一元二次方程-2023年中考數(shù)學(xué)考點微

考向2.3一元二次方程

例1.（2019?內(nèi)蒙古呼和浩特?中考真題）用配方法求一元二次方程（2x+34x-6）=16的實數(shù)

根.

解：原方程化為?般形式為2X2-9X-34=0,

X2--X=17,

2

x2.2x+坦=17+巴

21616

/9353

(x——v)———

416

9_.>/353

x-------±---------，

44

所以'尸中x9+V353

24

例2.（2021?內(nèi)蒙古通遼?中考真題）先化簡，再求值:

元+

餐2x4-1+1H2其中X滿足X-。.

解：?*x2-x-2=0

，x=2或x=?l

2x4-1x+2

(■+D+

X4-1%2+2x4-1

2

z2x4-1x-1.x+2

=(--------+--------)+---------7

x+1x+1(X+1)2

2x+x2.工+2

=X+l"(X+1)2

=傘+2)>。+1)2

x+lx+2

=x(x+1)

<x=-l分式無意義，，x=2

當(dāng)x=2時，x(x+l)=2x(2+1)=6.

1、解?元二次方程常用的方法有直接開平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根據(jù)方程的特點靈

活選用合適的方法；

2、中考題中一元二次方程常常和分式的運算、分式方程結(jié)合在一起進行綜合考察，提升學(xué)生綜合解方

組能力是解題的關(guān)鍵。

例3.（2021?湖北荊門?中考真題）已知關(guān)于x的一元二次方程/一64+2加-1=0有用，工兩

實數(shù)根.

（1）若為=1,求士及機的值；

（2）是否存在實數(shù)滿足（3_1）（工2-1）=二？若存在，求出求實數(shù)〃?的值；若不存

在，請說明理由.

解：（1）由題意：J=（-6）2-4X1X（2/M-1）>0,

m<5,

將M=1代入原方程得：3,

又丁xi9X2=2m-1=5,

AX2=5,/n=3；

（2）設(shè)存在實數(shù)”滿足（司_。（々-1）=白，那么

有3?X2-（X|+X,）+1=—,

rn-5

BP（2/n-l）-6+l=—,

m-5

整理得：8m+12=0,

解得力=2或機=6.

由（1）可知帆<5,

，m=6舍去，從而機=2,

綜上所述：存在m=2符合題意.

知識點一、（1）△>0=方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）△=00方程有兩個相等的實數(shù)根；（3）△<0Q

方程沒有實數(shù)根.

hC

知識點二、根與系數(shù)的關(guān)系：Xl,X2是一元:次方程af+bx+CM。（4聲0）的兩根時，X+工2=----，X\X2=—.

aa

例4.（2021?山東濱州?中考真題）某商品原來每件的售價為60元，經(jīng)過兩次降價后每件的

售價為48.6元，并且每次降價的百分率相同.

(1)求該商品每次降價的百分率；

(2)若該商品每件的進價為40元，計劃通過以上兩次降價的方式，將庫存的該商品20件

全部售出，并且確保兩次降價銷售的總利潤不少于200元，那么第一次降價至少售出多少

件后，方可進行第二次降價？

解：(1)設(shè)該商品每次降價的百分率為X,

60(1-x)2=48.6,

解得xl=0.1,x2=1.9(舍去)，

答：該商品每次降價的百分率是10%；

(2)設(shè)第一次降價售出a件，則第二次降價售出(20-a)件，

由題意可得，[60(1-10%)-40]a+(48.6-40)x(20-a)>200,

解得aN5盤，

???a為整數(shù)，

?,-a的最小值是6,

答：第一次降價至少售出6件后，方可進行第二次降價.

解答應(yīng)用題的關(guān)鍵是：找出等量關(guān)系和不等關(guān)系，列出相應(yīng)的方程和不等式，第一問是典型的的下降率

問題，是中考?？碱}型.建議學(xué)生加強此類題型的鞏固練習(xí)。

經(jīng)典變式練

一、單選題

1.(2021?山東臨沂?中考真題)方程/-x=56的根是()

A.%=7,9=8B.x,=7,Xj=-8C.%=-7,x2=8D.內(nèi)=-7,x2=-8

2.(2021.內(nèi)蒙古赤峰.中考真題)一元二次方程*2一8》-2=0,配方后可形為()

A.(X-4)2=18B.(x-4)2=14

C.(x-8f=64D.(X-4)2=1

3.(2021?廣西河池?中考真題)關(guān)于x的一元二次方程V+皿一加一2=0的根的情況是()

