新教材人教A版第三章3.2.2奇偶性課件（26張）

函數(shù)的基本性質(zhì)第三章3.2.2奇偶性學(xué)習(xí)目標(biāo)1.結(jié)合具體函數(shù)，了解奇偶性的概念.2.了解奇偶性的幾何意義.核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象

新知學(xué)習(xí)

偶函數(shù)畫出函數(shù)和函數(shù)的圖像并觀察，你能發(fā)現(xiàn)什么共同的特征？

可以發(fā)現(xiàn)，這兩個(gè)函數(shù)都關(guān)于y軸對稱.也就是說，當(dāng)自變量取互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)時(shí)，函數(shù)值是相等的，即

對于，有

對于，有

常見的偶函數(shù)有，等等偶函數(shù)【思考】對于定義在R上的函數(shù)，若，那么這個(gè)函數(shù)

是偶函數(shù)嗎？

【答】不一定.因?yàn)椴⒉荒鼙ＷC所有的，所

以不一定是偶函數(shù).

【定義】一般地，設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)锳，如果對于，都有，且，即的圖像關(guān)于y軸對稱，那么就稱為偶函數(shù).

要證明某個(gè)函數(shù)不是偶函數(shù)，只需要列舉出一個(gè)反例x0，證明f(-x0)≠f(x0)即可【1】①該函數(shù)的定義域關(guān)于y軸對稱，即任意x∈A(A為定義域)，-x∈A；

②任取一個(gè)自變量x，都滿足f(-x)=f(x)偶函數(shù)【總結(jié)】一般地，一個(gè)函數(shù)是偶函數(shù)的兩個(gè)判斷方式：【2】幾何法，函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對稱，那么函數(shù)就是偶函數(shù)

偶函數(shù)偶函數(shù)

圖像關(guān)于y軸對稱代數(shù)特征幾何特征定義中，的常見變形有：

畫出函數(shù)和函數(shù)的圖像并觀察，你能發(fā)現(xiàn)什么共同的特征？奇函數(shù)

可以發(fā)現(xiàn)，這兩個(gè)函數(shù)都關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱.也就是說，當(dāng)自變量取互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)時(shí)，函數(shù)值也互為相反數(shù)，即

對于，有對于，有

【定義】一般地，設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)锳，如果對于，都有，且，即的圖像關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱，那么就稱

為奇函數(shù).

奇函數(shù)常見的偶函數(shù)有，,等等【思考】對于定義在R上的函數(shù)，若，那么這個(gè)

函數(shù)是奇函數(shù)嗎？

【答】不一定.因?yàn)椴⒉荒鼙ＷC所有的

，

所以不一定是奇函數(shù).

奇函數(shù)要證明某個(gè)函數(shù)不是奇函數(shù)，只需要列舉出一個(gè)反例x0，證明f(-x0)≠-f(x0)即可【1】①該函數(shù)的定義域關(guān)于y軸對稱，即任意x∈A(A為定義域)，-x∈A；

②任取一個(gè)自變量x，都滿足f(-x)=-f(x)【總結(jié)】一般地，一個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)的兩個(gè)判斷方式：【2】幾何法，函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱，那么函數(shù)就是偶函數(shù)

奇函數(shù)奇函數(shù)

圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱代數(shù)特征幾何特征定義中，的常見變形有：

如果奇函數(shù)在

處有定義，則：

如何證明這個(gè)結(jié)論？

函數(shù)奇偶性的判斷【例題】判斷下列函數(shù)的奇偶性.【解】(1)首先判斷定義域?yàn)镽，關(guān)于y軸對稱，再判斷：

所以此函數(shù)是偶函數(shù)；【解】(2)首先判斷定義域?yàn)镽，關(guān)于y軸對稱，再判斷：

所以此函數(shù)是奇函數(shù)；【解】(3)首先判斷定義域?yàn)?/p>

，關(guān)于y軸對稱，再判斷：

所以此函數(shù)是奇函數(shù)；【解】(3)首先判斷定義域?yàn)?/p>

，關(guān)于y軸對稱，再判斷：

所以此函數(shù)是偶函數(shù).判斷函數(shù)奇偶性，首先要看定義域.

④既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù).函數(shù)奇偶性的判斷利用定義判斷函數(shù)奇偶性的方法：【1】一看定義域：奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義域一定關(guān)于y軸對稱，如果一個(gè)函數(shù)的定

義域關(guān)于y軸對稱，那么它才有可能是奇函數(shù)或者偶函數(shù)，否則就沒有探究下

去的必要.【2】二看等式：滿足第一點(diǎn)之后，判斷與的關(guān)系：函數(shù)既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)

①是偶函數(shù)；

②是奇函數(shù)；

③是非奇非偶函數(shù)；

奇(偶)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用【探究】（1）如何判斷函數(shù)的奇偶性？【解】(1)利用函數(shù)奇偶性定義來判斷，函數(shù)

的定義域?yàn)镽，且有

所以此

函數(shù)是奇函數(shù).

