2022-2023學(xué)年四川省成都重點(diǎn)中學(xué)高一下期中數(shù)學(xué)試卷含解析

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一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）

1.()

A.B.C.D.

2.下列命題中正確的()

A.若，則B.若，則

C.若，則D.，，則

3.函數(shù)在區(qū)間的圖象大致為()

A.B.

C.D.

4.若，，則等于()

A.B.C.D.

5.我國(guó)古代數(shù)學(xué)家僧一行應(yīng)用“九服晷影算法”在大衍歷中建立了晷影長(zhǎng)與太陽(yáng)天頂距的對(duì)應(yīng)數(shù)表，這是世界數(shù)學(xué)史上較早的一張正切函數(shù)表，根據(jù)三角學(xué)知識(shí)可知，晷影長(zhǎng)度等于表高與太陽(yáng)天頂距正切值的乘積，即對(duì)同一“表高”兩次測(cè)量，第一次和第二次太陽(yáng)天頂距分別為，，且，若第二次的“晷影長(zhǎng)”與“表高”相等，則第一次的“晷影長(zhǎng)”是“表高”的()

A.倍B.倍C.倍D.倍

6.已知曲線(xiàn)，：，則下面結(jié)論正確的是()

A.把上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線(xiàn)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到曲線(xiàn)

B.把上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線(xiàn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到曲線(xiàn)

C.把上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線(xiàn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到曲線(xiàn)

D.把上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線(xiàn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到曲線(xiàn)

7.如圖，一圓形摩天輪的直徑為米，圓心到水平地面的距離為米，最上端的點(diǎn)記為現(xiàn)在摩天輪開(kāi)始逆時(shí)針?lè)较騽蛩俎D(zhuǎn)動(dòng)，分鐘轉(zhuǎn)一圈，以摩天輪的中心為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，摩天輪從開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng)一圈，點(diǎn)距離水平地面的高度不超過(guò)米的時(shí)間為()

A.分鐘

B.分鐘

C.分鐘

D.分鐘

8.若，則()

A.B.C.D.

二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項(xiàng)符合題目要求）

9.計(jì)算下列各式，結(jié)果為的是()

A.B.

C.D.

10.已知函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖所示，其中圖象最高點(diǎn)、最低點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為、，圖象在軸上的截距為則下列結(jié)論正確的是()

A.的最小正周期為B.的最大值為

C.在區(qū)間上單調(diào)遞增D.為偶函數(shù)

11.在中，，，則的大小不可能為()

A.B.C.D.

12.已知函數(shù)，則()

A.的圖像關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)B.的最小正周期是

C.在上單調(diào)遞減D.在上的最小值是

三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）

13.已知非零向量，滿(mǎn)足，則______．

14.______．

15.在中，，則的取值范圍是______．

16.設(shè)，函數(shù)，若在區(qū)間內(nèi)恰有個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是______．

四、解答題（本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）

17.本小題分

設(shè)函數(shù)．

求的值；

求不等式的解集．

18.本小題分

如圖，在中，，設(shè)，．

Ⅰ用，表示，；

Ⅱ若為內(nèi)部一點(diǎn)，且求證：，，三點(diǎn)共線(xiàn)．

19.本小題分

已知，，且滿(mǎn)足．

證明：；

求的最大值．

20.本小題分

已知，，且，．

求和；

求的大?。?/p>

21.本小題分

如圖有一塊半徑為，圓心角為的扇形鐵皮，是圓弧上一點(diǎn)不包括，，點(diǎn)，分別半徑，上．

若四邊形為矩形，求其面積最大值；

若和均為直角三角形，求它們面積之和的取值范圍．

22.本小題分

已知函數(shù)，圖象上相鄰的最高點(diǎn)與最低點(diǎn)的橫坐標(biāo)相差；_______；

的一條對(duì)稱(chēng)軸且；

的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心且在上單調(diào)遞減；

向左平移個(gè)單位得到圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)且．

從以上三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在上面空白橫線(xiàn)中，然后確定函數(shù)的解析式；

