排列組合題型方法總結(jié)

排列與組合一、考綱解讀（1）理解排列、組合的概念。（2）能利用計數(shù)原理推導(dǎo)排列數(shù)公式、組合數(shù)公式。（3）能解決簡單的實際問題。?？碱}型：選擇、填空、分布列。占分比重：5分—10分二、考點梳理（命題特點）&考試趨勢2.1.全面考察，重點突出。2.2.發(fā)展數(shù)學(xué)思維，提高數(shù)學(xué)能力。2.3.貼近生活，關(guān)注熱點問題。三、題型講解3.1解題技巧歸納3.1.1歸納1、相鄰問題捆綁法例1、6名同學(xué)排成一排，其中甲、乙兩人必須在一起的不同排法共有（）。A、720種B、360種C、240種D、120種答案：C解析：因甲、乙兩人要排在一起，故將甲、乙兩人“捆”在一起視作一個人，與其余四人全排列共有A55種方法，但甲、乙兩人之間的排列有A22種方法。由分布乘法計數(shù)原理可知：共有【注意事項】n個不同元素排列時，若要求其中指定的m個元素相鄰，則有（n-m+1）！m!種不同的排列方法。3.1.2歸納2、不相鄰問題插空法例1、6人站成一排，甲、乙、丙任何兩人都不相鄰的排法共有（）種。A、A33·A44B、A33·A43答案：B解析：第一步，除甲、乙、丙外，其他3個人的排法有A33種；第二步，3個人共形成4個空，讓甲、乙、丙3個人在這4個空中任選3個進行排列，其排法有A43種。由分布乘法計數(shù)原理，得共有3.1.3歸納3、錯排問題窮舉法例1、a，b，c，d排成一行，a不排第一，b不排第二，c不排第三，d不排第四的排法有多少種？答案：9種解析：按照題目的要求，采用畫樹狀圖的方式可逐個排出所有的結(jié)果，如圖所示：bbacdddacacdacbcabbacaddbabba所以符合題意的排法有9種?！咀⒁馐马棥?個元素錯排有2種方法。4個元素錯排有9種方法，必須要記住。3.1.4歸納4、定序問題例1、某班級新年聯(lián)歡會原定的5個節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了兩個新節(jié)目，如果將這兩個新節(jié)目插入原節(jié)目單中，那么不同插法的種數(shù)為（）.A、42B、30C、20D、12答案：A解析：方法一、當(dāng)新增加的兩個節(jié)目相鄰時，有12種方法；當(dāng)新增加的兩個節(jié)目不相鄰時，有A6方法二、新增加的節(jié)目分別記為甲、乙，要完成這一事件，可分成兩步：第一步把甲插入，共有6種方法；第二步把乙插入，共有7種方法。應(yīng)用分步乘法計數(shù)原理可知共有6×7=42種方法。方法三、當(dāng)7個節(jié)目進行全排列時，共有A77種方法，而原有的5個節(jié)目全排列時共有A53.1.5歸納5、分組問題與分配問題例1、從5名男公務(wù)員和4名女公務(wù)員中選出3人，分別派到西部的三個不同地區(qū)，要求3人中既有男公務(wù)員又有女公務(wù)員，則不同的選派方法種數(shù)是多少？答案：420解析：由題意，從5名男公務(wù)員和4名女公務(wù)員中選出3人，有C93種。其中只有男公務(wù)員的選法有C5所以既有男公務(wù)員又有女公務(wù)員的選法有（C93-C5再分別派到西部的三個不同地區(qū)，則共有A33（C93-例2、六本不同的書，按照以下要求處理，各有多少種分發(fā)？（1）一堆一本，一堆兩本，一對三本；（2）分給甲、乙、丙三人，甲得一本，乙得兩本，丙得三本；（3）分給甲、乙、丙三人，一人得一本，一人得兩本，一人得三本；（4）平均分給甲、乙、丙三人，每人兩本；（5）平均分成三堆，每堆兩本；（6）分給甲、乙、丙、丁四個人，每人至少一本。答案：（1）60種；（2）60種；（3）360種；（4）90種；（5）15種；（6）1560解析：（1）先在六本書中任取一本，作為一堆，有C61種取法；再從余下的五本書中任取兩本，作為一堆，有C52種取法；最后從余下的三本書中取三本，作為一堆，有C33種取法，故共有（2）由（1）知，分成三堆的方法有C61·C52·C33=60種，而每種分組方法就對應(yīng)一種甲得一本，乙得兩本，丙得三本的分配方法。