一維應力波理論課件

北京理工大學材料學院材料動態(tài)力學概論AnIntrodutiontoDynamicBehaviorofMaterials1北京理工大學材料學院材料動態(tài)力學概論AnIntrodut材料動態(tài)力學概論2.一維應力波理論2材料動態(tài)力學概論2.一維應力波理論2應力波理論是研究材料動態(tài)力學行為的基本理論；是材料動態(tài)力學性能測試的基本原理。何時考慮應力波：1當載荷作用的時間與應力波傳過物體特征尺寸的時間在同一數(shù)量級或更小時；2當研究材料瞬間或者局部破壞機理或過程時。不考慮波動考慮波動2

高速碰撞，爆炸2.1基本概念1鍛造,擠壓，軋制,機械加工3應力波理論是研究材料動態(tài)力學行為的基本理論；不考慮波動考慮波應力波的形成機制：

當外加載荷作用于可變形固體的某部分表面時，一開始只有那些直接受到外載荷作用的表面部分的介質(zhì)質(zhì)點離開了初始平衡位置。由于這部分介質(zhì)質(zhì)點與相鄰介質(zhì)質(zhì)點之間發(fā)生了相對運動（產(chǎn)生變形），當然將受到相鄰介質(zhì)質(zhì)點所給予的作用力（應力），但同時也給相鄰介質(zhì)質(zhì)點以反作用力，因而使它們也離開了初始平衡位置而運動起來。不過，由于介質(zhì)質(zhì)點具有慣性，相鄰介質(zhì)質(zhì)點的運動將滯后于表面介質(zhì)質(zhì)點的運動。依此類推，外載荷在表面上所引起的擾動就這樣在介質(zhì)中逐漸由近及遠傳播出去，從而形成了應力波。

1介質(zhì)微元體之間的作用與反作用力；2微元體的慣性。2.1基本概念4應力波的形成機制：2.1基本概念4基本概念：應力波：擾動在固體中的傳播，或固體中傳播的波。波陣面：在介質(zhì)中已擾動區(qū)域與未擾動區(qū)域之間的分界面。

擾動的傳播波陣面的推進波傳播的方向波陣面推進的方向波速：擾動信號在介質(zhì)中的傳播速度（或說波陣面在介質(zhì)中推進的速度）

介質(zhì)質(zhì)點速度：介質(zhì)質(zhì)點的運動速度2.1基本概念5基本概念：擾動的傳播波陣面的推進間斷波波陣面(強間斷、強擾動)：

波陣面前后介質(zhì)的狀態(tài)參量（如σ、v、ε）之間的差值為一有限值，波剖面發(fā)生了間斷（突變）。數(shù)學上的定義對應于一階奇異面，即位移u的一階導數(shù)（如v、ε）發(fā)生間斷的波陣面。其對應的波稱為強間斷波，沖擊波即是強間斷波。2.1基本概念

遞增硬化材料中的塑性波由于高幅值擾動的傳播速度大于低幅值擾動的傳播速度，最終形成強間斷波，通常被稱為沖擊波。6間斷波波陣面(強間斷、強擾動)：2.1基本概念連續(xù)波波陣面(弱間斷、弱振動)：

波陣面前后的狀態(tài)參量（σ、v、ε）之間的差值為無限小，波剖面是連續(xù)的。對應于數(shù)學上為二階及更高階奇異面。其對應的波稱為連續(xù)波，其中二階奇異面對應的波又稱為加速度波（加速度為u的二階導數(shù)）。2.1基本概念7連續(xù)波波陣面(弱間斷、弱振動)：2.1基本概念7間斷波和和連續(xù)波是兩種在表現(xiàn)形式上完全不同的波，但是它們之間又相互聯(lián)系，在應力波的傳播過程中，間斷波和連續(xù)波在一定條件下可以相互轉(zhuǎn)化。2.1基本概念8間斷波和和連續(xù)波是兩種在表現(xiàn)形式上完全不同的波按傳播方向分類：縱波、橫波縱波：擾動信號的傳播方向與介質(zhì)質(zhì)點的運動方向一致（相同或相反）。（聲波）橫波：擾動信號的傳播方向與介質(zhì)質(zhì)點的運動方向相垂直。（水波）按波陣面形狀分類：平面波、柱面波、球面波2.1基本概念9按傳播方向分類：縱波、橫波2.1基本概念9按加載的性質(zhì)分類：加載波、卸載波加載波：使介質(zhì)的狀態(tài)參量（σ、p、v等）（絕對）值增大的波。卸載波：使介質(zhì)的狀態(tài)參量（σ、p、v等）（絕對）值減小的波。2.1基本概念10按加載的性質(zhì)分類：加載波、卸載波2.1基本概念10按波本身的性質(zhì)分類：壓縮波、稀疏波、拉伸波壓縮波：擾動傳過之后使介質(zhì)微團有被壓密效果的波。稀疏波：擾動傳過之后使介質(zhì)微團有被稀疏效果的波。拉伸波：擾動傳過之后使介質(zhì)微團有被拉伸效果的波。其它波的概念：（入射波、反射波、透射波）（彌散波、匯聚波）（沖擊波：是強間斷、強擾動，是一種強烈的壓縮波）2.1基本概念11按波本身的性質(zhì)分類：壓縮波、稀疏波、拉伸波壓縮波：擾動傳過之

