(gòu)成空間向量的一組基

B.空間的基有且僅有一組

C.兩兩垂直的三個非零向量可構(gòu)成空間的一組基

D.基{a，b，c}中基向量與基{e，f，g}基向量對應(yīng)相等

10.若a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1，2)，則下列λ的值中使a，b的夾角的余弦值為的有(BC)

A.2B.－2

C.D.－

11.將正方形ABCD沿對角線BD折成直二面角A－BD－C，則下列結(jié)論正確的是(AB)

A.AC⊥BD

B.△ACD是等邊三角形

C.AB與平面BCD所成的角為90°

D.AB與CD所成的角為30°

12.一只小球放入一長方體容器內(nèi)，且與共點的三個面相接觸.若小球上一點到這三個面的距離分別為4，5，5，則這只小球的半徑可以是(AD)

A.3B.5

C.8D.11

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.在正四面體PABC中，棱長為2，且E是棱AB中點，則的值為－1.

14.四面體ABCD的每條棱長都等于2，點E，F(xiàn)分別為棱AB，AD的中點，則－1；－1.

15.在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，沿對角線AC把矩形折成二面角D－AC－B的平面角為60°，則|BD|＝－1.

16.如圖，已知平面四邊形ABCD，AB＝BC＝3，CD＝1，AD＝，∠ADC＝90°.沿直線AC將△ACD翻折成△ACD'，直線AC與BD'所成角的余弦的最大值是－1.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.(10分)已知向量a＝(1，－3，2)，b＝(－2，1，1)，點A(－3，－1，4)，B(－2，－2，2).

(1)求|2a＋b|；

(2)在直線AB上，是否存在一點E，使得⊥b(O為原點)

18.(12分)已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC為等腰直角三角形，∠BAC＝90°，且AB＝AA1，D，E，F(xiàn)分別為B1A，C1C，BC的中點.

(1)求證：直線DE∥平面ABC；

(2)求B1E與平面AB1F所成角的正弦值.

19.(12分)如圖，四棱錐P－ABCD中，側(cè)面PAD是邊長為2的等邊三角形且垂直于底面ABCD，AB＝BC＝AD，∠BAD＝

∠ABC＝90°，E是PD的中點.

(1)證明：直線CE∥平面PAB；

(2)點M在棱PC上，且直線BM與底面ABCD所成角為45°，求二面角M－AB－D的余弦值.

20.(12分)如圖，四邊形ABCD為菱形，∠ABC＝120°，E，F(xiàn)是平面ABCD同一側(cè)的兩點，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE＝2DF，AE⊥EC.

(1)證明：平面AEC⊥平面AFC；

(2)求直線AE與直線CF所成角的余弦值.

21.(12分)如圖，邊長為2的正方形ABCD所在的平面與半圓弧所在平面垂直，M是上異于C，D的點.

(1)證明：平面AMD⊥平面BMC；

(2)當(dāng)三棱錐M－ABC體積最大時，求平面MAB與平面MCD所成二面角的正弦值.

22.(12分)如圖，三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥側(cè)面BB1C1C，已知∠BCC1＝，BC＝1，AB＝C1C＝2，點E是棱C1C的中點.

(1)求證：C1B⊥平面ABC；

(2)求二面角A－EB1－A1的余弦值；

(3)在棱CA上是否存在一點M，使得EM與平面A1B1E所成角的正弦值為，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.

北師大高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊

第三章空間向量與立體幾何單元測試卷(解析版)

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.

1.已知向量a＝，b＝，且a∥b，則t＝(D)

A.10B.－10

C.4D.－4

解析：因為a＝(3，－1，2)，b＝(－6，2，t)，且a∥b，則a＝λb，即(3，－1，2)＝λ(－6，2，t)＝(－6λ，2λ，tλ)，由相等向量可知解得故選D.

2.在空間四邊形ABCD中，＝a，＝b，＝c，P在線段AD上，且DP＝2PA，Q為BC的中點，則＝(A)

A.－a＋b＋c

B.a＋b－c

C.a－b＋c

D.a＋b－c

解析：由DP＝2PA，則a，()＝b＋c，所以a＋b＋C.故選A.

3.如圖，在棱長為2的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為BC的中點，點P在底面ABCD上(包括邊界)移動，且滿足B1P⊥D1E，則線段B1P的長度的最大值為(D)

A.B.2

C.2D.3

解析：以D為原點，DA所在直線為x軸，DC所在直線為y軸，DD1所在直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)P(a，b，0)，則D1(0，0，2)，E(1，2，0)，B1(2，2，2)，＝(a－2，b－2，－2)，＝(1，2，－2)，∵B1P⊥D1E，∴＝a－2＋2(b－2)＋4＝0，∴a＋2b－2＝0，0≤b≤1，∴點P的軌跡是一條線段，2＝(a－2)2＋(b－2)2＋4＝(2b)2＋(b－2)2＋4＝5b2－4b＋8，由二次函數(shù)的性質(zhì)可得當(dāng)b＝1時，5b2－4b＋8可取到最大值9，∴線段B1P的長度的最大值為3.故選D.