故甲得一本，乙得兩本，丙得三本的分法應(yīng)為（3）由（1）知，分成三堆的方法有C61·C52·C33=60種，但每一種分組方法又有A33種不同的分配方案，故一人得一本，一人得兩本，一人得三本的分法有（4）三個人一個一個地來取書，甲從六本不同的書中任取兩本的方法有C62種；甲不論用哪一種方法取得兩本書后，乙再從余下的四本書中任取兩本有C42種方法；而甲、乙不論用哪一種方法各取得兩本書后，丙再從余下的兩本書中取兩本書，有C22種方法，所以一共有（5）把六本不同的書平均分成三堆，每堆兩本與把六本不同的書分給甲、乙、丙三人，每人兩本的區(qū)別在于后者相當(dāng)于把六本不同的書平均分成三堆后再把每次分得的三堆書分給甲、乙、丙三人。因此設(shè)把六本不同的書平均分成三堆的方法有x種，那么把六本不同的書分給甲、乙、丙三人，每人兩本應(yīng)該有x·A33種。由（4）知，把六本不同的書分給甲、乙、丙三人，每人兩本的方法有C62·C42·C22種，所以x·X=C6（6）先把六本不同的書分成四組，每組至少一本的分法有兩種。①有一組3本，其余三組每組1本，不同的分法有C6③有兩組每組2本，其余兩組每組1本，不同的分法共有C62C所以不同的分組方法共有20+45=65種。然后把分好的4組書分給4個人，所以不同的分法有65×A4【注意事項】（1）對于整體均分，解題時要注意分組后，不管順序如何，都是一種情況，所以分組后一定要除以An（2）對于部分均分，解題時注意重復(fù)的次數(shù)是均勻分組的階乘數(shù)，即若有m組元素個數(shù)相等，則分組時應(yīng)除以m！，一個分組過程中有幾個這樣的均勻分組就要除以幾個這樣的全排列數(shù)。（3）對于不等分組，只需先分組，后排列，注意分組時任何組中元素的個數(shù)都不想等，所以不需要除以全排列數(shù)。3.1.6歸納6、相同元素優(yōu)先滿足題設(shè)法例1、某中學(xué)準備組建一個18人的足球隊，這18人由高一年級10個班的學(xué)生組成，每個班至少一個名額，分配方案共有多少種？答案：24130解析：取18枚棋子排成一行，每個棋子代表一個班級，在相鄰的兩枚棋子形成的17個間隙中選取9個插入擋板，將18枚棋子分隔成10個區(qū)間，第i（0≤i≤10）個區(qū)間的棋子數(shù)對應(yīng)第i個班級的學(xué)生名額，因此，名額分配方案總數(shù)與插入擋板的方法數(shù)相等。因為插入擋板的方法數(shù)為C179，故名額分配方案共有例2、某中學(xué)準備組建一個18人的足球隊，這18人由高一年級10個班的學(xué)生組成，學(xué)生班級分配方法有多少種？答案：C28解析：這題和上題唯一的區(qū)別是沒有了“每個班至少一個名額”這個限制條件，也就是有的班級可能分配多個名額，有的班級沒有名額。對于這種情況，我們可以在分配之前先“借”給每個班1個名額，保證每個班至少有一個名額，這個時候“借”出去的10個名額再加上原先的18個名額總共就有28個名額。同樣的取28枚棋子排成一行，在相鄰的每兩枚棋子形成的27個間隙中選取9個插入擋板，將這28枚棋子分隔成10個區(qū)間第i（0≤i≤10）個區(qū)間的棋子數(shù)對應(yīng)第i個班級的學(xué)生名額，這樣的插入擋板的方法有C289種，這樣也保證了每班至少一個名額，因為之前“借”給每個班一個名額，現(xiàn)在每個班級需要“還”回一個名額，比如之前28個名額分到3個名額班級其實就分到了18個名額中的2個名額，之前分到1個名額的班級其實就是沒有分到名額的班級，所以并不是每個班都至少分到一個名額，滿足題意。所以該題的分配方法有3.1.7歸納7、涂色問題654123例1、如圖某城市在中心廣場建造一個花圃，花圃分為6個部分?，F(xiàn)要栽種4種不同顏色的花，每部分栽種一種且相鄰部分不能栽種同樣顏色的花，那么不同的栽種方法有多少種？答案：120種解析：將此類問題看成涂色問題，涂不同顏色代表不同顏色的花，區(qū)域2，5不相鄰，取區(qū)域2，5作為討論對象。