連續(xù)介質(zhì)力學的基本出發(fā)點之一，是不從微觀上考慮物體的真實物質(zhì)結(jié)構(gòu)，而只是在宏觀上把物體看成是連續(xù)不斷的質(zhì)點所組成的系統(tǒng)，即把物體看成是質(zhì)點的連續(xù)集合。每個質(zhì)點在空間上占有一定的空間位置，不同的質(zhì)點在不同的時間占有不同的空間位置。為了區(qū)別不同的質(zhì)點，要對質(zhì)點命名，為了描述質(zhì)點所占據(jù)的空間位置，就需要一個參考的空間坐標系。2.2物質(zhì)坐標和空間坐標12連續(xù)介質(zhì)力學的基本出發(fā)點之一，是不從微觀上考

在連續(xù)介質(zhì)力學中，往往采用兩種觀點和方法來研究介質(zhì)的運動：Lagrange方法和Euler方法。相應地，研究桿的運動時，要先選定坐標系統(tǒng)，一般對應有兩種坐標系：Lagrange坐標（即物質(zhì)坐標，隨著介質(zhì)流動來考察）和Euler坐標（即空間坐標，固定空間位置來考察）。

2.2物質(zhì)坐標和空間坐標13在連續(xù)介質(zhì)力學中，往往采用兩種觀點和方法來研Lagrange描述（方法）：隨著介質(zhì)中固定的質(zhì)點來觀察物質(zhì)的運動，所研究的是在給定的質(zhì)點上各物理量隨時間的變化，以及這些量由一個質(zhì)點轉(zhuǎn)到其他質(zhì)點時的變化，這種描述介質(zhì)運動的方法稱為Lagrange描述（方法）。Euler描述（方法）：在固定的空間點上觀察物質(zhì)的運動，所研究的是在給定的空間點上以不同時間到達該點的不同質(zhì)點的各物理量隨時間的變化，以及這些物理量從一個空間點轉(zhuǎn)換到另一空間點時的變化，這種描述介質(zhì)運動的方法稱為Euler描述（方法）。2.2物質(zhì)坐標和空間坐標14Lagrange描述（方法）：2.2物質(zhì)坐標和空間坐標14Lagrange坐標：

為了識別運動中物體的一個質(zhì)點，以一組數(shù)（a，b，c）作為其標記，不同的質(zhì)點以不同的數(shù)（a，b，c）表示，這組數(shù)（a，b，c）稱為Lagrange坐標（或物質(zhì)坐標、隨體坐標）。Euler坐標：

為了表示物體質(zhì)點在不同時刻運動到空間的一個位置，以一組固定于空間的坐標表示該位置，這組坐標稱為Euler坐標（或空間坐標）2.2物質(zhì)坐標和空間坐標15Lagrange坐標：2.2物質(zhì)坐標和空間坐標15以長桿中一維運動為例：

X質(zhì)點命名（質(zhì)點在參考時刻的空間位置坐標）：X質(zhì)點任一時刻t在空間所占位置：x表示法一：介質(zhì)的運動可表示為質(zhì)點X在不同的時間t所在的空間位置x

