4.比較靜態(tài)分析

4比較靜態(tài)分析研究當(dāng)任何外生變量或參數(shù)發(fā)生變化時，內(nèi)生變量的均衡值將如何變化。P=￡±￡

b+d

ad—bcQ=—b+d(Q=a—bP一?市場模型0—。*dp?s為求解a、b、c、d中任一參數(shù)的無窮小變化如何影響P值，可通過把P的表達(dá)式對每一個參數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)得到。aP=1=aP>0aP=—aab+dac'ab(b+d)2ad=aP<0作業(yè)：求出Q（均衡狀態(tài)）的比較靜態(tài)導(dǎo)數(shù)二．國民收入模型'Y=C+1+GCko—+a(Y—T),(C>0,0<a<1)nY=00T=T+tY,(T>0,0<a<1)00C-a.T+1+G——00001—a—a.taY1>0,政府支出乘數(shù)aG1—a—a.t0dYat0aY石=a<0,非所得稅乘數(shù)1—a—a?ta(C—aT*I*G)0ooo-(1—a—a?t)2(1—a—a*t)2<0,所得稅率乘數(shù)zz=f(x,y)g(x,y)=c三．最優(yōu)化的比較靜態(tài)分析Max(Min)對于s.t.可構(gòu)造拉格朗日函數(shù)：Z=f(x,y)+X(c—g(x,y))由一階條件可得：-g*=礦=X且c-g(x，y)=0xy可解得：九=九(c),x=x(c),y=y(c)代入可得：Z=/(x,y)+齊(c—g(x,y))

dZ-=九dc入是參數(shù)c引起的約束條件變化對目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)值影響的度量。作業(yè)：已知x商品價格為4，y商品價格為6,總收入為130,效用函數(shù)為U=（x+2）（y+1）。求（1）寫出拉格朗日函數(shù)；（2）求最優(yōu)購買水平；（3）滿足極大值二節(jié)條件嗎；（4）把最優(yōu)x,y,入對Px,Py,B（總收入）進(jìn)行比較靜態(tài)分析。4.2對數(shù)函數(shù)及指數(shù)函數(shù)在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用一．指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)y=Qxa>0,and,a豐1或y=exy=10y=10gxa>0,and,a豐1或y=lnxa．非線性函數(shù)的對數(shù)變換q=aKaL卩nlnq=Ina+alnK+卩l(xiāng)nLMax例1：s.t.u=xaypPx+Py=Bxy通過變換可構(gòu)造拉格朗日函數(shù)如下：L=alnx+plny+X(B一Px一Py)xy按拉格朗日法求解極值三．連續(xù)復(fù)利lim(1+l)nnsntrntrt對于s=p(1+丫》若連續(xù)復(fù)利可寫作s=limp(1+—)=penrtns由指數(shù)函數(shù)轉(zhuǎn)化為自然指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)可用來度量離散的增長率；自然指數(shù)函數(shù)用來度量連續(xù)的增長率,兩者可以互換imtS=P（1+一），和，S=pert,nr=mln（i+；）m例：本金100元,10%年利率,半年復(fù)利一次,兩年后的終值。解：這里m=2,i=10%，所以r=mln（1+：）=2ln1-05=2x0.04879=0.09758=s=100e0-09758x2=100e?！?516=121.55時間最優(yōu)問題：現(xiàn)值100元的玻璃以下面公式增值V=100e，在以（a）r=0.08（b）r=0.12連續(xù)復(fù)利的情況下，保持多久才會使現(xiàn)值最大。（1）貼現(xiàn)公式P=S/e=se，所以上述玻璃的現(xiàn)值為：P=Vert=100ej取對數(shù)lnp=lmoo+彳—rt把上述表達(dá)式對t求導(dǎo)并令導(dǎo)數(shù)等于零：4（lnP）=丄dP=11-2—0.08=0dtPdt2由此可解t=0?16-2=39.06作業(yè)：為投機(jī)買入的土地以V=1000e3t增值，在貼現(xiàn)率為0.09復(fù)利情況下，持有多久土地價值最大。增長率dy-dty一個函數(shù)y=f（t）的增長率定義為：g=^=-yy例：農(nóng)產(chǎn)品價格以每年4%上漲，產(chǎn)量以2%增加，求來自農(nóng)業(yè)部門收益的增長率R=PQ，lnR=lnP+lnQg=R=d（lnR）=d（lnp+lnQ）=d（1m）+d（1m）=4%+2%=6%Rdtdtdtdt就業(yè)機(jī)會E每年以4%的速度增加，人口以2.5%的速度增長，求人均就業(yè)機(jī)會的增長率。一企業(yè)輸入量以10%增長，輸入成本以3%增長，總輸入成本的增長率是多少？一般函數(shù)的比較靜態(tài)分析當(dāng)模型含有以一般形式表示的函數(shù)時，由于難以得到顯示解，偏微分技術(shù)已難以適應(yīng)。因此必須使用像全微分、全導(dǎo)數(shù)，以及隱函數(shù)定理、隱函數(shù)法則等新的方法。我們首先用市場模型，然后再運用國民收入模型來介紹這些方法。市場模型考察一個單一商品市場，其中需求量Qd不僅是價格P，而且是外生確定的收入Y0的函數(shù)，但供給量Q則僅是價格的函數(shù)。如果這些函數(shù)并未以具體形式給出，則我們可以將這Q=QQds——=d（p,Y）@d/ap<0,3D/aY>0）d00Q=S（p）（dS/dp>0）s假設(shè)函數(shù)D和S均擁有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，或者換句話說，均具有平滑的曲線；而且，為了保證其經(jīng)濟(jì)意義，我們對這些導(dǎo)數(shù)的符號施加明確的限制。盡管供給函數(shù)可以是線性的，也可以是非線性的，但限制條件dS/dP>0,規(guī)定了供給函數(shù)是單調(diào)遞增函數(shù)。類似地，對需求函數(shù)的兩個偏導(dǎo)致符號的限制可以表明它是價格的減函數(shù)、收入的增函數(shù)。這些限制可以把我們的分析限定在我們希望遇到的“正?！鼻闆r。在描繪通常的二維需求曲線時，收入水平被假定為固定不變。當(dāng)收入變化時。由于會導(dǎo)

