2023年中考數(shù)學(xué)真題分項匯編（全國通用）：新定義與閱讀理解創(chuàng)新型問題（共31題）（解析版）

專題30新定義與閱讀理解創(chuàng)新型問題（31題）一、單選題1．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考中考真題）皮克定理是格點幾何學(xué)中的一個重要定理，它揭示了以格點為頂點的多邊形的面積，其中分別表示這個多邊形內(nèi)部與邊界上的格點個數(shù)．在平面直角坐標系中，橫、縱坐標都是整數(shù)的點為格點．已知，，則內(nèi)部的格點個數(shù)是（

）A．266 B．270 C．271 D．285【答案】C【分析】首先根據(jù)題意畫出圖形，然后求出的面積和邊界上的格點個數(shù)，然后代入求解即可．【詳解】如圖所示，

∵，，∴，∵上有31個格點，上的格點有，，，，，，，，，，共10個格點，上的格點有，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共19個格點，∴邊界上的格點個數(shù)，∵，∴，∴解得．∴內(nèi)部的格點個數(shù)是271．故選：C．【點睛】本題主要考查了坐標與圖形的性質(zhì)，解決問題的關(guān)鍵是掌握數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想．2．（2023·湖南張家界·統(tǒng)考中考真題）“萊洛三角形”也稱為圓弧三角形，它是工業(yè)生產(chǎn)中廣泛使用的一種圖形．如圖，分別以等邊的三個頂點為圓心，以邊長為半徑畫弧，三段圓弧圍成的封閉圖形是“萊洛三角形”．若等邊的邊長為3，則該“萊洛三角形”的周長等于（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)及弧長公式求解即可．【詳解】解：∵等邊三角形的邊長為3，，∴，∴該“萊洛三角形”的周長，故選：B．【點睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，弧長公式，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)和弧長公式是解題的關(guān)鍵．3．（2023·重慶·統(tǒng)考中考真題）在多項式（其中中，對相鄰的兩個字母間任意添加絕對值符號，添加絕對值符號后仍只有減法運算，然后進行去絕對值運算，稱此為“絕對操作”．例如：，，．下列說法：①存在“絕對操作”，使其運算結(jié)果與原多項式相等；②不存在“絕對操作”，使其運算結(jié)果與原多項式之和為0；③所有的“絕對操作”共有7種不同運算結(jié)果．其中正確的個數(shù)是A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】根據(jù)給定的定義，舉出符合條件的說法①和②．說法③需要對絕對操作分析添加一個和兩個絕對值的情況，并將結(jié)果進行比較排除相等的結(jié)果，匯總得出答案．【詳解】解：，故說法①正確．若使其運算結(jié)果與原多項式之和為0，必須出現(xiàn)，顯然無論怎么添加絕對值，都無法使的符號為負，故說法②正確．當(dāng)添加一個絕對值時，共有4種情況，分別是；；；．當(dāng)添加兩個絕對值時，共有3種情況，分別是；；．共有7種情況；有兩對運算結(jié)果相同，故共有5種不同運算結(jié)果，故說法③不符合題意．故選：C．【點睛】本題考查新定義題型，根據(jù)多給的定義，舉出符合條件的代數(shù)式進行情況討論；需要注意去絕對值時的符號，和所有結(jié)果可能的比較．主要考查絕對值計算和分類討論思想的應(yīng)用．4．（2023·湖南岳陽·統(tǒng)考中考真題）若一個點的坐標滿足，我們將這樣的點定義為“倍值點”．若關(guān)于的二次函數(shù)（為常數(shù)，）總有兩個不同的倍值點，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用“倍值點”的定義得到方程，則方程的，可得，利用對于任意的實數(shù)總成立，可得不等式的判別式小于0，解不等式可得出的取值范圍．【詳解】解：由“倍值點”的定義可得：，整理得，∵關(guān)于的二次函數(shù)（為常數(shù)，）總有兩個不同的倍值點，∴∵對于任意實數(shù)總成立，∴整理得，∴∴，∴，或當(dāng)時，解得，當(dāng)時，此不等式組無解，∴，故選：D．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，一元二次方程根的判別式以及二次函數(shù)與不等式的關(guān)系，理解新定義并能熟練運用是解答本題的關(guān)鍵．5．（2023·山東·統(tǒng)考中考真題）若一個點的縱坐標是橫坐標的3倍，則稱這個點為“三倍點”，如：等都是三倍點”，在的范圍內(nèi)，若二次函數(shù)的圖象上至少存在一個“三倍點”，則c的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題意可得：三倍點所在的直線為，根據(jù)二次函數(shù)的圖象上至少存在一個“三倍點”轉(zhuǎn)化為和至少有一個交點，求，再根據(jù)和時兩個函數(shù)值大小即可求出．【詳解】解：由題意可得：三倍點所在的直線為，在的范圍內(nèi)，二次函數(shù)的圖象上至少存在一個“三倍點”，即在的范圍內(nèi)，和至少有一個交點，令，整理得：，則，解得，，∴，∴或當(dāng)時，，即，解得，當(dāng)時，，即，解得，綜上，c的取值范圍是，故選：D．【點睛】本題考查二次函數(shù)與一次函數(shù)交點問題，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)是關(guān)鍵．6．（2023·福建·統(tǒng)考中考真題）我國魏晉時期數(shù)學(xué)家劉徽在《九章算術(shù)注》中提到了著名的“割圓術(shù)”，即利用圓的內(nèi)接正多邊形逼近圓的方法來近似估算，指出“割之彌細，所失彌少．割之又割，以至于不可割，則與圓周合體，而無所失矣”．“割圓術(shù)”孕育了微積分思想，他用這種思想得到了圓周率的近似值為3.1416．如圖，的半徑為1，運用“割圓術(shù)”，以圓內(nèi)接正六邊形面積近似估計的面積，可得的估計值為，若用圓內(nèi)接正十二邊形作近似估計，可得的估計值為（）A． B． C．3 D．【答案】C【分析】根據(jù)圓內(nèi)接正多邊形的性質(zhì)可得，根據(jù)30度的作對的直角邊是斜邊的一半可得，根據(jù)三角形的面積公式即可求得正十二邊形的面積，即可求解．【詳解】解：圓的內(nèi)接正十二邊形的面積可以看成12個全等的等腰三角形組成，故等腰三角形的頂角為，設(shè)圓的半徑為1，如圖為其中一個等腰三角形，過點作交于點于點，∵，∴，則，故正十二邊形的面積為，圓的面積為，用圓內(nèi)接正十二邊形面積近似估計的面積可得，故選：C．【點睛】本題考查了圓內(nèi)接正多邊形的性質(zhì)，30度的作對的直角邊是斜邊的一半，三角形的面積公式，圓的面積公式等，正確求出正十二邊形的面積是解題的關(guān)鍵．二、填空題7．（2023·甘肅武威·統(tǒng)考中考真題）如圖1，我國是世界上最早制造使用水車的國家．1556年蘭州人段續(xù)的第一架水車創(chuàng)制成功后，黃河兩岸人民紛紛仿制，車水灌田，水渠縱橫，沃土繁豐．而今，蘭州水車博覽園是百里黃河風(fēng)情線上的標志性景觀，是蘭州“水車之都”的象征．如圖2是水車舀水灌溉示意圖，水車輪的輻條（圓的半徑）長約為6米，輻條盡頭裝有刮板，刮板間安裝有等距斜掛的長方體形狀的水斗，當(dāng)水流沖動水車輪刮板時，驅(qū)使水車徐徐轉(zhuǎn)動，水斗依次舀滿河水在點處離開水面，逆時針旋轉(zhuǎn)上升至輪子上方處，斗口開始翻轉(zhuǎn)向下，將水傾入木槽，由木槽導(dǎo)入水渠，進而灌溉，那么水斗從處（舀水）轉(zhuǎn)動到處（倒水）所經(jīng)過的路程是________米．（結(jié)果保留）

