第七章非線性控制系統(tǒng)分析

第七章非線性控制系統(tǒng)分析第1頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月第一張上一張下一張最后一張結(jié)束授課前述系統(tǒng)都是線性系統(tǒng)，即滿足疊加性和齊次性。嚴格地說，由于控制元件或多或少地帶有非線性特性，所以實際的自動控制系統(tǒng)都是非線性系統(tǒng)。一些系統(tǒng)作為線性系統(tǒng)來分析，這是由于：①系統(tǒng)的非線性不明顯，可近似為線性系統(tǒng)。②某些系統(tǒng)的非線性特性雖然較明顯，但在某些條件下，可進行線性化處理，作為線性系統(tǒng)來分析。這類系統(tǒng)統(tǒng)稱為非本質(zhì)非線性系統(tǒng)。但當系統(tǒng)的非線性特征明顯且不能進行線性化處理時，就必須采用非線性系統(tǒng)理論來分析。這類非線性稱為本質(zhì)非線性。

第一節(jié)非線性系統(tǒng)的基本概念

如果一個控制系統(tǒng)包含一個或一個以上具有非線性特性的元件或環(huán)節(jié),則此系統(tǒng)即為非線性系統(tǒng)。如系統(tǒng)不能進行線性化處理，或其時域響應不能用線性微分方程（一般只能用非線性微分方程來描述,具有非線性數(shù)學模型）來描述,則稱為非線性系統(tǒng)，或稱為本質(zhì)非線性系統(tǒng)。這樣的系統(tǒng)有以下特點：第七章非線性系統(tǒng)分析第2頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月一、穩(wěn)定性方面

第一張上一張下一張最后一張結(jié)束授課（1）當初始條件xo＜1時,1－xo＞0,上式具有負的特征根,其暫態(tài)過程按指數(shù)規(guī)律衰減,該系統(tǒng)穩(wěn)定。（2）當xo=1時,1-xo=0,上式的特征根為零,其暫態(tài)過程為一常量。（3）當xo＞1時,1-xo＜0,上式的特征根為正值,系統(tǒng)暫態(tài)過程指數(shù)規(guī)律發(fā)散,系統(tǒng)不穩(wěn)定。暫態(tài)過程如圖7-1所示

線性系統(tǒng)系統(tǒng)的穩(wěn)定性只取決于系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和參數(shù)，與輸入信號及初始條件無關。但非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性不僅與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關，還與輸入信號及初始條件有關。即可能在某個初始條件下穩(wěn)定，而在另一個初始條件下系統(tǒng)可能不穩(wěn)定。如某系統(tǒng)數(shù)學模型為非線性方程第3頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月二、響應過程

第一張上一張下一張最后一張結(jié)束授課但非線性系統(tǒng)可能會出現(xiàn)某一初始條件下的響應過程為單調(diào)衰減，而在另一初始條件下則為衰減振蕩，如右圖所示。

線性系統(tǒng)響應過程與輸入信號的大小及初始條件無關。如果某系統(tǒng)在某初始條件下的響應過程為衰減振蕩，則其在任何輸入信號及初始條件下該系統(tǒng)的暫態(tài)響應均為衰減振蕩形式。第4頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月三、自持振蕩

第一張上一張下一張最后一張結(jié)束授課如果自振蕩的幅值在允許范圍內(nèi),按照李雅普諾夫關于穩(wěn)定性的定義,系統(tǒng)是穩(wěn)定的。自振蕩是人們特別感興趣的一個問題,對它的研究有很大的實際意義。在多數(shù)情況下,正常工作時不希望有振蕩存在,必須設法消除它。但在某些情況下,特意引入自振蕩,使系統(tǒng)有良好的穩(wěn)態(tài)、暫態(tài)性能。

線性二階系統(tǒng)只在阻尼比

=0時給予階躍作用，將產(chǎn)生周期性響應過程,這時系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。實際上,一旦該系統(tǒng)參數(shù)發(fā)生微小變化,該周期性狀態(tài)就無法維持,要么發(fā)散至無窮大,要么衰減至零。而非線性系統(tǒng)在沒有外作用時,有可能產(chǎn)生頻率和振幅一定的穩(wěn)定周期性響應。該周期響應過程物理上可實現(xiàn)并可保持,通常將其稱為自持振蕩或自振蕩,如下圖所示。第5頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月四、非線性系統(tǒng)的正弦輸入響應第一張上一張下一張最后一張結(jié)束授課正弦信號作用下，線性系統(tǒng)的輸出是與輸入信號同頻率的正弦信號。而非線性系統(tǒng)在正弦信號作用下的響應則很復雜，有時輸出信號頻率為輸入頻率的倍頻、分頻等現(xiàn)象。

一些非線性系統(tǒng)的幅頻特性會出現(xiàn)跳躍諧振及多值響應現(xiàn)象。如圖7-4所示,

增加時,幅頻特性按1,6,2,3,4的順序變化,當

減小時,幅頻特性按4,3,5,6,1的順序變化,在

1＜

＜

2范圍內(nèi)出現(xiàn)多值響應。

非線性系統(tǒng)響應還有其他與線性系統(tǒng)不同的現(xiàn)象,無法用線性系統(tǒng)的理論來解釋。在一些情況下,引入某些非線性環(huán)節(jié),使系統(tǒng)獲得比線性系統(tǒng)更為優(yōu)異的性能。實際上大多數(shù)智能控制都屬于非線性控制范疇。

應當明確指出的是：非線性系統(tǒng)分析中不能使用疊加原理,也不能使用線性系統(tǒng)分析中傳遞函數(shù)、頻率特性數(shù)學模型。簡要介紹描述函數(shù)法及相平面法