，即x是X和t的函數(shù)(2-2-1)如果固定X，上式給出了質(zhì)點X如何隨時間運動；如果固定t，上式給出了某時刻各質(zhì)點所占據(jù)的空間位置。一般來說，在給定時刻，一個質(zhì)點只能占有一個空間位置，而一個空間位置也只能有一個質(zhì)點。2.2物質(zhì)坐標和空間坐標16以長桿中一維運動為例：X質(zhì)點命名（質(zhì)點在參考時刻的空表示法二：反過來只要運動是連續(xù)單值的，（2-2-1）式可反演為(2-2-2)即X是ｘ和t的函數(shù)。質(zhì)點在參考時刻t0時在參考空間坐標系中所占據(jù)的位置坐標。參考時刻可以取t0=0時刻，或其它適當?shù)臅r刻；參考空間坐標系可以與描述運動所用的空間坐標系一致，也可以不同，選取原則取決于研究問題的方便性。（2-2-1）式和（2-2-2）式是描述一維長桿中介質(zhì)運動的兩種形式，二者是可是互換的。2.2物質(zhì)坐標和空間坐標17表示法二：2.2物質(zhì)坐標和空間坐標17

在一維情況下，應用Lagrange方法，可將物理量Ψ表達為質(zhì)點X和時間t的函數(shù)：Ψ=F(X,t)。自變量X即為Lagrange坐標（物質(zhì)坐標）。

應用Euler方法，可將物理量Ψ表達為空間坐標x和時間t的函數(shù)：Ψ=f(x,t)。自變量x即為Euler坐標（空間坐標）。

顯然，對于同一物理量Ψ，有:

Ψ

=F(X,t)

=f(ｘ,t)(2-2-3)2.2物質(zhì)坐標和空間坐標18在一維情況下，應用Lagrange方法，可將物理量Ψ表

描述同一物理量Ψ，既可以用物質(zhì)坐標也可以用空間坐標來進行描述，二者還可以進行轉(zhuǎn)換。

（1）物質(zhì)坐標系中描述的物理量空間坐標系中描述的物理量由（2-2-2）、（2-2-3）式，

f(ｘ,t)

=F[X（ｘ,t）,t](2-2-4)

（2）空間坐標系中描述的物理量物質(zhì)坐標系中描述的物理量由（2-2-1）、（2-2-3）式，有

F(X,t)

=f[ｘ（X,t）,t](2-2-5)2.2物質(zhì)坐標和空間坐標19描述同一物理量Ψ，既可以用物質(zhì)坐標也可以用空間坐標來進三種微商：空間微商（Euler微商）、物質(zhì)微商（Lagrange微商或隨體微商）和隨波微商。兩個波速：空間波速（Euler波速）、物質(zhì)波速（Lagrange波速）空間微商（Euler微商）：在給定空間位置x上，物理量Ψ對時間的t變化率，即(2-3-1)物質(zhì)微商（Lagrange微商或隨體微商）：隨著給定的質(zhì)點X來觀察物理量Ψ對時間t的變化率，即(2-3-2)2.3時間微商與波速20三種微商：2.3時間微商與波速20對于（2-3-2）式應用復合函數(shù)求微商的連鎖法則，有上式中，是質(zhì)點X的空間位置對時間的物質(zhì)微商，也就是質(zhì)點X的運動速度，即有：(2-3-3)(2-3-4)2.3時間微商與波速21對于（2-3-2）式應用復合函數(shù)求微商的連鎖法則，有上式中，物理量Ψ為質(zhì)點速度時，(2-3-4)式變?yōu)橘|(zhì)點加速度的表達式：

(2-3-5)

(2-3-4)式中，等式右邊第一項通常稱為局部變化率，顯然在定常場中該項為零，第二項稱為遷移變化率，在均勻場中該項為零。與此相對應，(2-3-5)式中，等式右邊第一項通常稱為局部加速度，第二項稱為遷移加速度。2.3時間微商與波速22物理量Ψ為質(zhì)點速度時，(2-3-4)式變?yōu)橘|(zhì)點加速度的表達式物質(zhì)波速（Lagrange波速）：

在物質(zhì)坐標中來觀察應力波的傳播，設在t時刻波陣面?zhèn)鞑サ劫|(zhì)點X處，以

表示波陣面在物質(zhì)坐標中的傳播規(guī)律，則物質(zhì)波速（Lagrange波速）可表示為：(2-3-6)空間波速（Euler波速）：

在空間坐標中來觀察應力波的傳播，設在t時刻波陣面?zhèn)鞑サ娇臻g點x處，以表示波陣面在空間坐標中的傳播規(guī)律，則空間波速（Euler波速）可表示為：