致需求曲線移動而破壞給定的均衡。類似地，在(8.27)中，Y0可通過需求函數(shù)導(dǎo)致非均衡變化。這里，Y0是唯一的外生變量或參數(shù)，所以此模型的比較靜態(tài)分析就只關(guān)注Y0的變化如何影響模型的均衡狀念。市場的均衡狀態(tài)由均衡條件Qd=Qs所確定。通過替代和重排，均衡條件可以表示成：D(P，Y0)-S(P)=0盡管不能解此方程求出均衡價格P,但我們?nèi)约僭O(shè)確實存在靜態(tài)均衡一一否則即便提出比較靜態(tài)分折問題都沒有意義。根據(jù)我們處理具體函數(shù)模型的經(jīng)驗，我們可以預(yù)期P是外生變量Y0的函數(shù):00現(xiàn)在我們借助于隱函數(shù)定理，對這種預(yù)期提供嚴(yán)格的依據(jù)。因為(8.28)的形式是F(P,Y0)=O，滿足隱函數(shù)定理的條件將會保證在滿足(8.28)的某一點的鄰域內(nèi)，即在均衡(初始或舊的)解的鄰城內(nèi)，每一個Y0值都得到一個唯一的P值。在此情況下，我們實際上可以寫出隱函數(shù)P=P(Y)，并討論其導(dǎo)數(shù)dP/dY――我們知道它是存在的，它正是我們所要00求的比較靜態(tài)導(dǎo)數(shù)?，F(xiàn)在我們來檢驗?zāi)切l件。首先，函數(shù)F(P，Y0)確實具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，因為根據(jù)假設(shè)，函數(shù)和的兩個部分D(P，Y0)和S(P)均具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)；其次?函數(shù)F對P的侗導(dǎo)數(shù)，即FP=8D/dP-dS/dP為負(fù)，因此無論在何處計算均不等于零。因此，可應(yīng)用隱函數(shù)定理，且(8.29)確實成立?；谕瑯拥亩ɡ?，均衡條件(8.28)在均衡解的某一鄰域內(nèi)可視作恒等式。這樣，我們可以把均衡等式寫成：D(P,Y)-S(P)三00dF/dYdD/dY=—0=—0>0

