排列組合基礎(chǔ)知識練習(xí)題方法歸納

第十九講排列組合排列問題在實際生活中經(jīng)常會遇到這樣的問題，就是要把一些事物排在一起，構(gòu)成一列，計算有多少種排法，就是排列問題．在排的過程中，不僅與參與排列的事物有關(guān)，而且與各事物所在的先后順序有關(guān)．一般地，從個不同的元素中取出()個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從個不同元素中取出個元素的一個排列．根據(jù)排列的定義，兩個排列相同，指的是兩個排列的元素完全相同，并且元素的排列順序也相同．如果兩個排列中，元素不完全相同，它們是不同的排列；如果兩個排列中，雖然元素完全相同，但元素的排列順序不同，它們也是不同的排列．排列的基本問題是計算排列的總個數(shù)．從個不同的元素中取出()個元素的所有排列的個數(shù)，叫做從個不同的元素的排列中取出個元素的排列數(shù)，我們把它記做．根據(jù)排列的定義，做一個元素的排列由個步驟完成：步驟：從個不同的元素中任取一個元素排在第一位，有種方法；步驟：從剩下的()個元素中任取一個元素排在第二位，有()種方法；……步驟：從剩下的個元素中任取一個元素排在第個位置，有(種)方法；由乘法原理，從個不同元素中取出個元素的排列數(shù)是，即，這里，，且等號右邊從開始，后面每個因數(shù)比前一個因數(shù)小，共有個因數(shù)相乘．排列數(shù)一般地，對于的情況，排列數(shù)公式變?yōu)椋硎緩膫€不同元素中取個元素排成一列所構(gòu)成排列的排列數(shù)．這種個排列全部取出的排列，叫做個不同元素的全排列．式子右邊是從開始，后面每一個因數(shù)比前一個因數(shù)小，一直乘到的乘積，記為，讀做的階乘，則還可以寫為：，其中．在排列問題中，有時候會要求某些物體或元素必須相鄰；求某些物體必須相鄰的方法數(shù)量，可以將這些物體當(dāng)作一個整體捆綁在一起進(jìn)行計算．組合問題日常生活中有很多“分組”問題．如在體育比賽中，把參賽隊分為幾個組，從全班同學(xué)中選出幾人參加某項活動等等．這種“分組”問題，就是我們將要討論的組合問題，這里，我們將著重研究有多少種分組方法的問題．一般地，從個不同元素中取出個()元素組成一組不計較組內(nèi)各元素的次序，叫做從個不同元素中取出個元素的一個組合．從排列和組合的定義可以知道，排列與元素的順序有關(guān)，而組合與順序無關(guān)．如果兩個組合中的元素完全相同，那么不管元素的順序如何，都是相同的組合，只有當(dāng)兩個組合中的元素不完全相同時，才是不同的組合．從個不同元素中取出個元素()的所有組合的個數(shù)，叫做從個不同元素中取出個不同元素的組合數(shù)．記作．一般地，求從個不同元素中取出的個元素的排列數(shù)可分成以下兩步：第一步：從個不同元素中取出個元素組成一組，共有種方法；第二步：將每一個組合中的個元素進(jìn)行全排列，共有種排法．根據(jù)乘法原理，得到．因此，組合數(shù)．這個公式就是組合數(shù)公式．組合數(shù)的重要性質(zhì)一般地，組合數(shù)有下面的重要性質(zhì)：()這個公式的直觀意義是：表示從個元素中取出個元素組成一組的所有分組方法．表示從個元素中取出()個元素組成一組的所有分組方法．顯然，從個元素中選出個元素的分組方法恰是從個元素中選個元素剩下的()個元素的分組方法．例如，從人中選人開會的方法和從人中選出人不去開會的方法是一樣多的，即．規(guī)定，．插板法一般用來解決求分解一定數(shù)量的無差別物體的方法的總數(shù)，使用插板法一般有三個要求：①所要分解的物體一般是相同的：②所要分解的物體必須全部分完：③參與分物體的組至少都分到1個物體，不能有沒分到物體的組出現(xiàn)．在有些題目中，已知條件與上面的三個要求并不一定完全相符，對此應(yīng)當(dāng)對已知條件進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?，使得它與一般的要求相符，再適用插板法．使用插板法一般有如下三種類型：個人分個東西，要求每個人至少有一個．