【解析】2023-2024學(xué)年北師大版數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)6.3反比例函數(shù)的應(yīng)用（提升卷）

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2023-2024學(xué)年北師大版數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)6.3反比例函數(shù)的應(yīng)用（提升卷）

一、選擇題

1．（2023九上·雙流期末）如圖，直線與x軸相交于點(diǎn)A，與函數(shù)的圖象交于點(diǎn)B，C，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是8，點(diǎn)C的橫坐標(biāo)是，則不等式組的解集是（）

A．B．C．D．

2．（2022九上·包頭期末）已知反比例函數(shù)（k為常數(shù)）的圖象經(jīng)過點(diǎn)．如圖，過點(diǎn)B作直線與函數(shù)的圖象交于點(diǎn)A，與x軸交于點(diǎn)C，且，過點(diǎn)A作直線，交x軸于點(diǎn)F，則線段的長(zhǎng)為（）

A．B．C．D．

3．（2022九上·廣宗期末）如圖，直線y=kx﹣3（k≠0）與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)C，B，與雙曲線y=﹣（x＜0）交于點(diǎn)A（m，1），則AB的長(zhǎng)是（）

A．2B．C．2D．

4．（2022九上·紫金期末）已知一次函數(shù)與反比例函數(shù)在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象如圖所示，則當(dāng)時(shí)，的取值范圍是（）

A．或B．或

C．D．

5．（2023九上·通川期末）如圖是4個(gè)臺(tái)階的示意圖，每個(gè)臺(tái)階的高和寬分別是1和2，每個(gè)臺(tái)階凸出的角的頂點(diǎn)記作Tm（m為1～4的整數(shù)），函數(shù)y＝（x＞0）的圖象為曲線L．若曲線L使得T1～T4，這些點(diǎn)分布在它的兩側(cè)，每側(cè)各2個(gè)點(diǎn)，則k的取值范圍是（）

A．8≤k≤12B．8≤k＜12C．8＜k≤12D．8＜k＜12

6．（2023九上·扶溝期末）如圖，某加油站計(jì)劃在地下修建一個(gè)容積為的圓柱形石油儲(chǔ)存室，則儲(chǔ)存室的底面積S（單位：）與其深度h（單位：m）的函數(shù)圖象大致是（）

A．B．

C．D．

7．（2022九上·歷城月考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，在中，點(diǎn)在軸上，，函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)與邊的中點(diǎn)，則的值為（）

A．24B．C．36D．

8．（2022九上·濟(jì)南期中）木板對(duì)地面的壓強(qiáng)p（Pa）是木板面積S（m2）的反比例函數(shù)，其圖象如圖所示，當(dāng)壓強(qiáng)不超過400Pa時(shí)，木板的面積應(yīng)（）

A．不大于1.5m2B．不小于1.5m2

C．不大于m2D．不小于m2

9．（2022九上·杭州月考）如圖，直線與x軸相交于點(diǎn)，與函數(shù)的圖象交于點(diǎn)B、C，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是4，點(diǎn)C的橫坐標(biāo)是，則不等式組的解是（）

A．B．C．D．

10．（2022九上·霍邱月考）如圖，等腰△ABC的頂點(diǎn)A在原點(diǎn)固定，且始終有AC=BC，當(dāng)頂點(diǎn)C在函數(shù)y=(x>0)的圖象上從上到下運(yùn)動(dòng)時(shí)，頂點(diǎn)B在x軸的正半軸上移動(dòng)，則△ABC的面積大小變化情況是（）

A．一直不變B．先增大后減小

C．先減小后增大D．先增大后不變

二、填空題

11．（2023九上·通川期末）如圖，正比例函數(shù)，一次函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象在同一直角坐標(biāo)系中，若，則自變量的取值范圍是.

12．（2022九上·平谷期末）青藏鐵路是當(dāng)今世界上海拔最高、線路最長(zhǎng)的高原鐵路，因路況、季節(jié)、天氣等原因行車的平均速度在（千米/小時(shí)）之間變化，鐵路運(yùn)行全程所需要的時(shí)間（小時(shí)）與運(yùn)行的平均速度（千米/小時(shí)）滿足如圖所示的函數(shù)關(guān)系，列車運(yùn)行的平均速度最大和列車運(yùn)行的平均速度最小時(shí)全程所用時(shí)間相差小時(shí)．

13．（2022九上·成都月考）已知一次函數(shù)y＝x﹣2的圖象與反比例函數(shù)y＝的圖象相交于點(diǎn)P（a，b），則的值是．

14．（2022九上·渾南期末）某工程隊(duì)計(jì)劃修建鐵路，給出了鋪軌的天數(shù)y（d）與每日鋪軌量x（km/d）之間的關(guān)系表：

y（d）120150200240300

x（km/d）108654

根據(jù)表格信息，判斷出y是x的函數(shù)，則這個(gè)函數(shù)表達(dá)式是．

15．（2022九上·平陰期中）如圖，正方形的邊長(zhǎng)為5，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)B在y軸上，若反比例函數(shù)的圖象過點(diǎn)C，則k的值為．

三、綜合題

16．（2023九上·東方期末）如圖，點(diǎn)和是一次函數(shù)的圖像與反比例函數(shù)的圖像的兩個(gè)交點(diǎn).

