新高考數(shù)學人教版一輪學案第二章第八節(jié)　函數(shù)與方程及應用

第八節(jié)函數(shù)與方程及應用熱點命題分析學科核心素養(yǎng)本節(jié)是高考的熱點，主要考查：(1)利用零點存在性定理判斷零點是否存在以及零點所在區(qū)間；(2)判斷函數(shù)零點、方程根的個數(shù)；(3)根據(jù)零點(方程根)的情況求參數(shù)的取值范圍；(4)函數(shù)模型及應用．一般出現(xiàn)在選擇題和填空題的后兩題，有時與導數(shù)綜合作為解答題的一問呈現(xiàn)，難度較大.本節(jié)通過零點問題考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想的運用，以及考生的邏輯推理、直觀想象和數(shù)學運算核心素養(yǎng).授課提示：對應學生用書第34頁知識點一函數(shù)的零點1．函數(shù)的零點的概念對于函數(shù)y＝f(x)，把使f(x)＝0的實數(shù)x叫做函數(shù)y＝f(x)的零點．2．函數(shù)的零點與方程的根的關(guān)系方程f(x)＝0有實數(shù)根?函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸有交點?函數(shù)y＝f(x)有零點．2．零點存在性定理如果函數(shù)y＝f(x)滿足：(1)在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線；(2)f(a)·f(b)＜0.則函數(shù)y＝f(x)在(a，b)上存在零點，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，這個c也就是方程f(x)＝0的根．?溫馨提醒?二級結(jié)論有關(guān)函數(shù)零點的結(jié)論(1)若連續(xù)不斷的函數(shù)f(x)在定義域上是單調(diào)函數(shù)，則f(x)至多有一個零點．(2)連續(xù)不斷的函數(shù)，其相鄰兩個零點之間的所有函數(shù)值保持同號．(3)連續(xù)不斷的函數(shù)圖象通過零點時，函數(shù)值可能變號，也可能不變號．必明易錯1．函數(shù)f(x)的零點是一個實數(shù)，是方程f(x)＝0的根，也是函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸交點的橫坐標．2.函數(shù)零點存在性定理是零點存在的一個充分條件，而不是必要條件；判斷零點個數(shù)還要根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性、對稱性或結(jié)合函數(shù)圖象．1．函數(shù)f(x)＝lnx－eq\f(2,x)的零點所在的大致范圍是()A．(1,2) B．(2,3)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，1))和(3,4) D．(4，＋∞)答案：B2．函數(shù)f(x)＝ex＋3x的零點個數(shù)是________．答案：13．若二次函數(shù)f(x)＝x2－2x＋m在區(qū)間(0,4)上存在零點，則實數(shù)m的取值范圍是________．答案：(－8,1]4．(易錯題)給出下列命題：①函數(shù)f(x)＝x2－1的零點是(－1,0)和(1,0)；②函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點(函數(shù)圖象連續(xù)不斷)，則一定有f(a)·f(b)＜0；③二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac④若函數(shù)f(x)在(a，b)上單調(diào)且f(a)·f(b)＜0，則函數(shù)f(x)在[a，b]上有且只有一個零點．其中正確的是________(填序號)．答案：③④知識點二函數(shù)模型及應用指數(shù)、對數(shù)、冪函數(shù)模型性質(zhì)比較函數(shù)性質(zhì)y＝ax(a＞1)y＝logax(a＞1)y＝xn(n＞0)在(0，＋∞)上的增減性單調(diào)遞增單調(diào)遞增單調(diào)遞增續(xù)表函數(shù)性質(zhì)y＝ax(a＞1)y＝logax(a＞1)y＝xn(n＞0)增長速度越來越快越來越慢相對平穩(wěn)圖象的變化隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與y軸平行隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與x軸平行隨n值變化而各有不同值的比較存在一個x0，當x＞x0時，有l(wèi)ogax＜xn＜ax1．