【答案】【分析】把半徑和圓心角代入弧長公式即可；【詳解】故填：．【點睛】本題考查弧長公式的應(yīng)用，準確記憶公式，并正確代入公式是解題的關(guān)鍵．8．（2023·湖北隨州·統(tǒng)考中考真題）某天老師給同學(xué)們出了一道趣味數(shù)學(xué)題：設(shè)有編號為1-100的100盞燈，分別對應(yīng)著編號為1-100的100個開關(guān)，燈分為“亮”和“不亮”兩種狀態(tài)，每按一次開關(guān)改變一次相對應(yīng)編號的燈的狀態(tài)，所有燈的初始狀態(tài)為“不亮”．現(xiàn)有100個人，第1個人把所有編號是1的整數(shù)倍的開關(guān)按一次，第2個人把所有編號是2的整數(shù)倍的開關(guān)按一次，第3個人把所有編號是3的整數(shù)倍的開關(guān)按一次，……，第100個人把所有編號是100的整數(shù)倍的開關(guān)按一次．問最終狀態(tài)為“亮”的燈共有多少盞？幾位同學(xué)對該問題展開了討論：甲：應(yīng)分析每個開關(guān)被按的次數(shù)找出規(guī)律：乙：1號開關(guān)只被第1個人按了1次，2號開關(guān)被第1個人和第2個人共按了2次，3號開關(guān)被第1個人和第3個人共按了2次，……丙：只有按了奇數(shù)次的開關(guān)所對應(yīng)的燈最終是“亮”的狀態(tài)．根據(jù)以上同學(xué)的思維過程，可以得出最終狀態(tài)為“亮”的燈共有___________盞．【答案】10【分析】燈的初始狀態(tài)為“不亮”，按奇數(shù)次，則狀態(tài)為“亮”，按偶數(shù)次，則狀態(tài)為“不亮”，確定1-100中，各個數(shù)因數(shù)的個數(shù)，完全平方數(shù)的因數(shù)為奇數(shù)個，從而求解．【詳解】所有燈的初始狀態(tài)為“不亮”，按奇數(shù)次，則狀態(tài)為“亮”，按偶數(shù)次，則狀態(tài)為“不亮”；因數(shù)的個數(shù)為奇數(shù)的自然數(shù)只有完全平方數(shù)，1-100中，完全平方數(shù)為1，4，9，16，25，36，49，64，81，100；有10個數(shù)，故有10盞燈被按奇數(shù)次，為“亮”的狀態(tài)；故答案為：10．【點睛】本題考查因數(shù)分解，完全平方數(shù)，理解因數(shù)的意義，完全平方數(shù)的概念是解題的關(guān)鍵．9．（2023·湖南常德·統(tǒng)考中考真題）沈括的《夢溪筆談》是中國古代科技史上的杰作，其中收錄了計算圓弧長度的“會圓術(shù)”，如圖．是以O(shè)為圓心，為半徑的圓弧，C是弦的中點，D在上，．“會圓術(shù)”給出長l的近似值s計算公式：，當(dāng)，時，__________．（結(jié)果保留一位小數(shù)）【答案】0.1【分析】由已知求得與的值，代入得弧長的近似值，利用弧長公式可求弧長的值，進而即可得解．【詳解】∵，∴，∵C是弦的中點，D在上，，∴延長可得O在上，∴，∴，，∴．故答案為：．【點睛】本題考查扇形的弧長，掌握垂徑定理。弧長公式是關(guān)鍵．10．（2023·北京·統(tǒng)考中考真題）學(xué)校組織學(xué)生參加木藝藝術(shù)品加工勞動實踐活動．已知某木藝藝術(shù)品加工完成共需A，B，C，D，E，F(xiàn)，G七道工序，加工要求如下：①工序C，D須在工序A完成后進行，工序E須在工序B，D都完成后進行，工序F須在工序C，D都完成后進行；②一道工序只能由一名學(xué)生完成，此工序完成后該學(xué)生才能進行其他工序；③各道工序所需時間如下表所示：工序ABCDEFG所需時間/分鐘99797102在不考慮其他因素的前提下，若由一名學(xué)生單獨完成此木藝藝術(shù)品的加工，則需要______分鐘；若由兩名學(xué)生合作完成此木藝藝術(shù)品的加工，則最少需要______分鐘．【答案】53；28【分析】將所有工序需要的時間相加即可得出由一名學(xué)生單獨完成需要的時間；假設(shè)這兩名學(xué)生為甲、乙，根據(jù)加工要求可知甲學(xué)生做工序A，乙學(xué)生同時做工序B；然后甲學(xué)生做工序D，乙學(xué)生同時做工序C，乙學(xué)生工序C完成后接著做工序G；最后甲學(xué)生做工序E，乙學(xué)生同時做工序F，然后可得答案．【詳解】解：由題意得：（分鐘），即由一名學(xué)生單獨完成此木藝藝術(shù)品的加工，需要53分鐘；假設(shè)這兩名學(xué)生為甲、乙，∵工序C，D須在工序A完成后進行，工序E須在工序B，D都完成后進行，且工序A，B都需要9分鐘完成，∴甲學(xué)生做工序A，乙學(xué)生同時做工序B，需要9分鐘，然后甲學(xué)生做工序D，乙學(xué)生同時做工序C，乙學(xué)生工序C完成后接著做工序G，需要9分鐘，最后甲學(xué)生做工序E，乙學(xué)生同時做工序F，需要10分鐘，∴若由兩名學(xué)生合作完成此木藝藝術(shù)品的加工，最少需要（分鐘），故答案為：53，28；【點睛】本題考查了邏輯推理與時間統(tǒng)籌，根據(jù)加工要求得出加工順序是解題的關(guān)鍵．11．（2023·重慶·統(tǒng)考中考真題）對于一個四位自然數(shù)M，若它的千位數(shù)字比個位數(shù)字多6，百位數(shù)字比十位數(shù)字多2，則稱M為“天真數(shù)”．如：四位數(shù)7311，∵，，∴7311是“天真數(shù)”；四位數(shù)8421，∵，∴8421不是“天真數(shù)”，則最小的“天真數(shù)”為________；一個“天真數(shù)”M的千位數(shù)字為a，百位數(shù)字為b，十位數(shù)字為c，個位數(shù)字為d，記，，若能被10整除，則滿足條件的M的最大值為________．【答案】6200；9313【分析】根據(jù)題中“天真數(shù)”可求得最小的“天真數(shù)”；先根據(jù)題中新定義得到，進而，若M最大，只需千位數(shù)字a取最大，即，再根據(jù)能被10整除求得，進而可求解．【詳解】解：根據(jù)題意，只需千位數(shù)字和百位數(shù)字盡可能的小，所以最小的“天真數(shù)”為6200；根據(jù)題意，，，，，則，∴，∴，若M最大，只需千位數(shù)字a取最大，即，∴，∵能被10整除，∴，∴滿足條件的M的最大值為9313，故答案為：6200，9313．【點睛】本題是一道新定義題，涉及有理數(shù)的運算、整式的加減、數(shù)的整除等知識，理解新定義是解答的關(guān)鍵．12．（2023·四川樂山·統(tǒng)考中考真題）定義：若x，y滿足且（t為常數(shù)），則稱點為“和諧點”．（1）若是“和諧點”，則__________．（2）若雙曲線存在“和諧點”，則k的取值范圍為__________．【答案】；【分析】（1）根據(jù)“和諧點”的定義得到，整理得到，解得（不合題意，舍去），即可得到答案；（2）設(shè)點為雙曲線上的“和諧點”，根據(jù)“和諧點”的定義整理得到，由得到，則，由進一步得到，且，根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可得到k的取值范圍．【詳解】解：（1）若是“和諧點”，則，則，∴，即，解得（不合題意，舍去），∴，故答案為：（2）設(shè)點為雙曲線上的“和諧點”，∴，，即，∴，則，∵，∴，即，∵，∴，且，對拋物線來說，∵，∴開口向下，當(dāng)時，，當(dāng)時，，∵對稱軸為，，∴當(dāng)時，k取最大值為4，∴k的取值范圍為，故答案為：【點睛】此題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)等知識，讀懂題意，熟練掌握反比例函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．13．（2023·浙江紹興·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標系中，一個圖形上的點都在一邊平行于軸的矩形內(nèi)部（包括邊界），這些矩形中面積最小的矩形稱為該圖形的關(guān)聯(lián)矩形．例如：如圖，函數(shù)的圖象（拋物線中的實線部分），它的關(guān)聯(lián)矩形為矩形．若二次函數(shù)圖象的關(guān)聯(lián)矩形恰好也是矩形，則________．

