高二理科數(shù)學(xué)必修2和選修2-1復(fù)習(xí)鞏固測(cè)試卷

高二理科數(shù)學(xué)必修2和選修2-1復(fù)習(xí)鞏固測(cè)試卷必修二和選修2-1綜合測(cè)試(2)一.選擇題(4×10=40分)1.已知“a＝－1”是“直線ax＋3y＋3＝和直線x＋(a－2)y＋1＝平行”的充要條件。2.有下列命題，其中真命題的個(gè)數(shù)是3。3.直線y＝x＋3與雙曲線2x^2/a^2-2y^2/b^2=1(a＞0，b＞0)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是2。4.直線2xcosα－y－3＝0,α∈(π/3，π/2)，的傾斜角的取值范圍是(π/3，π/2)。5.過(guò)拋物線y^2＝2x的焦點(diǎn)作一條直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，它們的橫坐標(biāo)之和等于2，則這樣的直線有且只有兩條。6.已知△ABC的頂點(diǎn)A(－5，0)，B(5，0)，△ABC的內(nèi)切圓圓心在直線x＝3上，則頂點(diǎn)C的軌跡方程是x^2/169+y^2/256=1(x>3)。7.已知A，B，P是雙曲線x^2/a^2-y^2/b^2=1(a＞0，b＞0)上不同的三點(diǎn)，且A，B連線經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，若直線PA，PB的斜率乘積k_PA·k_PB=3，則該雙曲線的離心率為2。8.等軸雙曲線C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，C與拋物線y^2＝16x的準(zhǔn)線交于A，B兩點(diǎn)，|AB|=4/3，則C的實(shí)軸長(zhǎng)為2。9.已知F_1,F_2分別是雙曲線x^2/a^2-y^2/b^2=1(a＞0，b＞0)的左右焦點(diǎn)，P為雙曲線右支上一點(diǎn)，滿(mǎn)足∠PF_1F_2=π/2，連接PF_1交y軸于點(diǎn)Q，若|QF_2|=2c，則雙曲線的離心率是√(1+4c^2/a^2)。注：修改了部分公式的排版。10.在三棱錐P-ABC中，已知∠PAC=∠PAB=45°，∠BAC=60°，求PA與底面ABC所成角的余弦值。解：由三棱錐的特殊性質(zhì)可知，PA垂直于底面ABC，所以PA與底面ABC所成角的余弦值等于底面ABC的法向量與PA的向量積的模除以?xún)蓚€(gè)向量的模的積。設(shè)底面ABC的法向量為n，則n=[AB,AC]=[1,0,0]×[cos60°,sin60°,0]=[0,0,1]，PA的向量為a=[cos45°,sin45°,h]，其中h為PA在底面ABC所在平面上的投影長(zhǎng)度。則n·a=0+0+h=√2h，|n|=1，|a|=√(2+h^2)，所以cos∠PA-ABC=n·a/|n||a|=h/√(2+h^2)，代入h=tan45°·PA得cos∠PA-ABC=1/√2，選項(xiàng)A。12.如圖是一個(gè)幾何體的三視圖，若該幾何體的體積是33，則a=（），該幾何體的表面積為（）。解：由三視圖可知該幾何體是一個(gè)正方形棱柱，底面邊長(zhǎng)為a，高為a/2，側(cè)面積為2a×a/2=??^2，底面積為a^2，故總表面積為2??^2+??^2=3??^2。又已知體積為33，即a^2×a/2=33，解得a=3，故表面積為27，選項(xiàng)為33和27。13.已知拋物線C：y^2=2px（p>0）的方程，且表示圓，求圓心坐標(biāo)和半徑。解：由題意可知，拋物線的焦點(diǎn)在原點(diǎn)，且2p等于圓的直徑。設(shè)圓的方程為(x-a)^2+(y-b)^2=r^2，則焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(0,p)，代入圓的方程得a^2+b^2-r^2=0。又因?yàn)閽佄锞€的準(zhǔn)線與y軸平行，所以圓的中心在y軸上，即a=0。代入上式得b^2=r^2，又因?yàn)?p=r，所以b=p，故圓心坐標(biāo)為(0,p)、半徑為p，選項(xiàng)為(0,p)和p。14.