文科數(shù)學(xué)2024屆新高三開學(xué)摸底2023高二下學(xué)期期末試題及答案解析

數(shù)學(xué)2024屆新高三開學(xué)摸底2023高二下學(xué)期期末試題及答案解析數(shù)學(xué)試題（文科）注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)，回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的．1．若集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】分別解出集合，即可求得.【詳解】解：，，，，.故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查的是集合的并集運(yùn)算，正確解出集合是解決本題的關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題.2．若，則A． B． C． D．【答案】C【分析】先利用復(fù)數(shù)乘法的運(yùn)算化簡復(fù)數(shù)，再利用復(fù)數(shù)模的公式求解即可.【詳解】因?yàn)?，所?故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、模的計(jì)算公式,屬于基礎(chǔ)題.復(fù)數(shù)是高考中的必考知識(shí)，主要考查復(fù)數(shù)的概念及復(fù)數(shù)的運(yùn)算．要注意對(duì)實(shí)部、虛部的理解，掌握純虛數(shù)、共軛復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的模這些重要概念，復(fù)數(shù)的運(yùn)算主要考查除法運(yùn)算，通過分母實(shí)數(shù)化轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的乘法，運(yùn)算時(shí)特別要注意多項(xiàng)式相乘后的化簡，防止簡單問題出錯(cuò)，造成不必要的失分.3．設(shè)函數(shù)，且為奇函數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用分段函數(shù)、奇函數(shù)的性質(zhì)求解.【詳解】因?yàn)?，所以，又為奇函?shù)，所以，所以，故A，B，C錯(cuò)誤.故選：D.4．甲，乙，丙，丁四人在足球訓(xùn)練中進(jìn)行傳球訓(xùn)練，從甲開始傳球，甲等可能地把球傳給乙，丙，丁中的任何一個(gè)人，以此類推，則經(jīng)過3次傳球后乙恰接到1次球的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】將所有傳球的結(jié)果列出，再利用古典概型求結(jié)果.【詳解】傳球的結(jié)果可以分為：分別傳給3人時(shí)：乙丙丁，乙丁丙，丙乙丁，丙丁乙，丁乙丙，丁丙乙，共6種；若傳給2人時(shí)：乙丙乙，丙乙丙，乙丁乙，丁乙丁，丁丙丁，丙丁丙，共6種；再傳給甲的：乙甲乙，丙甲丙，丁甲丁，乙丙甲，乙甲丙，乙丁甲，乙甲丁，丙乙甲，丙甲乙，丁乙甲，丁甲乙，丙丁甲，丙甲丁，丁甲丙，丁丙甲，共15種；共27種，只傳乙一次的有16種，所以所求概率為故選：C5．“埃拉托塞尼篩法”是保證能夠挑選全部素?cái)?shù)的一種古老的方法.這種方法是依次寫出2和2以上的自然數(shù)，留下第一個(gè)數(shù)2不動(dòng)，剔除掉所有2的倍數(shù)；接著，在剩余的數(shù)中2后面的一個(gè)數(shù)3不動(dòng)，剔除掉所有3的倍數(shù)；接下來，再在剩余的數(shù)中對(duì)3后面的一個(gè)數(shù)5作同樣處理；……，依次進(jìn)行同樣的剔除.剔除到最后，剩下的便全是素?cái)?shù).在利用“埃拉托塞尼篩法”挑選2到20的全部素?cái)?shù)過程中剔除的所有數(shù)的和為（