已知f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，當x∈(4，＋∞)時，對三個函數(shù)的增長速度進行比較，下列選項中正確的是()A．f(x)＞g(x)＞h(x)B．g(x)＞f(x)＞h(x)C．g(x)＞h(x)＞f(x)D．f(x)＞h(x)＞g(x)答案：B2．用長度為24的材料圍一矩形場地，中間加兩道隔墻，要使矩形的面積最大，則隔墻的長度為________．解析：設隔墻的長度為x(0＜x＜6)，矩形面積為y，則y＝x×eq\f(24－4x,2)＝2x(6－x)＝－2(x－3)2＋18，所以當x＝3時，y最大．答案：3授課提示：對應學生用書第35頁題型一函數(shù)零點個數(shù)或所在區(qū)間的判定自主探究1．(2019·高考全國卷Ⅲ)函數(shù)f(x)＝2sinx－sin2x在[0,2π]的零點個數(shù)為()A．2 B．3C．4 D．5答案：B2．(2021·揭陽模擬)曲線y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x與y＝的交點橫坐標所在區(qū)間為()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)))B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(2,3)))D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，1))解析：設f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x－，易知f(x)單調(diào)遞減，∵feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＜0，∴函數(shù)零點所在區(qū)間為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,2)))，即所求交點橫坐標所在區(qū)間為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,2))).答案：B3．(多選題)已知f(x)是定義域為R的偶函數(shù)，在(－∞，0)上單調(diào)遞減，且f(－3)·f(6)＜0，那么下列結(jié)論中正確的是()A．f(x)可能有三個零點B．f(3)·f(－4)≥0C．f(－4)＜f(6)D．f(0)＜f(－6)解析：因為f(x)是定義域為R的偶函數(shù)，又f(－3)·f(6)＜0，所以f(3)·ff(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，所以函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上有一個零點，且f(3)＜0，f(6)＞0，所以函數(shù)f(x)在(－∞，0)∪(0，＋∞)上有兩個零點．但是f(0)的值沒有確定，所以函數(shù)f(x)可能有三個零點，故A正確；又f(－4)＝f(4)，4∈(3,6)，所以f(－4)的符號不確定，故B不正確；C項顯然正確；由于f(0)的值沒有確定，所以f(0)與f(－6)的大小關(guān)系不確定，所以D不正確．答案：AC1.判斷函數(shù)零點個數(shù)的三種方法(1)解方程法：若對應方程f(x)＝0可解，通過解方程，則方程有幾個解就對應有幾個零點．(2)函數(shù)零點的存在性定理法：利用定理不僅要判斷函數(shù)圖象在區(qū)間[a，b]上是連續(xù)不斷的曲線，且f(a)·f(b)<0，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性)才能確定函數(shù)的零點個數(shù)．(3)數(shù)形結(jié)合法：合理轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的圖象(易畫出圖象)的交點個數(shù)問題．先畫出兩個函數(shù)的圖象，看其交點的個數(shù)，其中交點的個數(shù)就是函數(shù)零點的個數(shù)．2.確定函數(shù)f(x)的零點所在區(qū)間的常用方法(1)利用函數(shù)零點的存在性定理：首先看函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是否連續(xù)，其次看是否有f(a)·f(b)<0.