ddF/dYdD/dY=—0=—0>0

dF/dPdD/dP—dS/dP數(shù)的結(jié)果是[忒j數(shù)的結(jié)果是0在此結(jié)果中，表達(dá)式dD/dP是導(dǎo)數(shù)dD/dP在初始均衡點P=P處計算的值。對dS/dP也可以作類似的解釋。事實上，dD/dY0也必須在均衡點計算。由于需求函數(shù)和供給函數(shù)中符號的設(shè)定，dP/dY恒為正，因此我們的定量結(jié)論是：收入水平的提高(下降)0將會導(dǎo)致均衡價格的提高(下降)。如果供給函數(shù)和需求函數(shù)在初始均衡的導(dǎo)數(shù)值為已知，則[8.31)當(dāng)然也會給出定量的結(jié)論。上述討論涉及到y(tǒng)0變化對P的影響。那么，能否發(fā)現(xiàn)y0變化對均衡數(shù)量Q(=Q=Q)ds的影響呢?答案是肯定的。因為在均衡狀態(tài)，我們有Q=S(P)，又因為P=P(Y)，我們0可應(yīng)用鏈?zhǔn)椒▌t得到導(dǎo)數(shù)dQdSdPdS=-()>0(因為=>0)dYdPdYdP00因此，在此模型中，均衡數(shù)量也與Y0正相關(guān)。而且，如果各導(dǎo)數(shù)在均衡時的取值已知,

(832)也會給出定量的結(jié)論。(8．32)和(8．32)包括了市場模型中所有的比較靜態(tài)分析的內(nèi)容，這些結(jié)果并不出人意料。事實上，它們只不過傳遞了這樣一個命題：需求曲線向上移動將會導(dǎo)致更高的均衡價格和更大的均衡數(shù)量。好像只用簡單的圖解分析就可以得到同樣的命題，這似乎有道理，但人們不應(yīng)忽略我們這里所用的分析方法具有更普遍的一般性。再重復(fù)一遍：圖形分析就其本質(zhì)而言僅局限于—組具體的曲線(即一組特定函數(shù)的幾何表示)，因此嚴(yán)格地說，其結(jié)論也僅與這組曲線相聯(lián)系，僅適應(yīng)于這組曲線。與此形成鮮明對照的是，(8．27)式雖然簡單，卻包含了斜率為負(fù)的需求曲線和斜率為正的供給曲線所有可能組合的全部集合，這樣它也就更為一般化。此外，這里采用的分析方法還可處理圖形分析方法難以解決的遠(yuǎn)為復(fù)雜的問題。模型(8．27)的分析是以一個單一方程即(830)為基礎(chǔ)完成的。由于一個方程只能包含一個內(nèi)生變量，所以包含了P則意味著排除了Q。因而我們不得不首先求出(dP/dYO)，然后在下一步再導(dǎo)出(dQ/dYO)?，F(xiàn)在我們來介紹如何同時研究P和Q。因為有兩個內(nèi)生變量，相應(yīng)地我們要建立由兩個方程組成的方程組。首先，令(827)中的Q=Qd=Qs,并重排，我們iJ將市場模型表示成F1(P，Q；Y0)=D(P,Y0)-Q=0F2(P，Q；YO)=S(P)-Q=O此式與(8.20)的形式一致，其中n=2,m=l。再一次檢驗隱函數(shù)定理的條件是有意義的。首先，因需求與供給函數(shù)均假定有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，所以函數(shù)F1與F2必定也具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)。其次，內(nèi)生變量雅可比行列式(包含P和Q的雅可比行列式)確實不為零，不管在哪一點計算其值。因為：aFaF1aFidD—-1dPdQ-dPaF2aF2—dS1—1dPdQdP=dS衛(wèi)>odPdP因此，如果均衡解存在(我們必須作這樣的假定才能使我們對比較靜態(tài)學(xué)的討論有意義)，根據(jù)隱函數(shù)定理我們可以寫出隱函數(shù)：P二P(Y)andQ=QY)00盡管我們不能解出P和Q。我們知道，這些函數(shù)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，而且在均衡狀態(tài)的某一鄰域內(nèi)，(8.33)是一對恒等式，所以我們也可以寫成D(P,Y0)-Q三0S(P)-Q三0由此,(dP/dY)和dQ/dY可同時得到。00微分dP,dQ和dY是這兩個導(dǎo)數(shù)的組成部分。為得到這些微分表達(dá)式，我們對(836)0中的每個恒等式依次進(jìn)行微分，重排后得到關(guān)于dP和dY的線性方程組0