）A．130 B．132 C．134 D．141【答案】B【分析】利用等差數(shù)列求和公式及素?cái)?shù)的定義即可求解.【詳解】由題可知，2到20的全部整數(shù)和為，2到20的全部素?cái)?shù)和為，所以挑選2到20的全部素?cái)?shù)過程中剔除的所有數(shù)的和為.故選：B.6．已知函數(shù)的最小正周期為T，且，若的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】運(yùn)用二倍角公式化簡，結(jié)合與的對(duì)稱性求得的值，進(jìn)而求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以．又因?yàn)椋?，即，①又因?yàn)榈膱D象關(guān)于直線對(duì)稱，所以，．所以，，②所以由①②得，所以，故．故選：A.7．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若，則角C＝（）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用余弦定理求出的值，結(jié)合角的取值范圍可求得角的值．【詳解】由余弦定理可得，，．故選：．8．在中，點(diǎn)在邊上，且，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用向量的線性運(yùn)算法則計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在邊上，且，所以，所以，故選：D9．貫耳瓶流行于宋代，清代亦有仿制，如圖所示的青花折枝花卉紋六方貫耳瓶是清乾隆時(shí)期的文物，現(xiàn)收藏于首都博物館，若忽略瓶嘴與貫耳，把該瓶瓶體看作3個(gè)幾何體的組合體，上面的幾何體Ⅰ是直棱柱，中間的幾何體Ⅱ是棱臺(tái)，下面的幾何體Ⅲ也是棱臺(tái)，幾何體Ⅲ的下底面與幾何體Ⅰ的底面是全等的六邊形，幾何體Ⅲ的上底面面積是下底面面積的4倍，若幾何體Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的高之比分別為，則幾何體Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的體積之比為（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)上面的六棱柱的底面面積為S，高為，根據(jù)棱柱和棱臺(tái)的體積公式直接計(jì)算，然后求比可得.【詳解】設(shè)上面的六棱柱的底面面積為S，高為，由上到下的三個(gè)幾何體體積分別記為，則，，，所以故選：D

10．已知過雙曲線：的右焦點(diǎn)作軸的垂線與兩條漸近線交于，，的面積為，則該雙曲線的離心率為（

）A． B． C．2 D．【答案】A【分析】先結(jié)合雙曲線的漸近線方程求出，再根據(jù)三角形面積公式得到即可.【詳解】

由題知，雙曲線的漸近線為，得，，，，，故選：A.11．已知直線上的兩點(diǎn)，且，點(diǎn)為圓上任一點(diǎn)，則的面積的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】找到圓上的點(diǎn)到直線距離的最大值作為的高，再由面積公式求解即可.【詳解】把圓變形為，則圓心，半徑，圓心到直線的距離，則圓上的點(diǎn)到直線的距離的最大值為，又，∴的面積的最大值為．故選：A．12．，，，則的大小關(guān)系為（

）.A． B．C． D．【答案】B【分析】分別構(gòu)造函數(shù)證明與，利用這兩個(gè)不等式可判斷；構(gòu)造函數(shù)，可證得，即可判斷，從而得出答案.【詳解】令，則，則在上單調(diào)遞增，故，則．第21頁/共21頁令，則，則在上單調(diào)遞增，故，則．所以，即；令，則，因?yàn)?，所以，則，故，所以在上單調(diào)遞增，則，即，易知，所以，則，即；綜上：.故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.平面向量，滿足，，則______．【答案】1【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示及數(shù)量積的坐標(biāo)表示計(jì)算作答.【詳解】因?yàn)椋?，則，所以.故答案為：114.如果x，y滿足，則的最小值為______．【答案】【解析】【分析】作出不等式組表示的平面區(qū)域，再利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義求解作答.【詳解】作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖中陰影（含邊界），其中，令，即表示斜率為，縱截距為的平行直線系，畫直線，平移直線到直線，當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，直線的縱截距最小，最小，即，所以的最小值為.故答案為：15.某玩具廠計(jì)劃設(shè)計(jì)一款玩具，準(zhǔn)備將一個(gè)棱長為4cm的正四面體（所有棱長都相等的三棱錐）密封在一個(gè)圓柱形容器內(nèi)，并且這個(gè)正四面體在該圓柱形容器內(nèi)可以任意轉(zhuǎn)動(dòng)，則該圓柱形容器內(nèi)壁高的最小值為______cm．