這個時候我們只需要把所有的東西排成一排，在其中的個空隙中放上個插板，所以分法的數(shù)目為．個人分個東西，要求每個人至少有個．這個時候，我們先發(fā)給每個人個，還剩下個東西，這個時候，我們把剩下的東西按照類型⑴來處理就可以了．所以分法的數(shù)目為．個人分個東西，允許有人沒有分到．這個時候，我們不妨先借來個東西，每個人多發(fā)1個，這樣就和類型⑴一樣了，不過這時候物品總數(shù)變成了個，因此分法的數(shù)目為．1.使學(xué)生正確理解排列、組合的意義；正確區(qū)分排列、組合問題；2.了解排列、排列數(shù)和組合數(shù)的意義，能根據(jù)具體的問題，寫出符合要求的排列或組合；3.掌握排列組合的計算公式以及組合數(shù)與排列數(shù)之間的關(guān)系；4.會、分析與數(shù)字有關(guān)的計數(shù)問題，以及與其他專題的綜合運用，培養(yǎng)學(xué)生的抽象能力和邏輯思維能力；通過本講的學(xué)習(xí)，對排列組合的一些計數(shù)問題進(jìn)行歸納總結(jié)，重點掌握排列與組合的聯(lián)系和區(qū)別，并掌握一些排列組合技巧，如捆綁法、擋板法等。5.根據(jù)不同題目靈活運用計數(shù)方法進(jìn)行計數(shù)。例1：小新、阿呆等七個同學(xué)照像，分別求出在下列條件下有多少種站法？（1）七個人排成一排；（2）七個人排成一排，小新必須站在中間.（3）七個人排成一排，小新、阿呆必須有一人站在中間.（4）七個人排成一排，小新、阿呆必須都站在兩邊.（5）七個人排成一排，小新、阿呆都沒有站在邊上.（6）七個人戰(zhàn)成兩排，前排三人，后排四人.（7）七個人戰(zhàn)成兩排，前排三人，后排四人.小新、阿呆不在同一排。（1）（種）。（2）只需排其余6個人站剩下的6個位置．（種）.（3）先確定中間的位置站誰，冉排剩下的6個位置．2×=1440(種)．（4）先排兩邊，再排剩下的5個位置，其中兩邊的小新和阿呆還可以互換位置．(種)．（5）先排兩邊，從除小新、阿呆之外的5個人中選2人，再排剩下的5個人，（種）.（6）七個人排成一排時，7個位置就是各不相同的．現(xiàn)在排成兩排，不管前后排各有幾個人，7個位置還是各不相同的，所以本題實質(zhì)就是7個元素的全排列．（種）.（7）可以分為兩類情況：“小新在前，阿呆在后”和“小新在前，阿呆在后”，兩種情況是對等的，所以只要求出其中一種的排法數(shù)，再乘以2即可．4×3××2=2880(種)．排隊問題，一般先考慮特殊情況再去全排列。例2：用1、2、3、4、5、6可以組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的個位是5的三位數(shù)？個位數(shù)字已知，問題變成從從個元素中取個元素的排列問題，已知，，根據(jù)排列數(shù)公式，一共可以組成(個)符合題意的三位數(shù)。例3：用、、、、這五個數(shù)字，不許重復(fù)，位數(shù)不限，能寫出多少個3的倍數(shù)？按位數(shù)來分類考慮：⑴一位數(shù)只有個；⑵兩位數(shù)：由與，與，與，與四組數(shù)字組成，每一組可以組成(個)不同的兩位數(shù)，共可組成(個)不同的兩位數(shù)；⑶三位數(shù)：由，與；，與；，與；，與四組數(shù)字組成，每一組可以組成(個)不同的三位數(shù)，共可組成(個)不同的三位數(shù)；⑷四位數(shù)：可由，，，這四個數(shù)字組成，有(個)不同的四位數(shù)；⑸五位數(shù)：可由，，，，組成，共有(個)不同的五位數(shù)．由加法原理，一共有(個)能被整除的數(shù)，即的倍數(shù)．例4：某管理員忘記了自己小保險柜的密碼數(shù)字，只記得是由四個非數(shù)碼組成，且四個數(shù)碼之和是，那么確保打開保險柜至少要試幾次？四個非數(shù)碼之和等于9的組合有1，1，1，6；1，1，2，5；1，1，3，4；1，2，2，4；1，2，3，3；2，2，2，3六種。第一種中，可以組成多少個密碼呢？只要考慮的位置就可以了，可以任意選擇個位置中的一個，其余位置放，共有種選擇；第二種中，先考慮放，有種選擇，再考慮的位置，可以有種選擇，剩下的位置放，共有(種)選擇同樣的方法，可以得出第三、四、五種都各有種選擇．