dDdDdY0因為變量dP和dQ為一次幕，所有在初始均衡狀態(tài)時計算其值的系數(shù)導(dǎo)數(shù)均代表常數(shù),外生變量的任意非零變化dY0也代表常數(shù)，所以，此方程組是線性方程組。以dY0通除各項。并將兩個微分的商視為導(dǎo)數(shù)，我們得到矩陣方程?！?D「dP—3P-1dY—03D-3Y3S-1dQ00_3PdY0由克萊姆法則，并利用(834)，我們得到解為：6D礦-13DdP00-13Y—ndY0JJr3D3D3P-3Y3S03S3DdQ3P03P町J其中需求與供給函數(shù)(包括那些在雅可比行列式中的供求函數(shù))的所有導(dǎo)數(shù)均在初始均衡處計算其值。讀者可以驗證，剛才所得到的結(jié)果與前面通過單一方程方法所得到的結(jié)果(831)和(8．32)是一致的。上面所介紹的單一方程法和聯(lián)立方程組法均具有一個共同的特點：我們都對均衡恒等式兩邊取全微分，然后令其相等。然而，不取全微分，仍可能對特定的外生變量或參數(shù)取全導(dǎo)數(shù)，并令其結(jié)果相等。例如，在單一方程法中，均衡恒等式為D(P,Y0)-S(P)三0[由(8.30)]其中)[由(829)]0在均衡恒等式兩邊對Y0取全導(dǎo)數(shù)(這不僅考慮到了Y0變化的直接影響，而且也考慮到3DdP3D3SdP3P?(dY)+aT-3P-(dY)=0000

了間接影響)，因而得到方程(Y對D的Y對D的Y對S的

000

間接影響)直接影響)間接影響)將此式解出(dP/dY)，其結(jié)果與前邊是一致的。0對Y0微分時，我們必須考慮到Y(jié)0通過P對D的間接影響，以及Y0的直接影響(曲線箭頭)。另一方面，在將函數(shù)S對Y0微分時，則只需考慮通過P對S的間接影響。所以經(jīng)重新整理后，兩個恒等式對Y0微分的結(jié)果是下面兩個方程QD/dP、/d?、6D喬-(dY)-(dY)一丁_°_°0dS(dP)(邁)0麗(dY)-(dY)=000當(dāng)然，它們與通過全微分法得到的方程是一致的，而且由它們可再次導(dǎo)出(8．37)中的比較靜態(tài)導(dǎo)數(shù)。國民收入模型現(xiàn)在將剛才介紹的方法應(yīng)用于以一般函數(shù)表示的國民收入模型。為增加一些變化，這次我們在模型中減去政府支出和稅收，而加上對外貿(mào)易。另外，我們還把貨幣市場與商品市場置于一起。更具體地，假定商品市場的特征由以下四個函數(shù)規(guī)定：1.投資支出I是利息率i的減函數(shù)：I=I(i)(I'V0)其中I'=dI/di，是投資函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。2?儲蓄S是國民收入Y以及利息率i的增函數(shù)，邊際儲蓄傾向為正分?jǐn)?shù)：S=S(Y,i)(0VSY<1;Si>0)其中S=as/ay(邊際儲蓄傾向)和S=as/di均為偏導(dǎo)數(shù)。Yi3?進(jìn)口支出M是國民收入的函數(shù),邊際進(jìn)口傾向也是正分?jǐn)?shù)：M=M(Y)(OVM'Vl)4?出口水平X由外生因素決定：X=X0在貨幣市場中，我們有如下兩個函數(shù)：5?貨幣需求量Md是國民收入的增函數(shù)(交易需求)，但是利息率的減函數(shù)(投機(jī)需求)：Md=L(Y,i)(LY>0；Li<0)這之里所以使用函數(shù)符號L,是因為貨幣需求函數(shù)習(xí)慣上被稱作流動偏好函數(shù).Md代表貨幣需求，應(yīng)注意避免與表示進(jìn)口的符號M相混淆。6?貨幣供給作為一個貨幣政策問題，由外生因素確定：M=Mnss0注意，I、S、M和X同Y一樣，均是流量概念，是在一定時間內(nèi)度量的；而Md和Ms則是存量概念，它們表示在某一特定時點存在的量。但無論是存量還是流量，上述函數(shù)均被假定具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)。此模型要達(dá)到均衡需要同時滿足商品市場均衡條件(注入=漏出，或者I+X=S+M)以及貨幣市場的均衡條件(貨幣需求=貨幣供給，或Md=Ms)。在上述一般函數(shù)的基礎(chǔ)上，均衡狀態(tài)可通過下述兩個條件來表示I(i)+X0=S(Y，i)+M(Y)L(Y，i)=Ms0