（1）求m、n的值；

（2）求一次函數(shù)的表達(dá)式；

（3）設(shè)點(diǎn)P是y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹荛L(zhǎng)最小時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（4）在（3）的條件下，設(shè)點(diǎn)D是坐標(biāo)平面內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)以點(diǎn)A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，請(qǐng)直接寫出符合條件的所有點(diǎn)D的坐標(biāo).

17．（2023九上·桂平期末）《城鎮(zhèn)污水處理廠污染物排放標(biāo)準(zhǔn)》中硫化物的排放標(biāo)準(zhǔn)為.某污水處理廠在自查中發(fā)現(xiàn)，所排污水中硫化物濃度超標(biāo)，因此立即整改，并開始實(shí)時(shí)監(jiān)測(cè).據(jù)監(jiān)測(cè)，整改開始第60小時(shí)時(shí)，所排污水中硫化物的濃度為；從第60小時(shí)開始，所排污水中硫化物的濃度是監(jiān)測(cè)時(shí)間x（小時(shí)）的反比例函數(shù)，其圖象如圖所示.

（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式；

（2）整改開始第100小時(shí)時(shí)，所排污水中硫化物濃度為；

（3）按規(guī)定所排污水中硫化物的濃度不超過時(shí)，才能解除實(shí)時(shí)監(jiān)測(cè)，此次整改實(shí)時(shí)監(jiān)測(cè)的時(shí)間至少為多少小時(shí)？

18．1896年，挪威生理學(xué)家古德貝發(fā)現(xiàn)，每個(gè)人有一條腿邁出的步子比另一條腿邁出的步子長(zhǎng)的特點(diǎn)，這就導(dǎo)致每個(gè)人在蒙上眼睛行走時(shí)，雖然主觀上沿某一方向直線前進(jìn)，但實(shí)際上走出的是一個(gè)大圓圈！這就是有趣的“瞎轉(zhuǎn)圈”現(xiàn)象.經(jīng)研究，某人蒙上眼睛走出的大圓圈的半徑y(tǒng)/米是其兩腿邁出的步長(zhǎng)之差x/厘米()的反比例函數(shù)，其圖象如下圖所示所示.請(qǐng)根據(jù)圖象中的信息解決下列問題：

（1）求y與x之間的函數(shù)表達(dá)式；

（2）當(dāng)某人兩腿邁出的步長(zhǎng)之差為0.5厘米時(shí)，他蒙上眼睛走出的大圓圈的半徑為多少米？

（3）若某人蒙上眼睛走出的大圓圈的半徑不小于35米，則其兩腿邁出的步長(zhǎng)之差最多是多少厘米？

19．（2023九上·平桂期末）如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)（）的圖象交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.

（1）求的值及點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）根據(jù)圖象，當(dāng)時(shí)，直接寫出的取值范圍.

20．（2023九上·龍泉驛期末）如圖，一次函數(shù)y＝kx＋b與反比例函數(shù)（x>0）的圖象交于點(diǎn)A（1，a）和點(diǎn)B（2，3），與y軸，x軸分別交于C，D兩點(diǎn)，

（1）求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達(dá)式；

（2）點(diǎn)E為反比例函數(shù)（x>0）上一點(diǎn)（不與點(diǎn)A，B重合），過點(diǎn)E作EF⊥x軸，垂足為點(diǎn)F，當(dāng)△EFD∽△OCD時(shí)，求點(diǎn)E坐標(biāo)．

答案解析部分

1．【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題

【解析】【解答】解：觀察圖象可得，

當(dāng)時(shí)，直線位于軸的上方、函數(shù)圖象的下方，

不等式組的解是.

故答案為：B.

【分析】根據(jù)圖象，找出一次函數(shù)圖象在反比例函數(shù)圖象下方，且在x軸上方部分所對(duì)應(yīng)的x的范圍即可.

2．【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題；相似三角形的判定與性質(zhì)

【解析】【解答】解：∵圖象過點(diǎn)，代入，

∴，，

∴反比例函數(shù)解析式為，

分別過點(diǎn)A、B作x軸的垂線，垂足分別為點(diǎn)D、E，則，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，即，

∴．

∴把代入，

∴．

∴，

設(shè)直線解析式為，把，代入解析式得，

，

解得：，

∴直線解析式為，

當(dāng)時(shí)，，解得：，

∴，，

∴，

∵，，

∴，，

∴，

∴，

∴，

解得：．

故答案為：D．

【分析】由反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)B，直接利用待定系數(shù)法求解即可；過點(diǎn)A、B作x軸的垂線，垂足分別為點(diǎn)D、E，則，證出，得出點(diǎn)A的坐標(biāo)，由，再利用相似三角形的性質(zhì)即可得解。

3．【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題；一次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸交點(diǎn)問題

【解析】【解答】解：A為直線y=kx﹣3（k≠0）與雙曲線y=﹣（x＜0）的交點(diǎn)，可得A滿足雙曲線的解析式，可得：，解得：，即A點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，1），

A點(diǎn)再直線上，可得A點(diǎn)滿足y=kx﹣3（k≠0），

可得：，解得：k=-2，

一次函數(shù)的解析式為：y=-2x﹣3，

B為直線與y軸的交點(diǎn)，可得B點(diǎn)坐標(biāo)（0，-3），

由A點(diǎn)左邊（-2，1），

可得AB的長(zhǎng)為=，

故答案為：A.