A.有兩個不相等的實數(shù)根

B.有兩個相等的實數(shù)根

C.沒有實數(shù)根

D.實數(shù)根的個數(shù)由，〃的值確定

4.（2021?貴州遵義?中考真題）在解一元二次方程N+px+q=O時，小紅看錯了常數(shù)項q,得

到方程的兩個根是-3,1.小明看錯了一次項系數(shù)P,得到方程的兩個根是5,-4,則原

來的方程是（）

A.x2+2x-3=0B.x2+2x-20=0C.x2-2x-20=0D.x2-2x-3=0

5.（2021.山東濰坊?中考真題）若菱形兩條對角線的長度是方程％2-6x+8=0的兩根，則該

菱形的邊長為（）

A.后B.4C.25D.5

6.（2021?廣西貴港?中考真題）已知關(guān)于x的一元二次方程*2—依+&一3=0的兩個實數(shù)根

分別為不當(dāng)，且x：+x；=5,則k的值是（）

A.-2B.2C.-1D.1

7.（2021.四川雅安?中考真題）若直角三角形的兩邊長分別是方程*2—7x+12=O的兩根，則

該直角三角形的面積是（）

A.6B.12C.12或域D.6或應(yīng)-

22

8.（2021?山東荷澤中考真題）關(guān)于x的方程（2-l），2+（2Z+l）x+l=0有實數(shù)根，則上的取

值范圍是（）

A.k>—且B.—且人父1C.k>—D.kN—

4444

二、填空題

9.（2021?四川巴中?中考真題）關(guān)于x的方程2x2+〃a-4=0的一根為x=l,則另一根為

10.（2021?江蘇南通?中考真題）若相，〃是一元二次方程/+3》_1=0的兩個實數(shù)根，則

32

皿+""的值為.

一1

11.（2021?四川雅安?中考真題）已知一元二次方程/+》-2021=0的兩根分別為機，n,則

—+—的值為.

mn

12.（2021?湖北十堰?中考真題）對于任意實數(shù)〃、h,定義一種運算：a?b=a2+b2-ab,

若1）=3,則x的值為.

13.（2021?湖南岳陽?中考真題）已知關(guān)于x的一元二次方程x2+6x+%=0有兩個相等的實數(shù)

根，則實數(shù)％的值為.

三、解答題

14.（2021?湖北黃石?中考真題）已知關(guān)于x的一元二次方程f+2皿+*+機=0有實數(shù)根.

（1）求機的取值范圍；

（2）若該方程的兩個實數(shù)根分別為為、與，且才+考=12,求m的值.

15.（2021?黑龍江齊齊哈爾?中考真題）解方程：x（x-7）=8（7-x）.

16.（2021?浙江嘉興?中考真題）小敏與小霞兩位同學(xué)解方程3（x-3）=（x-3）2的過程如下框:

小霞：

小敏：

移項，得3（X-3）-（X-3）2=0,

兩邊同除以（x-3）,得

提取公因式，得（x—3）（3—X—3）=0.

3=x—3,

則x-3=0或3-x-3=0,

則x=6.

解得占=3,w=0.

你認為他們的解法是否正確？若正確請在框內(nèi)打若錯誤請在框內(nèi)打“x”，并寫出你的解

答過程.

17.（2021?山東荷澤?中考真題）列方程（組）解應(yīng)用題

端午節(jié)期間，某水果超市調(diào)查某種水果的銷售情況，下面是調(diào)查員的對話：

小王：該水果的進價是每千克22元；

小李：當(dāng)銷售價為每千克38元時，每天可售出160千克；若每千克降低3元，每天的銷售

量將增加120千克.

根據(jù)他們的對話，解決下面所給問題：超市每天要獲得銷售利潤3640元，又要盡可能讓顧

客得到實惠，求這種水果的銷售價為每千克多少元？

一、單選題

1.（2021?山東?日照港中學(xué)二模）已知關(guān)于x的一元二次方程"2-2尢-1=0有兩個不相等

的實數(shù)根，則二次項系數(shù)〃的取值范圍是（）

A.B.a>-2C.a>1且#0D.a>-1且〃邦

2.（2021?河南洛陽?二模）對于一元二次方程x2—5x+c=0來說，當(dāng)6=工時，方程有兩個

4

相等的實數(shù)根，若將。的值在弓25的基礎(chǔ)上減小，則此時方程根的情況是（）

A.沒有實數(shù)根B.有兩個相等的實數(shù)根

C.有兩個不相等的實數(shù)根D.只有一個實數(shù)根

2021

3.（2021.江蘇建鄴.一模）己知雙曲線y=丁與直線，=h+。交于磯々,％）,

若％+芻>0,%+%>0,則（）

A.k>0,b>0B.k>。,b<0

C.k<0,b>0D.k<0,b<0

4.（2021?四川巴中?中考真題）已知二次函數(shù)y=?%2+6x+c的自變量x與函數(shù)y的部分對應(yīng)

值見表格，則下列結(jié)論：①c=2；②〃-4“c>0；③方程a%2+/?=。的兩根為制=-2,X2

=0；?7a+c<0.其中正確的有（）

X-3-2-112

y1.8753m1.8750

A.①④B.②③C.③④D.②④

5.（2021?四川綿陽?中考真題）關(guān)于％的方程速+反+CMO有兩個不相等的實根占、%，若

七=2須，則46-9ac的最大值是（）

A.1B.72C.6D.2

6.（2021?福建?廈門一中三模）對于一元二次方程?2+bx+c=0（4/0）,下列說法：

①若a+b+c=0,則從-4ocN0；

②若方程or?+c=0有兩個不相等的實根，則方程ox?+bx+c=0（4w。）必有兩個不相等的實

根；

③若c是方程ar?+fec+c=0的一個根，則一定有ac+b+1=0成立；

2

④若飛是一元二次方程ax?+/?x+c=0的根，則b-4ac=（2av0+b\.

