角的概念的推廣課件

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角的概念的推廣§21.角的概念平面內(nèi)一條_____繞著_____從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所形成的圖形.射線端點終邊始邊頂點1.角的概念射線端點終邊始邊頂點2.角的分類(1)任意角:逆時針順時針不作任何2.角的分類逆時針順時針不作任何(2)象限角:①前提條件:(ⅰ)角的頂點與_____重合.(ⅱ)角的始邊與____的非負(fù)半軸重合.原點x軸(2)象限角:原點x軸②分類:(ⅰ)象限角:角的終邊(除端點外)在第幾象限,就是___________.(ⅱ)終邊落在坐標(biāo)軸上的角.第幾象限角②分類:第幾象限角3.終邊相同的角的表示所有與角α終邊相同的角,連同角α在內(nèi),可構(gòu)成一個集合S={β|β=_________________},即任何一個與角α終邊相同的角,都可以表示成角α與周角的_______的和.α+k·360°,k∈Z整數(shù)倍3.終邊相同的角的表示α+k·360°,k∈Z整數(shù)倍【點撥】(1)角的概念的四個關(guān)注點①三個要素:頂點、始邊、終邊.②運動觀點下的定義:抓住“旋轉(zhuǎn)”兩個字,它有正負(fù)之分,與初中學(xué)習(xí)的靜止觀點下的角是有區(qū)別的.【點撥】③角的大小:不僅與旋轉(zhuǎn)的大小有關(guān),還與旋轉(zhuǎn)的方向有關(guān),正角大于負(fù)角.④角的加減法運算:角的范圍推廣到任意角后,類似于實數(shù)的加減法運算.③角的大小:不僅與旋轉(zhuǎn)的大小有關(guān),還與旋轉(zhuǎn)的方向有關(guān),正角大(2)角定義的前提條件①研究象限角、終邊相同的角時,必須注意前提條件:角的頂點與坐標(biāo)原點重合,始邊與x軸的非負(fù)半軸重合.②如果角的頂點不與坐標(biāo)原點重合,或者角的始邊不與x軸的非負(fù)半軸重合,則沒有象限角、終邊相同的角的概念.(2)角定義的前提條件(3)象限角的集合表示象限角集合表示第一象限角{α|k·360°<α<90°+k·360°,k∈Z}第二象限角{α|90°+k·360°<α<180°+k·360°,k∈Z}第三象限角{α|180°+k·360°<α<270°+k·360°,k∈Z}第四象限角{α|270°+k·360°<α<360°+k·360°,k∈Z}(3)象限角的集合表示象限角集合表示第一{α|k·360°<提醒:在運用α+k·360°,k∈Z時需注意以下兩點:(1)k是整數(shù),這個條件不能漏掉.(2)α是任意角.提醒:在運用α+k·360°,k∈Z時需注意以下兩點:(1)【自我檢測】1.下列說法錯誤的是(

)A.按逆時針方向旋轉(zhuǎn)所成的角是正角B.按順時針方向旋轉(zhuǎn)所成的角是負(fù)角C.沒有作任何旋轉(zhuǎn)所成的角是零角D.終邊和始邊相同的角是零角【自我檢測】【解析】選D.選項A,B,C分別是正角、負(fù)角、零角的概念;若射線旋轉(zhuǎn)后,終邊與始邊重合所形成的角不是零角.【解析】選D.選項A,B,C分別是正角、負(fù)角、零角的概念;若2.-1448°是(

)A.第一象限的角 B.第二象限的角C.第三象限的角 D.第四象限的角【解析】選D.-1448°=-4×360°-8°,所以-1448°是第四象限的角.2.-1448°是()3.給出下列四種說法,其中正確的有(

)①-75°是第四象限角;②225°是第三象限角;③475°是第二象限角;④-315°是第一象限角.A.1個B.2個C.3個D.4個3.給出下列四種說法,其中正確的有()【解析】選D.因為-90°<-75°<0°,180°<225°<270°,360°+90°<475°<360°+180°,-360°<-315°<-270°,所以①②③④都是正確的.【解析】選D.因為-90°<-75°<0°,180°<2254.角α=k·180°(k∈Z)的終邊在(

)A.直線x=0上 B.直線y=0上C.直線y=x上 D.直線y=-x上【解析】選B.令k=-3,-2,-1,0,1,2,3,…可以驗證角α=k·180°(k∈Z)的終邊在直線y=0上.4.角α=k·180°(k∈Z)的終邊在()類型一角的概念的推廣【典例】1.時鐘的時針走過了1小時20分鐘,則分針轉(zhuǎn)過的角為

.2.射線OA繞端點O順時針旋轉(zhuǎn)80°到OB位置,接著逆時針旋轉(zhuǎn)250°到OC位置,然后再順時針旋轉(zhuǎn)270°到OD位置,則∠AOD=

