新高考數(shù)學(xué)人教版一輪學(xué)案第二章第八節(jié)　函數(shù)與方程及應(yīng)用

第八節(jié)函數(shù)與方程及應(yīng)用熱點(diǎn)命題分析學(xué)科核心素養(yǎng)本節(jié)是高考的熱點(diǎn)，主要考查：(1)利用零點(diǎn)存在性定理判斷零點(diǎn)是否存在以及零點(diǎn)所在區(qū)間；(2)判斷函數(shù)零點(diǎn)、方程根的個(gè)數(shù)；(3)根據(jù)零點(diǎn)(方程根)的情況求參數(shù)的取值范圍；(4)函數(shù)模型及應(yīng)用．一般出現(xiàn)在選擇題和填空題的后兩題，有時(shí)與導(dǎo)數(shù)綜合作為解答題的一問(wèn)呈現(xiàn)，難度較大.本節(jié)通過(guò)零點(diǎn)問(wèn)題考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類(lèi)討論思想的運(yùn)用，以及考生的邏輯推理、直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng).授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第34頁(yè)知識(shí)點(diǎn)一函數(shù)的零點(diǎn)1．函數(shù)的零點(diǎn)的概念對(duì)于函數(shù)y＝f(x)，把使f(x)＝0的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)y＝f(x)的零點(diǎn)．2．函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根的關(guān)系方程f(x)＝0有實(shí)數(shù)根?函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸有交點(diǎn)?函數(shù)y＝f(x)有零點(diǎn)．2．零點(diǎn)存在性定理如果函數(shù)y＝f(x)滿(mǎn)足：(1)在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線；(2)f(a)·f(b)＜0.則函數(shù)y＝f(x)在(a，b)上存在零點(diǎn)，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，這個(gè)c也就是方程f(x)＝0的根．?溫馨提醒?二級(jí)結(jié)論有關(guān)函數(shù)零點(diǎn)的結(jié)論(1)若連續(xù)不斷的函數(shù)f(x)在定義域上是單調(diào)函數(shù)，則f(x)至多有一個(gè)零點(diǎn)．(2)連續(xù)不斷的函數(shù)，其相鄰兩個(gè)零點(diǎn)之間的所有函數(shù)值保持同號(hào)．(3)連續(xù)不斷的函數(shù)圖象通過(guò)零點(diǎn)時(shí)，函數(shù)值可能變號(hào)，也可能不變號(hào)．必明易錯(cuò)1．函數(shù)f(x)的零點(diǎn)是一個(gè)實(shí)數(shù)，是方程f(x)＝0的根，也是函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．2.函數(shù)零點(diǎn)存在性定理是零點(diǎn)存在的一個(gè)充分條件，而不是必要條件；判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)還要根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性、對(duì)稱(chēng)性或結(jié)合函數(shù)圖象．1．函數(shù)f(x)＝lnx－eq\f(2,x)的零點(diǎn)所在的大致范圍是()A．(1,2) B．(2,3)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，1))和(3,4) D．(4，＋∞)答案：B2．函數(shù)f(x)＝ex＋3x的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是________．答案：13．若二次函數(shù)f(x)＝x2－2x＋m在區(qū)間(0,4)上存在零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________．答案：(－8,1]4．(易錯(cuò)題)給出下列命題：①函數(shù)f(x)＝x2－1的零點(diǎn)是(－1,0)和(1,0)；②函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點(diǎn)(函數(shù)圖象連續(xù)不斷)，則一定有f(a)·f(b)＜0；③二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac④若函數(shù)f(x)在(a，b)上單調(diào)且f(a)·f(b)＜0，則函數(shù)f(x)在[a，b]上有且只有一個(gè)零點(diǎn)．其中正確的是________(填序號(hào))．答案：③④知識(shí)點(diǎn)二函數(shù)模型及應(yīng)用指數(shù)、對(duì)數(shù)、冪函數(shù)模型性質(zhì)比較函數(shù)性質(zhì)y＝ax(a＞1)y＝logax(a＞1)y＝xn(n＞0)在(0，＋∞)上的增減性單調(diào)遞增單調(diào)遞增單調(diào)遞增續(xù)表函數(shù)性質(zhì)y＝ax(a＞1)y＝logax(a＞1)y＝xn(n＞0)增長(zhǎng)速度越來(lái)越快越來(lái)越慢相對(duì)平穩(wěn)圖象的變化隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與y軸平行隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與x軸平行隨n值變化而各有不同值的比較存在一個(gè)x0，當(dāng)x＞x0時(shí)，有l(wèi)ogax＜xn＜ax1．