【分析】先求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，再將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入y=kx-3求出k的值，再求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，最后利用兩點(diǎn)之間的距離公式求出AB的長(zhǎng)即可。

4．【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】反比例函數(shù)的圖象；反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題

【解析】【解答】由分析可知，當(dāng)一次函數(shù)的圖象在反比例函數(shù)的下方時(shí)，x的取值范圍是或；

故答案為：B。

【分析】，即y1＜y2，說明一次函數(shù)的圖象在反比例函數(shù)的下方。

5．【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】反比例函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用；反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征

【解析】【解答】解：∵每個(gè)臺(tái)階的高和寬分別是1和2，

∴T1（8，1），T2（6，2），T3（4，3），T4（2，4），

∴當(dāng)y＝（x＞0）過點(diǎn)T1（8，1），T4（2，4）時(shí)，k＝8，

當(dāng)y＝（x＞0）過點(diǎn)T2（6，2），T3（4，3）時(shí)，k＝12，

∴若曲線L使得T1～T4這些點(diǎn)分布在它的兩側(cè)，每側(cè)各2個(gè)點(diǎn)時(shí)，k的取值范圍是8＜k＜12．

故答案為：D．

【分析】由每個(gè)臺(tái)階的高和寬分別是1和2，可求出T1（8，1），T2（6，2），T3（4，3），T4（2，4），再分別求出函數(shù)y＝（x＞0）過各點(diǎn)時(shí)k的值，即可得出k的取值范圍．

6．【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】反比例函數(shù)的圖象；反比例函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用

【解析】【解答】解：由儲(chǔ)存室的體積公式知：，

故儲(chǔ)存室的底面積S（）與其深度之間的函數(shù)關(guān)系式為為反比例函數(shù).

故答案為：C.

【分析】根據(jù)儲(chǔ)存室的體積=底面積×高可得s與h的函數(shù)關(guān)系式，由函數(shù)關(guān)系式是反比例函數(shù)，且自變量的取值為正數(shù)即可判斷得出答案.

7．【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式；勾股定理；反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征

【解析】【解答】解：∵，

∴，

∵點(diǎn)B在反比例函數(shù)上，

∴設(shè)，

如圖，過點(diǎn)B作軸于點(diǎn)C，

由勾股定理，，即，

∵D是AB中點(diǎn)，

∴由中點(diǎn)公式，，

∵點(diǎn)D在反比例函數(shù)上，

∴，解得，經(jīng)檢驗(yàn)是方程的解，

將代入，解得，

∵，

∴．

故答案為：B．

【分析】過點(diǎn)B作軸于點(diǎn)C，設(shè)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得，再將其代入反比例函數(shù)解析式可得，求出x的值，再將x的值代入求出，最后求出即可。

8．【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】反比例函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用

【解析】【解答】解：設(shè)反比例函數(shù)關(guān)系式為，將點(diǎn)代入，得，

，

解得：，

反比例函數(shù)關(guān)系式為，

當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)壓強(qiáng)不超過400Pa時(shí)，木板的面積應(yīng)不小于1.5m2，

故答案為：B．

【分析】先求出反比例函數(shù)解析式，再將代入解析式求出，從而得解。

9．【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題

【解析】【解答】解：觀察圖象得：當(dāng)時(shí)，直線位于x軸的上方，反比例函數(shù)的圖象的下方，

∴不等式組的解是.

故答案為：C

【分析】由A、B的坐及圖象可知時(shí)，在x軸上方，反比例函數(shù)的圖象的下方，繼而得解.

10．【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】反比例函數(shù)-動(dòng)態(tài)幾何問題

【解析】【解答】解：∵等腰三角形ABC的頂點(diǎn)A在原點(diǎn)，頂點(diǎn)B在x軸的正半軸上，頂點(diǎn)C在函數(shù)y=(x>0)的圖象上從上到下運(yùn)動(dòng)，AC=BC，

設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（a，），

∴，

∴△ABC的面積大小不變，

故答案為：A.

【分析】根據(jù)題意先求出，再計(jì)算求解即可。

11．【答案】x＜-1或0＜x＜1

【知識(shí)點(diǎn)】反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題

【解析】【解答】解：由圖象可知，當(dāng)或時(shí)，雙曲線落在直線上方，且直線落在直線上方，即，

所以若，則自變量x的取值范圍是x＜-1或0＜x＜1

故答案為：x＜-1或0＜x＜1

【分析】根據(jù)圖象，找出雙曲線在直線y1的上方，且直線y1在直線y2上方部分所對(duì)應(yīng)的x的范圍即可.

