小學(xué)數(shù)學(xué)幾何五大模型教師版

幾何五大模型、五大模型簡介(1)等積變換模型1、等底等高的兩個三角形面積相等；2、兩個三角形高相等，面積之比等于底之比，如圖①所示，S1：S2=a:b；3、兩個三角形底相等，面積在之比等于高之比，如圖②所示，S1：S2=a:b；4、在一組平行線之間的等積變形，如圖③所示，S.acd=S.bcd；反之;如果S,d=Smcd，則可知直線AB平行于CD。AfiAfiC8C8例、如圖，三角形ABC的面積是24,D、E、F分別是BC、AC、AD的中點，求三角形DEF的面積?！驹斀狻扛鶕?jù)等積變換知，叉皿=二$皿-5~ =彳X1二二E， = =彳X6=

(2)鳥頭(共角)定理模型1、兩個三角形中有一個角相等或互補(bǔ)，這兩個三角形叫共角三角形；2、共角三角形的面積之比等于對應(yīng)角(相等角或互補(bǔ)角)兩夾邊的乘積之比。如圖下圖三角形ABC中，D、E分別是AB、AC上或AB、AC延長線上的點則有：Saabc：Saade=(ABXAC)：(ADXAE)我們現(xiàn)在以互補(bǔ)為例來簡單證明一下共角定理!如圖連接BE,根據(jù)等積變化模型知，Saade：Saabe=AD：AB、Saabe：Sacbe=AE：CE,所以“abe：Saabc=Saabe：(Saabe+Sacbe)=AE：AC，因此"ade：1c=Sade：Saabe)X(Saabe：Saabc)=(AD：AB)X(AE：AC)。例、如圖在AABC中，D在BA的延長線上,E在AC上，且AB：AD=5:2,AE：EC=3:2,△ADE的面積為12平方厘米，求AABC的面積。ABAB x【詳解】根據(jù)鳥頭模型可知：:S^E=[ABxAC):(ADxAE),所以(平方厘米■

（3）蝴蝶模型1、梯形中比例關(guān)系（“梯形蝴蝶定理”）③梯形$的豺應(yīng)份數(shù)為g例、如圖，梯形ABCD,AB與CD平行，對角線AC、BD交于點O,已知4人08、ABOC的面積分別為25平方厘米、35平方厘米，求梯形ABCD的面積?！驹斀狻坑商莨夂ū艿男攒钪?苑二5皿』愈F⑷??幽=25二3,所以AB.CD=5：7j所以5-呀53tx=.?:8;丑7』二出孫即名皿.二49平方厘米，而如二以8二安平方厘米*所以梯地ABCD的面僦：25+35+35+49=144（平方厘米）。①岳二W=5"品或者W丈號=§小邑;②A0:OC=0+&法&+曷）例、如圖，四邊形ABCD的對角線AC、BD交于點O,如果三角形ABD的面積等于三角形BCD面積的1/3,且AO=2、DO=3,求CO的長度是DO長度的幾倍。1詳解】由任意四邊整蝴蝶定理的性質(zhì)知，=&闞：5"即=1：3,所應(yīng)0C=3A0=SX2=6<所以DC：0D=6.::3=2--lo蝴蝶定理為我們提供了解決不規(guī)則四邊形的面積問題的一個途徑，通過構(gòu)造模型，一方面可以使不規(guī)則四邊形的面積關(guān)系與四邊形內(nèi)的三角形相聯(lián)系；另一方面，也可以得到與面積對應(yīng)的對角線的比例關(guān)系。（4）相似模型1、相似三角形：形狀相同，大小不相等的兩個三角形相似；2、尋找相似模型的大前提是平行線：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊或兩邊延長線相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似。3、相似三角形性質(zhì)：①相似三角形的一切對應(yīng)線段（對應(yīng)高、對應(yīng)邊）的比等于相似比；②相似三角形周長的比等于相似比；③相似三角形面積的比等于相似比的平方。相似模型大致分為金字塔模型、沙漏模型這兩大類，注意這兩大類中都含有BC平行DE這樣的一對平行線！Am-W_M_DE_?4F.=sc=1g5②5/hf-碗=月產(chǎn)：0例、如圖，已知在平行四邊形ABCD中，AB=16、AD=10、BE=4,那么FC的長度是多少？【詳解】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)知，AB平行干CD,所以由沙漏模型知,BF:FC=BE:CD=4A6=l:4-tSrUlFC=10x—=8（＞1+4（5）燕尾模型由于陰影部分的形狀像一只燕子的尾巴，所以在數(shù)學(xué)上把這樣的幾何圖形叫做燕尾模型,看一下它都有哪些性質(zhì)：SAABG：SAACG=SABGE："cGE二BE：CE,△BGA：'△BGC'△GAF：^AGCF^：CFSAAGC：1bGC="aGD："bGD=AD：BD