4.設(shè)x，y∈R，向量a＝(x，1，1)，b＝(1，y，1)，c＝(2，－2，2)，且a⊥c，b∥c，則|a＋b|＝(C)

A.2B.3

C.D.4

解析：∵a⊥c，∴a·c＝2x－2＋2＝0，得x＝0，又∵b∥c，則，得y＝－1，∴a＝(0，1，1)，b＝(1，－1，1)，∴a＋b＝(0，1，1)＋(1，－1，1)＝(1，0，2)，∴|a＋b|＝.故選C.

5.正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面邊長為2，側(cè)棱長為4，則點B1到平面AD1C的距離為(A)

A.B.

C.

解析：以D為坐標(biāo)原點，的方向為x，y，z軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，則A(2，0，0)，C(0，2，0)，D1(0，0，4)，B1(2，2，4)，則＝(－2，2，0)，＝(－2，0，4)，＝(－2，－2，0).設(shè)平面AD1C的一個法向量為n＝(x，y，z)，則

取z＝1，則x＝y(tǒng)＝2，所以n＝(2，2，1)，所以點B1到平面AD1C的距離d＝，故選A.

6.已知在正方體ABCD－A1B1C1D1中，P為線段C1D1上的動點，則直線BC1與直線AP所成角余弦值的范圍是(A)

A.B.

C.D.

解析：設(shè)正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為1，以DA，DC，DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則有A(1，0，0)，B(1，1，0)，C1(0，1，1).

設(shè)P(0，t，1)(0≤t≤1)，則＝(－1，t，1)，＝(－1，0，1)，所以cos＜＞＝＝.又因為0≤t≤1，所以≤cos＜＞≤1.故選A.

7.如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AA1＝3，AB＝AC＝BC＝2，則AA1與平面AB1C1所成角的大小為(A)

A.30°B.45°

C.60°D.90°

解析：取AB的中點D，連接CD，以AD所在直線為x軸，以CD所在直線為y軸，以平行于BB1的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，可得A(1，0，0)，A1(1，0，3)，故＝(1，0，3)－(1，0，0)＝(0，0，3)，而B1(－1，0，3)，C1(0，，3)，設(shè)平面AB1C1的一個法向量為m＝(a，b，c)，根據(jù)m·＝0，m·＝0，取c＝2，解得m＝(3，－，2)，則cos＜m，.故AA1與平面AB1C1所成角的大小為30°，故選A.

8.已知四棱錐P－ABCD中，＝(4，－2，3)，＝(－4，1，0)，＝(－6，2，－8)，則點P到底面ABCD的距離為(D)

A.B.

C.1D.2

解析：設(shè)n＝(x，y，z)是平面ABCD的一個法向量，則由題設(shè)

即令x＝1，得即n＝，由于n·＝－6＋8－，|n|＝，＝2，所以|cos＜n，，故點P到平面ABCD的距離d＝·|cos＜n，＞|＝2＝2，故選D.

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.下列說法錯誤的是(ABD)

A.任何三個不共線的向量可構(gòu)成空間向量的一組基

B.空間的基有且僅有一組

C.兩兩垂直的三個非零向量可構(gòu)成空間的一組基

D.基{a，b，c}中基向量與基{e，f，g}基向量對應(yīng)相等

解析：A項中應(yīng)是不共面的三個向量構(gòu)成空間向量的基，所以A錯誤；B項空間基有無數(shù)組，所以B錯誤；C項符合空間向量基的定義，故C正確；D項中因為基不唯一，所以D錯誤.故選ABD.

10.若a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1，2)，則下列λ的值中使a，b的夾角的余弦值為的有(BC)

A.2B.－2

C.D.－

解析：a·b＝2－λ＋4＝6－λ＝×3×.解得λ＝－2或.故選BC.