.世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號70034003類型一角的概念的推廣【審題路線圖】1.確定所求的角是正角還是負(fù)角?確定分針,時針?biāo)D(zhuǎn)過的角度?確定所求角.2.固定OA?根據(jù)方向畫出OB,OC,OD?確定所求角.【審題路線圖】1.確定所求的角是正角還是負(fù)角?確定分針,時針【解析】1.時針走過了1小時20分鐘,則分針轉(zhuǎn)了圈,又因為按順時針方向旋轉(zhuǎn)的角為負(fù)角,所以分針轉(zhuǎn)過的角為-×360°=-480°.答案:-480°【解析】1.時針走過了1小時20分鐘,則分針轉(zhuǎn)了圈,2.如圖∠AOD=∠AOB+∠BOC+∠COD=(-80°)+250°+(-270°)=-100°.答案:-100°2.如圖【延伸探究】本例1中時針轉(zhuǎn)過了多少度?【解析】時針1小時旋轉(zhuǎn)-30°,20分鐘旋轉(zhuǎn)-10°,共旋轉(zhuǎn)-40°.【延伸探究】【方法技巧】1.理解角的概念的三個“明確”【方法技巧】2.表示角時的兩個注意點(1)字母表示時:可以用希臘字母α,β等表示,“角α”或“∠α”可以簡化為“α”.2.表示角時的兩個注意點(2)用圖示表示角時:箭頭不可以丟掉,因為箭頭代表了旋轉(zhuǎn)的方向,也即箭頭代表著角的正負(fù).(2)用圖示表示角時:箭頭不可以丟掉,因為箭頭代表了旋轉(zhuǎn)的方【變式訓(xùn)練】寫出下圖中的角α,β,γ的度數(shù).【變式訓(xùn)練】寫出下圖中的角α,β,γ的度數(shù).【解析】要正確識圖,確定好旋轉(zhuǎn)的方向和旋轉(zhuǎn)的大小.由角的概念可知α=330°,β=-150°,γ=570°.【解析】要正確識圖,確定好旋轉(zhuǎn)的方向和旋轉(zhuǎn)的大小.由角的概念類型二終邊相同的角【典例】在0°～360°范圍內(nèi),找出與下列各角終邊相同的角,并判定它們是第幾象限角.世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號70034004(1)-150°.(2)650°.(3)-950°15′.類型二終邊相同的角【審題路線圖】終邊相同的角的關(guān)系:β=α+k·360°,k∈Z?把所給的角化歸到0°～360°范圍內(nèi)?利用0°～360°范圍內(nèi)的角分析該角是第幾象限角.【審題路線圖】終邊相同的角的關(guān)系:【解析】(1)因為-150°=-360°+210°,所以在0°～360°范圍內(nèi),與-150°角終邊相同的角是210°角,它是第三象限角.(2)因為650°=360°+290°,所以在0°～360°范圍內(nèi),與650°角終邊相同的角是290°角,它是第四象限角.【解析】(1)因為-150°=-360°+210°,所以在0(3)因為-950°15′=-3×360°+129°45′,所以在0°～360°范圍內(nèi),與-950°15′角終邊相同的角是129°45′角,它是第二象限角.(3)因為-950°15′=-3×360°+129°45′,【方法技巧】1.在0°到360°范圍內(nèi)找與給定角終邊相同的角的方法(1)一般地,可以將所給的角α化成k·360°+β的形式(其中0°≤β<360°,k∈Z),其中的β就是所求的角.【方法技巧】(2)如果所給的角的絕對值不是很大,可以通過如下方法完成:當(dāng)所給角是負(fù)角時,采用連續(xù)加360°的方式;當(dāng)所給角是正角時,采用連續(xù)減360°的方式,直到所得結(jié)果達(dá)到要求為止.(2)如果所給的角的絕對值不是很大,可以通過如下方法完成:當(dāng)2.終邊相同角常用的三個結(jié)論(1)終邊相同的角之間相差360°的整數(shù)倍.(2)終邊在同一直線上的角之間相差180°的整數(shù)倍.(3)終邊在相互垂直的兩直線上的角之間相差90°的整數(shù)倍.2.終邊相同角常用的三個結(jié)論【變式訓(xùn)練】在0°到360°的范圍內(nèi),找出與下列各角終邊相同的角,并分別判斷它們是哪個象限的角.(1)1005°.(2)2583°34′.(3)-1342°15′.(4)-470°.【變式訓(xùn)練】在0°到360°的范圍內(nèi),找出與下列各角終邊相同【解析】(1)因為1005°=2×360°+285°,所以285°就是與1005°終邊相同的角,它是第四象限角,所以1005°是第四象限角.【解析】(1)因為1005°=2×360°+285°,所以2(2)因為2583°34′=7×360°+63°34′,所以63°34′就是與2583°34′終邊相同的角,它是第一象限角,所以2583°34′是第一象限角.(2)因為2583°34′=7×360°+63°34′,所以(3)因為-1342°15′=-4×360°+97°45′,所以97°45′就是與-1342°15′終邊相同的角,它是第二象限角,所以-1342°15′是第二象限角.(4)因為-470°=-2×360°+250°,所以250°就是與-470°終邊相同的角,它是第三象限角,所以-470°是第三象限角.(3)因為-1342°15′=-4×360°+97°45′,【補(bǔ)償訓(xùn)練】1.與-457°角的終邊相同的角的集合是(