12．【答案】2.2

【知識(shí)點(diǎn)】反比例函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用

【解析】【解答】解：設(shè)鐵路運(yùn)行全程所需要的時(shí)間與運(yùn)行的平均速度之間的表達(dá)式為，

把點(diǎn)代入得：，

解得：，

∴設(shè)鐵路運(yùn)行全程所需要的時(shí)間與運(yùn)行的平均速度之間的表達(dá)式為，

當(dāng)時(shí)，（小時(shí)），

當(dāng)時(shí)，（小時(shí)），

（小時(shí)），

故答案為：2.2．

【分析】先利用待定系數(shù)法求出反比例函數(shù)解析式，再將和分別代入解析式求出t的值，最后求出即可。

13．【答案】

【知識(shí)點(diǎn)】反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題；反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征

【解析】【解答】解：∵一次函數(shù)y＝x﹣2的圖象與反比例函數(shù)y＝的圖象相交于點(diǎn)P（a，b），

∴，

∴2b-a=-4，ab-3，

∴.

故答案為：

【分析】將兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)分別代入兩函數(shù)解析式，可得到2b-a=-4，ab-3；再將分式通分可得到，然后整體代入求值.

14．【答案】

【知識(shí)點(diǎn)】待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式

【解析】【解答】因?yàn)椋?/p>

所以y是x的反比例函數(shù)，

且函數(shù)解析式為．

故答案為：．

【分析】利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式即可。

15．【答案】-3

【知識(shí)點(diǎn)】待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式；正方形的性質(zhì)；三角形全等的判定（AAS）

【解析】【解答】解：如圖，過點(diǎn)C作軸于E，在正方形中，，，

，

，

，

點(diǎn)A的坐標(biāo)為，

，

，

，

在和中，

，

，

，，

，

點(diǎn)C的坐標(biāo)為，

反比例函數(shù)的圖象過點(diǎn)C，

，

故答案為：-3．

【分析】過點(diǎn)C作軸于E，先利用“AAS”證明，可得，，利用線段的和差求出OE的長(zhǎng)，即可得到點(diǎn)C的坐標(biāo)，再將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入，求出k的值即可。

16．【答案】（1）解：將點(diǎn)代入反比例函數(shù)，

得，，，

∴，

將代入，

得，，，

∴，；

（2）解：將點(diǎn)和分別代入一次函數(shù)，

得，，

解得，，

∴；

（3）解：作點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接交y軸于點(diǎn)P，則點(diǎn)P為所求點(diǎn)，

理由：的周長(zhǎng)為最小，

設(shè)的表達(dá)式為

∵點(diǎn)、，

∴，

解得，，

∴的表達(dá)式為，

∴時(shí)，，

故點(diǎn)P的坐標(biāo)為；

（4）（2，1），或（-2，9），或（4，3）

【知識(shí)點(diǎn)】反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題；平行四邊形的性質(zhì)；軸對(duì)稱的應(yīng)用-最短距離問題

【解析】【解答】解：（4）D的坐標(biāo)為，或，或.理由：

由（1）（2）知，點(diǎn)A、B、P的坐標(biāo)分別為、、，

設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為，

①當(dāng)是邊時(shí)，

則點(diǎn)A向右平移2個(gè)單位向下平移4個(gè)單位得到B，同樣點(diǎn)向右平移2個(gè)單位向下平移4個(gè)單位得到，

則0+2=s，5﹣4=t或0﹣2=s，5+4=t，

解得或；

②當(dāng)AB是對(duì)角線時(shí)，

由中點(diǎn)公式得：，，

解得；

故點(diǎn)D的坐標(biāo)為，或，或.

【分析】（1）將A（1，6）代入y2=中求出m的值，可得反比例函數(shù)的解析式，然后將B（n，2）代入可求出n的值；

（2）將A、B的坐標(biāo)代入y=kx+b中求出k、b的值，據(jù)此可得一次函數(shù)的表達(dá)式；

（3）作點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)G（-1，6），連接BG交y軸于點(diǎn)P，則點(diǎn)P為所求點(diǎn)，此時(shí)△PAB的周長(zhǎng)最小，為BG+AB的值，利用待定系數(shù)法求出直線BG的解析式，令x=0，求出y的值，據(jù)此可得點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（4）由（1）（2）知：點(diǎn)A、B、P的坐標(biāo)分別為（1，6）、（3，2）、（0，5），設(shè)D（s，t），然后分①AB是邊，②AB是對(duì)角線，結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)求出s、t的值，據(jù)此可得點(diǎn)D的坐標(biāo).

17．【答案】（1）解：設(shè)y與x的函數(shù)關(guān)系式為y=(x>0)，

∵第60小時(shí)時(shí)，所排污水中硫化物的濃度為；

∴5=，

解得：k=300，

∴y與x的函數(shù)關(guān)系式為y=.

（2）3

（3）解：當(dāng)y=0.8時(shí)，0.8=，

解得x=375，

答：此次整改實(shí)時(shí)監(jiān)測(cè)的時(shí)間至少為375小時(shí).

【知識(shí)點(diǎn)】反比例函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用

【解析】【解答】解：（2）當(dāng)x=100時(shí)，y==3，

故答案為3

【分析】（1）利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式即可；

（2）利用（1）解析式，求出x=100時(shí)y值即可；

（3）求出當(dāng)y=0.8時(shí)x值，即得監(jiān)測(cè)的時(shí)間的最小值.