（1）若區(qū)域2，5同色，則區(qū)域3，5一定不同色，先涂區(qū)域5有4種方法，涂區(qū)域2有1種方法，涂區(qū)域6有2種方法，涂區(qū)域3有2種方法，涂區(qū)域4有1種方法，即有4×1×3×2×2×1=48種方法。（2）若區(qū)域2，5不同色。①區(qū)域3，5同色：先涂區(qū)域5有4種方法，涂區(qū)域2有3種方法，涂區(qū)域1有2種方法，涂區(qū)域6有1種方法，涂區(qū)域3有1種方法，涂區(qū)域4有2種方法，即有4×3×2×1×1×2=48種方法；②區(qū)域3，5不同色：先涂區(qū)域5有4種方法，涂區(qū)域2有3種方法，涂區(qū)域1有2種方法，涂區(qū)域6有1種方法，涂區(qū)域3有1種方法，涂區(qū)域4有一種方法，即有4×3×2×1×1×1=24種方法。綜上，共有48+48+24=120種方法?！咀⒁馐马棥堪词录l(fā)生的效果進行分類，按事件發(fā)生的過程進行分步。3.1.8歸納8、特殊元素（位置）優(yōu)先考慮例1、6位選手依次演講，其中選手甲不在第一個也不在最后一個，則不同的演講次序共有（）。A、240種B、360種C、480種D、720種答案：C解析：利用特殊元素優(yōu)先安排原則分布完成得到結(jié)論。甲先安排在除開始與結(jié)尾的位置有C41種不同的排法，剩余的選手進行全排列有A55種不同的排法，故不同的演講次序共有例2、將5輛列車停在5條不同的軌道上，其中A列車不停在第一軌道上，B列車不停在第二軌道上，那么不同的停放方法有（）.A、120種B、96種C、78種D、72種答案：C解析：A列車和B列車是特殊元素，優(yōu)先考慮，分兩種情況。①A列車停在第二軌道上，那么剩下的4輛列車可以進行全排列則有A4②A列車不停在第二軌道上，在剩下的三條軌道任選一條軌道讓A列車停放，有C31種方法，接下來安排B列車，供B列車停放的軌道除去第二條和A列車停放的軌道還有3條軌道，任選一條有C31種方法，剩下三輛列車三條軌道全排列有A33種方法，所以這種情況下共有所以共有24+54=78種停放方法。3.1.9歸納9、先選后排與先分組后排列當(dāng)元素之間互不相同，且元素個數(shù)與位置個數(shù)不一致時，往往用先選后排或先分組后排列的解題策略。例1、某校安排5個班到4個工廠進行社會實踐，每個班去一個工廠，每個工廠至少安排一個班，則不同的安排方法共有多少種？答案：240種解析：本題中元素個數(shù)是5，位置的個數(shù)是4，所以本題的入手點是先將5個元素分成4組，而從效果來看只有一類5=1+1+1+2，所以要完成分組，有C52種方法，然后將4組元素在4個位置上進行全排列，即有C5【注意事項】元素個數(shù)大于位置個數(shù)，且所有元素都參與排列，所以需先分組在排列。例2、小張同學(xué)計劃在期末考試結(jié)束后，和其他小伙伴一塊兒外出旅游，增長見識。旅行社為他們提供了省內(nèi)的都江堰、峨眉山九寨溝和省外的麗江古城、黃果樹瀑布和鳳凰古城這6個景點。由于時間和距離等原因，只能從中任取4個景點進行參觀，其中黃果樹瀑布不能第一個參觀，且最后參觀的是省內(nèi)的景點，則不同的旅游順序有（）。A、54種B、72種C、120種D、144種答案：D解析：根據(jù)題意，分兩類情況討論：①當(dāng)選擇的4個景點不含黃果樹瀑布時，先在3個省內(nèi)景點中選一個，放在最后參觀，有C31種選法，再在剩下的4個景點種任選3個，放在前三個參觀，有A43種順序，共有②當(dāng)選擇的4個景點含黃果樹瀑布時，先在3個省內(nèi)景點中任選1個放在最后參觀，有C31種順序，黃果樹瀑布可以放在第二個或第三個參觀，有A21種順序，再在剩下的4個景點任選2個，放在剩余的位置進行參觀，有A42種順序，此時有綜上，不同的旅游順序有72+72=144種，故選D。3.1.10歸納10、分排問題直排處理法把n個元素排成前后若干排的排列問題，若沒有其他特殊要求，可采取統(tǒng)一排成一排的方法處理。