(2-3-7)

2.3時間微商與波速23物質(zhì)波速（Lagrange波速）：2.3時間微商與波速2物質(zhì)波速和空間波速描述的是波陣面?zhèn)鞑ィ|(zhì)點速度描述的是某一個質(zhì)點的運動物質(zhì)波速和空間波速都是對同一個應力波的傳播速度的描述，但由于選擇的坐標不同，其數(shù)值一般是不相同的，除非波陣面前方介質(zhì)是靜止且無變形的。2.3時間微商與波速24物質(zhì)波速和空間波速描述的是波陣面?zhèn)鞑?，而質(zhì)點速度描述的是某一隨波微商：隨著波陣面來觀察物理量Ψ對時間t的變化率。根據(jù)坐標系的不同，有兩種表達式，即在空間坐標系中有:

(2-3-8)在物質(zhì)坐標系中有：

(2-3-9)(2-3-9)式中，取物理量Ψ為質(zhì)點的空間位置x，該式轉(zhuǎn)變?yōu)椋?/p>

(2-3-10)2.3時間微商與波速25隨波微商：2.3時間微商與波速25設初始時刻某質(zhì)點X空間位置根據(jù)定義為X，隨后某時刻該質(zhì)點到達空間位置x，則位移為u，顯有故有圖2-2-1一維長桿中X與x的相互關系ε為工程應變。則(2-3-10)式可簡化為：

(2-3-11)

此即為平面波傳播時空間波速和物質(zhì)波速之間的關系，由該式可以看出，只有當初始質(zhì)點速度和初始應變?yōu)榱銜r，平面波傳播的空間波速和物質(zhì)波速值相同。2.3時間微商與波速26設初始時刻某質(zhì)點X空間位置根據(jù)定義為X，隨后某時刻該質(zhì)點到達2.4.1基本假定細長桿中應力縱波的控制方程是基于以下三個基本假設：（1）平截面假定，即假定桿在變形時橫截面保持為平面，沿截面只有均布的軸向應力。

按照這一假定，桿中各運動參量（位移、質(zhì)點速度、應力等）都只是X和t的函數(shù)，應力波傳播的問題就簡化為一維問題了。但是，這一假定只有在長桿的橫向尺寸與應力波的波長相比很小時才近似成立。2.4物質(zhì)坐標描述的桿中縱波的控制方程272.4.1基本假定2.4物質(zhì)坐標描述的桿中縱波的控制方

（2）忽略橫向慣性效應，這一假定實際上與第一個假定密不可分，若要保持桿截面為平面，必須忽略桿中質(zhì)點橫向運動的慣性效應，即忽略桿中質(zhì)點的橫向膨脹或收縮對動能的貢獻。質(zhì)點的橫向運動必然使得動能橫向耗散，即減小X方向的動能，從而導致X方向應力波陣面的彎曲。如果忽略橫向慣性效應，則和都等于零，因而處于單向應力狀態(tài)，且因為無橫向能量耗散，應力波陣面不會彎曲，保持平面狀態(tài)。2.4物質(zhì)坐標描述的桿中縱波的控制方程28（2）忽略橫向慣性效應，這一假定實際上與第一個假（3）應力只是應變的單值函數(shù)。對于應變率無關理論，材料的本構(gòu)關系可寫成（2-4-1）

這一假定似乎只有在彈性變形范圍內(nèi)（低應變率）才適用或?qū)兟什幻舾械膹椝苄圆牧辖瓶捎?。但考慮到?jīng)_擊載荷下的應變率比準靜態(tài)載荷下的要高很多量級，可以認為材料在某一應變率范圍內(nèi)近似具有唯一的動態(tài)應力應變關系，在形式上是應變率無關的，但與靜態(tài)應力應變關系不同，因為它在一定意義上已考慮了應變率的影響。2.4物質(zhì)坐標描述的桿中縱波的控制方程29（3）應力只是應變的單值函數(shù)。2.4物質(zhì)坐標描述的桿中縱波2.4.2控制方程組桿中縱波的控制方程（基本方程）包括：