【答案】或【分析】根據(jù)題意求得點，，，根據(jù)題意分兩種情況，待定系數(shù)法求解析式即可求解．【詳解】由，當(dāng)時，，∴，∵，四邊形是矩形，∴，①當(dāng)拋物線經(jīng)過時，將點，代入，∴解得：②當(dāng)拋物線經(jīng)過點時，將點,代入，∴解得：綜上所述，或，故答案為：或．【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求拋物線解析式，理解新定義，最小矩形的限制條件是解題的關(guān)鍵．14．（2023·重慶·統(tǒng)考中考真題）如果一個四位自然數(shù)的各數(shù)位上的數(shù)字互不相等且均不為0，滿足，那么稱這個四位數(shù)為“遞減數(shù)”．例如：四位數(shù)4129，∵，∴4129是“遞減數(shù)”；又如：四位數(shù)5324，∵，∴5324不是“遞減數(shù)”．若一個“遞減數(shù)”為，則這個數(shù)為___________；若一個“遞減數(shù)”的前三個數(shù)字組成的三位數(shù)與后三個數(shù)字組成的三位數(shù)的和能被9整除，則滿足條件的數(shù)的最大值是___________．【答案】；8165【分析】根據(jù)遞減數(shù)的定義進行求解即可．【詳解】解：∵是遞減數(shù)，∴，∴，∴這個數(shù)為；故答案為：∵一個“遞減數(shù)”的前三個數(shù)字組成的三位數(shù)與后三個數(shù)字組成的三位數(shù)的和能被9整除，∴，∵，∴，∵，能被整除，∴能被9整除，∵各數(shù)位上的數(shù)字互不相等且均不為0，∴，∵最大的遞減數(shù)，∴，∴，即：，∴最大取，此時，∴這個最大的遞減數(shù)為8165．故答案為：8165．【點睛】本題考查一元一次方程和二元一次方程的應(yīng)用．理解并掌握遞減數(shù)的定義，是解題的關(guān)鍵．三、解答題15．（2023·內(nèi)蒙古通遼·統(tǒng)考中考真題）閱讀材料：材料1：關(guān)于x的一元二次方程的兩個實數(shù)根和系數(shù)a，b，c有如下關(guān)系：，．材料2：已知一元二次方程的兩個實數(shù)根分別為m，n，求的值．解：∵m，n是一元二次方程的兩個實數(shù)根，∴．則．根據(jù)上述材料，結(jié)合你所學(xué)的知識，完成下列問題：(1)應(yīng)用：一元二次方程的兩個實數(shù)根為，則___________，___________；(2)類比：已知一元二次方程的兩個實數(shù)根為m，n，求的值；(3)提升：已知實數(shù)s，t滿足且，求的值．【答案】(1)，(2)(3)的值為或【分析】（1）直接利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求解即可；（2）利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可求出，，再根據(jù)，最后代入求值即可；（3）由題意可將s、t可以看作方程的兩個根，即得出，，從而由，求得或，最后分類討論分別代入求值即可．【詳解】（1）解：∵一元二次方程的兩個根為，，∴，．故答案為：，；（2）解：∵一元二次方程的兩根分別為m、n，∴，，∴；（3）解：∵實數(shù)s、t滿足，∴s、t可以看作方程的兩個根，∴，，∵，∴或，當(dāng)時，，當(dāng)時，，綜上分析可知，的值為或．【點睛】本題考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，完全平方公式的變形計算，分式的混合運算．理解題意，掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系：和是解題關(guān)鍵．16．（2023·江蘇徐州·統(tǒng)考中考真題）兩漢文化看徐州，桐桐在徐州博物館“天工漢玉”展廳參觀時了解到；玉壁，玉環(huán)為我國的傳統(tǒng)玉器，通常為正中帶圓孔的扇圓型器物，據(jù)《爾雅·釋器》記載：“肉倍好，謂之璧；肉好若一，調(diào)之環(huán)．”如圖1，“肉”指邊（陰影部分），“好”指孔，其比例關(guān)系見圖示，以考古發(fā)現(xiàn)看，這兩種玉器的“肉”與“好”未必符合該比例關(guān)系．(1)若圖1中兩個大圓的直徑相等，則璧與環(huán)的“肉”的面積之比為；(2)利用圓規(guī)與無刻度的直尺，解決下列問題（保留作圖痕跡，不寫作法）．①圖2為徐州獅子山楚王墓出土的“雷紋玉環(huán)”及其主視圖，試判斷該件玉器的比例關(guān)系是否符合“肉好若一”？②圖3表示一件圓形玉坯，若將其加工成玉璧，且比例關(guān)系符合“肉倍好”，請畫出內(nèi)孔．【答案】(1)(2)①符合，圖見詳解；②圖見詳解【分析】（1）根據(jù)圓環(huán)面積可進行求解；（2）①先確定該圓環(huán)的圓心，然后利用圓規(guī)確定其比例關(guān)系即可；②先確定好圓的圓心，然后根據(jù)平行線所截線段成比例可進行作圖．【詳解】（1）解：由圖1可知：璧的“肉”的面積為；環(huán)的“肉”的面積為，∴它們的面積之比為；故答案為；（2）解：①在該圓環(huán)任意畫兩條相交的線，且交點在外圓的圓上，且與外圓的交點分別為A、B、C，則分別以A、B為圓心，大于長為半徑畫弧，交于兩點，連接這兩點，同理可畫出線段的垂直平分線，線段的垂直平分線的交點即為圓心O，過圓心O畫一條直徑，以O(shè)為圓心，內(nèi)圓半徑為半徑畫弧，看是否滿足“肉好若一”的比例關(guān)系即可