其中正確的有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

x-l0>2.

7.（2021?云南?昆明市第三中學(xué)模擬預(yù)測）若關(guān)于x的不等式組方一―”的解集為爛

2無一1<2。+1

-2,關(guān)于x的一元二次方程以2-3》+1=0有兩個不相等的實數(shù)根，則符合條件的整數(shù)

有（）個.

A.3B.4C.5D.6

二、填空題

8.（2021?內(nèi)蒙古?呼和浩特市回民區(qū)教育局教科研室二模）方程N=x的解為—.

9.（2021?江蘇?蘇州高新區(qū)實驗初級中學(xué)三模）關(guān)于x的一元二次方程（〃+1）x2+bx+\=0

有兩個相等的實數(shù)根，則代數(shù)式8〃-2分+6的值是

[x—m>0

10.（2021?云南?一模）已知關(guān)于X的不等式組'c，無解，且關(guān)于y的一元二次方程

[7-2x>1

陽，+分+1=0有兩個實數(shù)根，則整數(shù)機的值可以是

11.（2021?江蘇?蘇州市立達中學(xué)校二模）若關(guān)于x的一元二次方程，+（〃?+2?+2=0的根

都是整數(shù)，則整數(shù)〃，的最大值是.

12.（2021?浙江蕭山?一模）如圖，在邊長為2的菱形A8CD中，NA=60。，點E在AO上

（不與A、。重合），連接BE,CE,CE交BD于點、F.當(dāng)AE=QF時，則AE=.

13.（2021?福建?廈門市第九中學(xué)二模）若關(guān)于x的一元二次方程62+法+。=。有兩個實數(shù)

根，且其中一個根為另一個根的2倍，則稱這樣的方程為“倍根方程”，以下關(guān)于倍根方程的

說法，正確的是

①方程*一3工+2=0是倍根方程；

②若（1-2）（的-〃）=0是倍根方程,則〃=4機或"=團；

③若點（P，4）在雙曲線y=4的圖像上，則關(guān)于X的方程+3x+q=0是倍根方程

x

14.（2021.浙江.紹興市柯橋區(qū)楊汛橋鎮(zhèn)中學(xué)二模）小麗在解一個三次方程爐一2x+l=0時,

發(fā)現(xiàn)有如下提示：觀察方程可以發(fā)現(xiàn)有一個根為1,所以原方程可以轉(zhuǎn)化為。-1）（/+版+

c）=0.根據(jù)這個提示，請你寫出這個方程的所有的解.

三、解答題

15.（2021?重慶八中二模）某文具店去年8月底購進了一批文具1160件，預(yù)計在9月份進

行試銷.購進價格為每件10元.若售價為12元/件，則可全部售出.若每漲價1元.銷售

量就減少20件.

（1）求該文具店在9月份銷售量不低于1100件，則售價應(yīng)不高于多少元？

（2）由于銷量好，10月份該文具進價比8月底的進價每件增加20%,該店主增加了進貨量,

并加強了宣傳力度，結(jié)果10月份的銷售量比9月份在（1）的條件下的最低銷售量增加了

2

加％,但售價比9月份在（1）的條件下的最高售價減少百機％.結(jié)果10月份利潤達到3168

元，求，"的值.

16.（2021?遼寧?建昌縣教師進修學(xué)校二模）某兒童玩具店銷售一種玩具，每個進價為60元,

現(xiàn)以每個100元銷售，每天可售出20個，為了迎接六一兒童節(jié)，店長決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r

措施，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)：若每個玩具每降價1元，則每天多售出2個.設(shè)該玩具的銷售單價

為x（元），日銷售量為V（個）.

（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式.