【答案】【解析】【分析】依題意該正四面體內(nèi)接于該圓柱的內(nèi)切球時(shí)，圓柱形容器內(nèi)壁高的最小，則正四面體外接球的直徑即為圓柱形容器內(nèi)壁的高，求出正四面體外接球的半徑，即可得解.【詳解】依題意該圓柱內(nèi)放置一個(gè)棱長為的正四面體，并且正四面體在該圓柱內(nèi)可以任意轉(zhuǎn)動(dòng)，則該正四面體內(nèi)接于該圓柱的內(nèi)切球時(shí)，圓柱形容器內(nèi)壁高最小，則正四面體外接球的直徑即為圓柱形容器內(nèi)壁的高，如圖正四面體，設(shè)點(diǎn)在面內(nèi)的射影為，即面，則球心上，，所以，設(shè)外接圓的半徑為，，所以，在中，，即，解得，所以該圓柱形容器內(nèi)壁高的最小值為.故答案為：16.已知是曲線上的點(diǎn)，是曲線上的點(diǎn)，恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】要恒成立即求的最小值，因?yàn)榍€與曲線互為反函數(shù)，關(guān)于直線對(duì)稱，故的最小值為曲線上的點(diǎn)到于直線的距離的兩倍，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出即可.【詳解】要恒成立即求的最小值，因?yàn)榍€與曲線互為反函數(shù)，所以圖像關(guān)于直線對(duì)稱，又是曲線上的點(diǎn)，是曲線上的點(diǎn)，所以的最小值為曲線上的點(diǎn)到于直線的距離的兩倍，由，設(shè)與直線的平行且在上的切點(diǎn)為：，則，即，所以曲線上切點(diǎn)為，所以到直線的距離的最小值即為點(diǎn)到直線的距離的最小值，即，所以，所以，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是：.故答案為：三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．17.在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，，．（1）求和的值；（2）若的面積為，求的值．【答案】（1），；（2）13.【解析】【分析】（1）在中，利用同角公式、二倍角的正余弦公式及和角的余弦公式求解作答.（2）由（1）中信息，結(jié)合三角形的面積求出，再由正弦定理求解作答.【小問1詳解】在中，，，則，而，則，，因此.【小問2詳解】在中，由（1）知，而，則，于是的面積，解得，由正弦定理得，即，因此，所以.18.某地區(qū)新高考要求語文、數(shù)學(xué)和英語是考生的必考科目，考生還要從物理、化學(xué)、生物、歷史、地理和政治六個(gè)科目中選取三個(gè)科目作為選考科目．現(xiàn)從該地區(qū)已選科的學(xué)生中隨機(jī)選出200人，對(duì)其選科情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，選考物理的占，選考政治的占，物理和政治都選的有80人.（1）完成選考物理和政治的人數(shù)的列聯(lián)表，并判斷是否可以在犯錯(cuò)誤概率不超過的前提下，認(rèn)為考生選考物理與選考政治有關(guān)？選考政治的人數(shù)沒選考政治的人數(shù)合計(jì)選考物理的人數(shù)沒選考物理的人數(shù)合計(jì)（2）若甲、乙、丙三人選考的是物理、化學(xué)和生物，A，B兩人選考的是歷史、地理和政治，從這5人中隨機(jī)選出2人，求這兩人中選考物理和政治的各一人的概率.附參考數(shù)據(jù)和公式：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.70638415.0246.6357.87910.828，其中.【答案】（1）列聯(lián)表見解析，可以（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意完成列聯(lián)表，再計(jì)算出與比較即可得出判斷；（2）列舉出從5人中抽取2人包含基本事件，再分析出選考物理和政治的各一人的基本事件，根據(jù)古典概型計(jì)算公式，計(jì)算即可.【小問1詳解】根據(jù)題意，選考物理的考生有人，選考政治的考生有人，列聯(lián)表補(bǔ)充完整如下：選考政治的人數(shù)沒選考政治的人數(shù)合計(jì)選考物理的人數(shù)8040120沒選考物理的人數(shù)701080合計(jì)15050200因?yàn)?