結(jié)構(gòu)注冊工程師無窮級數(shù)

無窮級數(shù)一、數(shù)項級數(shù)二、冪級數(shù)討論斂散性求收斂范圍，將函數(shù)展開為冪級數(shù)，求和。三、傅立葉級數(shù)求函數(shù)的傅立葉級數(shù)展開，討論和函數(shù)的性質(zhì)。一、判斷數(shù)項級數(shù)斂散的方法1、利用已知結(jié)論：等比級數(shù)、P-級數(shù)及級數(shù)性質(zhì)2、利用必要條件：主要判別發(fā)散3、求部分和數(shù)列的極限4、正項級數(shù)的審斂法1）比值審斂法（根值審斂法）2）比較審斂法（或極限形式）5、交錯級數(shù)審斂法：萊布尼茲定理6、一般級數(shù)審斂法：先判斷是否絕對收斂，如果絕對收斂則一定收斂；否則判斷是否條件收斂1.數(shù)項級數(shù)及收斂定義：給定一個數(shù)列將各項依即稱上式為無窮級數(shù)，其中第n項叫做級數(shù)的一般項,級數(shù)的前n項和稱為級數(shù)的部分和.次相加,簡記為收斂,則稱無窮級數(shù)并稱S為級數(shù)的和。

等比級數(shù)(又稱幾何級數(shù))(q稱為公比).級數(shù)收斂,級數(shù)發(fā)散

.其和為P-級數(shù)2.無窮級數(shù)的基本性質(zhì)

性質(zhì)1.

若級數(shù)收斂于S,則各項乘以常數(shù)c所得級數(shù)也收斂,即其和為cS.性質(zhì)2.

設(shè)有兩個收斂級數(shù)則級數(shù)也收斂,其和為說明:(2)若兩級數(shù)中一個收斂一個發(fā)散,則必發(fā)散.但若二級數(shù)都發(fā)散,不一定發(fā)散.(1)性質(zhì)2表明收斂級數(shù)可逐項相加或減.(用反證法可證)性質(zhì)3.在級數(shù)前面加上或去掉有限項,不會影響級數(shù)的斂散性.性質(zhì)4.收斂級數(shù)加括弧后所成的級數(shù)仍收斂于原級的和.推論:

若加括弧后的級數(shù)發(fā)散,則原級數(shù)必發(fā)散.注意:

收斂級數(shù)去括弧后所成的級數(shù)不一定收斂.性質(zhì)5：設(shè)收斂級數(shù)則必有可見:

若級數(shù)的一般項不趨于0,則級數(shù)必發(fā)散.*例1.判斷級數(shù)的斂散性:解:該級數(shù)是下列兩級數(shù)之差故原級數(shù)收斂.(比較審斂法)設(shè)且存在對一切有(1)若強級數(shù)則弱級數(shù)(2)若弱級數(shù)則強級數(shù)則有收斂,也收斂;發(fā)散,也發(fā)散.是兩個正項級數(shù),

(常數(shù)k>0),3.正項級數(shù)審斂法

(比較審斂法的極限形式)則有兩個級數(shù)同時收斂或發(fā)散;(2)當(dāng)l=

0(3)當(dāng)l=∞設(shè)兩正項級數(shù)滿足(1)當(dāng)0<l<∞時,的斂巴散性差.例3然.判別院級數(shù)解:根據(jù)逗比較潤審斂嶺法的瘦極限捎形式剃知比值貝審斂娛法役(錫D’苦al粘em蠶be西rt術(shù)判瞎別法車)設(shè)為正敲項級生數(shù),漲且則(1兆)器當(dāng)(2營)春當(dāng)時,濤級機數(shù)收乳斂踩;或時,鏟級紛數(shù)發(fā)邀散..根值己審斂原法豆(環(huán)Ca僅uc珍hy壘判別犯法)設(shè)為正帥項級數(shù)興,首且則因此御級數(shù)收斂顧.解:4.豎交錯糖級數(shù)中及其懸審斂燙法則各者項符全號正摟負(fù)相掉間的比級數(shù)稱為交錯大級數(shù).(蛛Le齊ib園ni憶tz判別糊法乖)若交態(tài)錯級告數(shù)滿趟足條揪件:則級鞠數(shù)收斂茄。5.曬絕對繪收斂電與條戀件收學(xué)斂定義躁:對任掃意項航級數(shù)若若原蠶級數(shù)叼收斂留,有但取嶄絕對縣值以瞎后的繭級數(shù)貝發(fā)散賠,尚則稱對原級收斂脆,數(shù)絕對坦收斂罩；則稱吼原級數(shù)條件憶收斂誤.絕對搞收斂辯的級注數(shù)一腔定收交斂配.由絕亞對收姿斂概鎮(zhèn)念和購萊布筋尼茲諸定理床知:交錯擠級數(shù)例5貓.證明努下列罪級數(shù)悟絕對著收斂決:證:而收斂蕉,收斂因此絕對余收斂膀.發(fā)散發(fā)散收斂收斂發(fā)散1.釣Ab姻el瓣定理若冪右級數(shù)則對美滿足腥不等嬌式的一珠切x冪級盲數(shù)都糾絕對永收斂夸.反之或,剝?nèi)舢?dāng)?shù)囊粐衳,邀該冪仗級數(shù)支也發(fā)誦散燙.時該敏冪級碗數(shù)發(fā)信散執(zhí),則對泛滿足白不等中式二、勿求冪勵級數(shù)飛收斂婦域*例寺6.已知趴冪級混數(shù)在處收膚斂，多則該祝級數(shù)在處是捉收斂蠻還是皮發(fā)散陡？若興收斂含，是輛條件萌收斂還是渠絕對堂收斂喚？解：由A被be之l定肝理協(xié)，該外冪級傾數(shù)在處絕義對收協(xié)斂，故在絕對齊收斂充。例7矮.已知處條膽件收無斂嚼,頸問該忍級數(shù)槽收斂半徑足是多胃少充?答:根據(jù)闖Ab懷el倚定仰理可岡知,咽級弊數(shù)在收斂軋,時發(fā)票散沫.故收倦斂半痕徑為若的系撫數(shù)滿童足1)嫂當(dāng)

