圓外亞純函數(shù)的nevallinna型理論及其應(yīng)用

圓外亞純函數(shù)的nevallinna型理論及其應(yīng)用

由于需要深入研究微分方程，biebach在這項工作中提出并簡單研究了純文本函數(shù)的漢語理論。他只證明了漢語-漢語-希利函數(shù)的第一個基本方程。使用的工具是green公式，但沒有其他結(jié)果。隨著我們現(xiàn)在發(fā)現(xiàn)這一理論在研究周期微分方程離散指數(shù)理論中的重要應(yīng)用而被發(fā)現(xiàn)，因此有必要深入研究該理論。在文獻和中，我們使用新方法來證明元外亞春函數(shù)的第一和第二基本方程。同時，我們還證明了其他相關(guān)結(jié)果。在這項工作中，我們繼續(xù)研究元外亞春函數(shù)的微分候鳥理論及其應(yīng)用，并第一次證明了其他兩個clunie-hayan分類。1圓外亞純函數(shù)的及其應(yīng)用在文或中,我們引進了圓外亞純函數(shù)w(z)的特征函數(shù)T1(r,w):設(shè)w(z)在R0<|z|<+∞中亞純,則對任一r>R0,記Τ1(r,w)=m1(r,w)+Ν1(r,w),(1)其中m1(r,w)=12π∫2π0log+|w(reiθ)|dθ,(2)N1(r,w)記w(z)在R0<|z|<r中的極點的計數(shù)函數(shù).在文或中我們說明了圓外解析函數(shù)的Valiron表示可擴展為圓外亞純函數(shù):若w(z)如前所設(shè),則有表示w(z)=zmψ(z)f(z),(3)其中m是整數(shù),ψ(z)在R0<|z|中(包括z=∞)解析,ψ(z)≠0(包括z=∞),f(z)是亞純函數(shù),且f(z)=u(z)v(z)eh(z),(4)式中u(z),v(z)分別是w(z)在R0<|z|<+∞中的零點和極點構(gòu)成的Weierstrass乘積,h(z)是整函數(shù).在文或中我們利用式(3)導(dǎo)出了Τ1(r,w)=Τ(r,f)+Ο(logr)(5)和Τ1(r,1/w)=Τ1(r,w)+Ο(logr).(6)式(6)就是圓外亞純函數(shù)的Jensen型公式.在文中定義了圓外亞純函數(shù)的級:ˉlimr→∞logΤ1(r,w)logr,(7)以σ1(w)記之.在文中還證明了σ1(w)=σ(f),其中σ(f)記式(3)中亞純函數(shù)f(z)的級.在文中,我們證明了圓外亞純函數(shù)對數(shù)導(dǎo)數(shù)基本引理:若w(z)如前所設(shè),則m1(r,w(k)w)=S1(r,w),(8)其中S1(r,w)=o{T1(r,w)}n.e.(“n.e.”記r→∞,可能需除去一線測度為有限的r值集外).在文中,我們定義了:w(z)如前所設(shè).若w(z)以z=∞為解析點或極點,則稱w(z)為圓外有理函數(shù).否則,則稱w(z)為圓外超越亞純函數(shù).另在文中,我們證明了:w(z)為圓外有理函數(shù)的充要條件是T1(r,w)=O(logr),r>R0.關(guān)于圓外亞純函數(shù)的微分多項式理論,最近在文中我們證明了推廣的Clunie型引理:引理1設(shè)w(z)在R0<|z|<+∞中亞純,滿足wnP(w)=Q(w),其中P(w)和Q(w)是w(z)的微分多項式,它們的系數(shù)是在R0<|z|<+∞中的亞純函數(shù)bj(z),Q(z)的次數(shù)至多為n,則當(dāng)r>R0時,m1(r,Ρ(w))=Ο{∑jm1(r,bj)+S1(r,w)},或?qū)嶋H上m1(r,Ρ(w))[JX-*8]≤[JX*8]∑jm1(r,bj)+S1(r,w).