用迭代法求代數(shù)方程的近似根市公開(kāi)課金獎(jiǎng)市賽課一等獎(jiǎng)?wù)n件

用迭代法

求代數(shù)方程近似根1第1頁(yè)第1頁(yè)解方程（代數(shù)方程）是最常見(jiàn)數(shù)學(xué)問(wèn)題之一，也是眾多應(yīng)用領(lǐng)域中不可避免問(wèn)題之一當(dāng)前還沒(méi)有普通解析辦法來(lái)求解非線性方程，但假如在任意給定精度下，能夠解出方程近似解，則能夠認(rèn)為求解問(wèn)題已基本處理，至少能夠滿足實(shí)際需要本試驗(yàn)主要簡(jiǎn)介一些有效求解方程數(shù)值辦法：不動(dòng)點(diǎn)迭代法和牛頓法。同時(shí)要求大家學(xué)會(huì)如何利用Matlab來(lái)求方程近似解問(wèn)題背景和實(shí)驗(yàn)?zāi)看鷶?shù)方程近似求解(教材第92-94頁(yè))2第2頁(yè)第2頁(yè)相關(guān)概念

若f(x)

是一次多項(xiàng)式，稱上面方程為線性方程；不然稱之為非線性方程

線性方程與非線性方程本試驗(yàn)主要討論非線性方程數(shù)值求解3第3頁(yè)第3頁(yè)內(nèi)容提綱

求解非線性方程數(shù)值算法牛頓迭代法不動(dòng)點(diǎn)迭代法4第4頁(yè)第4頁(yè)不動(dòng)點(diǎn)迭代法結(jié)構(gòu)f(x)=0

一個(gè)等價(jià)方程：從某個(gè)近似根x0

出發(fā)，計(jì)算得到一個(gè)迭代序列k=0,1,2,......

(x)

不動(dòng)點(diǎn)f(x)=0x=

(x)等價(jià)變換f(x)

零點(diǎn)不動(dòng)點(diǎn)迭代基本思想5第5頁(yè)第5頁(yè)若收斂，即，假設(shè)

(x)

連續(xù)，則收斂性分析迭代法收斂即注：若得到點(diǎn)列發(fā)散，則迭代法失效！例：用迭代法求x3-3x+1=0在[0,1]中解。fuluA.m6第6頁(yè)第6頁(yè)定義：迭代法收斂性判斷定理2：假如定理1條件成立，則有下列預(yù)計(jì)假如存在

x*某個(gè)

鄰域

=(x*-

,x*+

),

使得對(duì)

x0

開(kāi)始迭代

xk+1

=

(xk)都收斂,則稱該迭代法在

x*

附近局部收斂。定理1：設(shè)

x*=

(x*)，

’(x)在

x*某個(gè)鄰域

內(nèi)連續(xù)，且對(duì)

x

都有|

’(x)|q<1,則對(duì)

x0

，由迭代

xk+1

=

(xk)得到點(diǎn)列收斂7第7頁(yè)第7頁(yè)迭代法收斂性判斷定理3：已知方程

x=

(x)，且(1)對(duì)

x[a,b]，有

(x)[a,b]；(2)對(duì)

x[a,b]，有|

’(x)|q<1；q越小，迭代收斂越快

’(x*)

越小，迭代收斂越快則對(duì)

x0[a,b]

，由迭代

xk+1

=

(xk)得到點(diǎn)列都收斂，且8第8頁(yè)第8頁(yè)牛頓迭代法令：

牛頓法基本思想用線性方程來(lái)近似非線性方程，即采用線性化辦法設(shè)非線性方程f(x)=0

,f(x)在x0

處Taylor展開(kāi)為9第9頁(yè)第9頁(yè)牛頓法迭代公式

牛頓迭代公式k=0,1,2,......

牛頓法收斂速度令牛頓法至少二階局部收斂當(dāng)f’(x*)

0時(shí)

’(x*)=0

(x)即為牛頓法迭代函數(shù)例：用牛頓法求x3-3x+1=0在[0,1]中解。fuluB.m10第10頁(yè)第10頁(yè)牛頓法迭代公式

牛頓法長(zhǎng)處

牛頓法是當(dāng)前求解非線性方程(組)主要辦法至少二階局部收斂，收斂速度較快，尤其是當(dāng)?shù)c(diǎn)充足靠近準(zhǔn)確解時(shí)。

牛頓法缺點(diǎn)

對(duì)重根收斂速度較慢（線性收斂）

對(duì)初值選取很敏感，要求初值相稱靠近真解在實(shí)際計(jì)算中，能夠先用其它辦法取得真解一個(gè)粗糙近似，然后再用牛頓法求解。11第11頁(yè)第11頁(yè)Matlab

解方程函數(shù)roots(p)：多項(xiàng)式所有零點(diǎn)，p

是多項(xiàng)式系數(shù)向量fzero(f,x0)：求f(x)=0

在x0

附近一個(gè)根，f

是函數(shù)句柄，能夠通過(guò)內(nèi)聯(lián)函數(shù)，匿名函數(shù)或函數(shù)文獻(xiàn)來(lái)定義，但不能是方程或符號(hào)表示式！solve(f,v)：求方程關(guān)于指定自變量解，f

是符號(hào)表示式或符號(hào)方程；solve也可解方程組(包括非線性)得不到解析解時(shí)，給出數(shù)值解linsolve(A,b)：解線性方程組12第12頁(yè)第12頁(yè)上機(jī)作業(yè)與要求