對(duì)坐標(biāo)的曲線(xiàn)積分市公開(kāi)課金獎(jiǎng)市賽課一等獎(jiǎng)?wù)n件

大連海事大學(xué)數(shù)學(xué)系王志平11月高等數(shù)學(xué)第1頁(yè)第1頁(yè)第十章積分學(xué)定積分二重積分三重積分積分域區(qū)間域平面域空間域曲線(xiàn)積分曲線(xiàn)域曲面域曲線(xiàn)積分曲面積分對(duì)弧長(zhǎng)曲線(xiàn)積分對(duì)坐標(biāo)曲線(xiàn)積分對(duì)面積曲面積分對(duì)坐標(biāo)曲面積分曲面積分曲線(xiàn)積分與曲面積分第2頁(yè)第2頁(yè)第十章曲線(xiàn)積分與曲面積分第一節(jié)對(duì)弧長(zhǎng)曲線(xiàn)積分第二節(jié)對(duì)坐標(biāo)曲線(xiàn)積分

第三節(jié)格林公式及其應(yīng)用

第四節(jié)曲線(xiàn)積分與路徑無(wú)關(guān)條件第五節(jié)對(duì)面積曲面積分第六節(jié)對(duì)坐標(biāo)曲面積分第七節(jié)高斯公式通量散度第八節(jié)斯托克斯公式環(huán)流量與旋度第3頁(yè)第3頁(yè)第一節(jié)

對(duì)弧長(zhǎng)曲線(xiàn)積分

定義及性質(zhì)

計(jì)算

總結(jié)第4頁(yè)第4頁(yè)對(duì)弧長(zhǎng)曲線(xiàn)積分定義第5頁(yè)第5頁(yè)對(duì)弧長(zhǎng)曲線(xiàn)積分定義：設(shè)L是xoy面內(nèi)一條光滑曲線(xiàn)弧,f(x,y)在L上有界,都存在,L上對(duì)弧長(zhǎng)曲線(xiàn)積分,記作若通過(guò)對(duì)L

任意分割局部任意取點(diǎn),下列“乘積和式極限”則稱(chēng)此極限為函數(shù)在曲線(xiàn)或第一類(lèi)曲線(xiàn)積分.稱(chēng)為被積函數(shù)，L

稱(chēng)為積分弧段.注：和對(duì)第6頁(yè)第6頁(yè)對(duì)弧長(zhǎng)曲線(xiàn)積分性質(zhì)（k為常數(shù))(L由構(gòu)成)(l為曲線(xiàn)弧L

長(zhǎng)度)第7頁(yè)第7頁(yè)對(duì)弧長(zhǎng)曲線(xiàn)積分計(jì)算法基本思緒:計(jì)算定積分轉(zhuǎn)化定理:且上連續(xù)函數(shù),解釋:是定義在光滑曲線(xiàn)弧則曲線(xiàn)積分求曲線(xiàn)積分弧微分：

又(x,y)在L上

對(duì)弧長(zhǎng)曲線(xiàn)積分第8頁(yè)第8頁(yè)假如曲線(xiàn)L方程為則有假如方程為極坐標(biāo)形式:則推廣:

設(shè)空間曲線(xiàn)弧參數(shù)方程為則第9頁(yè)第9頁(yè)例1.

計(jì)算其中L是拋物線(xiàn)與點(diǎn)

B(1,1)之間一段弧.解:上點(diǎn)O(0,0)對(duì)弧長(zhǎng)曲線(xiàn)積分注：化為定積分時(shí)上限一定不小于下限第10頁(yè)第10頁(yè)例2.計(jì)算曲線(xiàn)積分

其中

為螺旋一段弧.解:

線(xiàn)對(duì)弧長(zhǎng)曲線(xiàn)積分第11頁(yè)第11頁(yè)例3.