18．【答案】（1）解：設(shè)y與x之間的函數(shù)表達(dá)式為，

∴7=，

∴k=14，

∴y與x之間的函數(shù)表達(dá)式為y=；

（2）解：當(dāng)x=0.5時(shí)，y==28米，

∴當(dāng)某人兩腿邁出的步長(zhǎng)之差為0.5厘米時(shí)，他蒙上眼睛走出的大圓圈的半徑為28米；

（3）解：當(dāng)y≥35時(shí)，即≥35，

∴x≤0.4，

∴某人蒙上眼睛走出的大圓圈的半徑不小于35米，則其兩腿邁出的步長(zhǎng)之差最多是0.4厘米.

【知識(shí)點(diǎn)】反比例函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用

【解析】【分析】（1）設(shè)y與x之間的函數(shù)表達(dá)式為，將（2，7）代入求出k的值，據(jù)此可得對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；

（2）令（1）關(guān)系式中的x=0.5，求出y的值即可；

（3）令y≥35，求出x的范圍即可.

19．【答案】（1）解：∵一次函數(shù)過A點(diǎn)，且點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為，

∴，

∴，

又∵反比例函數(shù)的圖象過A，B兩點(diǎn)，

∴，

∴反比例函數(shù)關(guān)系式為，

由，解得或，

∴；

（2）解：當(dāng)時(shí)，自變量x的取值范圍為或.

【知識(shí)點(diǎn)】反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題

【解析】【分析】（1）將x=-2代入y=x+3中求出y的值，得到點(diǎn)A的坐標(biāo)，然后代入y2=中求出m的值，據(jù)此可得反比例函數(shù)的解析式，聯(lián)立一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式，求出x、y的值，進(jìn)而可得點(diǎn)B的坐標(biāo)；

（2）根據(jù)圖象，找出一次函數(shù)在反比例函數(shù)圖象下方部分所對(duì)應(yīng)的x的范圍即可.

20．【答案】（1）解：∵反比例函數(shù)過點(diǎn)

∴且

將，帶入直線

得：，

故一次函數(shù)為：

（2）解：設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)，點(diǎn)

則，

當(dāng)時(shí)

即：

解得：，（舍去）

故點(diǎn)

【知識(shí)點(diǎn)】待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式；反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題；相似三角形的判定與性質(zhì)

【解析】【分析】（1）將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式，可求出m的值，同時(shí)求出a的值；再將點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別代入一次函數(shù)解析式，可得到關(guān)于k，b的方程組，解方程組求出k，b的值，可得到一次函數(shù)解析式.

（2）設(shè)點(diǎn)，可表示出點(diǎn)F的坐標(biāo)，可得到EF，DF的長(zhǎng)；由△COD∽△EFD，利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，可得到關(guān)于t的方程，解方程求出t的值，可得到點(diǎn)E的坐標(biāo).

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2023-2024學(xué)年北師大版數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)6.3反比例函數(shù)的應(yīng)用（提升卷）

一、選擇題

1．（2023九上·雙流期末）如圖，直線與x軸相交于點(diǎn)A，與函數(shù)的圖象交于點(diǎn)B，C，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是8，點(diǎn)C的橫坐標(biāo)是，則不等式組的解集是（）

A．B．C．D．

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題

【解析】【解答】解：觀察圖象可得，

當(dāng)時(shí)，直線位于軸的上方、函數(shù)圖象的下方，

不等式組的解是.

故答案為：B.

【分析】根據(jù)圖象，找出一次函數(shù)圖象在反比例函數(shù)圖象下方，且在x軸上方部分所對(duì)應(yīng)的x的范圍即可.

2．（2022九上·包頭期末）已知反比例函數(shù)（k為常數(shù)）的圖象經(jīng)過點(diǎn)．如圖，過點(diǎn)B作直線與函數(shù)的圖象交于點(diǎn)A，與x軸交于點(diǎn)C，且，過點(diǎn)A作直線，交x軸于點(diǎn)F，則線段的長(zhǎng)為（）

A．B．C．D．

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題；相似三角形的判定與性質(zhì)

【解析】【解答】解：∵圖象過點(diǎn)，代入，

∴，，

∴反比例函數(shù)解析式為，

分別過點(diǎn)A、B作x軸的垂線，垂足分別為點(diǎn)D、E，則，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，即，

∴．

∴把代入，

∴．

∴，

設(shè)直線解析式為，把，代入解析式得，

，

解得：，

∴直線解析式為，

當(dāng)時(shí)，，解得：，

∴，，

∴，

∵，，

∴，，

∴，

∴，

∴，

解得：．

故答案為：D．

【分析】由反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)B，直接利用待定系數(shù)法求解即可；過點(diǎn)A、B作x軸的垂線，垂足分別為點(diǎn)D、E，則，證出，得出點(diǎn)A的坐標(biāo)，由，再利用相似三角形的性質(zhì)即可得解。

3．（2022九上·廣宗期末）如圖，直線y=kx﹣3（k≠0）與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)C，B，與雙曲線y=﹣（x＜0）交于點(diǎn)A（m，1），則AB的長(zhǎng)是（）

A．2B．C．2D．

【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題；一次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸交點(diǎn)問題

【解析】【解答】解：A為直線y=kx﹣3（k≠0）與雙曲線y=﹣（x＜0）的交點(diǎn)，可得A滿足雙曲線的解析式，可得：，解得：，即A點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，1），

A點(diǎn)再直線上，可得A點(diǎn)滿足y=kx﹣3（k≠0），

可得：，解得：k=-2，

一次函數(shù)的解析式為：y=-2x﹣3，

B為直線與y軸的交點(diǎn)，可得B點(diǎn)坐標(biāo)（0，-3），

由A點(diǎn)左邊（-2，1），

可得AB的長(zhǎng)為=，

故答案為：A.