由于符號I、s、M和L可視為函數(shù)符號，實際上我們只有兩個內(nèi)生變量收入Y和利率i,以及兩個外生變量，出口X0（由外國決定）和Ms0（由貨幣當(dāng)局決定）。因此（838）可以（820）形式表示，其中n=m=2：Fl（Y，i；X0，Ms0）=I（i）+X0-s（Y，i）-M（Y）=0F2（Y，i；X0，Ms0）=L（Y，i）-Ms0=0此方程組滿足隱函數(shù)定理的條件，因為（l）Fi和F2具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)（根據(jù)假設(shè)，所有函數(shù)的導(dǎo)數(shù)連續(xù)）；（2）在初始均衡處（假設(shè)它存在）和其它地方，內(nèi)生變量的雅可比行列式不為零：ddaFidiaF2/diI'ddaFidiaF2/diLi=-L?(S+M')-L(I-S)>oiYYi因此，盡管我們不能明確解出Y和i，但可以寫出隱函數(shù)Y=Y(X,M)andi二i(X,M)0s00s0進(jìn)而，我們把（8．38'）看作均衡點某一鄰域的一對恒等式，所以我們可以寫出-I（i）+X-S（Y,i）-M（Y）三0L（Y,i）-M三0s0由這些均衡恒等式，可以得到四個比較靜態(tài)導(dǎo)數(shù)，兩個與X0有關(guān)，另兩個與Ms0相關(guān)。但這里我們只推導(dǎo)出前兩個導(dǎo)數(shù)，后兩個留給讀者作練習(xí)。因此，在對（841）的每個恒等式取全微分以后，今dMs0=0,從而使dx0成為唯一的不均衡因子。其次，以dx0通除，并把兩個微分的商視為偏導(dǎo)數(shù)（因為另外一個外生變量Ms0保持不變），得到矩陣方程：-1YL由克萊姆法則并運用（839），YL由克萊姆法則并運用（839），得到解dYdiadYdiaX-S-M'-1LY0JILp>0i-Li>0J、0其中等號右邊所有的導(dǎo)數(shù)（包括那些出現(xiàn)在雅可比行列式中的導(dǎo)數(shù)）都在初始均衡，即y=Y，i=i處計算其值。當(dāng)這些導(dǎo)數(shù)的具體值為已知時，（8.43）產(chǎn)生關(guān)于出口變化的影響的定量結(jié)論。但當(dāng)這些值為未知時，只能得到定性結(jié)論：在此模型中y和i持隨出口增加而增加。像在市場模型中一樣.如果不使用全微分法，我們還有一個選擇是將（8.4t）中的均衡恒

