專題1-4 空間向量及其運(yùn)算的坐標(biāo)表示【八大題型】（舉一反三）（原卷版）

專題1.4空間向量及其運(yùn)算的坐標(biāo)表示【八大題型】【人教A版（2019）】TOC\o"1-3"\h\u【題型1求空間點(diǎn)的坐標(biāo)】 1【題型2空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示】 2【題型3空間向量數(shù)量積運(yùn)算的坐標(biāo)表示】 3【題型4根據(jù)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求參數(shù)】 3【題型5空間向量模長(zhǎng)的坐標(biāo)表示】 4【題型6空間向量平行的坐標(biāo)表示】 6【題型7空間向量垂直的坐標(biāo)表示】 7【題型8空間向量夾角余弦的坐標(biāo)表示】 8【知識(shí)點(diǎn)1空間直角坐標(biāo)系】1．空間直角坐標(biāo)系(1)空間直角坐標(biāo)系及相關(guān)概念①空間直角坐標(biāo)系：在空間選定一點(diǎn)O和一個(gè)單位正交基底eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(i，j，k))，以O(shè)為原點(diǎn)，分別以i，j，k的方向?yàn)檎较?，以它們的長(zhǎng)為單位長(zhǎng)度建立三條數(shù)軸：x軸、y軸、z軸，它們都叫做坐標(biāo)軸，這時(shí)我們就建立了一個(gè)空間直角坐標(biāo)系O-xyz.②相關(guān)概念：O叫做原點(diǎn)，i，j，k都叫做坐標(biāo)向量，通過(guò)每?jī)蓚€(gè)坐標(biāo)軸的平面叫做坐標(biāo)平面，分別稱為Oxy平面、Oyz平面、Ozx平面，它們把空間分成八個(gè)部分．(2)右手直角坐標(biāo)系在空間直角坐標(biāo)系中，讓右手拇指指向x軸的正方向，食指指向y軸的正方向，如果中指指向z軸的正方向，則稱這個(gè)坐標(biāo)系為右手直角坐標(biāo)系．2．空間一點(diǎn)的坐標(biāo)在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中，i，j，k為坐標(biāo)向量，對(duì)空間任意一點(diǎn)A，對(duì)應(yīng)一個(gè)向量eq\o(OA,\s\up6(→))，且點(diǎn)A的位置由向量eq\o(OA,\s\up6(→))唯一確定，由空間向量基本定理，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使eq\o(OA,\s\up6(→))＝xi＋yj＋zk.在單位正交基底{i，j，k}下與向量eq\o(OA,\s\up6(→))對(duì)應(yīng)的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)叫做點(diǎn)A在此空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記作A(x，y，z)，其中x叫做點(diǎn)A的橫坐標(biāo)，y叫做點(diǎn)A的縱坐標(biāo)，z叫做點(diǎn)A的豎坐標(biāo)．【題型1求空間點(diǎn)的坐標(biāo)】【例1】（2023春·山東青島·高二校聯(lián)考期中）空間直角坐標(biāo)系中，已知A?1,1,3，則點(diǎn)A關(guān)于yOz平面的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A．1,1,?3 B．?1,?1,?3 C．1,1,3 D．?1,?1,3【變式1-1】（2023秋·陜西寶雞·高二統(tǒng)考期末）已知點(diǎn)A(3,?1,0)，若向量AB=?1,6,?3，則點(diǎn)B的坐標(biāo)是（A．(1,?6,3) B．(5,4,?3) C．(?1,6,?3) D．(2,5,?3)【變式1-2】（2023秋·北京懷柔·高二統(tǒng)考期末）若點(diǎn)A1,2,3，點(diǎn)B4,?1,0，且AC=2CB，則點(diǎn)A．3,0,1 B．2,1,2C．32,?3【變式1-3】（2023·高二單元測(cè)試）在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)P(x,y,z)下列敘述中正確的是（

）①點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)是P②點(diǎn)P關(guān)于yOz平面的對(duì)稱點(diǎn)是P③點(diǎn)P關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)是P④點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)是PA．①② B．①③ C．②④ D．②③【知識(shí)點(diǎn)2空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算】1．空間向量的坐標(biāo)在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，給定向量a，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a.由空間向量基本定理，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)叫做a在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中的坐標(biāo)，上式可簡(jiǎn)記作a＝(x，y，z)．2．空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算設(shè)a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，有向量運(yùn)算向量表示坐標(biāo)表示加法a＋ba＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)減法a－ba－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)數(shù)乘λaλa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R數(shù)量積a·ba·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3【題型2空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示】【例2】（2023春·全國(guó)·高二校聯(lián)考開學(xué)考試）已知向量a=3,?4,2，b=2,?3,1，則A．7,?10,4 B．5,?7,3 C．1,?1,1 D．?1,2,0【變式2-1】（2023秋·江西吉安·高二?？计谀┮阎蛄緼B=2,A．?2,?2,?2 B．（8，15，3）【變式2-2】（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知向量a=2,3,?4,b=A．0,3,?6 B．0,6,?20 C．0,6,?6 D．6,6,?6【變式2-3】（2022秋·河南信陽(yáng)·高二校考階段練習(xí)）在空間四邊形ABCD中，若向量AB=（﹣3，5，2），CD=（﹣7，-1，﹣4），點(diǎn)E，F(xiàn)分別為線段BC，AD的中點(diǎn)，則EF的坐標(biāo)為（