已知拋物線C：y^2=2px（p>0）的焦點(diǎn)為F(1,p)，M為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，A(7,4)，求|MA|+|MF|的最小值。解：設(shè)M的坐標(biāo)為(x,y)，則|MA|^2=(x-7)^2+(y-4)^2，|MF|^2=(x-1)^2+(y-p)^2，由于|MA|+|MF|是定值2p，所以要求|MA|^2+|MF|^2的最小值。根據(jù)均值不等式，有|MA|^2+|MF|^2≥2|MA||MF|=4p，當(dāng)且僅當(dāng)M在MF的延長(zhǎng)線上時(shí)取等，所以最小值為2√2p，選項(xiàng)為2√2p。15.某幾何體的三視圖如圖所示，求該幾何體的體積和表面積。解：由三視圖可知該幾何體是一個(gè)正方體，底面邊長(zhǎng)為3，高為3，故體積為27。由于正方體的6個(gè)面都是相等的正方形，故表面積為6×3^2=54，選項(xiàng)為27和54。16.點(diǎn)M(5,3)到拋物線y=ax^2(a≠0)的準(zhǔn)線的距離為6，求拋物線的方程。解：設(shè)拋物線的準(zhǔn)線方程為y=k，則拋物線的方程為y=ax^2+k。由于準(zhǔn)線與拋物線的焦點(diǎn)在同一直線上，所以拋物線的焦點(diǎn)也在直線y=k上，設(shè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,f)，則f=k/4a。由于點(diǎn)M到準(zhǔn)線的距離為6，所以|3-ak|/√(1+a^2)=6，即|3/f-ak/f|=12/√(1+a^2)，代入f=k/4a得|3k-4a^2|/√(16a^2+k^2)=12/√(1+a^2)，解得k=±2√2，代入|3/f-ak/f|=12/√(1+a^2)得a=±1/2，故拋物線的方程為y=±1/2x^2±2√2。17.設(shè)雙曲線C：x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>b>0)的一條漸近線與拋物線y^2=x的一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x，若x>1，則雙曲線C的離心率e的取值范圍是多少？解：雙曲線的漸近線方程為y=±b/a·x，與拋物線y^2=x交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x，代入雙曲線的方程得y=±b/a·√(x^2-a^2)，由于x>1，所以y>0。又因?yàn)殡p曲線的離心率e=√(a^2+b^2)/a，所以要使離心率最小，應(yīng)取b=a，此時(shí)e=√2。當(dāng)b>a時(shí)，離心率大于√2，故答案為e∈(√2,∞)。18.長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=AA1=2，AD=1，E為C1D的中點(diǎn)，則異面直線B1C1與AE所成角的余弦值為多少？解：由于AE=1/2C1E，所以AE與C1E的夾角為60°，又因?yàn)锽1C1與C1E垂直，所以B1C1與AE的夾角為30°，故所求余弦值為cos30°=√3/2。19.已知四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD//BC，AB⊥BC，AB=AD=3，BC=6，又PB⊥平面ABCD，且PB=6，點(diǎn)E在棱PD上，且DE=3PE。(1)求證：BE⊥平面PCD；(2)求二面角A-PD-B的正切值。解：(1)連PE交平面ABCD于點(diǎn)F，則PF=PE/3，又因?yàn)镻B⊥平面ABCD，所以PF⊥PB，故PF是平面PCD的一條高，又因?yàn)锽E∥PF，所以BE⊥平面PCD。(2)設(shè)∠A-PD-B的平面為α，PD∩α=M，PC∩α=N，則二面角A-PD-B的正切值為tan∠M-PC-N。連接PE，交α于點(diǎn)G，則PE∥BC，所以PE與PC的距離相等，即|PG|=|PC|，又因?yàn)镈E=3PE，所以|DG|=4|PG|=4|PC|。又由于PC⊥AB，所以∠CPB=90°，所以|CB|=√(BC^2+PC^2)=6√(1+|PB|^2/36)=6√(1+1/36)=2√37/3。又因?yàn)锳BCD