11.將正方形ABCD沿對角線BD折成直二面角A－BD－C，則下列結(jié)論正確的是(AB)

A.AC⊥BD

B.△ACD是等邊三角形

C.AB與平面BCD所成的角為90°

D.AB與CD所成的角為30°

解析：如圖，

取BD的中點O，連接AO，CO，AC，則AO⊥BD，

CO⊥BD.又AO∩CO＝O，

∴BD⊥平面AOC，又AC平面AOC，

∴AC⊥BD，A中結(jié)論正確；

∵AC＝AO＝AD＝CD，∴△ACD是等邊三角形，B中結(jié)論正確；

∵AO⊥平面BCD，

∴∠ABD是AB與平面BCD所成的角，為45°，C中結(jié)論錯誤；

，不妨設(shè)AB＝1，則＝()2＝＋2＋2＋2，

∴1＝1＋2＋1＋2＋2＋2cos＜＞，

∴cos＜，∴＜＞＝60°，即AB與CD所成的角為60°，D中結(jié)論錯誤.故選AB.

12.一只小球放入一長方體容器內(nèi)，且與共點的三個面相接觸.若小球上一點到這三個面的距離分別為4，5，5，則這只小球的半徑可以是(AD)

A.3B.5

C.8D.11

解析：如圖，

設(shè)長方體的三個面共點為O，以O(shè)E，OF，OG所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，因為小球與共點的三個面相接觸，所以設(shè)球心A(r，r，r)，因為小球上一點P到三個面的距離分別為4，5，5，所以設(shè)點P(4，5，5)，則＝(r，r，r)，＝(4，5，5)，由＝(4－r，5－r，5－r)，∴2＝(4－r)2＋(5－r)2＋(5－r)2＝r2，即r2－14r＋33＝0，解得r＝3或r＝11，故選AD.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.在正四面體PABC中，棱長為2，且E是棱AB中點，則的值為－1.

解析：由題意，設(shè)＝a，＝b，＝c，建立空間的一組基{a，b，c}，在正四面體中(a＋b)，＝c－b，所以(a＋b)·(c－b)＝(a·c－a·b＋b·c－b2)＝(2×2cos60°－2×2cos60°＋2×2cos60°－2×2)＝－1.

14.四面體ABCD的每條棱長都等于2，點E，F(xiàn)分別為棱AB，AD的中點，則；.

解析：如圖，

設(shè)BD的中點為G，連接CG，AG.由題可知該四面體為正四面體，所以三角形ABD，三角形BCD為正三角形，所以AG⊥BD，CG⊥BD，因為CG，AG平面ACG，且CG∩AG＝G，所以BD⊥平面ACG.因為AC平面ACG，所以BD⊥AC.因為點E，F(xiàn)分別為棱AB，AD的中點，所以EF∥BD，且EF＝BD＝1，

所以AC⊥EF.所以2＝()2＝＋2＝4＋1＋0＝5，所以，因為，所以.

15.在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，沿對角線AC把矩形折成二面角D－AC－B的平面角為60°，則|BD|＝.

解析：分別過B，D兩點作DE⊥AC，BF⊥AC，垂足為E，F(xiàn)，如圖所示，

可求出，＝5－2×.沿對角線AC把矩形折成二面角D－AC－B的平面角為60°時，

則2＝2＋2＋2＋2＋2＋2×2＋＋0＋0＋2××cos，

∴.

16.如圖，已知平面四邊形ABCD，AB＝BC＝3，CD＝1，AD＝，∠ADC＝90°.沿直線AC將△ACD翻折成△ACD'，直線AC與BD'所成角的余弦的最大值是.

解析：設(shè)過點B，D'作BB1，D'D1分別與AC垂直，垂足為B1，D1，設(shè)二面角B－AC－D'的大小為θ(0＜θ≤π)，則有

，，，，2＝()2＝＋0＋0＋2××(－cosθ)＝9－5cosθ，

又＝()·××cos∠ACD'－××cos∠ACB＝1×－3×＝1－3＝－2.所以直線AC與BD'所成角的余弦值為

|cos＜＝，當(dāng)θ＝0，即cosθ＝1時，直線AC與BD'所成角的余弦值最大，最大值是.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.(10分)已知向量a＝(1，－3，2)，b＝(－2，1，1)，點A(－3，－1，4)，B(－2，－2，2).

(1)求|2a＋b|；

(2)在直線AB上，是否存在一點E，使得⊥b(O為原點)

解：(1)2a＋b＝(2，－6，4)＋(－2，1，1)＝(0，－5，5)，故|2a＋b|＝＝5.

(2)假設(shè)存在點E，設(shè)，則＝(－3，－1，4)＋t(1，－1，－2)＝(－3＋t，－1－t，4－2t)，

若⊥b，則·b＝0，

所以－2(－3＋t)＋(－1－t)＋(4－2t)＝0，解得t＝，

因此存在點E，使得⊥b，

此時E點坐標(biāo)為E.

18.(12分)已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC為等腰直角三角形，∠BAC＝90°，且AB＝AA1，D，E，F(xiàn)分別為B1A，C1C，BC的中點.