-S嵌>胚烽卜000i冷卜00因為另一個外生變量Ms0保持不變等式對所研究的特定的外生變量，即X0取全導(dǎo)數(shù)。當(dāng)然，我們在取全導(dǎo)數(shù)時必須記住隱式解(840)。如在(8.41)和(840)中給出的那樣,X0影響模型不同部分的各種方式通過通道圖8.8概括出來。特別應(yīng)注意的是，對-S嵌>胚烽卜000i冷卜00因為另一個外生變量Ms0保持不變邊表達(dá)式的偏全導(dǎo)數(shù)。然而，作為隱函數(shù)這兩個方程左側(cè)表示對應(yīng)的兩個均衡恒等式中左(840)的導(dǎo)數(shù)，比較靜態(tài)導(dǎo)數(shù)(°爲(wèi)X)和/0(耳咕X)僅僅是簡單的偏導(dǎo)數(shù)。作適當(dāng)?shù)膲嚎s，這兩個方程可以壓縮成8.42)。所以，全/0邊表達(dá)式的偏全導(dǎo)數(shù)。然而，作為隱函數(shù)微分法與全導(dǎo)數(shù)法得到一致的結(jié)果。讀者應(yīng)注意到，I。%X實質(zhì)上是出口乘數(shù)。因為出口引致的均衡收入的增加，通過進(jìn)口函數(shù)M=M(Y)使進(jìn)口也增加；我們可再應(yīng)用鏈?zhǔn)椒▌t求得(輔助〕比較靜態(tài)導(dǎo)數(shù)：I6MLM'1蘇L-ML〔応J-M〔眄丁因為M，>o,所以上述導(dǎo)數(shù)符號為正。用完全類似的步驟也可求出其他輔助比較靜態(tài)導(dǎo)致，例如⑶/3xo)，(8；/8x。)等。步驟總結(jié)在分析一般函數(shù)市場模型和國民收入模型時，不可能得到內(nèi)生變量顯式解的值。相反我們依靠隱函數(shù)定理寫出下面的隱函數(shù)：P-P(Y)i-iY)00我們下一步求出諸如(dP/dY)和⑹/。X)等的比較靜態(tài)導(dǎo)數(shù)，然后基于根據(jù)隱函00數(shù)定理得知的事實解釋函數(shù)P和i具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的意義。為便于應(yīng)用這個定理，我們使以(8.16)或(8.20)形式寫出模型的均衡條件成為標(biāo)準(zhǔn)的作法，然后檢驗：(1)函數(shù)F是否具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)；(2)Fy的值或者內(nèi)生變量雅可比行列式(取決于具體情況)在模型初始均衡處是否為非零。然而，只要模型中的單個函數(shù)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)——在一般函數(shù)模型中經(jīng)常采用此假設(shè)是很自然的——上述第一個條件便自動得到滿足。因此，實際上只需檢驗Fy的值或者內(nèi)生變量雅可比行列式的值。如果在均衡處不為零，則我們便可以立刻求出比較靜態(tài)導(dǎo)數(shù)。要達(dá)到此目的，隱函數(shù)法則是有用的。在單一方程情況下，僅需令內(nèi)生變量等于均衡條件下的均衡值，即令P-P，然后應(yīng)用(8.19)中所述的法則于所得到的均衡恒等式。對于聯(lián)立方程組的情況，我們也必須首先令所有內(nèi)生變量分別等于均衡狀態(tài)時的均衡值；然后我們再對所得到的均衡恒等式應(yīng)用（824）所述的隱函數(shù)法則，或者按下面介紹的幾個步驟進(jìn)行：1.對每個均衡恒等式依次取全微分。2?選擇一個且僅選擇一個外生變量，比如X0作為唯一的非均衡因子，并令所有其它外生變量的微分等于零。然后以dx0除以每個恒等式中余下各項，并將兩個微分的商視為比較靜態(tài)導(dǎo)數(shù)——若模型包含兩個或兩個以上的外生變量，應(yīng)視作一個偏導(dǎo)數(shù)。3?解所得到的方程組，求出比較靜態(tài)導(dǎo)數(shù)，并解釋其經(jīng)濟(jì)意義。在這一步，如果使用克萊姆法則，則可以利用這一事實：即前面在檢驗J條件時，我們已經(jīng)計算出現(xiàn)在要解的方程組的系數(shù)矩陣行列式的值。4?若有其它非均衡因子（其它外生變量），其分析可重復(fù)步驟2和步驟3。盡管在新的方程組中會出現(xiàn)一組不同的比較靜態(tài)導(dǎo)數(shù)，系數(shù)矩陣卻會同以前一樣，所以可再次運用已知的J值。