最后一種，與第一種的情形相似，的位置有種選擇，其余位置放，共有種選擇．綜上所述，由加法原理，一共可以組成(個)不同的四位數(shù)，即確保能打開保險柜至少要試次．例5：兩對三胞胎喜相逢，他們圍坐在桌子旁，要求每個人都不與自己的同胞兄妹相鄰，(同一位置上坐不同的人算不同的坐法)，那么共有多少種不同的坐法？第一個位置在個人中任選一個，有(種)選法，第二個位置在另一胞胎的人中任選一個，有(種)選法．同理，第，，，個位置依次有，，，種選法．由乘法原理，不同的坐法有(種)。例6：一種電子表在6時24分30秒時的顯示為6:24：30，那么從8時到9時這段時間里，此表的5個數(shù)字都不相同的時刻一共有多少個?設(shè)A:BC是滿足題意的時刻，有A為8，B、D應(yīng)從0，1，2，3，4，5這6個數(shù)字中選擇兩個不同的數(shù)字，所以有種選法，而C、E應(yīng)從剩下的7個數(shù)字中選擇兩個不同的數(shù)字，所以有種選法，所以共有×=1260種選法。從8時到9時這段時間里，此表的5個數(shù)字都不相同的時刻一共有1260個。例7：一個六位數(shù)能被11整除，它的各位數(shù)字非零且互不相同的．將這個六位數(shù)的6個數(shù)字重新排列，最少還能排出多少個能被11整除的六位數(shù)?設(shè)這個六位數(shù)為，則有、的差為0或11的倍數(shù)．且a、b、c、d、e、f均不為0，任何一個數(shù)作為首位都是一個六位數(shù)。先考慮a、c、e偶數(shù)位內(nèi)，b、d、f奇數(shù)位內(nèi)的組內(nèi)交換，有×=36種順序；再考慮形如這種奇數(shù)位與偶數(shù)位的組間調(diào)換，也有×=36種順序。所以，用均不為0的a、b、c、d、e、f最少可排出36+36=72個能被11整除的數(shù)(包含原來的)。所以最少還能排出72-1=71個能被11整除的六位數(shù)。例8：已知在由甲、乙、丙、丁、戊共5名同學(xué)進(jìn)行的手工制作比賽中，決出了第一至第五名的名次．甲、乙兩名參賽者去詢問成績，回答者對甲說：“很遺憾，你和乙都未拿到冠軍．”對乙說：“你當(dāng)然不會是最差的．”從這個回答分析，5人的名次排列共有多少種不同的情況？這道題乍一看不太像是排列問題，這就需要靈活地對問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化．仔細(xì)審題，已知“甲和乙都未拿到冠軍”，而且“乙不是最差的”，也就等價于人排成一排，甲、乙都不站在排頭且乙不站在排尾的排法數(shù)，因為乙的限制最多，所以先排乙，有種排法，再排甲，也有種排法，剩下的人隨意排，有(種)排法．由乘法原理，一共有(種)不同的排法。例9：名男生，名女生，全體排成一行，問下列情形各有多少種不同的排法：⑴甲不在中間也不在兩端；⑵甲、乙兩人必須排在兩端；⑶男、女生分別排在一起；⑷男女相間．⑴先排甲，個位置除了中間和兩端之外的個位置都可以，有種選擇，剩下的個人隨意排，也就是個元素全排列的問題，有(種)選擇．由乘法原理，共有(種)排法．⑵甲、乙先排，有(種)排法；剩下的個人隨意排，有(種)排法．由乘法原理，共有(種)排法．⑶分別把男生、女生看成一個整體進(jìn)行排列，有(種)不同排列方法，再分別對男生、女生內(nèi)部進(jìn)行排列，分別是個元素與個元素的全排列問題，分別有(種)和(種)排法．由乘法原理，共有(種)排法．⑷先排名男生，有(種)排法，再把名女生排到個空檔中，有(種)排法．由乘法原理，一共有(種)排法。例10：一臺晚會上有個演唱節(jié)目和個舞蹈節(jié)目．求：⑴當(dāng)個舞蹈節(jié)目要排在一起時，有多少不同的安排節(jié)目的順序？⑵當(dāng)要求每個舞蹈節(jié)目之間至少安排個演唱節(jié)目時，一共有多少不同的安排節(jié)目的順序？⑴先將個舞蹈節(jié)目看成個節(jié)目，與個演唱節(jié)目一起排，則是個元素全排列的問題，有

(種)方法．第二步再排個舞蹈節(jié)目，也就是個舞蹈節(jié)