例、如圖,E、D分別在AC、例上，且AE：EC=2:3,BD：DC=1:2,AD與BE交于點F,四邊形DFEC的面積等于22平方厘米，求三角形ABC的面積。工詳解［如圖所示，連接卬構(gòu)造燕尾模型。根據(jù)燕尾模型性質(zhì)可知： 」、此工詳解［如圖所示，連接卬構(gòu)造燕尾模型。根據(jù)燕尾模型性質(zhì)可知： 」、此勸_1,'以益f_且E_\℃工SiCEFEC4頊設(shè)除加F二1份，則必DF=2份、展"2你s如產(chǎn)4外7 □Swf=4x?=L6份、叢皿=取=2.4^o所以/9*如=2+2.M4.4份、^=24-34-4=9^0心武=22?4,。乂9F5（平方厘米）,二、五大模型經(jīng)典例題詳解（1）等積變換模型例1、圖中的E、F、G分別是正方形ABCDm條邊的三等分點，如果正方形的邊長是12,那么陰影部分的面積是多少？1詳解】把另外三個三等分點標(biāo)出之后，正方形的3條邊AB、BC、CD就被分成了相等的三段。把點H和這些分點、正方形的頂點連接，這樣就把整個正方形分割成了9個形狀各不相同的三角形，同時我們把空白部分的6個三角形按順時針標(biāo)記1”6.這9個三角形的底邊都是正方形邊長的三分之一】陰影部分被分割成了其中的3個三角形。根據(jù)等積變換模型可知，卬邊上的陰影三角形的面積與第1、2個三角形相等；RC邊上的陰影三角形與第，4個三角形相等；AB邊上的陰影三角形與第5、6個三角形相等。因此，陰影面積是空白面積的二分之一，是正方形面積的三分之一，即：12X12-3=48o例2、如圖，Q、E、P、M分別為直角梯形ABCD兩邊AB、CD上的點，且DQ、CP、ME彼此平行，已知AD=5、BC=7、AE=5、EB=3,求陰影部分三角形PQM的面積。工詳解】如圖所示，連接CE、DE,工詳解】如圖所示，連接CE、DE,由于DQ、ME平行，根據(jù)同底等高知，$對此=5級此*同理根據(jù)BC、ME平仃，有融=Sg迎；所以Sg鼻m=Srcdf。由于四邊形ABCD為宜賽公所以 .角形PQM的面積為25o（2）鳥頭（共角）定理模型例1、如圖所示，平行四邊形ABCD，BE=AB、CF=2CB、GD=3DC、HA=4AD，平行四邊形ABCD的面積為2，求平行四邊形ABCD與四邊形EFGH的面積比。E詳解】如圖所示，連接MrBD,由于在AABC、4EBF中，乙始C與上即F互補(bǔ)，所以根據(jù)鳥頭定理有迎=迎匹=里=1因為S皿=%平行四”皿廣1,所以%甌=3；S即密卻g& 2平仃四”ABCD 力F同理可得乂q=4乂2=8、34GCF4義2?、、* -"義3I—6所N$￥行四力密的 工 :2「1'$一，…-&+&+15+3+2-泰-T?o例2、如圖所示，AABC的面積為1,BC=5BD、AC=4EC、DG=GS=SE、AF=FG,^AFGS的面積。1詳解】苜先根據(jù)等積變換模型知，*a=S四、$3=S〃所以Sjg=4S1即油二正根據(jù)鳥頭定理有已二篙二言i所心皿爾AGDG即油二正根據(jù)鳥頭定理有已二篙二言i所心皿爾AGDGFGSGj所以S皿所以應(yīng)—「（3）蝴蝶模型例1、如圖，正六邊形面積為1，那么陰影部分面積為多少?【詳解】如圖所示，連接陰影四邊用的對角線，此時正六邊用被平分成兩半口設(shè)41s的面積為1伊，根據(jù)正六邊形的特殊性質(zhì)知，BC二2AD,再根據(jù)梯形蝴蝶定理，標(biāo)出各個三角形所占俗數(shù)，所以整個正六邊用被分成了1日伊，陰影部分站其中的8份，即陰影部分面積為；-^1=-.1S9例2、如圖，長方形ABCD被CE、DF分成四塊，已知其中3塊的面積分別為2、5、8平方厘米，求余下的四邊形OFBC的面積。【詳解】如圖所示，連接DE、CF.在梯形即CF中，根據(jù)梯形蝴蝶定理知，以$%□口=$+4=12，&方與』=1二工2=24f為為哆口打亡=24-7-2-8=9。例3、如圖，已知正方形ABCD的邊長為10厘米，E為AD的中點，F(xiàn)為CE的中點，G為BF的中點，求三角形BDG的面積。