≠0監(jiān)時扇,2)擋當(dāng)

＝0斧時逗,3)謎當(dāng)

＝∞免時,則的收芬斂半犬徑為2.蘋求收麗斂半逢徑對端箱點x曠=－1,的收賄斂半盟徑及沸收斂扔域.解:對端枝點x步=1,級數(shù)銳為交救錯級囑數(shù)收斂澡;級數(shù)惡為發(fā)散飯.故收鈔斂域斑為例8樂..求冪協(xié)級數(shù)例9.求下杏列冪瞧級數(shù)飯的收孝斂域亂:解:(1葛)所以嚼收斂削域為(2紫)所以錄級數(shù)沾僅在x腔=0繡處收靜斂場.規(guī)定普:柳0昆!犧=宵1例1首0.的收剪斂域第.解:令級數(shù)告變?yōu)楫?dāng)t=座2任時,茄級閘數(shù)為此級仔數(shù)發(fā)圖散;當(dāng)t=君–熱2姓時,擠級逗數(shù)為此級噸數(shù)條閑件收將斂;因此街級數(shù)岔的收餅斂域決為故原至級數(shù)頌的收丟斂域璃為即三、掏求函互數(shù)的雁冪級耳數(shù)展歉開式1、點對函僑數(shù)作帳恒等肝變形鮮（如哪果需情要的輛話）2、馬利用挺已知首結(jié)論斗，用靈變量事代換綱或求匹導(dǎo)積舟分得順?biāo)箫灪瘮?shù)貫的冪繩級數(shù)3、仇寫出志收斂烘范圍括(P渡34駱例1藥-3襲7)1.輔求傅鬼立葉煌級數(shù)屈展開庸式2.曾求某揮個傅老立葉詞系數(shù)3.怒求和況函數(shù)甜在某黨些點骨的值四、獲傅立紀(jì)葉級栽數(shù)的努有關(guān)冷問題函數(shù)頃展開喘成傅屋里葉脹級數(shù)定理蹈.設(shè)f(x)諒是周疊期為榴2

紫的周最期函尿數(shù)辜,晨且則有①②定理(收糟斂定懼理,乒展墾開定茂理)設(shè)f(x)國是周丙期為事2的周期溫函數(shù)介,并滿娃足狄利驢克雷(每Di國ri誕ch顛le耽t臣)條件:1)玩在傲一個飽周期獄內(nèi)連任續(xù)或飯只有斧有限犧個第絨一類壯間斷下點;2)唱在川一個縣周期懲內(nèi)只嫂有有音限個晴極值獻(xiàn)點,則f(x)際的傅里葉級讓數(shù)收使斂博,鐮且有x為間敗斷點其中為f(x)蜘的傅里葉系欣數(shù)醋.x為連爐續(xù)點例1口3.設(shè)f(x)壇是周爐期為朗2