目全排列的問題，有(種)方法．根據(jù)乘法原理，一共有(種)方法．⑵首先將個演唱節(jié)目排成一列(如下圖中的“□”)，是個元素全排列的問題，一共有(種)方法．×□×□×□×□×□×□×第二步，再將個舞蹈節(jié)目排在一頭一尾或個演唱節(jié)目之間(即上圖中“×”的位置)，這相當(dāng)于從個“×”中選個來排，一共有(種)方法．根據(jù)乘法原理，一共有(種)方法。A1.用1、2、3、4、5這五個數(shù)字可組成多少個比大且百位數(shù)字不是的無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)？可以分兩類來看：⑴把3排在最高位上，其余4個數(shù)可以任意放到其余4個數(shù)位上，是4個元素全排列的問題，有(種)放法，對應(yīng)24個不同的五位數(shù)；⑵把2，4，5放在最高位上，有3種選擇，百位上有除已確定的最高位數(shù)字和3之外的3個數(shù)字可以選擇，有3種選擇，其余的3個數(shù)字可以任意放到其余3個數(shù)位上，有種選擇．由乘法原理，可以組成(個)不同的五位數(shù)。由加法原理，可以組成(個)不同的五位數(shù)。2.用0到9十個數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)；若將這些四位數(shù)按從小到大的順序排列，則5687是第幾個數(shù)？從高位到低位逐層分類：⑴千位上排，，或時，千位有種選擇，而百、十、個位可以從中除千位已確定的數(shù)字之外的個數(shù)字中選擇，因為數(shù)字不重復(fù)，也就是從個元素中取個的排列問題，所以百、十、個位可有(種)排列方式．由乘法原理，有(個)．⑵千位上排，百位上排時，千位有種選擇，百位有種選擇，十、個位可以從剩下的八個數(shù)字中選擇．也就是從個元素中取個的排列問題，即，由乘法原理，有(個)．⑶千位上排，百位上排，十位上排，，，，，時，個位也從剩下的七個數(shù)字中選擇，有(個)．⑷千位上排，百位上排，十位上排時，比小的數(shù)的個位可以選擇，，，，共個．綜上所述，比小的四位數(shù)有(個)，故比小是第個四位數(shù)．3.用1、2、3、4、5、6六張數(shù)字卡片，每次取三張卡片組成三位數(shù)，一共可以組成多少個不同的偶數(shù)？由于組成偶數(shù)，個位上的數(shù)應(yīng)從，，中選一張，有種選法；十位和百位上的數(shù)可以從剩下的張中選二張，有(種)選法．由乘法原理，一共可以組成(個)不同的偶數(shù)．4.五位同學(xué)扮成奧運會吉祥物福娃貝貝、晶晶、歡歡、迎迎和妮妮，排成一排表演節(jié)目。如果貝貝和妮妮不相鄰，共有（）種不同的排法。五位同學(xué)的排列方式共有5×4×3×2×1=120（種）。如果將相鄰的貝貝和妮妮看作一人，那么四人的排列方式共有4×3×2×1=24（種）。因為貝貝和妮妮可以交換位置，所以貝貝和妮妮相鄰的排列方式有24×2=48(種)；貝貝和妮妮不相鄰的排列方式有120-48=72（種）。5.由個不同的獨唱節(jié)目和個不同的合唱節(jié)目組成一臺晚會，要求任意兩個合唱節(jié)目不相鄰，開始和最后一個節(jié)目必須是合唱，則這臺晚會節(jié)目的編排方法共有多少種？先排獨唱節(jié)目，四個節(jié)目隨意排，是個元素全排列的問題，有種排法；其次在獨唱節(jié)目的首尾排合唱節(jié)目，有三個節(jié)目，兩個位置，也就是從三個節(jié)目選兩個進(jìn)行排列的問題，有(種)排法；再在獨唱節(jié)目之間的個位置中排一個合唱節(jié)目，有種排法．由乘法原理，一共有(種)不同的編排方法．B6.⑴從1，2，…，8中任取3個數(shù)組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，共有多少個？（只要求列式）⑵從8位候選人中任選三位分別任團(tuán)支書，組織委員，宣傳委員，共有多少種不同的選法？⑶3位同學(xué)坐8個座位，每個座位坐1人，共有幾種坐法？⑷8個人坐3個座位，每個座位坐1人，共有多少種坐法？⑸一火車站有8股車道，停放3列火車，有多少種不同的停放方法？