（2）為了增加盈利，減少庫存，且日銷售利潤要達到1200元，銷售單價應(yīng)定為多少元？

（3）若銷售單價不低于成本價，每個獲利不高于成本價的30%,將該玩具的銷售單價定為

多少元時，玩具店每天銷售該玩具獲得的利潤最大？最大利潤是多少元？

一、單選題

1.（2021,四川巴中?中考真題）兩千多年前，古希臘數(shù)學(xué)家歐多克索斯發(fā)現(xiàn)了黃金分割，即：

RPAp

如圖，點尸是線段AB上一點（”>8P）,若滿足M=三，則稱點尸是A8的黃金分割點.黃

APAB

金分割在日常生活中處處可見，例如：主持人在舞臺上主持節(jié)目時，站在黃金分割點上，觀

眾看上去感覺最好.若舞臺長20米，主持人從舞臺一側(cè)進入，設(shè)他至少走x米時恰好站在

舞臺的黃金分割點上，則x滿足的方程是（）

APB

A.（20-x）2=20XB.N=20（20-X）

C.x（20-x）=202D.以上都不對

2.（2021.西藏?中考真題）已知一元二次方程10x+24=0的兩個根是菱形的兩條對角線

長，則這個菱形的面積為（）

A.6B.10C.12D.24

3.（2021?遼寧阜新?中考真題）在育紅學(xué)校開展的課外閱讀活動中，學(xué)生人均閱讀量從七年

級的每年100萬字增加到九年級的每年121萬字.設(shè)該校七至九年級人均閱讀量年均增長率

為x,根據(jù)題意，所列方程正確的是（）

A.100（1+x）2=121B.100x2（1+x）=121

C.100（1+2x）=121D.100（l+x）+100（l+x）2=121

4.（2021?山東泰安?中考真題）已知關(guān)于x的一元二次方程標(biāo)版（2k-l）x+k-2=0有兩個

不相等的實數(shù)根，則實數(shù)人的取值范圍是（）

A.k>—B.k<一

44

C.k>—且％w0D.k<—

44

5.（2021?山東棗莊?中考真題）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線A3垂直于*軸于點C（點C

2

在原點的右側(cè)），并分別與直線y=x和雙曲線），=一相交于點A,B,且AC+BC=4,則

x

,043的面積為（）

A.2+夜或2-夜B.2夜+2或2萬-2

C.2->/2D.272+2

6.（2021?河南?中考真題）如圖1,矩形ABCD中，點E為BC的中點，點P沿BC從點B運

動到點C,設(shè)8,尸兩點間的距離為x,PA-PE=y,圖2是點尸運動時V隨x變化的關(guān)系

圖象，則8c的長為（）

D.7

2

7.（2021?四川宜賓?中考真題）若m.n是一元二次方程N+3x-9=0的兩個根，則m+4m+n

的值是（）

A.4B.5C.6D.12

二、填空題

8.（2021.廣東廣州.中考真題）一元二次方程/-4x+m=0有兩個相等的實數(shù)根，點

A&,兇）、3（孫必）是反比例函數(shù)y=三上的兩個點，若占<當(dāng)<0,則必%（填”

或,〉，或

9.（2021?內(nèi)蒙古鄂爾多斯?中考真題）下列說法不正確的是（只填序號?）

①7-如的整數(shù)部分為2,小數(shù)部分為J萬-4.

②外角為60。且邊長為2的正多邊形的內(nèi)切圓的半徑為百.

③把直線y=2x-3向左平移I個單位后得到的直線解析式為y=2x-2.

④新定義運算：m*n=m）v-2n-1＞則方程—1*x=0有兩個不相等的實數(shù)根.

10.（2021?山東棗莊?中考真題）若等腰三角形的一邊長是4,另兩邊的長是關(guān)于x的方程

/-6*+〃=0的兩個根，則〃的值為.

11.（2021.湖南婁底?中考真題）己知產(chǎn)-3f+l=0,則f+l=.

t

12.（2021?湖北鄂州?中考真題）已知實數(shù)。、人滿足＞/^二1+憐+3|=0,若關(guān)于x的一元二次

方程/-依+。=0的兩個實數(shù)根分別為演、x2,則:+（=.

13.（2021?江蘇南京?中考真題）設(shè)西,三是關(guān)于x的方程f一3x+Z=0的兩個根，且占=2w，

貝".

14.（2021?浙江麗水?中考真題）數(shù)學(xué)活動課上，小云和小王在討論張老師出示的一道代數(shù)式

求值問題：

已知實數(shù)4為同時滿足/+2a=H2,b2+2h=a+2,求代數(shù)式2+f的值.

ab

結(jié)合他們的對話，請解答下列問題:

（1）當(dāng)。=/?時，。的值是.

（2）當(dāng)標(biāo)時，代數(shù)式2+晟的值是__________.

ab

15.（2021?四川阿壩?中考真題）三角形的兩邊長分別為4和7,第三邊的長是方程

/_8%+12=0的解，則這個三角形的周長是.

16.（2021?江蘇連云港?中考真題）已知方程d-3x+Z=（）有兩個相等的實數(shù)根，則左=

三、解答題

17.（2021?甘肅蘭州?中考真題）解方程：x2+4x-1=0.

18.（2021.北京?中考真題）已知關(guān)于x的一元二次方程V-4,nx+3加2=0.

(1)求證：該方程總有兩個實數(shù)根；

(2)若加>0,且該方程的兩個實數(shù)根的差為2,求，"的值.