另在文中,我們還證明了一推廣的Clunie-Hayman型定理:定理A設(shè)ξ(z)在R0<|z|<+∞中為超越亞純函數(shù),g(z)=ξ(z)n+Pn-1(ξ)滿足存在正常數(shù)d<σ1(ξ)(當(dāng)σ1(ξ)=0時,置d=0)使Ν1(r,ξ)+ˉΝ1(r,1/g)=S1(r,ξ)+o(rd),其中Pn-1(ξ)是次數(shù)至多為n-1的ξ(z)的微分多項式,它的系數(shù)是在R0<|z|<+∞中的亞純函數(shù)bj(z),滿足T1(r,bj)=S1(r,ξ)+o(rd).那么,g(z)=η(z)n,其中η(z)=ξ(z)+a(z),a(z)是在R0<|z|<+∞中的亞純函數(shù),滿足T1(r,a)=S1(r,ξ)+o(rd),以及na(z)η(z)n-1可按下法求得:它等于Pn-1(ξ)中的n-1次項部分,但要將其中的ξ換為η,ξ′換為η′等.為了證明我們的新結(jié)果,我們還需以下引理:引理2設(shè)w(z)在區(qū)域D亞純,令w′(z)/w(z)=ξ(z),則當(dāng)n≥1時,w(n)(z)w(z)=ξn+n(n-1)2ξn-2ξ′+αnξn-3ξ″其中αn=16n(n-1)(n-2),βn=18n(n-1)(n-2)(n-3),Ρn-3(ξ)是ξ的常系數(shù)微分多項式,當(dāng)n≤3時,它恒等于零,當(dāng)n>3時,它的次數(shù)為n-3.2定理1設(shè)w(z)是在R0<|z|<+∞中不為常數(shù)的亞純函數(shù),且對某一整數(shù)l≥2,Ν1(r,w)+Ν1(r,1w)+Ν1(r,1w(l))=S1(r,w′w)?(9)則w(z)=ψ(z)Ρ1(z)ep3(z)/Ρ2(z),其中ψ(z)在R0<|z|中解析(包括z=∞),ψ(z)≠0(包括z=∞),P1(z),P2(z)及P3(z)是多項式.證令ξ(z)=w′(z)/w(z).若ξ(z)是有理的,則由后面定理2的證明知結(jié)論成立.現(xiàn)考慮ξ(z)是超越的情況.由引理2,w(l)w=ξl+l(l-1)2ξ(l-2)ξ′+αlξl-3ξ?+βlξl-4ξ′2+Ρl-3(ξ)=g(z).(10)由式(9),Ν1(r,1g)=Ν1(r,ww(l))[JX-*8]≤[JX*8]Ν1(r,w)+Ν1(r,1w(l))=S1(r,ξ)?Ν1(r,ξ)=Ν1(r,w′w)[JX-*8]≤[JX*8]Ν1(r,w)+Ν1(r,1w)=S1(r,ξ).于是,定理A的條件得到滿足.故g(z)=η(z)l,其中η(z)=ξ(z)+a(z),la(z)η(z)l-1=l(l-1)2η(z)l-2η′(z),即a(z)=l-12η′η?Τ1(r,a)=S1(r,ξ).由η′=2al-1η,η″=2l-1(aη′+a′η)={4a2(l-1)2+2a′l-1}η??得ξ=η-a,ξ′=η′-a′=2al-1η-a′?ξ″=η″-a″={4a2(l-1)2+2a′l-1}η-a″??.將它們代入式(10)得(η-a)l+l(l-1)2(η-a)l-2(2al-1η-a′)+al(η-a)l-3{(4a2(l-1)2+2a′l-1)η-a″}+βl(η-a)l-4(2al-1η-a′)2+Ρl-3(η-a)[JX-*8]≡[JX*8]ηl.(11)將式(11)的左端展開并按η的次數(shù)集中,得Bl-2ηl-2+Bl-3ηl-3+[JX*8]?[JX-*8]+B0[JX-*8]≡[JX*8]0?(12)其中Bl-j(j=2,…,l)是a及其導(dǎo)數(shù)的常系數(shù)多項式.