【分析】先求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，再將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入y=kx-3求出k的值，再求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，最后利用兩點(diǎn)之間的距離公式求出AB的長(zhǎng)即可。

4．（2022九上·紫金期末）已知一次函數(shù)與反比例函數(shù)在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象如圖所示，則當(dāng)時(shí)，的取值范圍是（）

A．或B．或

C．D．

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】反比例函數(shù)的圖象；反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題

【解析】【解答】由分析可知，當(dāng)一次函數(shù)的圖象在反比例函數(shù)的下方時(shí)，x的取值范圍是或；

故答案為：B。

【分析】，即y1＜y2，說明一次函數(shù)的圖象在反比例函數(shù)的下方。

5．（2023九上·通川期末）如圖是4個(gè)臺(tái)階的示意圖，每個(gè)臺(tái)階的高和寬分別是1和2，每個(gè)臺(tái)階凸出的角的頂點(diǎn)記作Tm（m為1～4的整數(shù)），函數(shù)y＝（x＞0）的圖象為曲線L．若曲線L使得T1～T4，這些點(diǎn)分布在它的兩側(cè)，每側(cè)各2個(gè)點(diǎn)，則k的取值范圍是（）

A．8≤k≤12B．8≤k＜12C．8＜k≤12D．8＜k＜12

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】反比例函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用；反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征

【解析】【解答】解：∵每個(gè)臺(tái)階的高和寬分別是1和2，

∴T1（8，1），T2（6，2），T3（4，3），T4（2，4），

∴當(dāng)y＝（x＞0）過點(diǎn)T1（8，1），T4（2，4）時(shí)，k＝8，

當(dāng)y＝（x＞0）過點(diǎn)T2（6，2），T3（4，3）時(shí)，k＝12，

∴若曲線L使得T1～T4這些點(diǎn)分布在它的兩側(cè)，每側(cè)各2個(gè)點(diǎn)時(shí)，k的取值范圍是8＜k＜12．

故答案為：D．

【分析】由每個(gè)臺(tái)階的高和寬分別是1和2，可求出T1（8，1），T2（6，2），T3（4，3），T4（2，4），再分別求出函數(shù)y＝（x＞0）過各點(diǎn)時(shí)k的值，即可得出k的取值范圍．

6．（2023九上·扶溝期末）如圖，某加油站計(jì)劃在地下修建一個(gè)容積為的圓柱形石油儲(chǔ)存室，則儲(chǔ)存室的底面積S（單位：）與其深度h（單位：m）的函數(shù)圖象大致是（）

A．B．

C．D．

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】反比例函數(shù)的圖象；反比例函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用

【解析】【解答】解：由儲(chǔ)存室的體積公式知：，

故儲(chǔ)存室的底面積S（）與其深度之間的函數(shù)關(guān)系式為為反比例函數(shù).

故答案為：C.

【分析】根據(jù)儲(chǔ)存室的體積=底面積×高可得s與h的函數(shù)關(guān)系式，由函數(shù)關(guān)系式是反比例函數(shù)，且自變量的取值為正數(shù)即可判斷得出答案.

7．（2022九上·歷城月考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，在中，點(diǎn)在軸上，，函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)與邊的中點(diǎn)，則的值為（）

A．24B．C．36D．

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式；勾股定理；反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征

【解析】【解答】解：∵，

∴，

∵點(diǎn)B在反比例函數(shù)上，

∴設(shè)，

如圖，過點(diǎn)B作軸于點(diǎn)C，

由勾股定理，，即，

∵D是AB中點(diǎn)，

∴由中點(diǎn)公式，，

∵點(diǎn)D在反比例函數(shù)上，

∴，解得，經(jīng)檢驗(yàn)是方程的解，

將代入，解得，

∵，

∴．

故答案為：B．

【分析】過點(diǎn)B作軸于點(diǎn)C，設(shè)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得，再將其代入反比例函數(shù)解析式可得，求出x的值，再將x的值代入求出，最后求出即可。

8．（2022九上·濟(jì)南期中）木板對(duì)地面的壓強(qiáng)p（Pa）是木板面積S（m2）的反比例函數(shù)，其圖象如圖所示，當(dāng)壓強(qiáng)不超過400Pa時(shí)，木板的面積應(yīng)（）

A．不大于1.5m2B．不小于1.5m2

C．不大于m2D．不小于m2

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】反比例函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用

【解析】【解答】解：設(shè)反比例函數(shù)關(guān)系式為，將點(diǎn)代入，得，

，

解得：，

反比例函數(shù)關(guān)系式為，

當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)壓強(qiáng)不超過400Pa時(shí)，木板的面積應(yīng)不小于1.5m2，

故答案為：B．

【分析】先求出反比例函數(shù)解析式，再將代入解析式求出，從而得解。

9．（2022九上·杭州月考）如圖，直線與x軸相交于點(diǎn)，與函數(shù)的圖象交于點(diǎn)B、C，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是4，點(diǎn)C的橫坐標(biāo)是，則不等式組的解是（）

A．B．C．D．

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題

【解析】【解答】解：觀察圖象得：當(dāng)時(shí)，直線位于x軸的上方，反比例函數(shù)的圖象的下方，

∴不等式組的解是.