19.(2021?湖北十堰?中考真題)已知關(guān)于x的一元二次方程/-4》-2機+5=0有兩個不相

等的實數(shù)根.

(1)求實數(shù)機的取值范圍；

(2)若該方程的兩個根都是符號相同的整數(shù)，求整數(shù)，"的值.

20.(2021.遼寧盤錦?中考真題)某工廠生產(chǎn)并銷售A,B兩種型號車床共14臺，生產(chǎn)并銷

售1臺A型車床可以獲利10萬元；如果生產(chǎn)并銷售不超過4臺8型車床，則每臺B型車床

可以獲利17萬元，如果超出4臺B型車床，則每超出1臺，每臺B型車床獲利將均減少1

萬元.設(shè)生產(chǎn)并銷售8型車床x臺.

(1)當(dāng)x>4時，完成以下兩個問題：

①請補全下面的表格：

A型B型

車床數(shù)量/臺—X

每臺車床獲利/萬元10—

②若生產(chǎn)并銷售8型車床比生產(chǎn)并銷售A型車床獲得的利潤多70萬元，問：生產(chǎn)并銷售B

型車床多少臺？

(2)當(dāng)0<xW4時;設(shè)生產(chǎn)并銷售4,8兩種型號車床獲得的總利潤為W萬元，如何分配

生產(chǎn)并銷售A,B兩種車床的數(shù)量，使獲得的總利潤W最大？并求出最大利潤.

參考答案

1.C

【分析】

利用因式分解法解方程即可得到正確選項.

【詳解】

解：x2—x=56,

x2—X-56=0，

：.(x+7)(x-8)=0,

.'.x+7=0,x-8=0,

,X2=8.

故選：C.

【點撥】本題考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是先把方程的右邊化為0,

再把左邊通過因式分解化為兩個一次因式的枳的形式，那么這兩個因式的值就都有可能為

0,這就能得到兩個一元一次方程的解，這樣也就把原方程進行了降次，把解一元二次方程

轉(zhuǎn)化為解一元一次方程的問題r.

2.A

【分析】

把常數(shù)項移到方程右邊，再把方程兩邊加上16,然后把方程作邊寫成完全平方形式即可

【詳解】

解：X2-8X-2=0

/-8k2,

/-81+16=18,

(x-4)2=18.

故選：A.

【點撥】本題考查了解一元二次方程-配方法：將一元二次方程配成(X+膽)2=〃的形式，再

利用直接開平方法求解，這種解一元二次方程的方法叫配方法.

3.A

【分析】

先確定。、尻c的值，計算尸-4雙的值進行判斷即可求解.

【詳解】

解：由題意可知：a=\,b=m,c=-m-2,

A=b2-4ac=m2-4x1x(-，"-2)=nr+4m+8=(/M+2)'+4>4,

???方程有兩個不相等實數(shù)根.

故選A.

【點撥】本題考查一元二次方程根的判別式，是常見考點，當(dāng)△>()時，方程有兩個不相等

的實數(shù)根；當(dāng)△=()時，方程有兩個相等的實數(shù)根：當(dāng)△<()時，方程沒有實數(shù)根，熟記判別

式并靈活應(yīng)用是解題關(guān)鍵.

4.B

【分析】

分別按照看錯的情況構(gòu)建出一元二次方程，再舍去錯誤信息，從而可得正確答案.

【詳解】

解：,?小紅看錯了常數(shù)項4,得到方程的兩個根是-3,1,

所以此時方程為：(x+3)(x—l)=0,即：X2+2X-3=0,

,小明看錯了一次項系數(shù)P，得到方程的兩個根是5,-4,

所以此時方程為：(x—5)(x+4)=0,即：X2-X-20=0,

從而正確的方程是：x2+2x-20=0,

故選：B.

【點撥】本題考查的是根據(jù)一元二次方程的根構(gòu)建一元二次方程，掌握利用一元二次方程的

根構(gòu)建方程的方法是解題的關(guān)鍵.

5.A

【分析】

先求出方程的解，即可得到AC=4,BD=2,根據(jù)菱形的性質(zhì)求出AO和DO,根據(jù)勾股

定理求出即可.

【詳解】

解：解方程X?—6x+8=0,得XI=2,x2=4,

即AC=4,BD=2,

???四邊形ABC。是菱形，

AZAOD=9Q°,AO=CO=2,BO=DO=l,

由勾股定理得A￡)=JAO+DO)=」22+F=石-

即菱形的邊長為石，

故選：A.

【點撥】本題考查了解一元二次方程和菱形的性質(zhì)，正確求出方程的根是解題的關(guān)鍵.

6.D

【分析】

利用根與系數(shù)的關(guān)系得出±+Z=k,占蒞=欠-3,進而得出關(guān)于女的一元二次方程求出即可.

【詳解】

解：:關(guān)于x的一元二次方程丫2-6+左-3=0的兩個實數(shù)根分別為斗，馬，

x{+X-,=k,%三=&-3,

.X：+x；=5,

2

（X[+x2）-2xtx2=5,

.?.爐-2（Z-3）=5,

整理得出：k2-2k+l=0,

解得：k、=%=1,

故選：D.