已知f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，當(dāng)x∈(4，＋∞)時(shí)，對(duì)三個(gè)函數(shù)的增長(zhǎng)速度進(jìn)行比較，下列選項(xiàng)中正確的是()A．f(x)＞g(x)＞h(x)B．g(x)＞f(x)＞h(x)C．g(x)＞h(x)＞f(x)D．f(x)＞h(x)＞g(x)答案：B2．用長(zhǎng)度為24的材料圍一矩形場(chǎng)地，中間加兩道隔墻，要使矩形的面積最大，則隔墻的長(zhǎng)度為_(kāi)_______．解析：設(shè)隔墻的長(zhǎng)度為x(0＜x＜6)，矩形面積為y，則y＝x×eq\f(24－4x,2)＝2x(6－x)＝－2(x－3)2＋18，所以當(dāng)x＝3時(shí)，y最大．答案：3授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第35頁(yè)題型一函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)或所在區(qū)間的判定自主探究1．(2019·高考全國(guó)卷Ⅲ)函數(shù)f(x)＝2sinx－sin2x在[0,2π]的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()A．2 B．3C．4 D．5答案：B2．(2021·揭陽(yáng)模擬)曲線y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x與y＝的交點(diǎn)橫坐標(biāo)所在區(qū)間為()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)))B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(2,3)))D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，1))解析：設(shè)f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x－，易知f(x)單調(diào)遞減，∵feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＜0，∴函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,2)))，即所求交點(diǎn)橫坐標(biāo)所在區(qū)間為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,2))).答案：B3．(多選題)已知f(x)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，在(－∞，0)上單調(diào)遞減，且f(－3)·f(6)＜0，那么下列結(jié)論中正確的是()A．f(x)可能有三個(gè)零點(diǎn)B．f(3)·f(－4)≥0C．f(－4)＜f(6)D．f(0)＜f(－6)解析：因?yàn)閒(x)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，又f(－3)·f(6)＜0，所以f(3)·ff(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，所以函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上有一個(gè)零點(diǎn)，且f(3)＜0，f(6)＞0，所以函數(shù)f(x)在(－∞，0)∪(0，＋∞)上有兩個(gè)零點(diǎn)．但是f(0)的值沒(méi)有確定，所以函數(shù)f(x)可能有三個(gè)零點(diǎn)，故A正確；又f(－4)＝f(4)，4∈(3,6)，所以f(－4)的符號(hào)不確定，故B不正確；C項(xiàng)顯然正確；由于f(0)的值沒(méi)有確定，所以f(0)與f(－6)的大小關(guān)系不確定，所以D不正確．答案：AC1.判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的三種方法(1)解方程法：若對(duì)應(yīng)方程f(x)＝0可解，通過(guò)解方程，則方程有幾個(gè)解就對(duì)應(yīng)有幾個(gè)零點(diǎn)．(2)函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理法：利用定理不僅要判斷函數(shù)圖象在區(qū)間[a，b]上是連續(xù)不斷的曲線，且f(a)·f(b)<0，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性、周期性、對(duì)稱(chēng)性)才能確定函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．(3)數(shù)形結(jié)合法：合理轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的圖象(易畫(huà)出圖象)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題．先畫(huà)出兩個(gè)函數(shù)的圖象，看其交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，其中交點(diǎn)的個(gè)數(shù)就是函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．2.確定函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在區(qū)間的常用方法(1)利用函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理：首先看函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是否連續(xù)，其次看是否有f(a)·f(b)<0.