在的情況下，令若存在使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

答案和解析

1.【答案】

【解析】

【分析】

本題考查二倍角正弦公式，屬于基礎(chǔ)題．

由正弦的二倍角公式變形即可解之．

【解答】

解：因?yàn)椋?/p>

所以．

故選：．

2.【答案】

【解析】解：若，但兩個(gè)向量的方向不確定，故不一定成立，故A不正確；

若，則兩個(gè)向量同向，故成立，故B正確；

向量無(wú)法比較大小，故C中不正確；

中若，不一定成立，故D不正確；

故選：．

根據(jù)向量相等的定義可判斷與的真假，根據(jù)向量不能比較大小，可判斷的真假；根據(jù)向量判斷的真假．

本題以命題的真假判斷為載體考查了向量的基本概念，其中熟練掌握向量相等的定義及向量的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．

3.【答案】

【解析】

【分析】

本題考查函數(shù)的奇偶性以及函數(shù)的圖象的判斷，是中檔題．

判斷函數(shù)的奇偶性，結(jié)合函數(shù)的特殊值判斷點(diǎn)的位置，推出選項(xiàng)即可．

【解答】

解：函數(shù)，

則，

所以函數(shù)是奇函數(shù)，排除選項(xiàng)C和，

當(dāng)時(shí)，，排除選項(xiàng)A，

所以函數(shù)在區(qū)間的圖象大致為選項(xiàng)B中的圖象，

故選B．

4.【答案】

【解析】解：，，

故，

，

故．

故選：．

確定，，，解得答案．

本題主要考查了二倍角公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．

5.【答案】

【解析】解：依題意，，則，

所以第一次的“晷影長(zhǎng)”是“表高”的倍．

故選：．

根據(jù)給定條件，可得，再利用和角的正切公式計(jì)算作答．

本題主要考查了兩角和與差的正切公式，屬于基礎(chǔ)題．

6.【答案】

【解析】解：把上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線(xiàn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到曲線(xiàn)．

故選：．

直接利用三角函數(shù)的關(guān)系式的平移變換和伸縮變換求出結(jié)果．

本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：三角函數(shù)的關(guān)系式的平移變換和伸縮變換，主要考查學(xué)生的理解能力和計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題和易錯(cuò)題．

7.【答案】

【解析】解：由題意知，，所以，

所以距離水平地面的高度為，，

令，

即，

所以，

解得，

所以距離水平地面的高度不超過(guò)米的時(shí)間為．

故選：．

寫(xiě)出距離水平地面的高度，，解不等式即可．

本題考查了三角函數(shù)模型應(yīng)用問(wèn)題，也考查了運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．

8.【答案】

【解析】解：由題得，

所以，即，即，顯然，故．

故選：．

將與展開(kāi)并用和差公式化簡(jiǎn)得，從而求得值．

本題主要考查兩角與差的三角函數(shù)，屬于基礎(chǔ)題．

9.【答案】

【解析】解：對(duì)于，，A正確；

對(duì)于，，B錯(cuò)誤；

對(duì)于，原式，C錯(cuò)誤；

對(duì)于，原式，正確．

故選：．

對(duì)于，利用輔助角的正弦公式及特殊角的三角函數(shù)值即可求解判斷；

對(duì)于，利用二倍角公式及特殊角的三角函數(shù)值即可求解判斷；

對(duì)于，利用二倍角的正切公式及特殊角的三角函數(shù)值即可求解判斷；

對(duì)于，利用兩角和的正切公式及特殊角的三角函數(shù)值即可求解判斷．

本題主要考查了二倍角公式及兩角和的正切公式在三角函數(shù)求值中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．

10.【答案】

【解析】

【分析】

本題考查利用三角函數(shù)圖像求解函數(shù)解析式，考查函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查函數(shù)的周期性，對(duì)稱(chēng)性和三角函數(shù)的最值，屬于基礎(chǔ)題．