【點撥】本題考查了一元二次方程如、桁+c=O（a?0,?,b,。為常數(shù)）根與系數(shù)的關(guān)系:

bc

X+X=——，.

t2aa

7.D

【分析】

根據(jù)題意，先將方程x2-7x+12=0的兩根求出，然后對兩根分別作為直角三角形的直角邊

和斜邊進行分情況討論，最終求得該直角三角形的面積即可.

【詳解】

解方程，7》+12=0得玉=3,々=4

當(dāng)3和4分別為直角三角形的直角邊時，面枳為：x3x4=6；

2

當(dāng)4為斜邊，3為直角邊時根據(jù)勾股定理得另一直角邊為廬手=近，面積為

1x77x3=^；

22

則該直角三角形的面積是6或士且，

2

故選：D.

【點撥】本題主要考查了解一元二次方程及直角三角形直角邊斜邊的確定、直角三角形的面

積求解，熟練掌握解一元二次方程及勾股定理是解決本題的關(guān)鍵.

8.D

【分析】

根據(jù)方程有實數(shù)根，利用根的判別式來求上的取值范圍即可.

【詳解】

解：當(dāng)方程為一元二次方程時，

?.?關(guān)于X的方程伏-1)2/+國+以+1=0有實數(shù)根，

A=(2*+l)2-4x(*-l)2xl>0,且k*l,

解得，左二且七1,

4

當(dāng)方程為一元一次方程時，上1,方程有實根

綜上，

4

故選：D.

【點撥】本題考查了一元二次方程方程的根的判別式，注意一元二次方程方程中a工0,熟

悉一元二次方程方程的根的判別式的相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

9.xi=-2

【分析】

設(shè)方程的另一根為X2,根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得及=-2,解答出即可.

【詳解】

解：設(shè)方程的另一根為X2,

關(guān)于X的方程2_F+，nr-4=0的一根為,

-4

則1XX2=3=-2,

解得X2=-2.

故答案為：X2=-2.

【點撥】本題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系：處，X2是一元二次方程以2+瓜+片0

bc

(存0)的兩根時，X\+X2=--,X\*X2=—.

aa

10.3

【分析】

先根據(jù)一元二次方程的解的定義得到^+3/?7-1=0,則3,”-1=-"落根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得出

m+n=-3,再將其代入整理后的代數(shù)式計算即可.

【詳解】

解：是一元二次方程x2+3x-l=O的根，

.".m2+3m-\=O,

3m-]--m2,

???，"、”是一元二次方程N+3x-1=0的兩個根，

m+n--3,

.m3+m2nm2(m+n),..

..-------=-----r——=~(m+〃)=3,

3/n-l-m2

故答案為：3.

【點撥】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若曾，X2是一元二次方程以2+瓜+c=o(awo)的兩

hc

根時，％+x,=-2,x,x2=-.也考查了一元二次方程的解.

aa

ii.-1-

2021

【分析】

根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系的性質(zhì)計算，即可得到答案.

【詳解】

??,一元二次方程f+x—2021=0的兩根分別為m,n

m+n=—\,mn=—2021

.11_m+n_-1_1

mnmn-20212021

【點撥】本題考查了一元二次方程的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握一元二次方程根與系數(shù)的

性質(zhì)，從而完成求解.

12.-1或2

【分析】

根據(jù)新定義的運算得到x?(x-l)=x2+(x-l)2-x(x-l)=3,整理并求解一元二次方程即

可.

【詳解】

解：根據(jù)新定義內(nèi)容可得：x?(x-l)=x2+(x-l)?-x(x-l)=3,

整理可得d*2=0,

解得％=-1,X2=2,

故答案為：-1或2.

【點撥】本題考查新定義運算、解一元二次方程，根據(jù)題意理解新定義運算是解題的關(guān)鍵.

13.9

【分析】

直接利用根的判別式進行判斷即可.

【詳解】

解：由題可知："△=0”,BP62-4*=0;

%=9；

故答案為：9.

【點撥】本題考查了用根的判別式判斷一元二次方程根的情況，解決本題的關(guān)鍵是牢記：

△>0時，該方程有兩個不相等的實數(shù)根；△=()時，該方程有兩個相等的實數(shù)根；△<()時,

該方程無實數(shù)根.

14.(1);n<0；(2)m=-2

【分析】

(1)根據(jù)方程有實數(shù)根的條件，即A20求解即可；

(2)由韋達定理把為+々和分別用含，”的式子表示出來，然后根據(jù)完全平方公式將

X：=12變形為(3-2X,X2=12,再代入計算即可解出答案.

【詳解】

(1)由題意可得：A=(2/n)2-4(/n2+m)>0

解得：m<0

即實數(shù)川的取值范圍是機工0.

