用迭代法求代數(shù)方程的近似根市公開課金獎市賽課一等獎?wù)n件

用迭代法

求代數(shù)方程近似根1第1頁第1頁解方程（代數(shù)方程）是最常見數(shù)學(xué)問題之一，也是眾多應(yīng)用領(lǐng)域中不可避免問題之一當前還沒有普通解析辦法來求解非線性方程，但假如在任意給定精度下，能夠解出方程近似解，則能夠認為求解問題已基本處理，至少能夠滿足實際需要本試驗主要簡介一些有效求解方程數(shù)值辦法：不動點迭代法和牛頓法。同時要求大家學(xué)會如何利用Matlab來求方程近似解問題背景和實驗?zāi)看鷶?shù)方程近似求解(教材第92-94頁)2第2頁第2頁相關(guān)概念

若f(x)

是一次多項式，稱上面方程為線性方程；不然稱之為非線性方程

線性方程與非線性方程本試驗主要討論非線性方程數(shù)值求解3第3頁第3頁內(nèi)容提綱

求解非線性方程數(shù)值算法牛頓迭代法不動點迭代法4第4頁第4頁不動點迭代法結(jié)構(gòu)f(x)=0

一個等價方程：從某個近似根x0

出發(fā)，計算得到一個迭代序列k=0,1,2,......

(x)

不動點f(x)=0x=

(x)等價變換f(x)

零點不動點迭代基本思想5第5頁第5頁若收斂，即，假設(shè)

(x)

連續(xù)，則收斂性分析迭代法收斂即注：若得到點列發(fā)散，則迭代法失效！例：用迭代法求x3-3x+1=0在[0,1]中解。fuluA.m6第6頁第6頁定義：迭代法收斂性判斷定理2：假如定理1條件成立，則有下列預(yù)計假如存在

x*某個

鄰域

=(x*-

,x*+

),

使得對

x0

開始迭代

xk+1

=

(xk)都收斂,則稱該迭代法在

x*

附近局部收斂。定理1：設(shè)

x*=

(x*)，

’(x)在

x*某個鄰域

內(nèi)連續(xù)，且對

x

都有|

’(x)|q<1,則對

x0

，由迭代

xk+1

=

(xk)得到點列收斂7第7頁第7頁迭代法收斂性判斷定理3：已知方程

x=

(x)，且(1)對

x[a,b]，有

(x)[a,b]；(2)對

x[a,b]，有|

’(x)|q<1；q越小，迭代收斂越快

’(x*)

越小，迭代收斂越快則對

x0[a,b]

，由迭代

xk+1

=

(xk)得到點列都收斂，且8第8頁第8頁牛頓迭代法令：

牛頓法基本思想用線性方程來近似非線性方程，即采用線性化辦法設(shè)非線性方程f(x)=0

,f(x)在x0

處Taylor展開為9第9頁第9頁牛頓法迭代公式

牛頓迭代公式k=0,1,2,......

牛頓法收斂速度令牛頓法至少二階局部收斂當f’(x*)

0時

’(x*)=0

(x)即為牛頓法迭代函數(shù)例：用牛頓法求x3-3x+1=0在[0,1]中解。fuluB.m10第10頁第10頁牛頓法迭代公式

牛頓法長處

牛頓法是當前求解非線性方程(組)主要辦法至少二階局部收斂，收斂速度較快，尤其是當?shù)c充足靠近準確解時。

牛頓法缺點

對重根收斂速度較慢（線性收斂）

對初值選取很敏感，要求初值相稱靠近真解在實際計算中，能夠先用其它辦法取得真解一個粗糙近似，然后再用牛頓法求解。11第11頁第11頁Matlab

解方程函數(shù)roots(p)：多項式所有零點，p

是多項式系數(shù)向量fzero(f,x0)：求f(x)=0

在x0

附近一個根，f

是函數(shù)句柄，能夠通過內(nèi)聯(lián)函數(shù)，匿名函數(shù)或函數(shù)文獻來定義，但不能是方程或符號表示式！solve(f,v)：求方程關(guān)于指定自變量解，f

是符號表示式或符號方程；solve也可解方程組(包括非線性)得不到解析解時，給出數(shù)值解linsolve(A,b)：解線性方程組12第12頁第12頁上機作業(yè)與要求