(1)求證：直線DE∥平面ABC；

(2)求B1E與平面AB1F所成角的正弦值.

解：(1)證明：如圖，

設(shè)AB的中點為G，連接DG，CG，

則DG∥AA1∥EC，且DG＝AA1＝EC.

四邊形DGCE為平行四邊形，∴DE∥GC，

又DE平面ABC，GC平面ABC，

∴DE∥平面ABC.

(2)以點A為坐標(biāo)原點，的方向為x，y，z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AB＝2，則A(0，0，0)，B1(2，0，2)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，E(0，2，1)，F(xiàn)(1，1，0)，＝(2，0，2)，＝(1，1，0)，＝(－2，2，－1)，設(shè)平面AB1F的一個法向量n＝(x，y，z)，則令x＝1，則n＝(1，－1，－1).設(shè)B1E與平面AB1F所成的角為θ，∴sinθ＝.

19.(12分)如圖，四棱錐P－ABCD中，側(cè)面PAD是邊長為2的等邊三角形且垂直于底面ABCD，AB＝BC＝AD，∠BAD＝

∠ABC＝90°，E是PD的中點.

(1)證明：直線CE∥平面PAB；

(2)點M在棱PC上，且直線BM與底面ABCD所成角為45°，求二面角M－AB－D的余弦值.

解：(1)證明：取PA中點F，連接EF，BF.

因為E為PD的中點，所以EF∥AD，EF＝AD，由∠BAD＝∠ABC＝90°得BC∥AD，又BC＝AD，

所以EFBC，四邊形BCEF為平行四邊形，CE∥BF.

又BF平面PAB，CE平面PAB，故CE∥平面PAB.

(2)由已知得BA⊥AD，以A為坐標(biāo)原點，的方向為x軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)－xyz，則A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，P(0，1，)，＝(1，0，－)，＝(1，0，0)，

設(shè)M(x，y，z)，則＝(x－1，y，z)，＝(x，y－1，z－)，

因為BM與底面ABCD所成的角為45°，而n＝(0，0，1)是底面ABCD的一個法向量，

所以＝sin45°，

，即(x－1)2＋y2－z2＝0.①

又M在棱PC上，設(shè)＝λ，則x＝λ，y＝1，z＝λ.②

由①②得(舍去)或

所以M，從而

設(shè)m＝(x0，y0，z0)是平面ABM的一個法向量，則即

所以可取m＝(0，－，2).

于是cos＜m，n＞＝.

因此二面角M－AB－D的余弦值為.

20.(12分)如圖，四邊形ABCD為菱形，∠ABC＝120°，E，F(xiàn)是平面ABCD同一側(cè)的兩點，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE＝2DF，AE⊥EC.

(1)證明：平面AEC⊥平面AFC；

(2)求直線AE與直線CF所成角的余弦值.

解：(1)證明：如圖，

連接BD，設(shè)BD∩AC＝G，連接EG，F(xiàn)G，EF.

在菱形ABCD中，不妨設(shè)GB＝1.

由∠ABC＝120°，

可得AG＝GC＝.

由BE⊥平面ABCD，AB＝BC，可知AE＝EC.

又AE⊥EC，所以EG＝，且EG⊥AC.

在Rt△EBG中，可得BE＝，故DF＝.

在Rt△FDG中，可得FG＝.

在直角梯形BDFE中，由BD＝2，BE＝，DF＝，

可得EF＝.從而EG2＋FG2＝EF2，所以EG⊥FG.

又AC∩FG＝G，可得EG⊥平面AFC.

因為EG平面AEC，所以平面AEC⊥平面AFC.

(2)如圖，以G為坐標(biāo)原點，分別以的方向為x軸、y軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系G－xyz.

由(1)可得A(0，－，0)，E(1，0，)，F(xiàn)，C(0，，0)，所以＝(1，)，.

故cos＜.

所以直線AE與直線CF所成角的余弦值為.

21.(12分)如圖，邊長為2的正方形ABCD所在的平面與半圓弧所在平面垂直，M是上異于C，D的點.

(1)證明：平面AMD⊥平面BMC；

(2)當(dāng)三棱錐M－ABC體積最大時，求平面MAB與平面MCD所成二面角的正弦值.

解：(1)證明：由題設(shè)知，平面CMD⊥平面ABCD，交線為CD.因為BC⊥CD，BC平面ABCD，所以BC⊥平面CMD，故BC⊥DM.因為M為上異于C，D的點，且DC為直徑，所以DM⊥CM.又BC∩CM＝C，所以DM⊥平面BMC.

而DM平面AMD，故平面AMD⊥平面BMC.

(2)以D為坐標(biāo)原點，的方向為x軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D－xyz.