如果給定的模型具有m個外生變量，要求得所有的比較靜態(tài)導(dǎo)數(shù)，則需應(yīng)用上述步驟m次。經(jīng)濟(jì)應(yīng)用本章開頭，我們以多產(chǎn)品廠商為例描述了具有多于一個選擇變量的一般最優(yōu)化問題。現(xiàn)在我們就準(zhǔn)備處理這些問題及與其性質(zhì)類似的問題。多產(chǎn)品廠商問題例1我們首先假設(shè)有一個完全競爭條件下的兩產(chǎn)品廠商。因完全競爭條件下兩商品的價格必然是外生的，所以它們可分別以P10與P20表示。據(jù)此，廠商的收益函數(shù)為：R=P1OQ1十P20Q2其中Qi表示單位時間內(nèi)i產(chǎn)品的產(chǎn)出水平。假設(shè)廠商成本函數(shù)為C二2Q2+QQ+2Q21122注意ac/aQ=4Q+Q（第一個產(chǎn)品的邊際成本）不僅是qi的函數(shù)，而且是Q2112的函數(shù)。類似地，第二個產(chǎn)品的邊際成本也部分依賴于第一個產(chǎn)品的產(chǎn)出水平。因此，按照假定的成本函數(shù)，這兩個商品在生產(chǎn)上看來存在技術(shù)的相關(guān)性?，F(xiàn)在可將此假定廠商的利潤函數(shù)寫成八R-C二PQ+PQ-2Q2-QQ-2Q21012021122它是兩個選擇變量Q1、Q2及兩個價格參數(shù)的函數(shù)。我們的任務(wù)是求出使n最大化的產(chǎn)出水平Q1與Q2的組合。為此，我們先求出利潤函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)兀（三需）=P-4Q-QaQ10121兀（三務(wù)）=P-Q-4QaQ20122令二者等于零，為滿足最大化的必要條件，我們得到聯(lián)立方程4Q1+Q2=P10Q1+4Q2=P20產(chǎn)生唯一解Q二1產(chǎn)生唯一解Q二14P-Pio20and154P-P201015因此，若P10=2,P20=18,我們有Q二2,Q二4，這意味著單位時間的最大利潤為12為確認(rèn)此值的確是最大利潤，我們來檢驗二階條件。對一階偏導(dǎo)數(shù)得到的二階偏導(dǎo)數(shù)給我們?nèi)缦潞Ｈ辛惺?22122因丨H1丨=-4<0,|H2|=15>0,海塞矩陣(或d2z)為負(fù)定，此解確實使利潤最大化。事實上，主子式的符號與其在何處計值無關(guān)，所以在本例中，d2z處處為負(fù)定。因此，判斷條件，目標(biāo)函數(shù)必定為嚴(yán)格凹函數(shù)，上面所求得的最大利潤實際上是唯一的絕對極大值。例2現(xiàn)在我們把例1移植到壟斷市場環(huán)境中。由于這一新的市場結(jié)構(gòu)假設(shè)，收益函數(shù)必須修正以反映這樣的事實：兩產(chǎn)品價格將隨其產(chǎn)出水平(這里假設(shè)產(chǎn)出水平與銷售水平一致，不考慮存貨積累。)的變化而變化。當(dāng)然，價格隨產(chǎn)出水平變化的確切方式還有待于從對廠商兩種產(chǎn)品的需求函數(shù)中求出。假設(shè)對壟斷廠商產(chǎn)品的需求函數(shù)如下：Q1=40-2P1+P2Q2=15+P1-P2這兩個方程揭示出，這兩種商品在消費中存在著某種聯(lián)系。具體地說，它們是替代品因為—種商品價格的提高將提高對另一商品的需求。正如上式給出的那樣，它表明需求星Q1和Q2是價格的函數(shù)，但就我們現(xiàn)在的目的而言，將價格Pl和P2表示成Q1和Q2的函數(shù)，即兩個產(chǎn)品的平均收益函數(shù)要更方便—些。因為需求函數(shù)可以重寫為：2P1+P2=Q1-40P1-P2=Q2-15將Q1、Q2視為參數(shù)，我們可應(yīng)用克萊姆法則解P1和P2如下：P1=55-Q1-Q2P2=70-Q1-2Q2因為P1三AR1,P2三AR2，所以這兩個函數(shù)構(gòu)成了所求的平均收益函數(shù)。因而，廠商的總收益函數(shù)可以寫成R=P1Q1十P2Q2=(55-Q1-Q2)Ql+(70-Q1-2Q2)Q2=55Q1+70Q2-2Q1Q2-Q12-2Q22若我們再假設(shè)總成本函數(shù)為C=Q12+Q1Q2+Q22則利潤函數(shù)將為n=R-C=55Q1+70Q2-3Q1Q2-2Q12-3Q22這是一個有兩個選擇變量的目標(biāo)函數(shù)。一旦求出利潤最大化的產(chǎn)出水平Q和Q，最