由作圖可知滿足比例關(guān)系為的關(guān)系；②按照①中作出圓的圓心O，過圓心畫一條直徑，過點A作一條射線，然后以A為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，把射線三等分，交點分別為C、D、E，連接，然后分別過點C、D作的平行線，交于點F、G，進而以為直徑畫圓，則問題得解；如圖所示：

【點睛】本題主要考查圓的基本性質(zhì)及平行線所截線段成比例，熟練掌握圓的基本性質(zhì)及平行線所截線段成比例是解題的關(guān)鍵．17．（2023·浙江寧波·統(tǒng)考中考真題）定義：有兩個相鄰的內(nèi)角是直角，并且有兩條鄰邊相等的四邊形稱為鄰等四邊形，相等兩鄰邊的夾角稱為鄰等角．

(1)如圖1，在四邊形中，，對角線平分．求證：四邊形為鄰等四邊形．(2)如圖2，在6×5的方格紙中，A，B，C三點均在格點上，若四邊形是鄰等四邊形，請畫出所有符合條件的格點D．(3)如圖3，四邊形是鄰等四邊形，，為鄰等角，連接，過B作交的延長線于點E．若，求四邊形的周長．【答案】(1)證明見解析(2)畫圖見解析(3)【分析】（1）先證明，，再證明，即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)新定義分兩種情況進行討論即可；①，結(jié)合圖形再確定滿足或的格點D；②，結(jié)合圖形再確定滿足的格點D；（3）如圖，過作于，可得四邊形是矩形，，，證明四邊形為平行四邊形，可得，，設(shè)，而，，，由新定義可得，由勾股定理可得：，再解方程可得答案．【詳解】（1）解：∵，∴，，∵對角線平分，∴，∴，∴，∴四邊形為鄰等四邊形．（2）解：，，即為所求；（3）如圖，過作于，

∵，∴四邊形是矩形，∴，，∵，∴四邊形為平行四邊形，∴，，設(shè)，而，∴，，由新定義可得，由勾股定理可得：，整理得：，解得：，（不符合題意舍去），∴，∴四邊形的周長為．【點睛】本題考查的是新定義的含義，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定，平行四邊形的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，一元二次方程的解法，理解題意，作出合適的輔助線是解本題的關(guān)鍵．18．（2023·山西·統(tǒng)考中考真題）閱讀與思考：下面是一位同學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)筆記，請仔細閱讀并完成相應(yīng)任務(wù)．瓦里尼翁平行四邊形我們知道，如圖1，在四邊形中，點分別是邊，的中點，順次連接，得到的四邊形是平行四邊形．

我查閱了許多資料，得知這個平行四邊形被稱為瓦里尼翁平行四邊形．瓦里尼翁是法國數(shù)學(xué)家、力學(xué)家．瓦里尼翁平行四邊形與原四邊形關(guān)系密切．

①當(dāng)原四邊形的對角線滿足一定關(guān)系時，瓦里尼翁平行四邊形可能是菱形、矩形或正方形．②瓦里尼翁平行四邊形的周長與原四邊形對角線的長度也有一定關(guān)系．③瓦里尼翁平行四邊形的面積等于原四邊形面積的一半．此結(jié)論可借助圖1證明如下：證明：如圖2，連接，分別交于點，過點作于點，交于點．∵分別為的中點，∴．（依據(jù)1）