激的周吉期函逃數(shù)浸,川它在上的許表達(dá)梁式為解:微分撕方程一、占微分講方程歸的基雀本概破念二、毅解微符分方墓程三、方微分丸方程啦應(yīng)用含未咽知函愚數(shù)及毫其導(dǎo)畏數(shù)的畫方程傾叫做微分芽方程.方程香中所考含未帽知函鼠數(shù)導(dǎo)揭數(shù)的柔最高屢階數(shù)渡叫做悔微分織方程一、臨微分鐮方程棚的基孝本概如念的階.例如服：一階旱微分憶方程二階喝微分盟方程—亭使方鵲程成獻(xiàn)為恒樸等式肅的函蟻數(shù).通解—智解中論所含今獨立喝的任懶意常解數(shù)的僑個數(shù)丟與方盡程—泉確定燥通解泡中任盟意常惹數(shù)的傭條件活.初始疏條件置(或爛邊值捉條件室):的階怠數(shù)相耐同.特解微分爪方程直的解—芽不含迅任意陸常數(shù)們的解灑,定解芹條件其圖猶形稱漏為積分獲曲線.例1伶.驗證嘩函數(shù)是微守分方邪程的解裕.解:是方舊程的鑄解攪.二、墳解微企分方券程1.掩一到階微哲分方角程可分中離變跪量，稻一階陸線性2.右高貨階微初分方哈程可降痰階微滴分方斑程，廢二階繞線性擱常系棍數(shù)齊托次，藥二階賴線性秀常系兔數(shù)非秧齊次植只要梨求寫姻出特暖解形湯式。分離蕉變量芹方程浩的解賠法:(2械)兩銀邊積悉分①②(3蹲)得被到通炭解稱②撥為方幻玉程①塘的隱式仰通解,畢或通積殼分.(1勞)分齒離變抖量*例削2.求微姥分方臘程的通誘解.解:分離蓮變量托得兩邊閑積分得即(C為任王意常蔬數(shù)傲)因此?？赡苊粼?、減解教.一階蘿線性魄微分逆方程一階蛛線性付微分券方程閃標(biāo)準(zhǔn)戲形式料:若Q(x)

0,若Q(x)

0,稱為非齊限次方孫程.1.毛解孔齊次鑼方程分離叫變量兩邊框積分手得故通糕解為稱為齊次傷方程;對應(yīng)賴齊次驕方程固通解齊次卵方程帶通解非齊膨次方爛程特著解2.宇解碎非齊榮次方所程用常數(shù)永變易造法:則故原帖方程架的通筍解即即作變籠換兩端渾積分倍得解*例截3.利用辰一階善線性尋方程割的通卡解公罰式得優(yōu)：例4距.解方危程解:先解即積分膀得即用常數(shù)幼變易霸法求特栗解.增令則代入抬非齊辨次方李程得解得故原拳方程漁通解離為令因此即同理嘩可得依次沈通過n次積榆分,侍可艇得含n個任這意常鞠數(shù)的寇通解仆.型的琴微分席方程例5病.解:型的穿微分剪方程設(shè)原方園程化拉為一筑階方擺程設(shè)其票通解漏為則得再一登次積饅分,暢得竭原方雕程的逼通解例6沉.求解解:代入攔方程絡(luò)得分離沿變量積分冰得利用于是舌有兩端欣再積性分得利用因此糖所求莊特解跨為型的僻微分視方程令故方改程化技為設(shè)其厲通解侍為即得分離鬧變量五后積控分,蓮得算原方緒程的鐘通解例7叉.求解代入右方程轎得兩端險積分誰得(一抱階線帶性齊刃次方諒程)故所所求通病解為解:*例原8.解初焰值問垮題解:令代入悄方程舞得積分徑得利用閘初始典條件光,根據(jù)積分仆得故所溫求特躺解為得二階來線性廢齊次裁方程鍛解的縫結(jié)構(gòu)是二釀階線繪性齊站次方悅程的兩虜個解鼓,也是井該方芝程的討解.定理巨1.機動悠目噴錄臨上頁搜下朵頁肉返回相結(jié)脅束定理腳2安.是二娛階線慰性齊劇次方研程的敘兩個按線性無挑關(guān)特稿解,去則數(shù))舞是維該方邁程的潔通解.例如,玻方程有特扣解且常數(shù)晝,故方儉程的慣通解菌為(自挽證)特征淚方程匙:實根特征根通解二階寫線性槽常系榜數(shù)齊伶次微貍分方座程求靠解例9方.的通躁解.解:特征敲方程特征鋸根:因此恢原方織程的德通解佳為例1勵0.求解東初值搬問題解:特征遺方程有重楚根因此吩原方搏程的慰通解搬為利用鑒初始交條件遭得于是尋所求叼初值箱問題劇的解壩為*例俗11研.的通城解.解:特征箭方程特征盾根:因此箏原方間程通貓解為例1蠢2.解：誰因是一漆個特造解，慶所以是特劍征方程昌的重崇根，鉆故特臉征方懶程為折：所對橫應(yīng)微扭分方元程為二階績線性瓣非齊好次方乎程解唯的結(jié)肚構(gòu)是二昆階非陽齊次跳方程的一冰個特米解,Y(x)患是相剪應(yīng)齊繪次方筆程的燙通解躺,定理碰3灰.則是非菌齊次潑方程太的通遣解混.②①(2鍵)臟若

抹是特在征方殼程的單根特解柄形式么為(3止)海若

是特拖征方飄程的重根特解徹形式世為(1特)語若

除不是紗特征夾方程混的根特解不形式良為的特科解形越式.解:本題而特斃征方魂