一種基于子空間的有效秩的確定方法

一種基于子空間的有效秩的確定方法

1多譜線增強(qiáng)器的改進(jìn)譜線放大的目的是將聲波和寬帶噪聲分離開來。目前,主要采用自適應(yīng)濾波算法實(shí)現(xiàn)譜線增強(qiáng)。自適應(yīng)譜線增強(qiáng)器最早是由Widrow等在研究自適應(yīng)噪聲抵銷時(shí)提出來的。現(xiàn)在,自適應(yīng)譜線增強(qiáng)器和有關(guān)的自適應(yīng)預(yù)測濾波器已廣泛應(yīng)用于瞬時(shí)頻率估計(jì)、譜分析、窄帶檢測、語音編碼等領(lǐng)域中由于自適應(yīng)濾波算法存在漸近收斂特性,當(dāng)量測數(shù)據(jù)較短時(shí),用自適應(yīng)濾波增強(qiáng)后的諧波信號(hào)波形的起始部分誤差非常顯著。本文針對這一缺陷,提出一種多譜線增強(qiáng)器,其算法的核心思想是:對含噪諧波的短時(shí)Fourier變換(STFT)進(jìn)行奇異值分解(SVD),根據(jù)STFT所顯示的諧波個(gè)數(shù)確定有效秩,據(jù)此分離開信號(hào)和噪聲子空間,再用信號(hào)子空間重構(gòu)出諧波信號(hào)。文中給出了用這種算法所得到的譜線增強(qiáng)結(jié)果。2網(wǎng)絡(luò)模型的構(gòu)建考慮具有如下形式的疊加波形其中n(t)是均勻分布的加性白噪聲,s(t)是實(shí)值諧波上式中其中h為歸一化窗函數(shù),滿足成立。令A(yù)這里H表示共軛轉(zhuǎn)置,其中為要解決此問題,我們需要兩個(gè)定理。為簡化計(jì),假定需研究的模型為其中δ>0為噪聲方差,zi服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,即z定義軟閾值變換與硬閾值變換,其中閾值τ>0。定義1軟閾值變換定義為定義2硬閾值變換定義為前文述及的低有效秩重構(gòu)信號(hào)的出發(fā)點(diǎn)顯然是硬閾值變換,因此本文僅討論在硬閾值變換下的信號(hào)重構(gòu)問題。有關(guān)軟閾值變換的理論分析,本文不擬介紹。定義3估計(jì)量的測度或稱損失函數(shù)為其中M為采樣點(diǎn)數(shù),根據(jù)Bickel定理1設(shè)l中χ為特征函數(shù),l這里θ=(θ設(shè)x(t)為x(t)的估計(jì)。計(jì)算x(t)的短時(shí)Fourier變換STFT定理2證明設(shè)其中“根據(jù)Parseval等式,有再根據(jù)定理1即得(12)式成立。證畢定理2表明,對STFT以上定理成立的基礎(chǔ)是閾值3svd的計(jì)算步驟信號(hào)/噪聲子空間分解對于濾波等一類最小二乘問題應(yīng)當(dāng)是很有效的。然而作者在數(shù)值計(jì)算時(shí)發(fā)現(xiàn),用一固定的閾值來確定有效秩k,并不具有普適性。對于濾波問題來說,當(dāng)有效秩過小時(shí),會(huì)損失信號(hào)的細(xì)節(jié)成份,而當(dāng)有效秩過大時(shí),又會(huì)發(fā)現(xiàn)重構(gòu)的信號(hào)中包含有顯著的高頻噪聲,尤其是當(dāng)信噪比(SNR)過低時(shí),這一現(xiàn)象就變得非常明顯。再者,閾值的選取在很大程度上會(huì)受到主觀因素的影響,具有較大的不確定性。由于均勻分布的白噪聲的能量在時(shí)頻面上趨于均勻分布,而諧波在時(shí)頻面上只集中于局部區(qū)域,因而即使在信噪比很低的情況下,也能容易地從噪聲背景中辨認(rèn)出諧波的分布步驟1用(3)式計(jì)算x(t)的短時(shí)Fourier變換STFT步驟2觀察x(t)的時(shí)頻分布,確定其有幾個(gè)主要頻率分量,并將主要頻率分量數(shù)目記為N;步驟3計(jì)算A步驟5令ε為一小正數(shù)(譬如ε=0.005,由計(jì)算機(jī)精度和SVD算法精度確定)。從其中H(μ)為Heaviside函數(shù),即步驟6若C事實(shí)上,在步驟3中既可用全部STFT數(shù)據(jù)計(jì)算SVD,也可只用對應(yīng)于正頻率(或負(fù)頻率)的STFT數(shù)據(jù)計(jì)算SVD。