計(jì)算其中

為球面被平面所截圓周.解:由對(duì)稱(chēng)性可知對(duì)弧長(zhǎng)曲線(xiàn)積分對(duì)弧長(zhǎng)曲線(xiàn)積分也有類(lèi)似于重積分對(duì)稱(chēng)性第12頁(yè)第12頁(yè)對(duì)弧長(zhǎng)曲線(xiàn)積分第13頁(yè)第13頁(yè)對(duì)弧長(zhǎng)曲線(xiàn)積分第14頁(yè)第14頁(yè)對(duì)弧長(zhǎng)曲線(xiàn)積分第15頁(yè)第15頁(yè)質(zhì)量質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)慣量對(duì)弧長(zhǎng)曲線(xiàn)積分第16頁(yè)第16頁(yè)總結(jié)對(duì)弧長(zhǎng)曲線(xiàn)積分第17頁(yè)第17頁(yè)第二節(jié)

對(duì)坐標(biāo)曲線(xiàn)積分

定義及性質(zhì)

計(jì)算

兩類(lèi)曲線(xiàn)積分之間關(guān)系

總結(jié)第18頁(yè)第18頁(yè)對(duì)坐標(biāo)曲線(xiàn)積分概念與性質(zhì)1.

引例:

變力沿曲線(xiàn)所作功.設(shè)一質(zhì)點(diǎn)受下列變力作用從點(diǎn)A沿光滑曲線(xiàn)弧L

移動(dòng)到點(diǎn)B,“大化小”“常代變”“近似和”“取極限”變力沿直線(xiàn)所作功處理辦法:變力所作功W.對(duì)坐標(biāo)曲線(xiàn)積分第19頁(yè)第19頁(yè)對(duì)坐標(biāo)曲線(xiàn)積分1)“大化小”.2)“常代變”把L分成n個(gè)小弧段,有向小弧段近似代替,則有所做功為F

沿則用有向線(xiàn)段上任取一點(diǎn)在第20頁(yè)第20頁(yè)3)“近似和”4)“取極限”(其中

為n

個(gè)小弧段最大長(zhǎng)度)記作對(duì)坐標(biāo)曲線(xiàn)積分第21頁(yè)第21頁(yè)對(duì)坐標(biāo)曲線(xiàn)積分2.定義.設(shè)

L

為xoy

平面內(nèi)從A到B一條有向光滑弧,若對(duì)L任意分割和在局部弧段上任意取點(diǎn),都存在,在有向弧L上對(duì)坐標(biāo)曲線(xiàn)積分,則稱(chēng)此極限為函數(shù)或第二類(lèi)曲線(xiàn)積分.在L上定義了一個(gè)向量函數(shù)極限記作第22頁(yè)第22頁(yè)對(duì)坐標(biāo)曲線(xiàn)積分對(duì)x曲線(xiàn)積分;對(duì)y曲線(xiàn)積分.若

為空間曲線(xiàn)弧,記若記,對(duì)坐標(biāo)曲線(xiàn)積分也可寫(xiě)作類(lèi)似地,第23頁(yè)第23頁(yè)對(duì)坐標(biāo)曲線(xiàn)積分性質(zhì)

定積分是第二類(lèi)曲線(xiàn)積分特例.闡明:

對(duì)坐標(biāo)曲線(xiàn)積分必須注意積分弧段方向

!第24頁(yè)第24頁(yè)對(duì)坐標(biāo)曲線(xiàn)積分計(jì)算定理:在有向光滑弧L上有定義且L參數(shù)方程為則曲線(xiàn)積分連續(xù),證實(shí):

下面先證存在,且有第25頁(yè)第25頁(yè)相應(yīng)參數(shù)設(shè)依據(jù)定義相應(yīng)參數(shù)同理可證對(duì)坐標(biāo)曲線(xiàn)積分第26頁(yè)第26頁(yè)對(duì)坐標(biāo)曲線(xiàn)積分若L

方程為則對(duì)空間光滑曲線(xiàn)弧

:類(lèi)似有第27頁(yè)第27頁(yè)對(duì)坐標(biāo)曲線(xiàn)積分第28頁(yè)第28頁(yè)對(duì)坐標(biāo)曲線(xiàn)積分第29頁(yè)第29頁(yè)例2.求其中從

z

軸正向看為順時(shí)針?lè)较?解:取參數(shù)方程對(duì)坐標(biāo)曲線(xiàn)積分第30頁(yè)第30頁(yè)對(duì)坐標(biāo)曲線(xiàn)積分兩類(lèi)曲線(xiàn)積分之間關(guān)系設(shè)有向光滑弧L

參數(shù)方程為則L上(x,y)處切向量為則兩類(lèi)曲線(xiàn)積分有下列聯(lián)系第31頁(yè)第31頁(yè)對(duì)坐標(biāo)曲線(xiàn)積分類(lèi)似地,在空間曲線(xiàn)