例1、兩排座位，第一排3個座位，第二排5個座位，若8名學(xué)生坐（每人一個座位），則不同的做法種數(shù)是（）。A.C85C83B.答案：D解析：因為8名學(xué)生可在前后兩排的8個座位中隨意入座，再無其他條件，所以兩排座位可以看作一排來處理，不同的做法種數(shù)是A83.1.11歸納11、部分符合條件選用淘汰法在選取總數(shù)中，只有一部分符合條件，可從總數(shù)中減去不符合條件的方法數(shù)，即為所求。例1、某通訊公司推出一組手機卡號碼，卡號的前7位數(shù)字固定，從“×××××××0000”到“×××××××9999”共10000個號碼。若公司規(guī)定：凡卡號的后四位帶有數(shù)字“4”或“7”的一律作為“優(yōu)惠卡”，則這組號碼中“優(yōu)惠卡”的個數(shù)為（）。A.2000B.4096C.5904D.8320答案：C解析：后四位中不帶數(shù)字“4“和”7“，則后四位只能從0,1,2,3,5,6,8,9這8個數(shù)字中可重復(fù)地選4個進行排列，有84種不同的排法，故”優(yōu)惠卡“共有10000-83.1.12歸納12、重排問題求冪法例1、把6名實習(xí)生分配到7個車間實習(xí)，共有多少種不同的分配方法？答案：76解析：完成分配共分6步：把第1名實習(xí)生分配到車間有7種分法；把第2名實習(xí)生分配到車間有7種分法；把第3名實習(xí)生分配到車間有7種分法；以此類推，由分布計數(shù)原理把5名實習(xí)生分配完共有76【注意事項】允許重復(fù)的排列問題的特點是以元素為研究對象，元素不受位置點約束，可以逐一安排各個元素的位置，一般地n個不同的元素沒有限制地安排在m個位置上的排列數(shù)為mn3.1.13歸納13、環(huán)排問題線排法例1、8人圍桌而坐，共有多少種做法？答案：7！種坐法解析：圍桌而坐與坐成一排的不同點在于，坐成圓形沒有首尾之分，所以固定一人并從此位置把圓形展開成直線其余7人共有（8-1）！種排法即7！EFEFABCDGHA 【注意事項】一般地，n個不同的元素作圓形排列，共有（n-1）！種排法；如果從n個不同元素中取出m個元素作圓形排列共有1n3.1.14歸納14、小集團問題先整體后局部法例1、用1，2，3，4，5組成沒有重復(fù)的數(shù)字的五位數(shù)中恰有兩個偶數(shù)夾在1，5兩個奇數(shù)之間，這樣的五位數(shù)有多少個？答案：8個解析：把1，5，2，4當(dāng)作一個小集團與3排列共有A22種排法，再排小集團內(nèi)部，先排1，5有A22種排法，在1，5之間排2，4有A3.1.15歸納15、化歸法例1、25人排成5×5方陣，現(xiàn)從中選3人不在同一行也不在在同一列，不同的選法有多少種？答案：600種。解析：將這個問題退化成9人排成3×3方陣，現(xiàn)從中選出3人，要求3人不在同一行也不在同一列，有多少種選法？這樣每行必有1人，從其中的一行選取1人后，把這人所在的行列都劃掉，如此繼續(xù)下去，從3×3方陣選3人的方法有C31C213.2易錯易混歸納3.2.1歸納1、混淆兩個計數(shù)原理致錯分類加法計數(shù)原理對應(yīng)著“分類”活動，每一類方法都能完成相應(yīng)的事情；分布乘法計數(shù)原理對應(yīng)著“分布”活動，只有完成每一個步驟才能完成相應(yīng)的事情。例1、把4個選調(diào)生平均分配到甲、乙兩個辦公室，不同的分法有多少種？答案：6種。解析：兩個辦公室選人應(yīng)是一前一后的分步關(guān)系。所以要用分布乘法計數(shù)原理，則不同的分配方法有C42·【易錯警示】本題易混淆分類與分步的標(biāo)準，把該分成兩步的問題錯誤地分成兩類問題，從而得出C42+3.2.2歸納2、排除法使用不當(dāng)致誤在用排除法解排列組合問題時。要避免多算、少算的情況，重點注意因排除造成少算的情況。例1、在一次團隊活動中，有5個好友排成一排照相，其中甲不站在最左端，乙不站在最右端，有多少種不同排法？答案：78種。解析：5個人全排列有A55種方法