⑹8種不同的菜籽，任選3種種在不同土質(zhì)的三塊土地上，有多少種不同的種法？⑴按順序，有百位、十位、個位三個位置，8個數(shù)字（8個元素）取出3個往上排，有種．⑵3種職務(wù)3個位置，從8位候選人（8個元素）任取3位往上排，有種．⑶3位同學(xué)看成是三個位置，任取8個座位號（8個元素）中的3個往上排（座號找人），每確定一種號碼即對應(yīng)一種坐法，有種．⑷3個坐位排號1，2，3三個位置，從8人中任取3個往上排（人找座位），有種．⑸3列火車編為1，2，3號，從8股車道中任取3股往上排，共有種．⑹土地編1，2，3號，從8種菜籽中任選3種往上排，有種。7.現(xiàn)有男同學(xué)3人，女同學(xué)4人(女同學(xué)中有一人叫王紅)，從中選出男女同學(xué)各2人，分別參加數(shù)學(xué)、英語、音樂、美術(shù)四個興趣小組：(1)共有多少種選法?(2)其中參加美術(shù)小組的是女同學(xué)的選法有多少種?(3)參加數(shù)學(xué)小組的不是女同學(xué)王紅的選法有多少種?(4)參加數(shù)學(xué)小組的不是女同學(xué)王紅，且參加美術(shù)小組的是女同學(xué)的選法有多少種?（1）從3個男同學(xué)中選出2人，有=3種選法。從4個女同學(xué)中選出2人，有=6種選法。在四個人確定的情況下，參加四個不同的小組有4×3×2×1=24種選法。3×6×24=432，所以共有432種選法。（2）在四個人確定的情況下，參加美術(shù)小組的是女同學(xué)時有2×3×2×1=12種選法。3×6×12=216，所以其中參加美術(shù)小組的是女同學(xué)的選法有216種。（3）考慮參加數(shù)學(xué)小組的是王紅時的選法，此時的問題相當(dāng)于從3個男同學(xué)中選出2人，從3個女同學(xué)中選出1人，3個人參加3個小組時的選法。3×3×3×2×1=54，所以參加數(shù)學(xué)小組的是王紅時的選法有54種，432-54=378，所以參加數(shù)學(xué)小組的不是女同學(xué)王紅的選法有378種。（4）考慮參加數(shù)學(xué)小組的是王紅且參加美術(shù)小組的是女同學(xué)時的選法，此時的問題相當(dāng)于從3個男同學(xué)中選出2人參加兩個不同的小組，從3個女同學(xué)中選出1人參加美術(shù)小組時的選法。3×2×3=18，所以參加數(shù)學(xué)小組的是王紅且參加美術(shù)小組的是女同學(xué)時的選法有18種，216-18=198，所以參加數(shù)學(xué)小組的不是女同學(xué)王紅，且參加美術(shù)小組的是女同學(xué)的選法有198種。8.某校舉行男生乒乓球比賽，比賽分成3個階段進(jìn)行，第一階段：將參加比賽的48名選手分成8個小組，每組6人，分別進(jìn)行單循環(huán)賽；第二階段：將8個小組產(chǎn)生的前2名共16人再分成個小組，每組人，分別進(jìn)行單循環(huán)賽；第三階段：由4個小組產(chǎn)生的個第名進(jìn)行場半決賽和場決賽，確定至名的名次．問：整個賽程一共需要進(jìn)行多少場比賽？第一階段中，每個小組內(nèi)部的個人每人要賽一場，組內(nèi)賽場，共個小組，有場；第二階段中，每個小組內(nèi)部人中每人賽一場，組內(nèi)賽場，共個小組，有場；第三階段賽場．根據(jù)加法原理，整個賽程一共有場比賽。9.由數(shù)字1，2，3組成五位數(shù)，要求這五位數(shù)中1，2，3至少各出現(xiàn)一次，那么這樣的五位數(shù)共有________個。(2007年“迎春杯”高年級組決賽)這是一道組合計數(shù)問題．由于題目中僅要求，，至少各出現(xiàn)一次，沒有確定，，出現(xiàn)的具體次數(shù)，所以可以采取分類枚舉的方法進(jìn)行統(tǒng)計，也可以從反面想，從由組成的五位數(shù)中，去掉僅有個或個數(shù)字組成的五位數(shù)即可．(法1)分兩類：⑴，，中恰有一個數(shù)字出現(xiàn)次，這樣的數(shù)有(個)；⑵，，中有兩個數(shù)字各出現(xiàn)次，這樣的數(shù)有(個)．