2

(2)由工：+考=12可得:(%1+^)-2XJX2=12

*.*%+工2=-2m；x[x2=M+m

(-2/n)2-2^m2+〃?)=12

解得：m=3或帆=-2

V/n<0

m=—2

即加的值為-2.

【點撥】本題主要考查的是根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系，要牢記：(1)當(dāng)△》()時，方程

有實數(shù)根；(2)掌握根與系數(shù)的關(guān)系，即韋達定理；(3)熟記完全平方公式等是解題的關(guān)鍵.

15.玉=7,x2=-8

【分析】

先移項再利用因式分解法解方程即可.

【詳解】

解：7)=8(7-幻，

x(x—7)+8(x—7)—0,

A(x-7)(x+8)=0,

??%=7,w=—8.

【點撥】本題考查了解一元二次方程一因式分解法，解題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)公因式.

16.兩位同學(xué)的解法都錯誤，正確過程見解析

【分析】

根據(jù)因式分解法解一元二次方程

【詳解】

解：

小敏：小霞：

移項，得

兩邊同除以(X-3),得3(x—3)—(x—3)2=0,

3=x—3,提取公因式，得(x-3)(3—x—3)=0.

則x=6.則工一3二0或3-工一3=0,

解得=3,毛=。.

(x)(X)

正確解答:3(x-3)=(x-3)2

移項，得3(x-3)—(x—3>=0,

提取公因式，得(x—3)[3—(x—3)]=0,

去括號，得(—+3)=0,

貝iJx-3=0或6-x=0,

解得玉=3,X2=6.

【點撥】本題考查因式分解法解一元二次方程，掌握因式分解的技巧準(zhǔn)確計算是解題關(guān)鍵.

17.29元.

【分析】

設(shè)這種水果每千克降價x(x>0)元，根據(jù)超市每天要獲得銷售利潤3640元列一元二次方程,

解一元二次方程，再由題意要盡可能讓顧客得到實惠，篩選符合條件的工的值，即可解題售

價.

【詳解】

解：設(shè)這種水果每千克降價x(x>0)元，

則每千克的利潤為：(38-22-x)元，銷售量為：(160+40X)千克，

(16-x)(160+40x)=3640

整理得，

f-12x-27=0

(x-3)(x-9)=0

，x=3或x=9,

,要盡可能讓顧客得到實惠，

:.x-9

即售價為38—9=29(元)

答：這種水果的銷售價為每千克29元.

【點撥】本題考查一元二次方程的實際應(yīng)用，是重要考點，難度較易，掌握相關(guān)知識是解題

關(guān)犍.

I.D

【分析】

由關(guān)于X的一元二次方程狽2-2%-1=0有兩個不相等的實數(shù)根，即可得判別式△>0且二

次項系數(shù)a翔，繼而可求得“的范圍.

【詳解】

解：?.?一元二次方程ar2-2x-1=0有兩個不相等的實數(shù)根，

.*.△=(-2)2-4xax(-1)>0,且在0,

解得：a>-1且a#0,

故選：D.

【點撥】此題考查了一元二次方程根的判別式的知識.此題比較簡單，注意掌握一元二次方

程有兩個不相等的實數(shù)根，即可得△>().

2.C

【分析】

根據(jù)根的判別式即可求出答案.

【詳解】

解：由題意可知：4=25-4c,

25

當(dāng)時，

4

,25-4c>0,

.??該方程有兩個不相等的實數(shù)根，

故選：C.

【點撥】本題考查一元二次方程，解題的關(guān)鍵是熟練運用根的判別式，本題屬于基礎(chǔ)題型.

3.C

【分析】

根據(jù)交點坐標(biāo)的意義，把問題轉(zhuǎn)化方程，不等式問題判定即可.

【詳解】

由題意得方程區(qū)2+公-2021=0的兩根分別為占，%,

b-2021

xi+%2=_X,x^——

KK

X1+工2>0

-”0,

k

r0)

k、b異號,

20212021

x=—，必二—

202120212021(%+占)

y+y之=——十——=——^

x}x2中2

VyI+y2>0,

2021(x,+x2)

>0,

中2

*.*Xj+x2>0,

/.X]X2>0,

--2021八

..----->0,

k

k<0b>0.

故選C

【點撥】本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題，?元二次方程根與系數(shù)關(guān)系定理，

不等式思想，熟練運用交點坐標(biāo)的意義，把問題轉(zhuǎn)化為方程問題，不等式問題求解是解題的

關(guān)鍵.

4.B

【分析】

由表格可以得到二次函數(shù)圖象經(jīng)過點點(-3,1.875)和點(1,1.875),這兩點關(guān)于對稱軸

對稱，由此得到對稱軸直線，設(shè)出二次函數(shù)頂點式，代入兩點，求解出二次函數(shù)解析式，得

到4,b,C的值，依次代入到①②③④中進行判斷即可解決.