位移連續(xù)方程或質(zhì)量守恒方程——運動學條件；運動方程或動量守恒方程——動力學條件；能量守恒方程或材料本構(gòu)關系（物性方程）。2.4物質(zhì)坐標描述的桿中縱波的控制方程302.4.2控制方程組2.4物質(zhì)坐標描述的桿中縱波的控制（1）位移連續(xù)方程考察一維等截面均勻桿中微元體的縱向運動。如圖2-4-1所示，取桿變形前（設t=0時）的質(zhì)點的空間位置作為物質(zhì)坐標，取桿軸為X軸，取一微元dX作為研究對象。桿的原始截面積為A0，原始密度為ρ0。在t=t1時刻微元的兩個截面分別移動到空間位置x和x+dx，則X截面發(fā)生的位移為，且有：圖2-4-1

2.4物質(zhì)坐標描述的桿中縱波的控制方程31（1）位移連續(xù)方程圖2-4-12.4物質(zhì)坐標描述的那么，根據(jù)位移連續(xù)條件，為連續(xù)函數(shù)，則有：兩式相等，從而可得位移連續(xù)方程（或稱ε和v的相容方程）：

（2-4-2）2.4物質(zhì)坐標描述的桿中縱波的控制方程32那么，根據(jù)位移連續(xù)條件，為連續(xù)函數(shù)，則有：

（2）動量守恒方程由圖2-4-1，根據(jù)牛頓第二定律，作用在微元體兩個截面上的作用力之差應等于微元體質(zhì)量與加速度的乘積，即引入工程應力，代入上式，整理可得（2-4-3）此即動量守恒方程（或稱σ和v的相容方程）。2.4物質(zhì)坐標描述的桿中縱波的控制方程33（2）動量守恒方程2.4物質(zhì)坐標描述的桿中縱波的

（3）能量守恒方程或材料本構(gòu)關系（物性方程）由于應力波傳播速度很高，在應力波通過微元體的時間內(nèi)，微元體還來不及和鄰近的微元體及周圍介質(zhì)交換熱量，因而可視為絕熱過程，這一過程遵守能量守恒關系。（2-4-1）式給出的材料的本構(gòu)關系式實際上是絕熱過程中得到的，故無需再另外列出能量守恒方程，由方程（2-4-1）－（2-4-3）可以組成關于變量σ、ε和v的封閉的控制方程組：

（2-4-4）2.4物質(zhì)坐標描述的桿中縱波的控制方程34（3）能量守恒方程或材料本構(gòu)關系（物性方程）2.4描述一維桿中應力縱波傳播的幾個方程組：以ε和v為未知變量的控制方程組以σ和v為未知變量的控制方程組以u為未知變量的二階偏微分方程2.4物質(zhì)坐標描述的桿中縱波的控制方程35描述一維桿中應力縱波傳播的幾個方程組：2.4物質(zhì)坐標描述的（1）以ε和v為未知變量的控制方程組

連續(xù)可微，對于連續(xù)波波速（2-4-5）則

（2-4-6）代入（2-4-3）式可得

（2-4-7）

上式與位移連續(xù)方程（2-4-2）式就共同組成了以ε和v為未知變量的控制方程組，即（2-4-8）2.4物質(zhì)坐標描述的桿中縱波的控制方程彈性模量與波速之間的換算36（1）以ε和v為未知變量的控制方程組2.4物質(zhì)坐標描述的桿波速的推導，廣義波動方程介質(zhì)中以速度V傳播的任何形式的擾動2.4物質(zhì)坐標描述的桿中縱波的控制方程（F=ma）由繩子的波動推導的波動方程37波速的推導，廣義波動方程2.4物質(zhì)坐標描述的桿中縱波的控制[舉例]一維桿中彈性波的傳播速度：由：2.4物質(zhì)坐標描述的桿中縱波的控制方程38[舉例]一維桿中彈性波的傳播速度：由：2.4物質(zhì)坐標描述的彈性變形滿足虎克定律結(jié)合波的微分方程：2.4物質(zhì)坐標描述的桿中縱波的控制方程39彈性變形滿足虎克定律結(jié)合波的微分方程：2.4物質(zhì)坐標描述的

（2）以σ和v為未知變量的控制方程組

由（2-4-6）式和（2-4-2）式可以得到

（2-4-9）

它與運動方程（2-4-3）式共同組成了以σ和v為未知變量的控制方程組，即（2-4-10）2.4物質(zhì)坐標描述的桿中縱波的控制方程40（2）以σ和v為未知變量的控制方程組2.4（3）以u為未知變量的二階偏微分方程