符合題意的五位數(shù)共有(個)．(法2)從反面想，由，，組成的五位數(shù)共有個，由，，中的某個數(shù)字組成的五位數(shù)共有個，由，，中的某個數(shù)字組成的五位數(shù)共有個，所以符合題意的五位數(shù)共有(個)。10.個人圍成一圈，從中選出兩個不相鄰的人，共有多少種不同選法？(法1)乘法原理．按題意，分別站在每個人的立場上，當(dāng)自己被選中后，另一個被選中的，可以是除了自己和左右相鄰的兩人之外的所有人，每個人都有種選擇，總共就有種選擇，但是需要注意的是，選擇的過程中，會出現(xiàn)“選了甲、乙，選了乙、甲”這樣的情況本來是同一種選擇，而卻算作了兩種，所以最后的結(jié)果應(yīng)該是()(種)．(法2)排除法．可以從所有的兩人組合中排除掉相鄰的情況，總的組合數(shù)為，而被選的兩個人相鄰的情況有種，所以共有(種)。11.8個人站隊，冬冬必須站在小悅和阿奇的中間（不一定相鄰），小慧和大智不能相鄰，小光和大亮必須相鄰，滿足要求的站法一共有多少種？冬冬要站在小悅和阿奇的中間，就意味著只要為這三個人選定了三個位置，中間的位置就一定要留給冬冬，而兩邊的位置可以任意地分配給小悅和阿奇．小慧和大智不能相鄰的互補事件是小慧和大智必須相鄰小光和大亮必須相鄰，則可以將兩人捆綁考慮只滿足第一、三個條件的站法總數(shù)為：（種）同時滿足第一、三個條件，滿足小慧和大智必須相鄰的站法總數(shù)為：（種）因此同時滿足三個條件的站法總數(shù)為：（種）。C12.小明有10塊大白兔奶糖,從今天起,每天至少吃一塊.那么他一共有多少種不同的吃法?我們將10塊大白兔奶糖從左至右排成一列,如果在其中9個間隙中的某個位置插入“木棍”,則將lO塊糖分成了兩部分。我們記從左至右,第1部分是第1天吃的,第2部分是第2天吃的,…，如:○○○|○○○○○○○表示第一天吃了3粒,第二天吃了剩下的7粒：○○○○|○○○|○○○表示第一天吃了4粒,第二天吃了3粒,第三天吃了剩下的3粒．不難知曉,每一種插入方法對應(yīng)一種吃法,而9個間隙,每個間隙可以插人也可以不插入,且相互獨立，故共有29=512種不同的插入方法,即512種不同的吃法。13.小紅有10塊糖，每天至少吃1塊，7天吃完，她共有多少種不同的吃法？分三種情況來考慮：⑴當(dāng)小紅最多一天吃塊時，其余各每天吃塊，吃塊的這天可以是這七天里的任何一天，有種吃法；⑵當(dāng)小紅最多一天吃塊時，必有一天吃塊，其余五天每天吃塊，先選吃塊的那天，有種選擇，再選吃塊的那天，有種選擇，由乘法原理，有種吃法；⑶當(dāng)小紅最多一天吃塊時，必有三天每天吃塊，其四天每天吃塊，從天中選天，有(種)吃法。根據(jù)加法原理，小紅一共有(種)不同的吃法．還可以用擋板法來解這道題，塊糖有個空，選個空放擋板，有(種)不同的吃法。14.把20個蘋果分給3個小朋友，每人最少分3個，可以有多少種不同的分法？(法1)先給每人2個，還有14個蘋果，每人至少分一個，13個空插2個板，有種分法．(法2)也可以按分蘋果最多的人分的個數(shù)分類枚舉。15.有10粒糖，分三天吃完，每天至少吃一粒，共有多少種不同的吃法？如圖：○○|○○○○|○○○○，將10粒糖如下圖所示排成一排，這樣每兩顆之間共有9個空，從頭開始吃，若相鄰兩塊糖是分在兩天吃的，就在其間畫一條豎線隔開表示之前的糖和之后的糖不是在同一天吃掉的，九個空中畫兩條豎線，一共有種方法．16.某池塘中有三只游船，船可乘坐人，船可乘坐人，船可乘坐人，今有個成人和個兒童要分乘這些游船，為安全起見，有兒童乘坐的游船上必須至少有個成人陪同，那么他們?nèi)顺俗@三支游船的所有安全乘船方法共有多少種？由于有兒童乘坐的游船上必須至少有個成人陪同，所以兒童不能乘坐船．⑴若這人都不乘坐船，則恰好坐滿兩船，①若兩個兒童在同一條船上，只能在船上，此時船上還必須有個成人，有種方法；②若兩個兒童不在同一條船上，即分別在兩船上，則船上有個兒童和個成人，個兒童有種選擇，個成人有種選擇，所以有種方法．故人都不乘坐船有種安全方法；⑵若這人中有人乘坐船，這個人必定是個成人，有種選擇．其余的個成人與個兒童，①若兩個兒童在同一條船上，只能在船上，此時船上還必須有個成人，有種方法，所以此時有種方法；②若兩個兒童不在同一條船上，那么船上有個兒童和個成人，此時個兒童和個成人均有種選擇，所以此種情況下有種方法；故人中有人乘坐船有種安全方法．所以，共有種安全乘法．17.從名男生，名女生中選出人參加游泳比賽．在下列條件下，分別有多少種選法？

