線段垂直平分線的性質(zhì)和判定【區(qū)一等獎(jiǎng)】

13.1.2線段的垂直平分線的性質(zhì)第十三章軸對(duì)稱第1課時(shí)線段的垂直平分線的性質(zhì)和判定1.給一條線段a,以a為底邊的等腰三角形有幾個(gè)？如果用三角板和刻度尺，你能畫出至少三個(gè)嗎？作圖要點(diǎn)：利用三角尺、刻度尺作出線段a的垂直平分線，在垂直平分線上取點(diǎn)，連接可得符合條件的等腰三角形.aa創(chuàng)設(shè)情境溫故探新線段垂直平分線的性質(zhì)一你能用不同的方法驗(yàn)證這一結(jié)論嗎？

如圖，直線l垂直平分線段AB，P1，P2，P3，…是l上的點(diǎn)，請(qǐng)猜想點(diǎn)P1，P2，P3，…到點(diǎn)A

與點(diǎn)B

的距離之間的數(shù)量關(guān)系．點(diǎn)P1，P2，P3，…到點(diǎn)A

與點(diǎn)B

的距離分別相等．ABlP1P2P3探究發(fā)現(xiàn)合作交流探究新知練一練：1.如圖1所示，直線CD是線段PB的垂直平分線，點(diǎn)P為直線CD上的一點(diǎn)，且PA=5，則線段PB的長(zhǎng)為（）A.6B.5C.4D.3PABCD2.如圖2所示，在△ABC中，BC=8cm,邊AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)D，交邊AC于點(diǎn)E,

△BCE的周長(zhǎng)等于18cm,則AC的長(zhǎng)是

.圖1ABCDE圖2B10cm已知：如圖，直線l⊥AB，垂足為C，AC=CB，點(diǎn)P

在l上．求證：PA=PB．

線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等．驗(yàn)證結(jié)論

證明：∵l⊥AB，∴∠PCA=∠PCB．

又

AC=CB，PC=PC，∴△PCA≌△PCB（SAS）．∴PA=PB．PABlC

解：∵AD⊥BC，BD=DC，∴AD

是BC

的垂直平分線，∴AB=AC．∵

點(diǎn)C在AE

的垂直平分線上，∴AC=CE．例1

如圖，AD⊥BC，BD=DC，點(diǎn)C

在AE

的垂直平分線上，AB，AC，CE

的長(zhǎng)度有什么關(guān)系？AB+BD與DE

有什么關(guān)系？ABCDE范例研討運(yùn)用新知線段垂直平分線的判定二反過(guò)來(lái)，如果PA=PB,那么點(diǎn)P是否在線段AB的垂直平分線上呢？PAB提出問(wèn)題

已知：如圖，PA=PB．

求證：點(diǎn)P在線段AB

的垂直平分線上．證明：過(guò)點(diǎn)P

作線段AB

的垂線PC，垂足為點(diǎn)C．則∠PCA=∠PCB=90°．在Rt△PCA

和Rt△PCB中，

PA=PB，

PC=PC，∴Rt△PCA≌Rt△PCB（HL）．∴AC=BC．又

PC⊥AB，∴點(diǎn)P在線段AB

的垂直平分線上．PABC知識(shí)要點(diǎn)線段垂直平分線的判定與一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上．應(yīng)用格式：∵

PA=PB，∴點(diǎn)P

在AB

的垂直平分線上．PAB作用：判斷一個(gè)點(diǎn)是否在線段的垂直平分線上.

這些點(diǎn)能組成什么幾何圖形？

你能再找一些到線段AB兩端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)嗎？能找到多少個(gè)到線段AB

兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)？

與A，B

的距離相等的點(diǎn)都在直線l上，所以直線l可以看成與A、B兩點(diǎn)

的距離相等的所有點(diǎn)的集合.PABCl應(yīng)用格式：∵AB=AC，MB=MC，∴直線AM是線段BC

的垂直平分線．A

B

C

D

M這是判斷一條直線是線段的垂直平分線的方法.例1

尺規(guī)作圖：經(jīng)過(guò)已知直線外一點(diǎn)作這條直線的垂線.ABCDEK已知：直線AB和AB外一點(diǎn)C

.求作：AB的垂線，使它經(jīng)過(guò)點(diǎn)C

.作法：（1）任意取一點(diǎn)K，使點(diǎn)K和點(diǎn)C在AB的兩旁.（2）以點(diǎn)C

為圓心，CK長(zhǎng)為半徑作弧，交AB于點(diǎn)D和點(diǎn)E.（4）作直線CF.直線CF就是所求作的垂線.（3）分別以點(diǎn)D和點(diǎn)E為圓心，大于DE的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)F.F范例研討運(yùn)用新知例2已知：如圖，點(diǎn)E是∠AOB的平分線上一點(diǎn)，EC⊥OA,ED⊥OB,垂足分別為C,D，連接CD.求證：OE是CD的垂直平分線.ABOEDC證明：∵OE平分∠AOB,EC⊥OA,ED⊥OB,∴DE=CE(角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等）.∴

OE是CD的垂直平分線.1.如圖所示，AC=AD,BC=BD,則下列說(shuō)法正確的是（）A．AB垂直平分CD；B．CD垂直平分AB

；C．AB與CD互相垂直平分；D．CD平分∠ACB

．ＡＢＣＤ2.已知線段AB，在平面上找到三個(gè)點(diǎn)D、E、F，使DA＝DB，EA＝EB,FA＝FB，這樣的點(diǎn)的組合共有

種.A無(wú)數(shù)反饋練習(xí)鞏固新知3.下列說(shuō)法：①若點(diǎn)P、E是線段AB的垂直平分線上兩點(diǎn)，則EA＝EB，PA＝PB；②若PA＝PB，EA＝EB，則直線PE垂直平分線段AB；③若PA＝PB，則點(diǎn)P必是線段AB的垂直平分線上的點(diǎn)；④若EA＝EB，則經(jīng)過(guò)點(diǎn)E的直線垂直平分線段AB．其中正確的有

（填序號(hào)）.①②③4.在銳角三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)P,，滿足PA=PB=PC,則點(diǎn)P是△ABC

()A.三條角平分線的交點(diǎn)B.三條中線的交點(diǎn)C.三條高的交點(diǎn)D.三邊垂直平分線的交點(diǎn)DEPABCDFPA=PB=PC5.如圖，△ABC中，AB=AC,AB的垂直平分線交AC于E,連接BE，AB+BC=16cm,則△BC