若有，則函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)必有零點(diǎn)．(2)數(shù)形結(jié)合法：通過(guò)畫(huà)函數(shù)圖象，觀察圖象與x軸在給定區(qū)間上是否有交點(diǎn)來(lái)判斷.題型二函數(shù)模型及應(yīng)用合作探究[例]溫度對(duì)許多化學(xué)反應(yīng)的反應(yīng)速率有非常大的影響．一般來(lái)說(shuō)，溫度每升高10K，化學(xué)反應(yīng)速率大約增加2～4倍．瑞典科學(xué)家Arrhenius總結(jié)了大量化學(xué)反應(yīng)速率與溫度之間的關(guān)系的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，得出一個(gè)結(jié)論：化學(xué)反應(yīng)的速率常數(shù)(k)與溫度(T)之間呈指數(shù)關(guān)系，并提出了相應(yīng)的Arrhenius公式：k＝Ae－eq\f(Ea,RT)，式中A為指前因子(A＞0)，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，Ea為表現(xiàn)活化能，R為摩爾氣體常數(shù)．通過(guò)Arrhenius公式，我們可以獲得不同溫度下的化學(xué)反應(yīng)速率常數(shù)與其相應(yīng)的溫度之間的關(guān)系．已知溫度為T(mén)1時(shí)，化學(xué)反應(yīng)的速率常數(shù)為k1；溫度為T(mén)2時(shí)，化學(xué)反應(yīng)的速率常數(shù)為k2，則lneq\f(k1,k2)＝()A.eq\f(T2－T1R,EalnA)B．eq\f(T1－T2R,EalnA)C.eq\f(EaT2－T1,RT1T2)D．eq\f(EaT1－T2,RT1T2)[答案]D1.與冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)模型有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題，在求解時(shí)，要先學(xué)會(huì)合理選擇模型，在三類(lèi)模型中，指數(shù)函數(shù)模型(底數(shù)大于1)是增長(zhǎng)速度越來(lái)越快的一類(lèi)函數(shù)模型，與增長(zhǎng)率、銀行利率有關(guān)的問(wèn)題都屬于指數(shù)函數(shù)模型．2．在解決冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)模型問(wèn)題時(shí)，一般先需要通過(guò)待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，再借助函數(shù)的圖象求解最值問(wèn)題，必要時(shí)可借助導(dǎo)數(shù)．[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練]某景區(qū)提供自行車(chē)出租，該景區(qū)有50輛自行車(chē)供游客租賃使用，管理這些自行車(chē)的費(fèi)用是每日115元．根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，若每輛自行車(chē)的日租金不超過(guò)6元，則自行車(chē)可以全部租出；若超過(guò)6元，則每超過(guò)1元，租不出的自行車(chē)就增加3輛．為了便于結(jié)算，每輛自行車(chē)的日租金x(元)只取整數(shù)，并且要求租自行車(chē)一日的總收入必須高于這一日的管理費(fèi)用，用y(元)表示出租自行車(chē)的日凈收入(即一日中出租自行車(chē)的總收入減去管理費(fèi)用后得到的部分)．(1)求函數(shù)y＝f(x)的解析式；(2)試問(wèn)當(dāng)每輛自行車(chē)的日租金為多少元時(shí)，才能使一日的凈收入最多？

解析：(1)當(dāng)x≤6時(shí)，y＝50x－115，令50x－115＞0，解得x＞2.3，因?yàn)閤為整數(shù)，所以3≤x≤6，x∈Z.當(dāng)x＞6時(shí)，y＝[50－3(x－6)]x－115＝－3x2＋68x－115.令－3x2＋68x－115＞0，有3x2－68x＋115＜0，結(jié)合x(chóng)為整數(shù)得6＜x≤20，x∈Z.所以y＝f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(50x－115，3≤x≤6，x∈Z，,－3x2＋68x－115，6＜x≤20，x∈Z.))(2)對(duì)于y＝50x－115,3≤x≤6，x∈Z，顯然當(dāng)x＝6時(shí)，ymax＝185；對(duì)于y＝－3x2＋68x－115＝－3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(34,3)))2＋eq\f(811,3)，6＜x≤20，x∈Z，當(dāng)x＝11時(shí)，ymax＝270.因?yàn)?70＞185，所以當(dāng)每輛自行車(chē)的日租金定為11元時(shí)，才能使一日的凈收入最多．函數(shù)與方程及模型應(yīng)用中的核心素養(yǎng)(一)直觀想象——數(shù)形結(jié)合思想在已知函數(shù)零點(diǎn)或方程根確定參數(shù)范圍中的應(yīng)用[例1](多選題)(2021·遼寧沈陽(yáng)質(zhì)監(jiān)改編)已知函數(shù)f(x)是定義在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函數(shù)，當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－12，0＜x≤2，,\f(1,2)fx－2，x＞2，))則下列選項(xiàng)正確的是()A．