)A.{α|α=475°+k·360°,k∈Z}B.{α|α=97°+k·360°,k∈Z}C.{α|α=263°+k·360°,k∈Z}D.{α|α=-263°+k·360°,k∈Z}【補(bǔ)償訓(xùn)練】1.與-457°角的終邊相同的角的集合【解析】選C.因為263°=-457°+2×360°,故與-457°角的終邊相同的角的集合可表示為{α|α=263°+k·360°,k∈Z}.【解析】選C.因為263°=-457°+2×360°,2.已知α,β的終邊相同,那么α-β的終邊在(

)A.x軸的非負(fù)半軸上B.y軸的非負(fù)半軸上C.x軸的非正半軸上D.y軸的非正半軸上2.已知α,β的終邊相同,那么α-β的終邊在()【解析】選A.因為α,β的終邊相同,所以α=k·360°+β(k∈Z),所以α-β=k·360°(k∈Z),所以α-β的終邊在x軸的非負(fù)半軸上.【解析】選A.因為α,β的終邊相同,類型三象限角【典例】1.(2017·咸陽高一檢測)角-1120°是(

)A.第一象限角 B.第二象限角C.第三象限角 D.第四象限角類型三象限角2.已知α為第三象限角,判斷所在的象限.世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號700340052.已知α為第三象限角,判斷所在的象限.【審題路線圖】1.把所給的角寫成k·360°+α的形式?確定角所在的象限.2.由角α所在的象限寫出角所滿足的不等式?所滿足的不等式?所在的象限.【審題路線圖】1.把所給的角寫成k·360°+α的形【解析】1.選D.因為-1120°=-4×360°+320°,故-1120°與320°終邊相同,故角-1120°在第四象限.2.由k·360°+180°<α<k·360°+270°,k∈Z,得

·360°+90°<<·360°+135°,k∈Z.當(dāng)k為偶數(shù)時,為第二象限角;當(dāng)k為奇數(shù)時,為第四象限角.【解析】1.選D.因為-1120°=-4×360°+320°【方法技巧】1.象限角的判定方法(1)根據(jù)圖像判定.利用圖像實際操作時,依據(jù)是終邊相同的角的概念,因為0°～360°之間的角與坐標(biāo)系中的射線可建立一一對應(yīng)的關(guān)系.【方法技巧】(2)將角轉(zhuǎn)化到0°～360°范圍內(nèi).在直角坐標(biāo)平面內(nèi),0°～360°范圍內(nèi)沒有兩個角終邊是相同的.(2)將角轉(zhuǎn)化到0°～360°范圍內(nèi).在直角坐標(biāo)平面內(nèi),0°2.α,2α,等角的終邊位置的確定方法不等式法:(1)利用象限角的概念或已知條件,寫出角α的范圍.(2)利用不等式的性質(zhì),求出2α,等角的范圍.2.α,2α,等角的終邊位置的確定方法(3)利用“旋轉(zhuǎn)”的觀點,確定角終邊的位置.例如,如果得到k×120°<<k×120°+30°,k∈Z,可畫出0°<<30°所表示的區(qū)域,再將此區(qū)域依次逆時針或順時針轉(zhuǎn)動120°(如圖所示).(3)利用“旋轉(zhuǎn)”的觀點,確定角終邊的位置.提醒:由α的范圍確定2α的范圍時易忽視終邊在坐標(biāo)軸上的情況.提醒:由α的范圍確定2α的范圍時易忽視終邊在坐標(biāo)軸上的情況.【變式訓(xùn)練】(2017·鶴壁高一檢測)判斷下列角的終邊落在第幾象限內(nèi):(1)1400°.

(2)-2017°.【變式訓(xùn)練】(2017·鶴壁高一檢測)判斷下列角的終邊落在第【解析】(1)1400°=3×360°+320°,因為320°是第四象限角,所以1400°也是第四象限角.(2)-2017°=-6×360°+143°,所以-2017°與143°終邊相同.所以-2017°是第二象限角.【解析】(1)1400°=3×360°+320°,因為320【補(bǔ)償訓(xùn)練】1.在四個角-20°,-400°,-2000°,600°中,第四象限的角的個數(shù)是(

)A.0個B.1個C.2個D.3個【補(bǔ)償訓(xùn)練】1.在四個角-20°,-400°,-2000°,【解析】選C.-20°是第四象限的角;-400°=-360°-40°與-40°角的終邊相同,是第四象限的角;-2000°=-6×360°+160°與160°角的終邊相同,是第二象限的角;600°=360°+240°與240°角的終邊相同,是第三象限的角.【解析】選C.-20°是第四象限的角;2.在下列說法中:①0°～90°的角是第一象限角;②鈍角都是第二象限角;③小于90°的角都是銳角.其中錯誤說法的序號為

.2.在下列說法中:【解析】①0°角不屬于任何象限,所以①不正確.②鈍角α的范圍是90°<α<180°,顯然是