由于ε和速度v都是位移u的一階微商，即，

，代入（2-4-7）式，可得

（2-4-11）

該方程通常稱為波動方程，描述了一維桿中應力縱波的傳播規(guī)律。

2.4物質(zhì)坐標描述的桿中縱波的控制方程41（3）以u為未知變量的二階偏微分方程該方程通

控制方程組

波陣面參數(shù)σ、ε、v和u等

隨X、t的變化規(guī)律。

但是由這些偏微分方程組獲得解析解并不容易。對于一維波傳播的基本方程組，除了彈性波是線性方程外，一般都是非線性的。因此大多數(shù)實際問題，往往只能用一些近似的數(shù)值方法求解。

特征線方法是解決波傳播問題最為重要的方法之一，具有重要的應用價值，因為它是求解雙典型線型偏微分方程的主要解法之一，可以把解兩個自變量的偏微分方程問題轉(zhuǎn)化為解特征線上的常微分方程問題。

2.5特征線與特征線上的相容關系422.5特征線與特征線上的相容關系42

何謂特征線，可用幾種不同而又相互等價的方法定義。物理意義上：特征線是在（X-t）平面上擾動波陣面?zhèn)鞑サ能壽E。圖中曲線上各點的斜率就是擾動波的傳播速度，式中正負號分別對應于向右和向左的傳播速度。

圖2-4-1

2.5特征線與特征線上的相容關系43何謂特征線，可用幾種不同而又相互等價的方法定義。

數(shù)學意義:

方向?qū)?shù)法：如果能把某二階偏微分方程或等價的一階偏微分方程組的線性組合化為只包含自變量平面上某一曲線Γ的方向?qū)?shù)的形式時，則曲線Γ即為該方程（或方程組）的特征線，而該曲線各點的斜率dX/dt稱為該特征線的特征方向。

不定線法：如果對自變量平面（X，t）上某曲線Γ，由沿此曲線Γ上給定的初值連同偏微分方程一起不足以確定全部偏導數(shù)的話，則此曲線Γ稱為特征線。2.5特征線與特征線上的相容關系44數(shù)學意義:2.5特征線與特征線上的相容關系用方向?qū)?shù)法和不定線法來定義特征線，分別從不同角度反映了特征線的某種性質(zhì)，采用不同的方法所得到的特征線是相同的。控制方程特征線方程特征線上相容關系式特征線解法方向?qū)?shù)法不定線法2.5特征線與特征線上的相容關系45用方向?qū)?shù)法和不定線法來定義特征線，分別從不同角度反方向?qū)?shù)含義：

圖2-4-1

在（X，t）平面內(nèi)有一曲線Γ，函數(shù)f(X,t)在S方向上的方向?qū)?shù)定義為：

（2-5-1）

它可以給出在與曲線Γ相切方向上對S的變化率。其中S的方向即為：

（2-5-2）2.5特征線與特征線上的相容關系46方向?qū)?shù)含義：圖2-4-1在（X，t）平面內(nèi)有一例1：已知一維縱波的波動方程，采用方向?qū)?shù)法求解一維縱波的特征線方程及特征線上的相容關系。(2-4-11)解：設在自變量平面（X，t）上有某曲線Γ（X，t），對于u的一階偏導數(shù)v、ε，沿此曲線方向的微分分別為：(2-5-3)(2-5-4)2.5特征線與特征線上的相容關系47例1：已知一維縱波的波動方程，采用方向?qū)?shù)法求解一維縱波的特式中dX和dt是曲線Γ（X，t）上的微段dS在X，t兩軸上的分量，即，是曲線Γ在（X，t）點上的斜率。如果曲線Γ是二階偏微分方程(2-4-11)式的特征線，則(2-4-11)式能夠化為只包含沿此曲線的方向微分。將(2-5-3)和(2-5-4)式進行線性組合，應與(2-4-11)式等價，即有(2-5-5)式中，λ為待定系數(shù)，比較(2-4-11)、(2-5-5)兩式，兩方程等價應滿足：(2-5-6)2.5特征線與特征線上的相容關系48式中dX和dt是曲線Γ（X，t）上的微段dS在X，t兩軸上的求解上