上兩類(lèi)曲線(xiàn)積分聯(lián)系是令記A

在t

上投影為則第32頁(yè)第32頁(yè)對(duì)坐標(biāo)曲線(xiàn)積分總結(jié)第33頁(yè)第33頁(yè)第三節(jié)格林公式及其應(yīng)用

格林公式

格林公式應(yīng)用

總結(jié)第34頁(yè)第34頁(yè)格林公式及其應(yīng)用格林公式復(fù)連通區(qū)域單連通區(qū)域第35頁(yè)第35頁(yè)格林公式及其應(yīng)用yxoab第36頁(yè)第36頁(yè)格林公式及其應(yīng)用第37頁(yè)第37頁(yè)格林公式及其應(yīng)用格林公式應(yīng)用1.直接用第38頁(yè)第38頁(yè)格林公式及其應(yīng)用2.L不封閉，取L+l封閉第39頁(yè)第39頁(yè)格林公式及其應(yīng)用3.P(x,y),Q(x,y)一階偏導(dǎo)不連續(xù)A.代入法：將積分弧段方程直接代入分母中。B.直接法第40頁(yè)第40頁(yè)格林公式及其應(yīng)用C.將不連續(xù)點(diǎn)挖去（積分弧方程與分母不同）第41頁(yè)第41頁(yè)格林公式及其應(yīng)用第42頁(yè)第42頁(yè)格林公式及其應(yīng)用第43頁(yè)第43頁(yè)格林公式及其應(yīng)用4.求二重積分第44頁(yè)第44頁(yè)格林公式及其應(yīng)用5.求面積第45頁(yè)第45頁(yè)格林公式及其應(yīng)用總結(jié)第46頁(yè)第46頁(yè)第四節(jié)曲線(xiàn)積分與路徑無(wú)關(guān)

曲線(xiàn)積分與路徑無(wú)關(guān)

全微分求積

題型

小結(jié)第47頁(yè)第47頁(yè)曲線(xiàn)積分與路徑無(wú)關(guān)GyxoBA曲線(xiàn)積分與路徑無(wú)關(guān)則稱(chēng)曲線(xiàn)積分定義：假如在區(qū)域G

內(nèi)有在G內(nèi)與路徑無(wú)關(guān),不然稱(chēng)為與路徑相關(guān)。第48頁(yè)第48頁(yè)曲線(xiàn)積分與路徑無(wú)關(guān)平面上曲線(xiàn)積分與路徑無(wú)關(guān)等價(jià)條件定理.

設(shè)D是單連通域

,在D內(nèi)含有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),(1)沿D中任意光滑閉曲線(xiàn)

L,有(2)對(duì)D中任一分段光滑曲線(xiàn)

L,曲線(xiàn)積分(3)(4)在D內(nèi)每一點(diǎn)都有與路徑無(wú)關(guān),只與起止點(diǎn)相關(guān).函數(shù)則下列四個(gè)條件等價(jià):在D內(nèi)是某一函數(shù)全微分,即第49頁(yè)第49頁(yè)格林公式及其應(yīng)用闡明:

積分與路徑無(wú)關(guān)時(shí),曲線(xiàn)積分可記為證實(shí)：

(1)(2)設(shè)為D內(nèi)任意兩條由A到B

有向分段光滑曲線(xiàn),則(依據(jù)條件(1))第50頁(yè)第50頁(yè)格林公式及其應(yīng)用

(2)(3)在D內(nèi)取定點(diǎn)因曲線(xiàn)積分則同理可證因此有和任一點(diǎn)B(x,y),與路徑無(wú)關(guān),有函數(shù)第51頁(yè)第51頁(yè)

(3)(4)設(shè)存在函數(shù)

u(x,y)使得則P,Q在D內(nèi)含有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),從而在D內(nèi)每一點(diǎn)都有格林公式及其應(yīng)用第52頁(yè)第52頁(yè)

(4)(1)設(shè)L為D中任一分段光滑閉曲線(xiàn),(如圖),利用格林公式,得所圍區(qū)域?yàn)樽C畢格林公式及其應(yīng)用第53頁(yè)第53頁(yè)對(duì)坐標(biāo)曲線(xiàn)積分闡明:依據(jù)定理,若在某區(qū)域內(nèi)則2)可用積分法求du=

Pdx+Qdy在域D內(nèi)原函數(shù):及動(dòng)點(diǎn)或則原函數(shù)為取定點(diǎn)1)計(jì)算曲線(xiàn)積分時(shí),可選擇以便積分路徑;第54頁(yè)第54頁(yè)例1.