若有，則函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)必有零點．(2)數(shù)形結(jié)合法：通過畫函數(shù)圖象，觀察圖象與x軸在給定區(qū)間上是否有交點來判斷.題型二函數(shù)模型及應用合作探究[例]溫度對許多化學反應的反應速率有非常大的影響．一般來說，溫度每升高10K，化學反應速率大約增加2～4倍．瑞典科學家Arrhenius總結(jié)了大量化學反應速率與溫度之間的關(guān)系的實驗數(shù)據(jù)，得出一個結(jié)論：化學反應的速率常數(shù)(k)與溫度(T)之間呈指數(shù)關(guān)系，并提出了相應的Arrhenius公式：k＝Ae－eq\f(Ea,RT)，式中A為指前因子(A＞0)，e為自然對數(shù)的底數(shù)，Ea為表現(xiàn)活化能，R為摩爾氣體常數(shù)．通過Arrhenius公式，我們可以獲得不同溫度下的化學反應速率常數(shù)與其相應的溫度之間的關(guān)系．已知溫度為T1時，化學反應的速率常數(shù)為k1；溫度為T2時，化學反應的速率常數(shù)為k2，則lneq\f(k1,k2)＝()A.eq\f(T2－T1R,EalnA)B．eq\f(T1－T2R,EalnA)C.eq\f(EaT2－T1,RT1T2)D．eq\f(EaT1－T2,RT1T2)[答案]D1.與冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)模型有關(guān)的實際問題，在求解時，要先學會合理選擇模型，在三類模型中，指數(shù)函數(shù)模型(底數(shù)大于1)是增長速度越來越快的一類函數(shù)模型，與增長率、銀行利率有關(guān)的問題都屬于指數(shù)函數(shù)模型．2．在解決冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)模型問題時，一般先需要通過待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，再借助函數(shù)的圖象求解最值問題，必要時可借助導數(shù)．[對點訓練]某景區(qū)提供自行車出租，該景區(qū)有50輛自行車供游客租賃使用，管理這些自行車的費用是每日115元．根據(jù)經(jīng)驗，若每輛自行車的日租金不超過6元，則自行車可以全部租出；若超過6元，則每超過1元，租不出的自行車就增加3輛．為了便于結(jié)算，每輛自行車的日租金x(元)只取整數(shù)，并且要求租自行車一日的總收入必須高于這一日的管理費用，用y(元)表示出租自行車的日凈收入(即一日中出租自行車的總收入減去管理費用后得到的部分)．(1)求函數(shù)y＝f(x)的解析式；(2)試問當每輛自行車的日租金為多少元時，才能使一日的凈收入最多？

解析：(1)當x≤6時，y＝50x－115，令50x－115＞0，解得x＞2.3，因為x為整數(shù)，所以3≤x≤6，x∈Z.當x＞6時，y＝[50－3(x－6)]x－115＝－3x2＋68x－115.令－3x2＋68x－115＞0，有3x2－68x＋115＜0，結(jié)合x為整數(shù)得6＜x≤20，x∈Z.所以y＝f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(50x－115，3≤x≤6，x∈Z，,－3x2＋68x－115，6＜x≤20，x∈Z.))(2)對于y＝50x－115,3≤x≤6，x∈Z，顯然當x＝6時，ymax＝185；對于y＝－3x2＋68x－115＝－3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(34,3)))2＋eq\f(811,3)，6＜x≤20，x∈Z，當x＝11時，ymax＝270.因為270＞185，所以當每輛自行車的日租金定為11元時，才能使一日的凈收入最多．函數(shù)與方程及模型應用中的核心素養(yǎng)(一)直觀想象——數(shù)形結(jié)合思想在已知函數(shù)零點或方程根確定參數(shù)范圍中的應用[例1](多選題)(2021·遼寧沈陽質(zhì)監(jiān)改編)已知函數(shù)f(x)是定義在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函數(shù)，當x∈(0，＋∞)時，f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－12，0＜x≤2，,\f(1,2)fx－2，x＞2，))則下列選項正確的是()A．函數(shù)f(x)的最大值為1B．函數(shù)f(x)的最小值為0C．