∴．∵，∴．∵四邊形是瓦里尼翁平行四邊形，∴，即．∵，即，∴四邊形是平行四邊形．（依據(jù)2）∴．∵，∴．同理，…任務(wù)：(1)填空：材料中的依據(jù)1是指：_____________．依據(jù)2是指：_____________．(2)請用刻度尺、三角板等工具，畫一個四邊形及它的瓦里尼翁平行四邊形，使得四邊形為矩形；（要求同時畫出四邊形的對角線）(3)在圖1中，分別連接得到圖3，請猜想瓦里尼翁平行四邊形的周長與對角線長度的關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

【答案】(1)三角形中位線定理（或三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半）；平行四邊形的定義（或兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形）(2)答案不唯一，見解析(3)平行四邊形的周長等于對角線與長度的和，見解析【分析】（1）根據(jù)三角形中位線定理和平行四邊形的定義解答即可；（2）作對角線互相垂直的四邊形，再順次連接這個四邊形各邊中點即可；（3）根據(jù)三角形中位線定理得瓦里尼翁平行四邊形一組對邊和等于四邊形的一條對角線，即可得妯結(jié)論．【詳解】（1）解：三角形中位線定理（或三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半）平行四邊形的定義（或兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形）（2）解：答案不唯一，只要是對角線互相垂直的四邊形，它的瓦里尼翁平行四邊形即為矩形均可．例如：如圖即為所求

（3）瓦里尼翁平行四邊形的周長等于四邊形的兩條對角線與長度的和，證明如下：∵點分別是邊的中點，∴．∴．同理．∴四邊形的周長．即瓦里尼翁平行四邊形的周長等于對角線與長度的和．【點睛】本題考查平行四邊形的判定，矩形的判定，三角形中位線．熟練掌握三角形中位線定理是解題的關(guān)鍵．19．（2023·河北·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標系中，設(shè)計了點的兩種移動方式：從點移動到點稱為一次甲方式：從點移動到點稱為一次乙方式．例、點P從原點O出發(fā)連續(xù)移動2次；若都按甲方式，最終移動到點；若都按乙方式，最終移動到點；若按1次甲方式和1次乙方式，最終移動到點．

(1)設(shè)直線經(jīng)過上例中的點，求的解析式；并直接寫出將向上平移9個單位長度得到的直線的解析式；(2)點P從原點O出發(fā)連續(xù)移動10次，每次移動按甲方式或乙方式，最終移動到點．其中，按甲方式移動了m次．①用含m的式子分別表示；②請說明：無論m怎樣變化，點Q都在一條確定的直線上．設(shè)這條直線為，在圖中直接畫出的圖象；(3)在（1）和（2）中的直線上分別有一個動點，橫坐標依次為，若A，B，C三點始終在一條直線上，直接寫出此時a，b，c之間的關(guān)系式．【答案】(1)的解析式為；的解析式為；(2)①；②的解析式為，圖象見解析；(3)【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法即可求出的解析式，然后根據(jù)直線平移的規(guī)律：上加下減即可求出直線的解析式；（2）①根據(jù)題意可得：點P按照甲方式移動m次后得到的點的坐標為，再得出點按照乙方式移動次后得到的點的橫坐標和縱坐標，即得結(jié)果；②由①的結(jié)果可得直線的解析式，進而可畫出函數(shù)圖象；（3）先根據(jù)題意得出點A，B，C的坐標，然后利用待定系數(shù)法求出直線的解析式，再把點C的坐標代入整理即可得出結(jié)果．【詳解】（1）設(shè)的解析式為，把、代入，得，解得：，∴的解析式為；將向上平移9個單位長度得到的直線的解析式為；（2）①∵點P按照甲方式移動了m次，點P從原點O出發(fā)連續(xù)移動10次，∴點P按照乙方式移動了次，∴點P按照甲方式移動m次后得到的點的坐標為；∴點按照乙方式移動次后得到的點的橫坐標為，縱坐標為，∴；②由于，∴直線的解析式為；函數(shù)圖象如圖所示：

（3）∵點的橫坐標依次為，且分別在直線上，∴，設(shè)直線的解析式為，把A、B兩點坐標代入，得，解得：，∴直線的解析式為，∵A，B，C三點始終在一條直線上，∴，整理得：；即a，b，c之間的關(guān)系式為：．【點睛】本題是一次函數(shù)和平移綜合題，主要考查了平移的性質(zhì)和一次函數(shù)的相關(guān)知識，正確理解題意、熟練掌握平移的性質(zhì)和待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式是解題關(guān)鍵．20．（2023·湖南張家界·統(tǒng)考中考真題）閱讀下面材料：將邊長分別為a，，，的正方形面積分別記為，，，．則例如：當(dāng)，時，根據(jù)以上材料解答下列問題：(1)當(dāng)，時，______，______；(2)當(dāng)，時，把邊長為的正方形面積記作，其中n是正整數(shù)，從（1）中的計算結(jié)果，你能猜出等于多少嗎？并證明你的猜想；(3)當(dāng)，時，令，，，…，，且，求T的值．【答案】(1)，(2)猜想結(jié)論：，證明見解析(3)【分析】（1）根據(jù)題意，直接代入然后利用完全平方公式展開合并求解即可；（2）根據(jù)題意得出猜想，然后由完全平方公式展開證明即可；（3）結(jié)合題意利用（2）中結(jié)論求解即可．【詳解】（1）解：當(dāng)，時，原式；當(dāng)，時，原式；（2）猜想結(jié)論：證明：；（3）．【點睛】題目主要考查利用完全平方公式進行計算，理解題意，得出相應(yīng)規(guī)律是解題關(guān)鍵．21．（2023·湖北荊州·統(tǒng)考中考真題）如圖1，點是線段上與點，點不重合的任意一點，在的同側(cè)分別以，，為頂點作，其中與的一邊分別是射線和射線，的兩邊不在直線上，我們規(guī)定這三個角互為等聯(lián)角，點為等聯(lián)點，線段為等聯(lián)線．(1)如圖2，在個方格的紙上，小正方形的頂點為格點、邊長均為1，為端點在格點的已知線段．請用三種不同連接格點的方法，作出以線段為等聯(lián)線、某格點為等聯(lián)點的等聯(lián)角，并標出等聯(lián)角，保留作圖痕跡；(2)如圖3，在中，，，延長至點，使，作的等聯(lián)角和．將沿折疊，使點落在點處，得到，再延長交的延長線于，連接并延長交的延長線于，連接．①確定的形狀，并說明理由；②若，，求等聯(lián)線和線段的長（用含的式子表示）．【答案】(1)見解析(2)①等腰直角三角形，見解析；②；【分析】（1）根據(jù)新定義，畫出等聯(lián)角；（2）①是等腰直角三角形，過點作交的延長線于．由折疊得，，，證明四邊形為正方形，進而證明，得出即可求解；②過點作于，交的延長線于，則．證明，得出，在中，，，進而證明四邊形為正方形，則，由，得出，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出，根據(jù)即可求解．【詳解】（1）解：如圖所示（方法不唯一）（2）①是等腰直角三角形．理由為：如圖，過點作交的延長線于．由折疊得，，，，四邊形為正方形又，，而，是等腰直角三角形．②過點作于，交的延長線于，則．，，由是等腰直角三角形知：，，，，而，，在中，，，，，，由，，∴四邊形為正方形，，由，得：，∴，，而，即，解得：，由①知：，，．【點睛】本題考查了幾何新定義，正方形的性質(zhì)與判定，折疊問題，全等三角形的性質(zhì)與判定，相似三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，理解新定義，掌握正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．22．（2023·內(nèi)蒙古赤峰·統(tǒng)考中考真題）定義：在平面直角坐標系中，當(dāng)點N在圖形M的內(nèi)部，或在圖形M上，且點N的橫坐標和縱坐標相等時，則稱點N為圖形M的“夢之點”．