）A．（2，3，3） B．（﹣2，﹣3，﹣3）C．（5，﹣2，1） D．（﹣5，2，﹣1）【題型3空間向量數(shù)量積運(yùn)算的坐標(biāo)表示】【例3】（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）若A(2,?4,?1)，B(?1,5,1)，C(3,?4,1)，則CA?CB=A．-11 B．3 C．4 D．15【變式3-1】（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）若a=2,3,2,b=A．?1 B．0 C．1 D．2【變式3-2】（2023春·山東濟(jì)寧·高三?？茧A段練習(xí)）已知棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD?A1B1C1D1的上底面A．-1 B．0 C．1 D．2【變式3-3】（2022春·廣西桂林·高二?？计谥校┮阎庵鵄BCDEF?A1B1C1DA．(?12,C．(?12,1)【題型4根據(jù)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求參數(shù)】【例4】（2022秋·廣東江門·高二校考期中）a=(2，-1，3)，b=(-1，4，-2)，c=(3，2，λ)，若c=2a+b，則實(shí)數(shù)A．2 B．3 C．4 D．5【變式4-1】（2022秋·廣西南寧·高二?？计谥校┮阎猘=?3,2,5，b=1,x,?1，且A．6 B．5 C．4 D．3【變式4-2】（2023秋·北京豐臺(tái)·高二?？计谀┤粝蛄縜=(1,?1,λ),b=(1,?2,1),c=(1,1,1)，滿足條件(A．?1 B．?2 C．1 D．2【變式4-3】（2023秋·河南鄭州·高二?？茧A段練習(xí)）已知點(diǎn)A1,?1,2，B2,?1,1，C3,3,2，又點(diǎn)Px,7,?2在平面ABC內(nèi)，則A．11 B．9 C．1 D．?4【知識(shí)點(diǎn)3用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算解決相關(guān)的幾何問(wèn)題】1．空間向量的平行、垂直及模、夾角設(shè)a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，則有當(dāng)b≠0時(shí)，a∥b?a＝λb?a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)；a⊥b?a·b＝0?a1b1＋a2b2＋a3b3＝0；|a|＝eq\r(a·a)＝eq\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))；cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))\r(b\o\al(2,1)＋b\o\al(2,2)＋b\o\al(2,3))).2．空間兩點(diǎn)間的距離公式設(shè)P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空間中任意兩點(diǎn)，則P1P2＝|eq\o(P1P2,\s\up6(→))|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12＋z2－z12).3．利用空間向量基本定理解決幾何問(wèn)題的思路:(1)平行和點(diǎn)共線都可以轉(zhuǎn)化為向量共線問(wèn)題；點(diǎn)線共面可以轉(zhuǎn)化為向量共面問(wèn)題；(2)幾何中的求夾角、證明垂直都可以轉(zhuǎn)化為向量的夾角問(wèn)題，解題中要注意角的范圍；(3)幾何中求距離(長(zhǎng)度)都可以轉(zhuǎn)化為向量的模，用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算可以求得．【題型5空間向量模長(zhǎng)的坐標(biāo)表示】【例5】（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為D1D，BD的中點(diǎn)，G在棱CD上，且CG=14CD，H為C1G【變式5-1】（2023春·福建龍巖·高二校聯(lián)考期中）如圖，在直四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，AB//CD，AB⊥AD，AA1=AB=2AD=2CD=4

(1)求線段FG的長(zhǎng)度；(2)求CG?【變式5-2】（2023春·福建龍巖·高二校考階段練習(xí)）如圖，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，CA=CB=1，∠BCA=90°，AA(1)求M,N的距離；(2)求cosB【變式5-3】（2022秋·福建·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知空間三點(diǎn)，A0,2,3，B?(1)求以AB,AC為邊的平行四邊形的面積；(2)若AD=7，且∠DAB=∠DAC=60°，點(diǎn)P【題型6空間向量平行的坐標(biāo)表示】【例6】（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）已知空間三點(diǎn)A(?2,0,2)，B(?1,1,2)，C(?3,0,4)，設(shè)a=AB,b=【變式6-1】（2022·高二課時(shí)練習(xí)）已知A(3,4,0),B(2,5,5),C(0,3,5)，且ABCD是平行四邊形，求頂點(diǎn)D的坐標(biāo)．【變式6-2】（2023春·上海浦東新·高二統(tǒng)考期末）已知a=1,4,?2，(1)若c=12(2)若ka+b【變式6-3】（2022·高二課時(shí)練習(xí)）正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是棱D1D的中點(diǎn)，P、Q分別為線段B1D1，BD上的點(diǎn)，且3B1P＝PD1，若PQ⊥AE，BD【題型7空間向量垂直的坐標(biāo)表示】【例7】（2023春·高二單元測(cè)試）已知空間三點(diǎn)A(?2,0,2),B(?1,1,2)，C(?3,0,4)，設(shè)a=AB,b=AC.若m(a【變式7-1】（2023春·江蘇連云港·高二?？茧A段練習(xí)）已知a=3,2,?1，(1)求a?(2)當(dāng)a?b⊥【變式7-2】（2023春·江蘇連云港·高二校聯(lián)考期中）已知空間中三點(diǎn)A2,0,?2，B1,?1,3，C3,0,1，設(shè)a(1)若c=3，且c∥BC(2)已知向量a+kb與b【變式7-3】（2023秋·江西吉安·高二校考期末）已知a=1,?4,5，b=?2,3,2，點(diǎn)(1)求2a(2)在線段AB上，是否存在一點(diǎn)E，使得OE⊥b？若存在，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．（【題型8空間向量夾角余弦的坐標(biāo)表示】【例8】（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為D1D，BD的中點(diǎn)，G在棱CD上，且CG=14CD【變式8-1