根據(jù)函數(shù)的部分圖象求出函數(shù)的解析式，再根據(jù)函數(shù)解析式判斷四個(gè)結(jié)論即可得解．

【解答】

解：由圖知，的最小正周期，錯(cuò)；

則由，則，得．

由，得，則，所以，故最大值為，對(duì)；

當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增，對(duì)；

因?yàn)椋?/p>

則不是偶函數(shù)，錯(cuò)．

故選BC．

11.【答案】

【解析】解：由，，

得：，

化簡(jiǎn)得：，

即，

又，

的大小為或，

若，得到，則，所以，

與矛盾，所以，

滿(mǎn)足題意的的值為．

則的大小為．

故選：．

已知兩等式兩邊分別平方，相加后利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系化簡(jiǎn)，求出的值，即可確定出的度數(shù)．

此題考查了余弦定理，以及同角三角函數(shù)間基本關(guān)系的運(yùn)用，熟練掌握余弦定理是解本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．

12.【答案】

【解析】解：選項(xiàng)A：，所以的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，A正確；

選項(xiàng)B：，，

因此不是的周期，錯(cuò)；

選項(xiàng)C：時(shí)，，則，且，

根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)可得在此區(qū)間上遞減，C正確；

選項(xiàng)D：時(shí)，由以上討論知，時(shí)，

，錯(cuò)．

故選：．

根據(jù)對(duì)稱(chēng)性的定義和周期性定義判斷，由絕對(duì)值定義去掉絕對(duì)值符號(hào)化簡(jiǎn)函數(shù)式，結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)判斷．

本題考查了三角函數(shù)的圖象性質(zhì)，考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．

13.【答案】

【解析】解：，

，

故，

，

故．

故答案為：．

根據(jù)得到，再計(jì)算得到答案．

本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．

14.【答案】

【解析】解：

，

故答案為：．

由兩角和的正弦公式求解即可．

本題考查了兩角和的正弦公式，屬基礎(chǔ)題．

15.【答案】

【解析】解：，故，，，

故，故

故．

故答案為：．

，得到，根據(jù)得到答案．

本題主要考查正弦定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．

16.【答案】

【解析】解：，

當(dāng)時(shí)，，的周期是，

因?yàn)?，?/p>

所以在區(qū)間上，最多有個(gè)零點(diǎn)，

在區(qū)間上，最多有個(gè)零點(diǎn)，

因此時(shí)，在區(qū)間內(nèi)不可能是個(gè)零點(diǎn)，

因此，的兩根為，，

因?yàn)椋?/p>

所以，

若，則，

在上有兩個(gè)零點(diǎn)，

因此在上有個(gè)零點(diǎn)，

，，

因此，，

所以；

當(dāng)時(shí)，，

在區(qū)間上只有一個(gè)零點(diǎn)，

因此在區(qū)間上有個(gè)零點(diǎn)，即在上有個(gè)零點(diǎn)，

所以，，

綜上，的取值范圍是．

故答案為：．

討論在上零點(diǎn)個(gè)數(shù)，從而確定在上零點(diǎn)個(gè)數(shù)，然后結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)可得參數(shù)范圍．

本題考查函數(shù)零點(diǎn)與方程根的關(guān)系，關(guān)鍵指出是討論的一個(gè)實(shí)數(shù)根是否在的范圍內(nèi)，需要分類(lèi)討論，然后給出另外一段函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，利用數(shù)形結(jié)合得到范圍，屬于中檔題．