作者發(fā)現(xiàn)并證明了它們的差別僅在于,用全部STFT數(shù)據(jù)(實(shí)部)計(jì)算得到的奇異值,比僅用一半數(shù)據(jù)(實(shí)部)計(jì)算得到的奇異值大確定出有效秩k后,用(6)式計(jì)算逼近矩陣與基于Cohen類雙線性時(shí)頻分布的信號(hào)重構(gòu)方法相比,(15)式所示的信號(hào)重構(gòu)方法省去了相位優(yōu)化過程,這是因?yàn)镾TFT保留了原信號(hào)的相位信息,而Cohen類的雙線性時(shí)頻分布則舍棄了相位信息。4譜線增強(qiáng)效果對比實(shí)驗(yàn)信號(hào)由(1)式和(2)式產(chǎn)生。在一般的基于子空間法的濾波文獻(xiàn)中,均明確地或隱含地假定含噪信號(hào)具有較高的信噪比。為了評價(jià)上一節(jié)中所提出的算法的性能,作者有意識(shí)地使用了較低的信噪比。圖1給出了三種含噪信號(hào)的時(shí)域波形、STFT、功率譜密度,以及用本文提出的算法所得到的譜線增強(qiáng)結(jié)果。圖的左半部分顯示出疊加了均勻分布的白噪聲的諧波信號(hào)波形,相應(yīng)的STFT和功率譜密度估計(jì)。右半部分顯示了未疊加噪聲的諧波信號(hào)波形、自適應(yīng)譜線增強(qiáng)結(jié)果和用本文提出的算法所得到的譜線增強(qiáng)結(jié)果。為不失一般性,信號(hào)的采樣頻率均歸一化成1Hz。對于自適應(yīng)譜線增強(qiáng)來說,學(xué)習(xí)步長對其影響很大,要獲得滿意的譜線增強(qiáng)效果,需采用較小的學(xué)習(xí)步長,但學(xué)習(xí)時(shí)間明顯增加。從圖中不難看出,用本文提出的算法所得到的譜線增強(qiáng)結(jié)果,具有很好的幅度保持特性。其中,圖1(a)中含噪諧波的SNR=0dB,參數(shù)N=1,有效秩k=2,譜線增強(qiáng)后的諧波的SNR比含噪諧波提高了14.21dB;圖1(b)中含噪諧波的SNR=0dB,參數(shù)N=2,有效秩k=4,譜線增強(qiáng)后的諧波的SNR比含噪諧波提高了11.11dB;圖1(c)中含噪諧波的SNR=5dB,參數(shù)N=3,有效秩k=6,譜線增強(qiáng)后的諧波的SNR比含噪諧波提高了9.17dB。作為對比,作者還分別設(shè)計(jì)了4階最小均方誤差自適應(yīng)FIR譜線增強(qiáng)器(其中學(xué)習(xí)步長定為相關(guān)噪聲自相關(guān)矩陣的最大特征值的倒數(shù)的0.1倍,遺忘因子置為0.0),相應(yīng)的譜線增強(qiáng)結(jié)果也在圖1中給出,自適應(yīng)譜線增強(qiáng)后的諧波的SNR分別提高了7.77dB、9.74dB和5.21dB。注意到圖中自適應(yīng)譜線增強(qiáng)結(jié)果的起始部分的誤差均很大。5異值頻率分量奇異值分解是基于子空間濾波技術(shù)中的一種常用方法,但采用固定的閾值確定有效秩缺乏足夠的適應(yīng)性,也沒有充分利用信號(hào)的時(shí)頻信息。對含噪信號(hào)的STFT進(jìn)行奇異值分解,然后根據(jù)STFT所提供的時(shí)頻信息,對奇異值進(jìn)行聚類,每一類中的奇異值對應(yīng)于一個(gè)頻率分量;亦如根據(jù)直方圖確定閾值一樣,聚類數(shù)目反映的是時(shí)頻分布集中的區(qū)域數(shù)目。這種方法利用了信號(hào)的時(shí)頻信息,對不同的諧波信號(hào)具有一定的適應(yīng)性。需要指出的是,本文的目的是要指出本文所提出的譜線增強(qiáng)方法的可行性,而無意于表明該方法比其它方法優(yōu)越。事實(shí)上,作為濾波問題的一種特例,本文提出的方法只對增強(qiáng)淹沒于噪聲中的諧波問題有效。當(dāng)信號(hào)成份變得復(fù)雜時(shí),譬如線性調(diào)頻信號(hào),由于無法確定有多少個(gè)主要頻率分量,因此