(1)如圖①，矩形的頂點坐標分別是，，，，在點，，中，是矩形“夢之點”的是___________；(2)點是反比例函數(shù)圖象上的一個“夢之點”，則該函數(shù)圖象上的另一個“夢之點”H的坐標是___________，直線的解析式是___________．當(dāng)時，x的取值范圍是___________．(3)如圖②，已知點A，B是拋物線上的“夢之點”，點C是拋物線的頂點，連接，，，判斷的形狀，并說明理由．【答案】(1)，(2)，，或(3)是直角三角形，理由見解析【分析】（1）根據(jù)“夢之點”的定義判斷這幾個點是否在矩形內(nèi)部或邊上即可；（2）把代入求出解析式，再求與的交點即為，最后根據(jù)函數(shù)圖象判斷當(dāng)時，x的取值范圍；（3）根據(jù)“夢之點”的定義求出點A，B的坐標，再求出頂點C的坐標，最后求出，，，即可判斷的形狀．【詳解】（1）∵矩形的頂點坐標分別是，，，，∴矩形“夢之點”滿足，，∴點，是矩形“夢之點”，點不是矩形“夢之點”，故答案為：，；（2）∵點是反比例函數(shù)圖象上的一個“夢之點”，∴把代入得，∴，∵“夢之點”的橫坐標和縱坐標相等，∴“夢之點”都在直線上，聯(lián)立，解得或，∴，∴直線的解析式是，函數(shù)圖象如圖：

由圖可得，當(dāng)時，x的取值范圍是或；故答案為：，，或；（3）是直角三角形，理由如下：∵點A，B是拋物線上的“夢之點”，∴聯(lián)立，解得或，∴，，∵∴頂點，∴，，，∴，∴是直角三角形．【點睛】本題是函數(shù)的綜合題，考查了一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)，理解坐標與圖形性質(zhì)，記住兩點間的距離公式，正確理解新定義是解決此題的關(guān)鍵．23．（2023·北京·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標系中，的半徑為1．對于的弦和外一點C給出如下定義：若直線，中一條經(jīng)過點O，另一條是的切線，則稱點C是弦的“關(guān)聯(lián)點”．(1)如圖，點，，①在點，，中，弦的“關(guān)聯(lián)點”是______．②若點C是弦的“關(guān)聯(lián)點”，直接寫出的長；(2)已知點，．對于線段上一點S，存在的弦，使得點S是弦的“關(guān)聯(lián)點”，記的長為t，當(dāng)點S在線段上運動時，直接寫出t的取值范圍．【答案】(1)，；(2)或【分析】（1）根據(jù)題目中關(guān)聯(lián)點的定義并分情況討論計算即可；（2）根據(jù)，兩點來求最值情況，S共有2種情況，分別位于點M和經(jīng)過點O的的垂直平分線上，運用相似三角形計算即可．【詳解】（1）解：①由關(guān)聯(lián)點的定義可知，若直線中一經(jīng)過點O，另一條是的切線，則稱點C是弦的“關(guān)聯(lián)點”，∵點，，，，，∴直線經(jīng)過點O，且與相切，∴是弦的“關(guān)聯(lián)點”，又∵和橫坐標相等，與都位于直線上，∴與相切，經(jīng)過點O，∴是弦的“關(guān)聯(lián)點”．②∵，，設(shè)，如下圖所示，共有兩種情況，

a、若與相切，經(jīng)過點O，則、所在直線為：，解得：，∴，b、若與相切，經(jīng)過點O，則、所在直線為：，解得：，∴，綜上，．（2）解：∵線段上一點S，存在的弦，使得點S是弦的“關(guān)聯(lián)點”，又∵弦隨著S的變動在一定范圍內(nèi)變動，且，，，∴S共有2種情況，分別位于點M和經(jīng)過點O的的垂直平分線上，如圖所示，

①當(dāng)S位于點時，為的切線，作，∵，的半徑為1，且為的切線，∴，∵，∴，∴，即，解得，∴根據(jù)勾股定理得，，根據(jù)勾股定理，，同理，，∴當(dāng)S位于點時，的臨界值為和．②當(dāng)S位于經(jīng)過點O的的垂直平分線上即點K時，∵點，，∴，∴，又∵的半徑為1，∴，∴三角形為等邊三角形，∴在此情況下，，，∴當(dāng)S位于經(jīng)過點O的的垂直平分線上即點K時，的臨界值為和，∴在兩種情況下，的最小值在內(nèi)，最大值在，綜上所述，t的取值范圍為或，【點睛】本題主要考查最值問題，題目較為新穎，要靈活運用知識點，明確新概念時解答此題的關(guān)鍵．24．（2023·四川涼山·統(tǒng)考中考真題）閱讀理解題：閱讀材料：如圖1，四邊形是矩形，是等腰直角三角形，記為、為，若，則．

證明：設(shè)，∵，∴，易證∴，∴∴，若時，當(dāng)，則．同理：若時，當(dāng)，則．根據(jù)上述材料，完成下列問題：如圖2，直線與反比例函數(shù)的圖象交于點，與軸交于點．將直線繞點順時針旋轉(zhuǎn)后的直線與軸交于點，過點作軸于點，過點作軸于點，已知．