函數(shù)f(x)的最大值為1B．函數(shù)f(x)的最小值為0C．函數(shù)f(x)的零點(diǎn)有無(wú)數(shù)個(gè)D．函數(shù)g(x)＝8[f(x)]2－6f(x[解析]∵x∈(0,2]時(shí)，f(x)＝(x－1)2，當(dāng)x＞2時(shí)，f(x)＝eq\f(1,2)f(x－2)，∴當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，將f(x)在區(qū)間(0,2]上的圖象依次向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度的同時(shí)，再將圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)縮小為原來(lái)的eq\f(1,2)，就可以得到函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上的圖象．又f(x)是偶函數(shù)，∴f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)．作出y＝f(x)的圖象如圖所示．由圖可知選項(xiàng)A，B，C正確．令g(x)＝0，得f(x)＝eq\f(1,2)或f(x)＝eq\f(1,4)，易知直線y＝eq\f(1,2)與y＝f(x)的圖象有6個(gè)交點(diǎn)，直線y＝eq\f(1,4)與函數(shù)y＝f(x)的圖象有10個(gè)交點(diǎn)，∴函數(shù)g(x)共有16個(gè)零點(diǎn)，選項(xiàng)D不正確．[答案]ABC已知函數(shù)有零點(diǎn)(方程有根)，求參數(shù)取值范圍常用的方法(1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式(組)，通過(guò)解不等式(組)確定參數(shù)范圍.(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，化為a＝g(x)的形式，進(jìn)而轉(zhuǎn)化成求函數(shù)最值問(wèn)題加以解決．(3)數(shù)形結(jié)合法：將函數(shù)解析式(方程)適當(dāng)變形，轉(zhuǎn)化為圖象易得的函數(shù)與一個(gè)含參的函數(shù)的差，在同一平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出這兩個(gè)函數(shù)的圖象，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性、周期性、奇偶性等性質(zhì)及圖象求解．(二)數(shù)學(xué)建模——函數(shù)建模在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用[例2]某沿海地區(qū)養(yǎng)殖的一種特色海鮮上市時(shí)間僅能持續(xù)5個(gè)月，預(yù)測(cè)上市初期和后期會(huì)因供應(yīng)不足使價(jià)格呈持續(xù)上漲態(tài)勢(shì)，而中期又將出現(xiàn)供大于求使價(jià)格連續(xù)下跌．現(xiàn)有三種價(jià)格模擬函數(shù)：①f(x)＝p·qx；②f(x)＝px2＋qx＋1；③f(x)＝x(x－q)2＋p(以上三式中p，q均為常數(shù)，且q＞1)．(1)為準(zhǔn)確研究其價(jià)格走勢(shì)，應(yīng)選哪種價(jià)格模擬函數(shù)(不必說(shuō)明理由)?(2)若f(0)＝4，f(2)＝6.①求出所選函數(shù)f(x)的解析式(注：函數(shù)定義域是[0,5]，其中x＝0表示8月1日，x＝1表示9月1日，以此類(lèi)推)；②為保證養(yǎng)殖戶(hù)的經(jīng)濟(jì)效益，當(dāng)?shù)卣?jì)劃在價(jià)格下跌期間積極拓寬外銷(xiāo)，請(qǐng)你預(yù)測(cè)該海鮮將在哪幾個(gè)月內(nèi)價(jià)格下跌．[解析](1)因?yàn)樯鲜谐跗诤秃笃趦r(jià)格呈持續(xù)上漲態(tài)勢(shì)，而中期又將出現(xiàn)價(jià)格連續(xù)下跌，所以在所給出的函數(shù)中應(yīng)選模擬函數(shù)f(x)＝x(x－q)2＋p.(2)①對(duì)于f(x)＝x(x－q)2＋p，由f(0)＝4，f(2)＝6，可得p＝4，(2－q)2＝1，又q＞1，所以q＝3，所以f(x)＝x3－6x2＋9x＋4(0≤x≤5)．②因?yàn)閒(x)＝x3－6x2＋9x＋4(0≤x≤5)，所以f′(x)＝3x2－12x＋9，令f′(x)＜0，得1＜x＜3.所以函數(shù)f(x)在(1,3)內(nèi)單調(diào)遞減，所以可以預(yù)測(cè)這種海鮮將在9月、10月兩個(gè)月內(nèi)價(jià)格下跌.解函數(shù)模型的實(shí)際應(yīng)用題，首先應(yīng)考慮該題考查的是何種函數(shù)，然后根據(jù)題意列出函數(shù)關(guān)系式(注意定義域)，并進(jìn)行相關(guān)求解，最后結(jié)合實(shí)際意義作答．eq\x(\f(讀題,文字語(yǔ)言))→eq\x(\f(建模,數(shù)學(xué)語(yǔ)言))→eq\x(\f(求解,數(shù)學(xué)應(yīng)用))→eq\x(\f(反饋,檢驗(yàn)作答))[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練]某新型企業(yè)為獲得更大利潤(rùn)，須不斷加大投資，若預(yù)計(jì)年利潤(rùn)低于10%時(shí)，則該企業(yè)就考慮轉(zhuǎn)型，下表顯示的是某企業(yè)幾年來(lái)年利潤(rùn)y(百萬(wàn)元)與年投資成本x(百萬(wàn)元)變化的一組數(shù)據(jù)：年份2008200920102011…投資成本x35917…年利潤(rùn)y1234…給出以下3個(gè)函數(shù)模型：①y＝kx＋b(k≠0)；②y＝abx(a≠0，b＞0，且b≠1)；③y＝loga(x＋b)(a＞0，且a≠1)．(