【詳解】

解：由表格可以得到，二次函數(shù)圖象經(jīng)過點(-3,1.875)和點(1,1.875),

?.?點(-3,1.875)與點(1J875)是關(guān)于二次函數(shù)對稱軸對稱的,

???二次函數(shù)的對稱軸為宜線X=-一3y+21=-1

設(shè)二次函數(shù)解析式為y=a(x+l)2+/?,

代入點(-2,3),(2,0)得,

a+h='i

9a+h=0

3

a=—

8

解得

,27

8

二二次函數(shù)的解析式為：丫=-白a*+1)2?+7=

oo

y-3,

84

..c=3,

??.①是錯誤的,

o3

b2-4ac=—+4x—x3>0,

168

.??②是正確的,

33

方程小+灰=0為-/-產(chǎn)0,

即為f+2x=0,

X]=-2,%,=0,

二③是正確的,

33

7〃+c=7x(-二)+3=->0,

88

???④是錯誤的,

，②③是正確的,

故選：B.

【點撥】本題考查了二次函數(shù)系數(shù)特征和二次函數(shù)解析式求法，利用待定系數(shù)法求解函數(shù)解

析式是通法，由表格提煉出對稱軸的信息，是解題的突破口，此題，也可以通過二次函數(shù)系

數(shù)特征來解決.

5.D

【分析】

根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，求得兩根之和和兩根之積，再根據(jù)兩根關(guān)系，求得系數(shù)

的關(guān)系，代入代數(shù)式，配方法化簡求值即可.

【詳解】

解：由方程如2+灰+。=0有兩個不相等的實根為、4

bc

可得，qw0,%+/=—,X\X2=一

aa

'：X2=2x,,可得網(wǎng)=,2x：=￡,即2(-2)2=￡

cia3aa

化簡得94c=2〃

則4b-9ac=-2b2+4b=-2(b2-2b)=-2(b-I)2+2

故劭-9ac最大值為2

故選D

【點撥】此題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，涉及了配方法求解代數(shù)式的最大值，根

據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得到系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

6.C

【分析】

按照方程的解的含義、一元二次方程的實數(shù)根與判別式的關(guān)系、等式的性質(zhì)、一元二次方程

的求根公式等對各選項分別討論，可得答案.

【詳解】

解：①若a+6+c=0,則x=l是方程，+笈+片0的解，

由一元二次方程的實數(shù)根與判別式的關(guān)系可知：/=〃一4“*0,故①正確；

②方程*2+c=()有兩個不相等的實根，

zf=0-4?c>0,

???-4ac>0

則方程ax2+hx+c=O的判別式J=Z?2-4(7C>0,

，方程ax2+bx+c=O必有兩個不相等的實根，故②正確；

③是方程ax2+hx+c=O的一個根，

貝(jac^+bc+c-O,

.*.(?(ac+b+1)=0,

若。=0,等式仍然成立，

但〃c+b+l=0不一定成立，故③不正確；

④若xo是一元二次方程ax2-^-hx+c=0的根，

則由求根公式可得：回="土揚一4竺,

2a

；.2aro+6=±“2一而。，

b2-4ac=(2axo+b)2,故④正確.

故正確的有①②④，

故選：C.

【點撥】本題考查一元二次方程根的判斷，根據(jù)方程形式，判斷根的情況是求解本題的關(guān)鍵.

7.B

【分析】

求得不等式組的解集可確定-3,再根據(jù)一元二次方程的定義和判別式的意義得到存0

9

且A=9-4〃>0,所以且存0,然后找出此范圍內(nèi)的整數(shù)即可.

4

【詳解】

^^->2x[x<-2

解不等式組3得,,

'一1<2〃+11X31

而此不等式組的解集是爛-2,

tz+1>-2,

-3,

?.?關(guān)于X的一元二次方程-3X+1=0有兩個不相等的實數(shù)根，

.?.A=9-4a>0且a和,

9

?二々V—且存0,

4

9

-3VaV—且#0,

4

，符合條件的整數(shù)a為-2、-1、1、2共4個.

故選：B.

【點撥】本題考查了解一元一次不等式組、一元二次方程的定義及其根的判別式，易忽略一

元二次方程的二次項系數(shù)不為零這個隱含條件.

8.x=0或

【分析】

利用因式分解法解方程即可；

【詳解】

X2=Xf

x2-x=0,

x(x-l)=0,

x=0或x=l；

故答案是：X=0BJCX=1.

【點撥】本題主要考查了利用因式分解法解一元二次方程，準(zhǔn)確計算是解題的關(guān)犍.

9.-2

【分析】

先根據(jù)一元二次方程的定義以及根的判別式得到。+原0且乙=fe2-4x(?+l)=0,貝

=4,再將代數(shù)式8a-2b2+6變形后把4“=4代入計算即可.

【詳解】

解：根據(jù)題意得。+1并且A=〃-4x(a+1)=0,即「2-40-4=0,

b-4a=4,