(1)求反比例函數(shù)的解析式；(2)直接寫出的值；(3)求直線的解析式．【答案】(1)(2)，(3)【分析】（1）首先求出點，然后設(shè)，在中，利用勾股定理求出，得到，然后代入求解即可；（2）首先根據(jù)，得到，，求出，，然后利用正切值的概念求出，然后證明出四邊形是矩形，得到，然后由即可求出；（3）首先根據(jù)矩形的性質(zhì)得到，，然后利用求出，進而得到，然后設(shè)直線的解析式為，利用待定系數(shù)法將和代入求解即可．【詳解】（1）將代入得，，∴，∵直線與反比例函數(shù)的圖象交于點，∴設(shè)，∵，，∴在中，，∴，∴解得，，∵點A的橫坐標要大于點B的橫坐標，∴應(yīng)舍去，∴，∴，∴將代入，解得；∴反比例函數(shù)的解析式為；（2）∵，，∴，，∴，，∵，∴，∵，，∴四邊形是矩形，∴，∵將直線繞點順時針旋轉(zhuǎn)后的直線與軸交于點，∴，∴，∵，∴；（3）∵四邊形是矩形，∴，，∵，，∴，即，∴解得，∴，∴，∴設(shè)直線的解析式為，∴將和代入得，，∴解得，∴直線的解析式為．【點睛】此題考查了反比例函數(shù)，一次函數(shù)和幾何綜合題，矩形的性質(zhì)，解直角三角形，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是正確理解材料的內(nèi)容．25．（2023·浙江臺州·統(tǒng)考中考真題）【問題背景】“刻漏”是我國古代的一種利用水流計時的工具．綜合實踐小組準備用甲、乙兩個透明的豎直放置的容器和一根帶節(jié)流閥（控制水的流速大?。┑能浌苤谱骱喴子嫊r裝置．【實驗操作】綜合實踐小組設(shè)計了如下的實驗：先在甲容器里加滿水，此時水面高度為30cm，開始放水后每隔10min觀察一次甲容器中的水面高度，獲得的數(shù)據(jù)如下表：流水時間t/min010203040水面高度h/cm（觀察值）302928.12725.8任務(wù)1

分別計算表中每隔10min水面高度觀察值的變化量．【建立模型】小組討論發(fā)現(xiàn)：“，”是初始狀態(tài)下的準確數(shù)據(jù)，水面高度值的變化不均勻，但可以用一次函數(shù)近似地刻畫水面高度h與流水時間t的關(guān)系．

任務(wù)2

利用時，；時，這兩組數(shù)據(jù)求水面高度h與流水時間t的函數(shù)解析式．【反思優(yōu)化】經(jīng)檢驗，發(fā)現(xiàn)有兩組表中觀察值不滿足任務(wù)2中求出的函數(shù)解析式，存在偏差．小組決定優(yōu)化函數(shù)解析式，減少偏差．通過查閱資料后知道：t為表中數(shù)據(jù)時，根據(jù)解析式求出所對應(yīng)的函數(shù)值，計算這些函數(shù)值與對應(yīng)h的觀察值之差的平方和，記為w；w越小，偏差越?。蝿?wù)3

（1）計算任務(wù)2得到的函數(shù)解析式的w值．（2）請確定經(jīng)過的一次函數(shù)解析式，使得w的值最?。驹O(shè)計刻度】得到優(yōu)化的函數(shù)解析式后，綜合實踐小組決定在甲容器外壁設(shè)計刻度，通過刻度直接讀取時間．任務(wù)4

請你簡要寫出時間刻度的設(shè)計方案．【答案】任務(wù)1：見解析；任務(wù)2：；任務(wù)3：（1），（2）；任務(wù)4：見解析【分析】任務(wù)1：根據(jù)表格每隔10min水面高度數(shù)據(jù)計算即可；任務(wù)2：根據(jù)每隔10min水面高度觀察值的變化量大約相等，得出水面高度h與流水時間t的是一次函數(shù)關(guān)系，由待定系數(shù)法求解；任務(wù)3：（1）先求出對應(yīng)時間的水面高度，再按要求求w值；（2）設(shè)，然后根據(jù)表格中數(shù)據(jù)求出此時w的值是關(guān)于k的二次函數(shù)解析式；由此求出w的值最小時k值即可；任務(wù)4：根據(jù)高度隨時間變化規(guī)律，以相同時間刻畫不同高度即可，類似如數(shù)軸三要素，有原點、正方向與單位長度．最大量程約為294min可以代替單位長度要素．【詳解】解：任務(wù)1：變化量分別為，；；；；任務(wù)2：設(shè)，∵時，，時，；∴∴水面高度h與流水時間t的函數(shù)解析式為．任務(wù)3：（1）當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，∴．（2）設(shè)，則．當(dāng)時，w最?。鄡?yōu)化后的函數(shù)解析式為．任務(wù)4：時間刻度方案要點：①時間刻度的0刻度在水位最高處；②刻度從上向下均勻變大；③每0.102cm表示1min（1cm表示時間約為9.8min）．【點睛】本題主要考查一次函數(shù)和二次函數(shù)的應(yīng)用、方差的計算，熟練掌握待定系數(shù)法求解析式及一次函數(shù)的函數(shù)值、二次函數(shù)的最值是解題的關(guān)鍵．26．（2023·山西·統(tǒng)考中考真題）問題情境：“綜合與實踐”課上，老師提出如下問題：將圖1中的矩形紙片沿對角線剪開，得到兩個全等的三角形紙片，表示為和，其中．將和按圖2所示方式擺放，其中點與點重合（標記為點）．當(dāng)時，延長交于點．試判斷四邊形的形狀，并說明理由．

(1)數(shù)學(xué)思考：談你解答老師提出的問題；(2)深入探究：老師將圖2中的繞點逆時針方向旋轉(zhuǎn)，使點落在內(nèi)部，并讓同學(xué)們提出新的問題．

①“善思小組”提出問題：如圖3，當(dāng)時，過點作交的延長線于點與交于點．試猜想線段和的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．請你解答此問題；