驗(yàn)證是某個(gè)函數(shù)全微分,并求出這個(gè)函數(shù).證:

設(shè)則由定理2可知,存在函數(shù)u(x,y)使。。對(duì)坐標(biāo)曲線(xiàn)積分第55頁(yè)第55頁(yè)曲線(xiàn)積分與路徑無(wú)關(guān)題型1.與路徑無(wú)關(guān)第56頁(yè)第56頁(yè)曲線(xiàn)積分與路徑無(wú)關(guān)第57頁(yè)第57頁(yè)曲線(xiàn)積分與路徑無(wú)關(guān)第58頁(yè)第58頁(yè)曲線(xiàn)積分與路徑無(wú)關(guān)1.與參數(shù)相關(guān)第59頁(yè)第59頁(yè)曲線(xiàn)積分與路徑無(wú)關(guān)第60頁(yè)第60頁(yè)曲線(xiàn)積分與路徑無(wú)關(guān)第61頁(yè)第61頁(yè)曲線(xiàn)積分與路徑無(wú)關(guān)小結(jié)第62頁(yè)第62頁(yè)第五節(jié)對(duì)面積曲面積分

概念

主要結(jié)論

對(duì)面積曲面積分計(jì)算第63頁(yè)第63頁(yè)對(duì)面積曲面積分概念第64頁(yè)第64頁(yè)對(duì)面積曲面積分定義:設(shè)為光滑曲面,“乘積和式極限”都存在,曲面積分其中

叫做積分曲面.據(jù)此定義,曲面形構(gòu)件質(zhì)量為曲面面積為f(x,y,z)是定義在上一個(gè)有界函數(shù),記作或第一類(lèi)曲面積分.若對(duì)做任意分割和局部區(qū)域則稱(chēng)此極限為函數(shù)f(x,y,z)在曲面上對(duì)面積任意取點(diǎn),第65頁(yè)第65頁(yè)對(duì)面積曲面積分性質(zhì)：第66頁(yè)第66頁(yè)對(duì)面積曲面積分第67頁(yè)第67頁(yè)對(duì)面積曲面積分第68頁(yè)第68頁(yè)對(duì)面積曲面積分計(jì)算定理:

設(shè)有光滑曲面f(x,y,z)在上連續(xù),存在,且有則曲面積分證實(shí):由定義知第69頁(yè)第69頁(yè)而對(duì)面積曲面積分第70頁(yè)第70頁(yè)對(duì)面積曲面積分第71頁(yè)第71頁(yè)對(duì)面積曲面積分第72頁(yè)第72頁(yè)對(duì)面積曲面積分第73頁(yè)第73頁(yè)對(duì)面積曲面積分第74頁(yè)第74頁(yè)例2.

計(jì)算其中

是由平面坐標(biāo)面所圍成四周體表面.解:

設(shè)上部分,則與原式=分別表示

在平面對(duì)面積曲面積分第75頁(yè)第75頁(yè)第六節(jié)對(duì)坐標(biāo)曲面積分

有向曲面及投影

定義及性質(zhì)

計(jì)算

兩類(lèi)曲面積分之間關(guān)系

總結(jié)第76頁(yè)第76頁(yè)?曲面分類(lèi)雙側(cè)曲面單側(cè)曲面莫比烏斯帶曲面分上側(cè)和下側(cè)曲面分內(nèi)側(cè)和外側(cè)曲面分左側(cè)和右側(cè)(單側(cè)曲面典型)對(duì)坐標(biāo)曲面積分第77頁(yè)第77頁(yè)對(duì)坐標(biāo)曲面積分有向曲面及投影其方向使用辦法向量指向表示:方向余弦>0為前側(cè)<0為后側(cè)封閉曲面>0為右側(cè)<0為左側(cè)>0為上側(cè)<0為下側(cè)外側(cè)內(nèi)側(cè)?設(shè)