故答案為：C

【分析】由A、B的坐及圖象可知時(shí)，在x軸上方，反比例函數(shù)的圖象的下方，繼而得解.

10．（2022九上·霍邱月考）如圖，等腰△ABC的頂點(diǎn)A在原點(diǎn)固定，且始終有AC=BC，當(dāng)頂點(diǎn)C在函數(shù)y=(x>0)的圖象上從上到下運(yùn)動(dòng)時(shí)，頂點(diǎn)B在x軸的正半軸上移動(dòng)，則△ABC的面積大小變化情況是（）

A．一直不變B．先增大后減小

C．先減小后增大D．先增大后不變

【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】反比例函數(shù)-動(dòng)態(tài)幾何問題

【解析】【解答】解：∵等腰三角形ABC的頂點(diǎn)A在原點(diǎn)，頂點(diǎn)B在x軸的正半軸上，頂點(diǎn)C在函數(shù)y=(x>0)的圖象上從上到下運(yùn)動(dòng)，AC=BC，

設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（a，），

∴，

∴△ABC的面積大小不變，

故答案為：A.

【分析】根據(jù)題意先求出，再計(jì)算求解即可。

二、填空題

11．（2023九上·通川期末）如圖，正比例函數(shù)，一次函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象在同一直角坐標(biāo)系中，若，則自變量的取值范圍是.

【答案】x＜-1或0＜x＜1

【知識(shí)點(diǎn)】反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題

【解析】【解答】解：由圖象可知，當(dāng)或時(shí)，雙曲線落在直線上方，且直線落在直線上方，即，

所以若，則自變量x的取值范圍是x＜-1或0＜x＜1

故答案為：x＜-1或0＜x＜1

【分析】根據(jù)圖象，找出雙曲線在直線y1的上方，且直線y1在直線y2上方部分所對(duì)應(yīng)的x的范圍即可.

12．（2022九上·平谷期末）青藏鐵路是當(dāng)今世界上海拔最高、線路最長(zhǎng)的高原鐵路，因路況、季節(jié)、天氣等原因行車的平均速度在（千米/小時(shí)）之間變化，鐵路運(yùn)行全程所需要的時(shí)間（小時(shí)）與運(yùn)行的平均速度（千米/小時(shí)）滿足如圖所示的函數(shù)關(guān)系，列車運(yùn)行的平均速度最大和列車運(yùn)行的平均速度最小時(shí)全程所用時(shí)間相差小時(shí)．

【答案】2.2

【知識(shí)點(diǎn)】反比例函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用

【解析】【解答】解：設(shè)鐵路運(yùn)行全程所需要的時(shí)間與運(yùn)行的平均速度之間的表達(dá)式為，

把點(diǎn)代入得：，

解得：，

∴設(shè)鐵路運(yùn)行全程所需要的時(shí)間與運(yùn)行的平均速度之間的表達(dá)式為，

當(dāng)時(shí)，（小時(shí)），

當(dāng)時(shí)，（小時(shí)），

（小時(shí)），

故答案為：2.2．

【分析】先利用待定系數(shù)法求出反比例函數(shù)解析式，再將和分別代入解析式求出t的值，最后求出即可。

13．（2022九上·成都月考）已知一次函數(shù)y＝x﹣2的圖象與反比例函數(shù)y＝的圖象相交于點(diǎn)P（a，b），則的值是．

【答案】

【知識(shí)點(diǎn)】反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題；反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征

【解析】【解答】解：∵一次函數(shù)y＝x﹣2的圖象與反比例函數(shù)y＝的圖象相交于點(diǎn)P（a，b），

∴，

∴2b-a=-4，ab-3，

∴.

故答案為：

【分析】將兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)分別代入兩函數(shù)解析式，可得到2b-a=-4，ab-3；再將分式通分可得到，然后整體代入求值.

14．（2022九上·渾南期末）某工程隊(duì)計(jì)劃修建鐵路，給出了鋪軌的天數(shù)y（d）與每日鋪軌量x（km/d）之間的關(guān)系表：

y（d）120150200240300

x（km/d）108654

根據(jù)表格信息，判斷出y是x的函數(shù)，則這個(gè)函數(shù)表達(dá)式是．

【答案】

【知識(shí)點(diǎn)】待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式

【解析】【解答】因?yàn)椋?/p>

所以y是x的反比例函數(shù)，

且函數(shù)解析式為．

故答案為：．

【分析】利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式即可。

15．（2022九上·平陰期中）如圖，正方形的邊長(zhǎng)為5，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)B在y軸上，若反比例函數(shù)的圖象過點(diǎn)C，則k的值為．

【答案】-3

【知識(shí)點(diǎn)】待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式；正方形的性質(zhì)；三角形全等的判定（AAS）

【解析】【解答】解：如圖，過點(diǎn)C作軸于E，在正方形中，，，

，

，

，

點(diǎn)A的坐標(biāo)為，

，

，

，

在和中，

，

，

，，

，

點(diǎn)C的坐標(biāo)為，

反比例函數(shù)的圖象過點(diǎn)C，

，

故答案為：-3．

【分析】過點(diǎn)C作軸于E，先利用“AAS”證明，可得，，利用線段的和差求出OE的長(zhǎng)，即可得到點(diǎn)C的坐標(biāo)，再將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入，求出k的值即可。

三、綜合題

16．（2023九上·東方期末）如圖，點(diǎn)和是一次函數(shù)的圖像與反比例函數(shù)的圖像的兩個(gè)交點(diǎn).