②“智慧小組”提出問題：如圖4，當(dāng)時，過點作于點，若，求的長．請你思考此問題，直接寫出結(jié)果．

【答案】(1)正方形，見解析(2)①，見解析；②【分析】（1）先證明四邊形是矩形，再由可得，從而得四邊形是正方形；（2）①由已知可得，再由等積方法，再結(jié)合已知即可證明結(jié)論；②設(shè)的交點為M，過M作于G，則易得，點G是的中點；利用三角函數(shù)知識可求得的長，進而求得的長，利用相似三角形的性質(zhì)即可求得結(jié)果．【詳解】（1）解：四邊形為正方形．理由如下：∵，∴．∵，∴．∴．∵，∴四邊形為矩形．∵，∴．∴矩形為正方形．（2）：①．證明：∵，∴．∵，∴．∵，即，∴．∵，∴．由（1）得，∴．②解：如圖：設(shè)的交點為M，過M作于G，∵，∴，，∴；∵，∴，∴，∵，∴點G是的中點；由勾股定理得，∴；∵，∴，即；∴；∵，，∴，∴，∴，即的長為．

【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、正方形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、三角函數(shù)、勾股定理等知識點，適當(dāng)添加的輔助線、構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵．27．（2023·吉林長春·統(tǒng)考中考真題）【感知】如圖①，點A、B、P均在上，，則銳角的大小為__________度．

【探究】小明遇到這樣一個問題：如圖②，是等邊三角形的外接圓，點P在上（點P不與點A、C重合），連結(jié)、、．求證：．小明發(fā)現(xiàn)，延長至點E，使，連結(jié)，通過證明，可推得是等邊三角形，進而得證．下面是小明的部分證明過程：證明：延長至點E，使，連結(jié)，四邊形是的內(nèi)接四邊形，．，．是等邊三角形．，請你補全余下的證明過程．【應(yīng)用】如圖③，是的外接圓，，點P在上，且點P與點B在的兩側(cè)，連結(jié)、、．若，則的值為__________．【答案】感知：；探究：見解析；應(yīng)用：．【分析】感知：由圓周角定理即可求解；探究：延長至點E，使，連結(jié)，通過證明，可推得是等邊三角形，進而得證；應(yīng)用：延長至點E，使，連結(jié)，通過證明得，可推得是等腰直角三角形，結(jié)合與可得，代入即可求解．【詳解】感知：由圓周角定理可得，故答案為：；探究：證明：延長至點E，使，連結(jié)，四邊形是的內(nèi)接四邊形，．，．是等邊三角形．，，∴，，，是等邊三角形，，，即；應(yīng)用：延長至點E，使，連結(jié)，四邊形是的內(nèi)接四邊形，．，．，，∴，，，是等腰直角三角形，，，即，，，，，，，故答案為：．【點睛】本題考查了圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形對角互補，鄰補角，全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理解直角三角形；解題的關(guān)鍵是做輔助線構(gòu)造，進行轉(zhuǎn)換求解．28．（2023·廣西·統(tǒng)考中考真題）【探究與證明】折紙，操作簡單，富有數(shù)學(xué)趣味，我們可以通過折紙開展數(shù)學(xué)探究，探索數(shù)學(xué)奧秘．【動手操作】如圖1，將矩形紙片對折，使與重合，展平紙片，得到折痕；折疊紙片，使點B落在上，并使折痕經(jīng)過點A，得到折痕，點B，E的對應(yīng)點分別為，，展平紙片，連接，，．

請完成：(1)觀察圖1中，和，試猜想這三個角的大小關(guān)系；(2)證明（1）中的猜想；【類比操作】如圖2，N為矩形紙片的邊上的一點，連接，在上取一點P，折疊紙片，使B，P兩點重合，展平紙片，得到折痕；折疊紙片，使點B，P分別落在，上，得到折痕l，點B，P的對應(yīng)點分別為，，展平紙片，連接，．

請完成：(3)證明是的一條三等分線．【答案】(1)(2)見詳解(3)見詳解【分析】（1）根據(jù)題意可進行求解；（2）由折疊的性質(zhì)可知，，然后可得，則有是等邊三角形，進而問題可求證；（3）連接，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)證明，根據(jù)平行線的性質(zhì)證明，證明，得出，即可證明．【詳解】（1）解：由題意可知；（2）證明：由折疊的性質(zhì)可得：，，，，∴，，∴是等邊三角形，∵，，∴，∵四邊形是矩形，∴，∴，∴；（3）證明：連接，如圖所示：由折疊的性質(zhì)可知：，，，∵折痕，，∴，∵四邊形為矩形，∴，∴，∵，∴，∴，∵在和中，，∴，∴，∴，∴，∴是的一條三等分線．【點睛】本題主要考查折疊的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)與判定及矩形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，作出輔助線，熟練掌握折疊的性質(zhì)，證明，是解題的關(guān)鍵．29．（2023·河南·統(tǒng)考中考真題）李老師善于通過合適的主題整合教學(xué)內(nèi)容，幫助同學(xué)們用整體的、聯(lián)系的、發(fā)展的眼光看問題，形成科學(xué)的思維習(xí)慣．下面是李老師在“圖形的變化”主題下設(shè)計的問題，請你解答．

(1)觀察發(fā)現(xiàn)：如圖1，在平面直角坐標系中，過點的直線軸，作關(guān)于軸對稱的圖形，再分別作關(guān)于軸和直線對稱的圖形和，則可以看作是繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到的，旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為______；可以看作是向右平移得到的，平移距離為______個單位長度．(2)探究遷移：如圖，中，，為直線下方一點，作點關(guān)于直線的對稱點，再分別作點關(guān)于直線和直線的對稱點和，連接，，請僅就圖的情形解決以下問題：①若，請判斷與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；②若，求，兩點間的距離．(3)拓展應(yīng)用：在（2）的條件下，若，，，連接．當(dāng)與的邊平行時，請直接寫出的長．【答案】(1)，(2)①，理由見解析；②(3)或【分析】（1）觀察圖形可得與關(guān)于點中心對稱，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可得即可求得平移距離；（2）①連接，由對稱性可得，，進而可得，即可得出結(jié)論；②連接分別交于兩點，過點作，交于點，由對稱性可知：且，得出，證明四邊形是矩形，則，在中，根據(jù)，即可求解；（3）分，，兩種情況討論，設(shè)，則，先求得，勾股定理求得，進而表示出，根據(jù)由（2）②可得，可得，進而建立方程，即可求解．【詳解】（1）（1）∵關(guān)于軸對稱的圖形，與關(guān)于軸對稱，∴與關(guān)于點中心對稱，則可以看作是繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到的，旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為∵，∴，∵,關(guān)于直線對稱，∴，即，可以看作是向右平移得到