交替方向乘子法在圖像復(fù)原中的應(yīng)用

交替方向乘子法在圖像復(fù)原中的應(yīng)用

0圖像噪聲項(xiàng).模型復(fù)原問(wèn)題20世紀(jì)60年代，圖像重建。其中B為矩陣,表示直接作用的算子,n為噪聲項(xiàng).通常,將圖像進(jìn)行取樣和量化,得到的結(jié)果是實(shí)數(shù)矩陣.在一般的圖像復(fù)原問(wèn)題中,B表示線性作用算子.復(fù)原處理有時(shí)也稱為反卷積,則矩陣B表示一個(gè)卷積算子.由于相機(jī)與被攝物體之間可能存在相對(duì)運(yùn)動(dòng),造成運(yùn)動(dòng)模糊、聚焦偏差等,即為模型中的噪聲項(xiàng),會(huì)對(duì)觀測(cè)結(jié)果產(chǎn)生一定的影響.1迭代收縮算法約束優(yōu)化問(wèn)題的一般形式:其中ε為常數(shù)且ε≥0,φ(x)是光滑或者非光滑的目標(biāo)函數(shù).當(dāng)φ(x)=‖x‖最近幾年,根據(jù)(2)式提出了壓縮感知問(wèn)題針對(duì)無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題,即其中,τ稱為正則化參數(shù).顯然,問(wèn)題(3)和(2)是等價(jià)的.為了解決問(wèn)題(3),提出了一些基于迭代收縮的算法,例如:加速方法SpaRSA針對(duì)目標(biāo)函數(shù)是兩個(gè)函數(shù)之和的無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題,形式如下:其中g(shù):R采用分離變量法,創(chuàng)建一個(gè)新的變量v,滿足v=g(u),作為f通過(guò)引入二次懲罰項(xiàng)的方法,將問(wèn)題(6)轉(zhuǎn)化為無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題,即通過(guò)交替進(jìn)行,化u和v為最小值,當(dāng)α取值很大時(shí),(7)式可逼近(6)式,同時(shí),也與(5)式等價(jià).對(duì)于圖像復(fù)原的無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題,如(3)式中的定義.這個(gè)問(wèn)題可以寫成如下形式:則得到相應(yīng)的約束優(yōu)化問(wèn)題:如果φ(x)=ψ(Dx),利用分離變量法,得到下面的約束優(yōu)化問(wèn)題:2提出的算法2.1可變換的迭代步驟其對(duì)應(yīng)的拉格朗日表達(dá)式為:對(duì)稱形式的交替方向乘子法,包括以下迭代步驟:定義新變量那么上面的迭代步驟可以變?yōu)橐韵滦问?這種交替化求最小的方法,與原來(lái)的無(wú)約束問(wèn)題(5)相比,每一步的運(yùn)算更容易求解.2.2v2重復(fù)算法SUMAM1)k=0,取μ=0.9,選擇v2)重復(fù);8)滿足某個(gè)終止規(guī)則,停止.其中,對(duì)算法中第三步驟的式子求解,得到解的形式如下:其中對(duì)算法中第五步的式子求解,得到的解如下:其中3實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析考慮關(guān)于攝影師圖像的修復(fù)問(wèn)題,攝影師的原始圖像及觀察到的圖像如下圖所示,其中,觀測(cè)圖像(圖2)被高斯噪聲(SNR值為40dB)破壞,與原始圖像相比,缺失了40%的像素.利用SUMAM算法編程,通過(guò)Matlab軟件對(duì)圖2進(jìn)行處理,得到結(jié)果如圖3所示,與圖1進(jìn)行對(duì)比,清晰度較高,達(dá)到了非常好的修復(fù)效果.表1給出了SUMAM算法與TwIST算法、FISTA算法處理上述問(wèn)題時(shí),在迭代次數(shù)與CPU運(yùn)行時(shí)間的比較.圖4表示利用SUMAM算法與TwIST算法、FISTA算法處理上述問(wèn)題時(shí),三種算法各自的目標(biāo)函數(shù)隨時(shí)間的變化情況.本文所有實(shí)驗(yàn)均在MatlabR2008a,win7系統(tǒng),處理器AMDAthlon(tm)II×2215,CPU2.70GHz,RAM:2.00GB環(huán)境下運(yùn)行.4數(shù)值實(shí)驗(yàn)與分析本文針對(duì)一類無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題,利用對(duì)稱形式的交替方向乘子法SUMAM進(jìn)行求解.數(shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,該算法達(dá)到了較