⑴恰有名女生入選；⑵至少有兩名女生入選；⑶某兩名女生，某兩名男生必須入選；

⑷某兩名女生，某兩名男生不能同時入選；⑸某兩名女生，某兩名男生最多入選兩人。⑴恰有名女生入選，說明男生有人入選，應(yīng)為種；⑵要求至少兩名女生人選，那么“只有一名女生入選”和“沒有女生入選”都不符合要求．運用包含與排除的方法，從所有可能的選法中減去不符合要求的情況：；⑶人必須入選，則從剩下的人中再選出另外人，有種；⑷從所有的選法種中減去這個人同時入選的種：．⑸分三類情況：人無人入選；人僅有人入選；人中有人入選，共：。18.在6名內(nèi)科醫(yī)生和4名外科醫(yī)生中，內(nèi)科主任和外科主任各一名，現(xiàn)要組成5人醫(yī)療小組送醫(yī)下鄉(xiāng)，按照下列條件各有多少種選派方法？

⑴有3名內(nèi)科醫(yī)生和2名外科醫(yī)生；

⑵既有內(nèi)科醫(yī)生，又有外科醫(yī)生；

⑶至少有一名主任參加；

⑷既有主任，又有外科醫(yī)生。⑴先從名內(nèi)科醫(yī)生中選名，有種選法；再從名外科醫(yī)生中選名，共有種選法．根據(jù)乘法原理，一共有選派方法種．⑵用“去雜法”較方便，先考慮從名醫(yī)生中任意選派人，有種選派方法；再考慮只有外科醫(yī)生或只有內(nèi)科醫(yī)生的情況．由于外科醫(yī)生只有人，所以不可能只派外科醫(yī)生．如果只派內(nèi)科醫(yī)生，有種選派方法．所以，一共有種既有內(nèi)科醫(yī)生又有外科醫(yī)生的選派方法。⑶如果選名主任，則不是主任的名醫(yī)生要選人，有種選派方法；如果選名主任，則不是主任的名醫(yī)生要選人，有種選派方法．根據(jù)加法原理，一共有種選派方法．⑷分兩類討論：①若選外科主任，則其余人可任意選取，有種選取方法；②若不選外科主任，則必選內(nèi)科主任，且剩余人不能全選內(nèi)科醫(yī)生，用“去雜法”有種選取法．根據(jù)加法原理，一共有種選派方法。19.在10名學(xué)生中，有5人會裝電腦，有3人會安裝音響設(shè)備，其余2人既會安裝電腦，又會安裝音響設(shè)備，今選派由人組成的安裝小組，組內(nèi)安裝電腦要人，安裝音響設(shè)備要人，共有多少種不同的選人方案？按具有雙項技術(shù)的學(xué)生分類：⑴兩人都不選派，有(種)選派方法；⑵兩人中選派人，有種選法．而針對此人的任務(wù)又分兩類：若此人要安裝電腦，則還需人安裝電腦，有(種)選法，而另外會安裝音響設(shè)備的人全選派上，只有種選法．由乘法原理，有(種)選法；若此人安裝音響設(shè)備，則還需從人中選人安裝音響設(shè)備，有(種)選法，需從人中選人安裝電腦，有(種)選法．由乘法原理，有(種)選法．根據(jù)加法原理，有(種)選法；綜上所述，一共有(種)選派方法．⑶兩人全派，針對兩人的任務(wù)可分類討論如下：①兩人全安裝電腦，則還需要從人中選人安裝電腦，另外會安裝音響設(shè)備的人全選上安裝音響設(shè)備，有(種)選派方案；②兩人一個安裝電腦，一個安裝音響設(shè)備，有(種)選派方案；③兩人全安裝音響設(shè)備，有(種)選派方案．根據(jù)加法原理，共有(種)選派方案．綜合以上所述，符合條件的方案一共有(種)．20.有11名外語翻譯人員，其中名是英語翻譯員，名是日語翻譯員，另外兩名英語、日語都精通．從中找出人，使他們組成兩個翻譯小組，其中人翻譯英文，另人翻譯日文，這兩個小組能同時工作．問這樣的分配名單共可以開出多少張？針對兩名英語、日語都精通人員(以下稱多面手)的參考情況分成三類：⑴多面手不參加，則需從名英語翻譯員中選出人，有種選擇，需從名日語翻譯員中選出人，有種選擇．由乘法原理，有種選擇．⑵多面手中有一人入選，有種選擇，而選出的這個人又有參加英文或日文翻譯兩種可能：如果參加英文翻譯，則需從名英語翻譯員中再選出人，有種選擇，需從名日語翻譯員中選出人，有種選擇．由乘法原理，有種選擇；如果參加日文翻譯，則需從名英語翻譯員中選出人，有種選擇，需從名日語翻譯員中再選出名，有種選擇．