，所以在犯錯(cuò)誤概率不超過的前提下，可以認(rèn)為考生選考物理與選考政治有關(guān).【小問2詳解】從5人中抽取2人包含的基本事件有甲乙、甲丙、乙丙、甲A、甲B、乙A、乙B、丙A、丙B、AB，共10個(gè)，其中選考物理和政治的各一人的基本事件有、甲A、甲B、乙A、乙B、丙A、丙B，共6個(gè)，所以所求概率.19.已知四棱錐，底面ABCD是邊長為2的菱形，且，，，E為PB中點(diǎn)．（1）證明：；（2）若，求三棱錐的體積．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）連接，證明與可得，平面，利用線面垂直的性質(zhì)可得結(jié)論；（2）求出，結(jié)合E為PB中點(diǎn)，可得，利用可得答案.【小問1詳解】連接，因?yàn)榈酌鍭BCD是邊長為2的菱形，所以，且是的中點(diǎn)，因?yàn)?，所以，又因?yàn)槠矫?，所以平面，因?yàn)槠矫妫浴拘?詳解】因?yàn)?，所以，又因?yàn)椋?，即，因?yàn)槠矫鍭BCD，所以平面ABCD，因?yàn)榈酌鍭BCD是邊長為2的菱形，且，，所以，因?yàn)镋為PB中點(diǎn)，所以，所以20.已知是拋物線上的點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，．（1）求E的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）F是E的焦點(diǎn)，直線AF與E的另一交點(diǎn)為B，，求的值．【答案】（1）；（2）4.【解析】【分析】（1）將點(diǎn)代入拋物線方程求解作答.（2）設(shè)出直線的方程，與拋物線方程聯(lián)立，利用拋物線定義結(jié)合韋達(dá)定理求出點(diǎn)B的橫坐標(biāo)作答.【小問1詳解】依題意，拋物線過點(diǎn)，則，解得，所以E的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問2詳解】由（1）知，拋物線E的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，顯然直線不垂直于軸且斜率不為0，設(shè)直線的方程為：，點(diǎn)，由消去并整理得：，則，，而，解得，于是，，所以.21.已知函數(shù)．（1）若，函數(shù)的極大值為，求a的值；（2）若在上恒成立，求a的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，然后分，和三種情況求函數(shù)的極大值，使其極大值等于，從而可求出a的值；（2）問題轉(zhuǎn)化為在上恒成立，當(dāng)時(shí)，上式恒成立，當(dāng)時(shí)，構(gòu)造函數(shù)，然后利用求出其最小值大于等于零，從而可求出a的取值范圍．【小問1詳解】由，得，①當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，取得極大值，不合題意，②當(dāng)時(shí)，令，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，取得極大值，解得，③當(dāng)時(shí)，令，則或，當(dāng)時(shí)，，則在上遞增，所以無極值，所以不合題意，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在和上遞增，在上遞減，所以當(dāng)時(shí)，取得極大值，解得（舍去），綜上，【小問2詳解】由在上恒成立，得在上恒成立，當(dāng)時(shí)，上式恒成立，當(dāng)時(shí)，令，則，①當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上遞減，在上遞增，所以當(dāng)時(shí)取得極小值，也是最小值，所以，解得，②當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上遞減，在上遞增，所以，所以，解得，綜上，，即a的取值范圍為【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)極值問題和不等式恒成立問題，解題的關(guān)鍵是對(duì)函數(shù)求導(dǎo)后，合理分類判斷導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，考查數(shù)學(xué)分類思想和計(jì)算能力，屬于較難題.（二）選考題：共10分．請(qǐng)考生在第22、23題中任選