易知T1(r,Bl-j)=S1(r,ξ).若l=2,由式(12)得Bl-2=B0≡0.若l>2,應(yīng)用引理1于式(12)得m1(r,Bl-2η)=Ο{∑j=0l-3m1(r,Bj)+S1(r,η)}=S1(r,ξ).由于Ν1(r,Bl-2η)[JX-*8]≤[JX*8]Ν1(r,Bl-2)+Ν1(r,η)=Ν1(r,Bl-2)+Ο{Ν1(r,ξ)}=S1(r,ξ),故得T1(r,Bl-2η)=S1(r,ξ).如果Bl-2?0,注意到ξ(z)是超越的,則T1(r,η)=T1(r,Bl-2η/Bl-2)≤T1(r,Bl-2η)+T1(r,Bl-2)+O(logr)=S1(r,ξ)+O(logr)=S1(r,ξ).于是T1(r,ξ)=T1(r,η-a)=S1(r,ξ).這個矛盾說明必有Bl-1≡0.由式(11)可直接算得Bl-2=l(l+1)6(a2l-1-a′).它可變形為Bl-2=l(l+1)(l-1)24{(2al-1)2-2(2al-1)′}.令b′=2a/(l-1),注意Bl-2≡0,得b′2-2b″[JX-*8]≡[JX*8]0.(13)首先,由式(13)可知b′(z)在R0<|z|<+∞中解析.否則,設(shè)z0是b′(z)在R0<|z|<+∞中的極點,由式(13)知z0必是b′(z)的一階極點,且b′(z)在z0鄰域的Laurent展式主部為-2/(z-z0).據(jù)此及η′η=2al-1=b′?w′w=η-l-12b′,(14)易知在z0鄰域w(z)可表為w(z)=(z-z0)meB(z)exp{d0/(z-z0)},其中B(z)在z0鄰域解析,d0為非零常數(shù),m是整數(shù).因此,w(z)以z0為本性奇點,這與w(z)在R0<|z|<+∞中亞純矛盾.其次,由式(13)可得b′(z)以z=∞為零點.事實上,若b′(z)≡0,則結(jié)論是對的;若b′(z)?0,由式(13)且注意到b′(z)在R0<|z|<+∞中解析,得T1(r,b′)=m1(r,b′)=m1(r,2b″/b′)≤S1(r,b′)+log2.這說明b′在z=∞解析,從而b″以z=∞為零點.再由式(13)知b′以z=∞為零點.但由式(14),易知ξ(z)=eb(z)+c-(l-1)·b′(z)/2是有理的,與ξ(z)是超越的假設(shè)矛盾.故ξ(z)是超越的情況不可能發(fā)生.證畢.定理2設(shè)w(z)在R0<|z|<+∞中亞純且僅有有限個極點.如果對某正整數(shù)l≥2,w(z)和w(l)(z)僅有有限個零點,則w(z)=ψ(z)Ρ1(z)Ρ2(z)eΡ3(z)?(15)其中ψ(z)在R0<|z|中解析(包括z=∞),且ψ(z)≠0(包括z=∞),P1(z),P2(z)及P3(z)是多項式.證由假設(shè),有Ν1(r,w)+Ν1(r,1w)+Ν1(r,1w(l))=Ο(logr).(16)令ξ(z)=w′(z)/w(z).如果limr→∞Τ1(r,ξ)logr=∞,即limr→0logrΤ1(r,ξ)=0,則O(logr)=S1(r,ξ)=S1(r,w′/w).易知此時ξ(z)是超越的.但由式(16)、定理1及其證明,又知這種情況不可能出現(xiàn).又如果limˉr→∞Τ1(r,ξ)logr＜+∞,則由ξ(z)的Valiron表示式(3)(在式(3)中將w(z)換為ξ(z))及式(5),知對于亞純函數(shù)f(z)也有l(wèi)imˉr→∞Τ(r,f)logr＜+∞.因此,f(z)是有理函數(shù).從而ξ(z)是圓外有理函數(shù).注意到ξ(z)=w′(z)/w(z)的所有極點都