為有向曲面,側(cè)要求

指定了側(cè)曲面叫有向曲面,其面元在xoy面上投影記為面積為則要求類(lèi)似可要求第78頁(yè)第78頁(yè)對(duì)坐標(biāo)曲面積分外側(cè)下側(cè)上側(cè)內(nèi)側(cè)后側(cè)前側(cè)右側(cè)第79頁(yè)第79頁(yè)對(duì)坐標(biāo)曲面積分定義及性質(zhì)1.引例設(shè)穩(wěn)定流動(dòng)不可壓縮流體速度場(chǎng)為求單位時(shí)間流過(guò)有向曲面流量.分析:若是面積為S

平面,則流量法向量:

流速為常向量:

第80頁(yè)第80頁(yè)對(duì)坐標(biāo)曲面積分對(duì)普通有向曲面

,對(duì)穩(wěn)定流動(dòng)不可壓縮流體速度場(chǎng)進(jìn)行分析可得,則第81頁(yè)第81頁(yè)對(duì)坐標(biāo)曲面積分設(shè)

為光滑有向曲面,在

上定義了一個(gè)意分割和在局部面元上任意取點(diǎn),分,記作P,Q,R

叫做被積函數(shù);

叫做積分曲面.或第二類(lèi)曲面積分.下列極限都存在向量場(chǎng)若對(duì)

任

則稱(chēng)此極限為向量場(chǎng)A在有向曲面上對(duì)坐標(biāo)曲面積2.定義.第82頁(yè)第82頁(yè)對(duì)坐標(biāo)曲面積分若記

正側(cè)單位法向量為令則對(duì)坐標(biāo)曲面積分也常寫(xiě)成下列向量形式引例中,流過(guò)有向曲面流體流量為第83頁(yè)第83頁(yè)對(duì)坐標(biāo)曲面積分3.性質(zhì)第84頁(yè)第84頁(yè)對(duì)坐標(biāo)曲面積分4.計(jì)算定理:

設(shè)光滑曲面取上側(cè),是上連續(xù)函數(shù),則證:∵取上側(cè),第85頁(yè)第85頁(yè)對(duì)坐標(biāo)曲面積分

?

若則有?若則有(前正后負(fù))(右正左負(fù))闡明:假如積分曲面

取下側(cè),則第86頁(yè)第86頁(yè)對(duì)坐標(biāo)曲面積分上側(cè)下側(cè)第87頁(yè)第87頁(yè)對(duì)坐標(biāo)曲面積分第88頁(yè)第88頁(yè)對(duì)坐標(biāo)曲面積分第89頁(yè)第89頁(yè)對(duì)坐標(biāo)曲面積分兩類(lèi)曲面積分之間關(guān)系第90頁(yè)第90頁(yè)對(duì)坐標(biāo)曲面積分下側(cè)第91頁(yè)第91頁(yè)對(duì)坐標(biāo)曲面積分第92頁(yè)第92頁(yè)對(duì)坐標(biāo)曲面積分第93頁(yè)第93頁(yè)對(duì)坐標(biāo)曲面積分總結(jié)第94頁(yè)第94頁(yè)第七節(jié)高斯公式通量散度

高斯公式

題型

通量散度

小結(jié)第95頁(yè)第95頁(yè)高斯公式通量散度高斯公式定理1.設(shè)空間閉區(qū)域由分片光滑閉曲上有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù),函數(shù)P,Q,R在面所圍成,方向取外側(cè),則有(Gauss公式)第96頁(yè)第96頁(yè)高斯公式通量散度第97頁(yè)第97頁(yè)高斯公式通量散度題型第98頁(yè)第98頁(yè)高斯公式通量散度第99頁(yè)第99頁(yè)高斯公式通量散度第100頁(yè)第100頁(yè)高斯公式通量散度第101頁(yè)第101頁(yè)高斯公式通量散度第102頁(yè)第102頁(yè)高斯公式通量散度第103頁(yè)第103頁(yè)高斯公式通量散度第104頁(yè)第104頁(yè)高斯公式通量散度第105頁(yè)第105頁(yè)高斯公式通量散度第106頁(yè)第106頁(yè)高斯公式通量散度第107頁(yè)第107頁(yè)高斯公式通量散度第108頁(yè)第108頁(yè)高斯公式通量散度通量散度引例.設(shè)穩(wěn)定流動(dòng)不可壓縮流體密度為1,速度場(chǎng)為設(shè)為場(chǎng)中任一有向曲面,則單位時(shí)間通過(guò)曲面流量為由兩類(lèi)曲面積分關(guān)系,流量還可表示為第109頁(yè)第109頁(yè)高斯公式通量散度若為方向向外閉曲面,