優(yōu)價格水平P和P便可由輕松求出。12目際函數(shù)產(chǎn)生如下兩個一階和二階偏導(dǎo)數(shù)：n1=55-3Q2-4Qln2=7O-3Q1-6Q2nll=-4n11=n11=-3n22=-6為滿足n最大化的一階條件，我們必須有n1=n2=0,即4Q1+3Q2=553Q1+6Q2=70單位時間的產(chǎn)出水平為（Q,Q）=（&7弓123分別將此結(jié)果代入（11．30'）和（1131），我們求得P=39丄,P=46?,兀=488丄（單位時間）13233-4-3自于海塞矩陣為/，我們有-3-6IHl|=-4<0,|H2|=15>0所以n值確定表示最大利潤。這里，主子式的符號同樣與其在何處計值無關(guān)。因此，海塞矩陣處處為負(fù)定，意味著目標(biāo)函數(shù)為嚴(yán)格凹函數(shù)，且具有唯一的絕對極大值。廠商的投入決策除了產(chǎn)出水平Qi外，廠商的選擇變量還可以是投入水平。例5我們假設(shè)存在如下環(huán)境：（1）一個假定的廠商運用投入a和b生產(chǎn)單一產(chǎn)品Q。⑵投入的Pa和Pb不能為該廠商所控制，該廠商也不能控制其產(chǎn)出的價格P，所以我們將其分別表示成Pa0,Pb0,P0o（3）生產(chǎn)過程要tO年（tO為正常數(shù)）完成，所以在將銷售收益與現(xiàn)在發(fā)生的投入成本進(jìn)行比較之前，需將其完全貼現(xiàn)至現(xiàn)值。在連續(xù)基礎(chǔ)上，假定貼現(xiàn)率為r0o根據(jù)假設(shè)1，我們可以寫出一般生產(chǎn)函數(shù)Q=Q（a，b），其邊際物質(zhì)產(chǎn)品為Qa，Qb。由假設(shè)2．可將總成本函數(shù)表示成C=aPa。十bPb0將總收益函數(shù)表示成R=P0Q（a，b）為寫出利潤函數(shù)，我們必須將收益與一個常數(shù)er0t0相乘以將收益折現(xiàn)，為避免上標(biāo)與下標(biāo)混淆.我們將ert0寫成ert。因此，利潤函數(shù)為n=P0Q（a，b）e-rt-aPa0-bPb0其中僅有a和b為選擇變量。為使利潤最大化，必須先求出一階導(dǎo)數(shù)：PP-t-令兩者均為零，這意味著PQert=P和PQert=P0aa00bb0因為P0Qa(產(chǎn)品價格乘投入a的邊際產(chǎn)品)表示投入a的邊際產(chǎn)品價值(VMPa),所以第一個方程僅表示VMP的現(xiàn)值應(yīng)等于投入a的給定價格。第二個方程表示同樣的先決條件應(yīng)用a于投入b。注意，要滿足(1135)，邊際物質(zhì)產(chǎn)品Qa和Qb必須均為正，因為P0,Pa0,Pb0，以及e-rt均為正值。按照等產(chǎn)量曲線,它具有非常重要的解釋；等產(chǎn)量曲線定義為能獲得同樣產(chǎn)出水平的投入組合的軌跡。當(dāng)在ab平面上繪出時，等產(chǎn)量曲線一般與圖中出現(xiàn)的曲線類似。由于每一等產(chǎn)量曲線代表一個固定產(chǎn)出水平，在任意等產(chǎn)量曲線上，我們必然有dQ=Qada十Qbdb=0這意味看等產(chǎn)量曲線的斜率可以表達(dá)成dbQ(MPP)da一Qa—MPPa)b因此，要使Qa和Qb均為正，必須把廠商的投入選擇限定在等產(chǎn)量曲線斜率為負(fù)的弧段內(nèi)。在圖中，經(jīng)營的相關(guān)領(lǐng)域是由兩條所謂的“脊線”所確定的陰影區(qū)域。在陰影區(qū)域外，等產(chǎn)量曲線的斜率為正，一種投入的邊際產(chǎn)品必定為負(fù)。例如，由投入組合M移到N,表明投入b保持不變時增加投入a,使我們達(dá)到較低的等產(chǎn)量線(一個較小的產(chǎn)出)，因此，Qa必定為負(fù)。類似地，M'移至N'表明Qb為負(fù)。注意，當(dāng)我們將注意力集中于陰影區(qū)域時,每一等產(chǎn)量線可以視為形式為b=?(a)的函數(shù)，因為對于每一個可接受的a值，等產(chǎn)量曲線確定了一個唯一的b值。二階條件由n的一階偏導(dǎo)數(shù)決定，而n的二階偏導(dǎo)數(shù)可以從(11.34)求得。記住，作為導(dǎo)數(shù)，Qa和Qb本身是變量a和b的函數(shù)，我們可以求得naa,nab=nba和nbb，整理，列成海塞矩陣:兀aa兀abbabb兀aa兀