（1）求m、n的值；

（2）求一次函數(shù)的表達(dá)式；

（3）設(shè)點(diǎn)P是y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹荛L(zhǎng)最小時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（4）在（3）的條件下，設(shè)點(diǎn)D是坐標(biāo)平面內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)以點(diǎn)A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，請(qǐng)直接寫出符合條件的所有點(diǎn)D的坐標(biāo).

【答案】（1）解：將點(diǎn)代入反比例函數(shù)，

得，，，

∴，

將代入，

得，，，

∴，；

（2）解：將點(diǎn)和分別代入一次函數(shù)，

得，，

解得，，

∴；

（3）解：作點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接交y軸于點(diǎn)P，則點(diǎn)P為所求點(diǎn)，

理由：的周長(zhǎng)為最小，

設(shè)的表達(dá)式為

∵點(diǎn)、，

∴，

解得，，

∴的表達(dá)式為，

∴時(shí)，，

故點(diǎn)P的坐標(biāo)為；

（4）（2，1），或（-2，9），或（4，3）

【知識(shí)點(diǎn)】反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題；平行四邊形的性質(zhì)；軸對(duì)稱的應(yīng)用-最短距離問題

【解析】【解答】解：（4）D的坐標(biāo)為，或，或.理由：

由（1）（2）知，點(diǎn)A、B、P的坐標(biāo)分別為、、，

設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為，

①當(dāng)是邊時(shí)，

則點(diǎn)A向右平移2個(gè)單位向下平移4個(gè)單位得到B，同樣點(diǎn)向右平移2個(gè)單位向下平移4個(gè)單位得到，

則0+2=s，5﹣4=t或0﹣2=s，5+4=t，

解得或；

②當(dāng)AB是對(duì)角線時(shí)，

由中點(diǎn)公式得：，，

解得；

故點(diǎn)D的坐標(biāo)為，或，或.

【分析】（1）將A（1，6）代入y2=中求出m的值，可得反比例函數(shù)的解析式，然后將B（n，2）代入可求出n的值；

（2）將A、B的坐標(biāo)代入y=kx+b中求出k、b的值，據(jù)此可得一次函數(shù)的表達(dá)式；

（3）作點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)G（-1，6），連接BG交y軸于點(diǎn)P，則點(diǎn)P為所求點(diǎn)，此時(shí)△PAB的周長(zhǎng)最小，為BG+AB的值，利用待定系數(shù)法求出直線BG的解析式，令x=0，求出y的值，據(jù)此可得點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（4）由（1）（2）知：點(diǎn)A、B、P的坐標(biāo)分別為（1，6）、（3，2）、（0，5），設(shè)D（s，t），然后分①AB是邊，②AB是對(duì)角線，結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)求出s、t的值，據(jù)此可得點(diǎn)D的坐標(biāo).

17．（2023九上·桂平期末）《城鎮(zhèn)污水處理廠污染物排放標(biāo)準(zhǔn)》中硫化物的排放標(biāo)準(zhǔn)為.某污水處理廠在自查中發(fā)現(xiàn)，所排污水中硫化物濃度超標(biāo)，因此立即整改，并開始實(shí)時(shí)監(jiān)測(cè).據(jù)監(jiān)測(cè)，整改開始第60小時(shí)時(shí)，所排污水中硫化物的濃度為；從第60小時(shí)開始，所排污水中硫化物的濃度是監(jiān)測(cè)時(shí)間x（小時(shí)）的反比例函數(shù)，其圖象如圖所示.

（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式；

（2）整改開始第100小時(shí)時(shí)，所排污水中硫化物濃度為；

（3）按規(guī)定所排污水中硫化物的濃度不超過時(shí)，才能解除實(shí)時(shí)監(jiān)測(cè)，此次整改實(shí)時(shí)監(jiān)測(cè)的時(shí)間至少為多少小時(shí)？

【答案】（1）解：設(shè)y與x的函數(shù)關(guān)系式為y=(x>0)，

∵第60小時(shí)時(shí)，所排污水中硫化物的濃度為；

∴5=，

解得：k=300，

∴y與x的函數(shù)關(guān)系式為y=.

（2）3

（3）解：當(dāng)y=0.8時(shí)，0.8=，

解得x=375，

答：此次整改實(shí)時(shí)監(jiān)測(cè)的時(shí)間至少為375小時(shí).

【知識(shí)點(diǎn)】反比例函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用

【解析】【解答】解：（2）當(dāng)x=100時(shí)，y==3，

故答案為3

【分析】（1）利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式即可；

（2）利用（1）解析式，求出