當(dāng)

>0時(shí),闡明流入流體質(zhì)量少于當(dāng)

<0時(shí),闡明流入流體質(zhì)量多于流出,則單位時(shí)間通過(guò)流量為當(dāng)

=0時(shí),闡明流入與流出流體質(zhì)量相等.流出,表明內(nèi)有泉;表明內(nèi)有洞;依據(jù)高斯公式,流量也可表為③第110頁(yè)第110頁(yè)高斯公式通量散度方向向外任一閉曲面

,

記所圍域?yàn)?設(shè)是包括點(diǎn)

M且為了揭示場(chǎng)內(nèi)任意點(diǎn)M處特性,在③式兩邊同除以體積V,并令以任意方式縮小至點(diǎn)M則有此式反應(yīng)了流速場(chǎng)在點(diǎn)M特點(diǎn):其值為正,負(fù)或0,分別反應(yīng)在該點(diǎn)有流體涌出,吸入,或沒(méi)有任何改變.第111頁(yè)第111頁(yè)高斯公式通量散度定義:設(shè)有向量場(chǎng)其中P,Q,R

含有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù),是場(chǎng)內(nèi)一片有向則稱(chēng)曲面,其單位法向量n,為向量場(chǎng)A

通過(guò)有向曲面

通量(流量).在場(chǎng)中點(diǎn)M(x,y,z)處稱(chēng)為向量場(chǎng)A

在點(diǎn)M

散度.記作divergence第112頁(yè)第112頁(yè)高斯公式通量散度表明該點(diǎn)處有正源,表明該點(diǎn)處有負(fù)源,表明該點(diǎn)處無(wú)源,散度絕對(duì)值大小反應(yīng)了源強(qiáng)度.若向量場(chǎng)A

處處有,則稱(chēng)A

為無(wú)源場(chǎng).比如,

勻速場(chǎng)故它是無(wú)源場(chǎng).闡明:由引例可知,散度是通量對(duì)體積改變率,且第113頁(yè)第113頁(yè)高斯公式通量散度*例5.置于原點(diǎn),電量為q

點(diǎn)電荷產(chǎn)生場(chǎng)強(qiáng)為解:

計(jì)算結(jié)果與僅原點(diǎn)有點(diǎn)電荷事實(shí)相符.第114頁(yè)第114頁(yè)高斯公式通量散度設(shè)小結(jié)第115頁(yè)第115頁(yè)高斯公式通量散度第116頁(yè)第116頁(yè)第八節(jié)斯托克斯公式環(huán)流量與旋度

斯托克斯公式

環(huán)流量與旋度第117頁(yè)第117頁(yè)斯托克斯公式環(huán)流量與旋度定理.

設(shè)光滑曲面邊界是分段光滑曲線(xiàn),(斯托克斯公式)一個(gè)空間域內(nèi)含有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù),側(cè)與

正向符合右手法則,則有在包括在內(nèi)或記為第118頁(yè)第118頁(yè)斯托克斯公式環(huán)流量與旋度例1.

利用斯托克斯公式計(jì)算積分其中

為平面x+y+z=1被三坐標(biāo)面解:記三角形域?yàn)?/p>

,取上側(cè),則所截三角形整個(gè)邊界,方向如圖所表示.利用對(duì)稱(chēng)性第119頁(yè)第119頁(yè)例2.

為柱面與平面y=z

交線(xiàn),從

z

軸正向看為順時(shí)針,計(jì)算解:設(shè)為平面z=y

上被

所圍橢圓域,且取下側(cè),利用斯托克斯公式得則其法線(xiàn)方向余弦斯托克斯公式環(huán)流量與旋度第120頁(yè)第120頁(yè)斯托克斯公式環(huán)流量與旋度第121頁(yè)第121頁(yè)斯托克斯公式環(huán)流量與旋度斯托克斯公式設(shè)曲面法向量為曲線(xiàn)單位切向量為則斯托克斯公式可寫(xiě)為環(huán)流