由乘法原理，有種選擇．根據(jù)加法原理，多面手中有一人入選，有種選擇．⑶多面手中兩人均入選，對應(yīng)一種選擇，但此時又分三種情況：①兩人都譯英文；②兩人都譯日文；③兩人各譯一個語種．情況①中，還需從名英語翻譯員中選出人，有種選擇．需從名日語翻譯員中選人，種選擇．由乘法原理，有種選擇．情況②中，需從名英語翻譯員中選出人，有種選擇．還需從名日語翻譯員中選出人，有種選擇．根據(jù)乘法原理，共有種選擇．情況③中，兩人各譯一個語種，有兩種安排即兩種選擇．剩下的需從名英語翻譯員中選出人，有種選擇，需從名日語翻譯員中選出人，有種選擇．由乘法原理，有種選擇．根據(jù)加法原理，多面手中兩人均入選，一共有種選擇．綜上所述，由加法原理，這樣的分配名單共可以開出張．千位數(shù)字與十位數(shù)字之差為2（大減?。也缓貜?fù)數(shù)字的四位數(shù)有多少個？解答：=15×56=840（個）恰有兩位數(shù)字相同的三位數(shù)共有多少個？解答：9×10×10－9－（＋2×）＝243（個）計算三位數(shù)字各不相同的三位數(shù)時，我們是把“不包含0”、“包含0”兩類情況分別計算得到的，共有＋2×＝648個。我們也可以利用分步計數(shù)原理來進(jìn)行計算，同樣得到：9×9×8＝648個。恰有兩位數(shù)字相同的三位數(shù)共有243個某管理員忘記了自己小保險柜的密碼數(shù)字，只記得是由四個非0數(shù)碼組成，且四個數(shù)碼之和是9。為確保打開保險柜，至少要試多少次？解答：＋＋＋＋＋＝56（次）為確保打開保險柜，至少要試56次從3，5，7，11這四個質(zhì)數(shù)中任取兩個數(shù)相乘，可以得到多少個不同的乘積？解答：故可以組成6個不同的乘積。平面內(nèi)有7個點，任何3點都不在同一條直線上，以每三點為頂點畫一個三角形，一共可以畫多少個三角形？解答：（個）故可以畫出35個三角形。甲、乙、丙、丁四人各有一個作業(yè)本混放在一起，四人每人隨便拿了一本。問：甲拿到自己作業(yè)本的拿法有多少種？（2）至少有一人沒拿到自己作業(yè)本的拿法有多少種？解答：甲拿到自己的作業(yè)本，剩下乙、丙、丁和3本作業(yè)本，拿法沒有限制，等價于一個全排列。甲拿到自己作業(yè)本的拿法有：（種）用包含與排除的方法，先求出總的拿法，再減去其中所有人都拿到了自己的作業(yè)本的情況。這樣的拿法有（種）書架上有4本不同的漫畫書，5本不同的童話書，3本不同的故事書，全部豎起排成一排，如果同類型的書不要分開，一共有多少種排法？解答：每種書內(nèi)部任意排序，分別有，，種排法，然后再排三種類型的順序，有種排法，整個過程分4步完成。＝4×3×2×1×5×4×3×2×1×3×2×1×3×2×1＝103680（種）一共有103680種不同排法。用數(shù)字1、2、3、4、5、6可以組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的：①三位偶數(shù)；②四位數(shù)；③個位是6的五位數(shù)；④尾數(shù)不是25的六位數(shù)。解答：①三位偶數(shù)：個位只有2、4、6個數(shù)字可選，即。個位確定后，還剩下5個數(shù)字，可以作為十位和百位，即。②四位數(shù)：從6個數(shù)字中選出4個，作為四位數(shù)的千位、百位、十位、個位。排列順序不同，所代表的四位數(shù)就不同。③個位是6的五位數(shù)：題目等價于“用1、2、3、4、5組成無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)”。④尾數(shù)不是25的六位數(shù)：運用包含與排除的方法，從所有的可能情況中減掉尾數(shù)是25的。①（個）。②（個）。③（個）。④（個）。用數(shù)碼0，1，2，3，4，可以組成多少個小于1000的沒有重復(fù)數(shù)字的自然數(shù)？解答：小于1000的自然數(shù)包括一位數(shù)、兩位數(shù)、三位數(shù)，可以分類計算。注意“0”是自然數(shù)，且不能作兩位數(shù)、三位數(shù)的首項。5＋