17.【答案】解：，；

，故，

解得，

即不等式的解集為．

【解析】直接代入數(shù)據(jù)根據(jù)和差公式計(jì)算即可；

根據(jù)不等式得到，解得答案．

本題主要考查了正切函數(shù)的性質(zhì)，考查了兩角差的正切函數(shù)公式，屬于中檔題．

18.【答案】解：Ⅰ在中，，設(shè)，．

；

；

證明：Ⅱ因?yàn)闉閮?nèi)部一點(diǎn)，且．

則，

所以與共線(xiàn)且有公共點(diǎn)，

所以，，三點(diǎn)共線(xiàn)．

【解析】由已知結(jié)合向量的線(xiàn)性表示即可求解；

Ⅱ由已知只要證明與共線(xiàn)，結(jié)合向量的線(xiàn)性表示及向量共線(xiàn)定理即可證明．

本題主要考查了向量的線(xiàn)性表示及向量共線(xiàn)定理，屬于中檔題．

19.【答案】證明：由已知，，

；

解：，則，，

由得

，

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，

所以的最大值是．

【解析】由兩角和的余弦公式展開(kāi)后變形，再由商數(shù)關(guān)系可證；

由利用平方關(guān)系化右側(cè)為關(guān)于，的二次齊次式，再弦化切，然后利用基本不等式得最大值．

本題主要考查三角恒等變換，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．

20.【答案】解：因?yàn)椋?/p>

所以，，

所以，

所以；；

因?yàn)?，?/p>

所以，，

又，故，，，

故，，

故，，

，

因?yàn)?，?/p>

故，

故．

【解析】確定，根據(jù)二倍角公式和同角三角函數(shù)關(guān)系得到答案．

根據(jù)函數(shù)的值確定，，，變換，展開(kāi)計(jì)算得到，得到答案．

本題主要考查了二倍角公式的應(yīng)用，考查了同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，以及兩角和與差的三角函數(shù)公式，屬于中檔題．

21.【答案】解：連接，如圖，令，

因四邊形為矩形，則，，

于是得矩形的面積，

而，

則當(dāng)，即時(shí)，取最大值，

所以的最大值為，

所以矩形面積最大值為；

由知，，，

則，，和的面積和：，

令，即，

而，則，，

則，

顯然在上單調(diào)遞減，

當(dāng)，即時(shí)，，

而，因此，，

所以和的面積和的取值范圍是．

【解析】連接，令，用表示出矩形的面積，再借助三角函數(shù)計(jì)算作答；

利用中信息，用表示出和的面積和，再換元變形結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)計(jì)算作答．

本題考查三角函數(shù)的應(yīng)用，以及三角恒等變換，屬中檔題．

22.【答案】解：由題意可知，函數(shù)的最小正周期為，

所以，

若選：

因?yàn)楹瘮?shù)的一條對(duì)稱(chēng)軸，

則，解得，

又因?yàn)椋裕?/p>

若，則，

所以，不符合題意；

若，則，

所以，符合題意．

綜上所述，；

若選：

因?yàn)楹瘮?shù)的的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心，

則，解得，

因?yàn)?，所以?/p>

若，則，

當(dāng)時(shí)，，

此時(shí)在區(qū)間上單調(diào)遞增，不符合題意；

若，則，

當(dāng)時(shí)，，

此時(shí)在區(qū)間上單調(diào)遞減，符合題意．

綜上所述，；

若選：

將函數(shù)向左平移個(gè)單位得到圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，

所得函數(shù)為，

由于所得函數(shù)圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，

所以，解得，

因?yàn)?，所以?/p>

若，則，

所以，不符合題意；

若，則，

所以，符合題意．

綜上所述，；

由可知，，

則，

當(dāng)時(shí)，，則，

所以，

故，

則，

因?yàn)椋裕?/p>

則，

由恒成立，可得恒成立，

即恒成立，

由基本不等式可得，，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，

故，

所以實(shí)數(shù)的取值范圍為．

【解析】先求出函數(shù)的周期，由周期的計(jì)算公式求出的值，

若選：利用正弦函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸方程，求出的值，然后分情況，分別驗(yàn)證是否符合題意，即可得到答案；

若選：利用正弦函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心，求出的值，然后分情況，分別驗(yàn)