函數(shù)f(x)的零點有無數(shù)個D．函數(shù)g(x)＝8[f(x)]2－6f(x[解析]∵x∈(0,2]時，f(x)＝(x－1)2，當x＞2時，f(x)＝eq\f(1,2)f(x－2)，∴當x∈(0，＋∞)時，將f(x)在區(qū)間(0,2]上的圖象依次向右平移2個單位長度的同時，再將圖象上所有點的縱坐標縮小為原來的eq\f(1,2)，就可以得到函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上的圖象．又f(x)是偶函數(shù)，∴f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱．作出y＝f(x)的圖象如圖所示．由圖可知選項A，B，C正確．令g(x)＝0，得f(x)＝eq\f(1,2)或f(x)＝eq\f(1,4)，易知直線y＝eq\f(1,2)與y＝f(x)的圖象有6個交點，直線y＝eq\f(1,4)與函數(shù)y＝f(x)的圖象有10個交點，∴函數(shù)g(x)共有16個零點，選項D不正確．[答案]ABC已知函數(shù)有零點(方程有根)，求參數(shù)取值范圍常用的方法(1)直接法：直接根據(jù)題設條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式(組)，通過解不等式(組)確定參數(shù)范圍.(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，化為a＝g(x)的形式，進而轉(zhuǎn)化成求函數(shù)最值問題加以解決．(3)數(shù)形結(jié)合法：將函數(shù)解析式(方程)適當變形，轉(zhuǎn)化為圖象易得的函數(shù)與一個含參的函數(shù)的差，在同一平面直角坐標系中畫出這兩個函數(shù)的圖象，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性、周期性、奇偶性等性質(zhì)及圖象求解．(二)數(shù)學建模——函數(shù)建模在實際問題中的應用[例2]某沿海地區(qū)養(yǎng)殖的一種特色海鮮上市時間僅能持續(xù)5個月，預測上市初期和后期會因供應不足使價格呈持續(xù)上漲態(tài)勢，而中期又將出現(xiàn)供大于求使價格連續(xù)下跌．現(xiàn)有三種價格模擬函數(shù)：①f(x)＝p·qx；②f(x)＝px2＋qx＋1；③f(x)＝x(x－q)2＋p(以上三式中p，q均為常數(shù)，且q＞1)．(1)為準確研究其價格走勢，應選哪種價格模擬函數(shù)(不必說明理由)?(2)若f(0)＝4，f(2)＝6.①求出所選函數(shù)f(x)的解析式(注：函數(shù)定義域是[0,5]，其中x＝0表示8月1日，x＝1表示9月1日，以此類推)；②為保證養(yǎng)殖戶的經(jīng)濟效益，當?shù)卣媱澰趦r格下跌期間積極拓寬外銷，請你預測該海鮮將在哪幾個月內(nèi)價格下跌．[解析](1)因為上市初期和后期價格呈持續(xù)上漲態(tài)勢，而中期又將出現(xiàn)價格連續(xù)下跌，所以在所給出的函數(shù)中應選模擬函數(shù)f(x)＝x(x－q)2＋p.(2)①對于f(x)＝x(x－q)2＋p，由f(0)＝4，f(2)＝6，可得p＝4，(2－q)2＝1，又q＞1，所以q＝3，所以f(x)＝x3－6x2＋9x＋4(0≤x≤5)．②因為f(x)＝x3－6x2＋9x＋4(0≤x≤5)，所以f′(x)＝3x2－12x＋9，令f′(x)＜0，得1＜x＜3.所以函數(shù)f(x)在(1,3)內(nèi)單調(diào)遞減，所以可以預測這種海鮮將在9月、10月兩個月內(nèi)價格下跌.解函數(shù)模型的實際應用題，首先應考慮該題考查的是何種函數(shù)，然后根據(jù)題意列出函數(shù)關(guān)系式(注意定義域)，并進行相關(guān)求解，最后結(jié)合實際意義作答．eq\x(\f(讀題,文字語言))→eq\x(\f(建模,數(shù)學語言))→eq\x(\f(求解,數(shù)學應用))→eq\x(\f(反饋,檢驗作答))[對點訓練]某新型企業(yè)為獲得更大利潤，須不斷加大投資，若預計年利潤低于10%時，則該企業(yè)就考慮轉(zhuǎn)型，下表顯示的是某企業(yè)幾年來年利潤y(百萬元)與年投資成本x(百萬元)變化的一組數(shù)據(jù)：年份2008200920102011…投資成本x35917…年利潤y1234…給出以下3個函數(shù)模型：①y＝kx＋b(k≠0)；②y＝abx(a≠0，b＞0，且b≠1)；③y＝loga(x＋b)(a＞0，且a≠1)．(