工詳解1設(shè)BD與CE的交點為0,工詳解1設(shè)BD與CE的交點為0,連接應(yīng)、DF。在梯形BCDE中，由梯形蝴蝶定理知，E0:CO=S^ED: ,而§亞口二15在方知虹口、，小e=三S正方啜AB8，所以EO:C0=12又因為F■為電的中點，所以即二產(chǎn)。=2:1。在四邊形BFDE巾，由蝴蝶定理知，豆。二尹。=義班＞3刀4=2二1,所以q-1v_1勺j口A5FD-g口三方壽酒80所以 （平方厘米）2 16 1&（4）相似模型例1、如圖，正方形的面積為1,E、F分別為AB、BD的中點，GC=1/3FC,求陰影部分的面積?！驹斀?如圖所示，作四垂直BC于點H,GI垂直BC于點I,根據(jù)金字塔模型知，CI：CH=CG：CF=1:3；因為F是郎的巾點，所以CHRH,CI：CB=1:6,即BI：BC=（6-1）：6二5:6,所以S .1發(fā)工乂七二三。由22624例2、如圖，長方形ABCD，E為AD的中點，AF與BD、BE分別交于G和H，OE垂直于人口，交AD于E點，交AF于O點，已知AH=5,HF=3,求AG的長。E

Et詳解［根據(jù)長方出的性質(zhì)知，處平行于DF,再根據(jù)沙漏模型知AB'.DF=AH'.HF=X因為自為t詳解［根據(jù)長方出的性質(zhì)知，處平行于DF,再根據(jù)沙漏模型知AB'.DF=AH'.HF=X因為自為9。1的中點..QE-.FD=V23:AB:O^=5:-=W:32利用相似三角形性質(zhì)可得:A^-DO=AB-OE=Vy.3A\-AO=-kAF=-(5-^3)=42 2…』1040..=4乂——=——1313(5)燕尾模型例1、如圖，正方形ABCD的面積是120平方厘米，E是AB的中點，F(xiàn)是BC的中點，求四邊形BGHF的面積。工詳解數(shù)口圖，連接BHo由于BE與CD平行，根據(jù)沙漏模型知，BG：GD=BE：CD=l:2o現(xiàn)設(shè)邑二1份，根據(jù)燕尾模型知，%砒二2份、3國小2卷.因此整個正方形ABCD就是：（1+2+2）X2=10（份人四邊形BGHF占：-xl+-x2=-（份）。所2 3 6以￥在冊=120—10;<￡=14（平方厘米建例2、如圖，在4ABC中，BD=2DA、CE=2EB、AF=2FC，那么4ABC的面積是陰影△GHI面積的幾倍？Be ct詳解】如圖，連接前。根據(jù)燕尾模型知，$3二"5_ut詳解】如圖，連接前。根據(jù)燕尾模型知，$3二"5_u環(huán)=FC:AF=1:2s3皿罩：§山口二 :DA=2:1所以，ajei二義30?:5Ajs;=1:2:4j那么同理可知，$9=；$皿、同理可知，$9=；$皿、工5毋冉=y$」日匚。所以■為取軌?=(1——x3)3/吐=—3」理,