（2）已知函數(shù)圖像的一部分，如何畫出剩余部分？

(2)由奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱可以畫出函數(shù)在y軸左側(cè)對的圖像，將y軸右側(cè)的圖像沿著原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°即可，畫出的圖像如圖所示.

奇(偶)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用【拓展】（1）奇偶函數(shù)的單調(diào)性：①奇函數(shù)：奇函數(shù)在y軸左右兩邊的單調(diào)性是完全相同的.如果

奇函數(shù)在區(qū)間[a,b]上的單調(diào)增函數(shù)，那么在區(qū)間[-a,-b]上就

是單調(diào)增函數(shù).②偶函數(shù)：奇函數(shù)在y軸左右兩邊的單調(diào)性是完全相反的.如果

偶函數(shù)在區(qū)間[a,b]上的單調(diào)增函數(shù)，那么在區(qū)間[-a,-b]上就

是單調(diào)減函數(shù).

奇(偶)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用【拓展】（2）奇偶函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)及符合函數(shù)的奇偶性：

設(shè)，的定義域分別是A和B，在公共定義域上有：【注】上表中不考慮和的情況；

中需，.偶偶偶偶奇

奇奇奇偶奇偶奇偶奇偶奇偶偶偶奇

【1】已知是偶函數(shù)，是奇函數(shù)，將下面的圖像補(bǔ)充完整.【解】根據(jù)奇偶函數(shù)的對稱性，分別將偶函數(shù)沿著y軸作對稱；

把奇函數(shù)沿著原點(diǎn)作中心對稱，答案見圖上.

即時(shí)鞏固隨堂小測1.下列圖象表示的函數(shù)具有奇偶性的是√2.函數(shù)f(x)＝x(－1<x≤1)的奇偶性是A.奇函數(shù)B.偶函數(shù)C.非奇非偶函數(shù)D.既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)√3.已知f(x)是奇函數(shù)，且當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝x－1，則當(dāng)x<0時(shí)，f(x)等于A.x＋1 B.x－1C.－x－1 D.－x＋1√4.定義在R上的偶函數(shù)f(x)在[0，＋∞)上是增函數(shù)，若f(a)<f(b)，則一定可得A.a<b B.a>bC.|a|<|b≤a<b或a>b≥0√5.已知函數(shù)y＝f(x)＋x是偶函數(shù)，且f(2)＝1，則f(－2)＝___.5解析函數(shù)y＝f(x)＋x是偶函數(shù)，∴x＝±2時(shí)函數(shù)值相等.∴f(－2)－2＝f(2)＋2，∴f(－2)＝5.6.已知函數(shù)y＝f(x)＋x是偶函數(shù)，且f(2)＝1，則f(－2)＝___.5解析函數(shù)y＝f(x)＋x是偶函數(shù)，∴x＝±2時(shí)函數(shù)值相等.∴f(－2)－2＝f(2)＋2，∴f(－2)＝5.7.已知對于函數(shù)f(x)＝x2＋ax定義域內(nèi)任意x，有f(1－x)＝f(1＋x)，則實(shí)數(shù)a＝___.－28.若函數(shù)f(x)＝(m－1)x2＋(m－2)x＋(m2－7m＋12)為偶函數(shù)，則m的值是___.2解析∵f(x)為偶函數(shù)，∴對于任意x∈R，有f(－x)＝f(x)，即(m－1)(－x)2＋(m－2)(－x)＋(m2－7m＋12)＝(m－1)x2＋(m－2)x＋(m2－7m＋12)，∴2(m－2)x＝0對任意實(shí)數(shù)x均成立，∴m＝2.課堂小結(jié)1.兩個(gè)定義：對于f(x)定義域內(nèi)的任意一個(gè)x，如果都有f(－x)＝－f(x)?f(－x)＋f(x)＝0?f(x)為奇函數(shù)；如果都有f(－x)＝f(x)?f(－x)－f(x)＝0?f(x)為偶函數(shù).2.兩個(gè)性質(zhì)：函數(shù)為奇函數(shù)?它的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱；函數(shù)為偶函數(shù)?它的圖象關(guān)于y軸對稱.3.證明一個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)，必須對f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f(－x)＝－f(x).而證明一個(gè)函數(shù)不是奇函數(shù)，只要能舉出一個(gè)反例就可以了.4.函數(shù)的奇偶性是其相應(yīng)圖象特殊對稱性的反映，也體現(xiàn)了在關(guān)于原點(diǎn)對稱的定義域的兩個(gè)區(qū)間上函數(shù)值及其性質(zhì)的相互轉(zhuǎn)化，這是對稱思想