第6頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月第二節(jié)典型非線性特性及其對系統(tǒng)的影響第一張上一張下一張最后一張結(jié)束授課為了分析的方便,通常把常見的非線性特性概括為幾個典型非線性特性,研究這些典型環(huán)節(jié)的特性及其對控制系統(tǒng)運動特性的影響,是分析復雜非線性系統(tǒng)的基礎。一、死區(qū)（不靈敏區(qū)）特性

式中為符號函數(shù)常見的典型非線性特性有死區(qū)、飽和、間隙、繼電器特性及變放大系數(shù)特性等測量機構(gòu)和元件都不同程度地存在死區(qū)，即輸入信號未超過某一特征數(shù)值時，輸出信號為零。只有當輸入信號的幅值超過該特征數(shù)值時，輸出信號隨輸入信號線性變化。死區(qū)的典型特性如右圖所示，其非線性特性的數(shù)學表達式如下：第7頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月死區(qū)特性的影響：第一張上一張下一張最后一張結(jié)束授課一個系統(tǒng)中有幾個環(huán)節(jié)都存在死區(qū)特性時,系統(tǒng)總的死區(qū)特性可進行折算。如圖7-6所示系統(tǒng),三個元件的死區(qū)分別為

1、

2、

3,其增益分別為K1、K2、K3,則折算到測量元件輸人端總的死區(qū)為

可見,前向通道中最前面環(huán)節(jié)的死區(qū)影響最大,若要削弱后面環(huán)節(jié)死區(qū)的影響,可加大前幾級元件增益。造成控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差:這是由于當死區(qū)環(huán)節(jié)輸入信號幅值未超過死區(qū)特征值時，其輸出信號為零，系統(tǒng)前向通道處于斷開狀態(tài)，不能產(chǎn)生調(diào)節(jié)作用。有時人為地引入死區(qū)特性，用于消除高頻小幅度振蕩，減少系統(tǒng)中器件的磨損。

第8頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月二、飽和特性第一張上一張下一張最后一張結(jié)束授課飽和也是常見的一種非線性特性,環(huán)節(jié)輸入信號在某個特征數(shù)值以內(nèi)時,輸出信號隨輸入線性變化,超過該特征數(shù)值后,輸出不再發(fā)生變化。幾乎所有的放大器都存在飽和現(xiàn)象。典型的飽和非線性特性如下圖左所示,其數(shù)學表達式為

輸入信號|x1|

a時,該環(huán)節(jié)是放大倍數(shù)為k的比例環(huán)節(jié),當|x1|

a時出現(xiàn)飽和。隨著|x1|的不斷增大其等效放大倍數(shù)逐步降低,如下圖右所示。

第9頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月飽和特性的影響

：第一張上一張下一張最后一張結(jié)束授課常見的一種情況是使系統(tǒng)產(chǎn)生自振蕩：具有飽和特性的非線性系統(tǒng)如下圖

所示。當e＜a時,尚未到達飽和點,若增益K1K0超過一定數(shù)值后,系統(tǒng)就會出現(xiàn)振蕩發(fā)散。隨著系統(tǒng)的發(fā)散,e不斷增大,當e＞a時,由于飽和特性使得等效增益降低,使系統(tǒng)開始收斂,如此周而復始。系統(tǒng)處于發(fā)散狀態(tài)時要從外界吸取能量,系統(tǒng)處于收斂狀態(tài)時要逐漸消耗掉內(nèi)部的能量,當每個周期發(fā)散獲得的能量與收斂消耗的能量相等時,就達到了能量平衡,就可以維持等幅振蕩，這就是非線性系統(tǒng)所特有的自振現(xiàn)象。出于對系統(tǒng)安全性的考慮,常常加入各種限幅裝置,其特性也屬飽和特性。第10頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月三、間隙特性

第一張上一張下一張最后一張結(jié)束授課在各種傳動機構(gòu)之中,由于加工精度及運動部件的動作需要,總會存在一些間隙。例如下圖左所示的齒輪傳動系統(tǒng),為了保證轉(zhuǎn)動靈活不至于卡死,必須有少量的間隙。由于間隙的存在,當主動輪的轉(zhuǎn)向改變時,從動輪開始仍保持原有的位置,直到主動輪轉(zhuǎn)過了2b間隙,在相反方向與從動輪相嚙合后,從動輪才開始轉(zhuǎn)動。典型間隙非線性的輸入輸出特性如下圖右所示。

一般來說,間隙的存在對系統(tǒng)總是不利的:(1)首先它使系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差擴大;(2)使系統(tǒng)的動態(tài)性能變差,使振蕩加劇,穩(wěn)定性變差。

第11頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月四、繼電器特性

第一張上一張下一張最后一張結(jié)束授課為了改善系統(tǒng)的性能,常常在系統(tǒng)中引入非線性,繼電器特性就是常用的一種。

下圖左是用極化繼電器控制伺服電動機的原理圖。當繼電器線圈中的電流I=0時,其觸點位于中間位置,電動機斷電。當0＜i＜i1時,（i1是極化繼電器的吸合動作電流）觸頭仍不動作,當i＞i1時,觸頭動作,電動機電樞電壓U=Um。當繼電器線圈中電流減小

時,由于返回電流

i2小于動作電流

i1,故僅當i＜i2時觸點才斷開,電動機斷電。當繼電器線圈電流反向變化時也會出現(xiàn)類似的情況。繼電器的輸入輸出特性如下圖右所示。第12頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月第一張上一張下一張最后一張結(jié)束授課由于繼電器的動作電流大于返回電流,故繼電器特性中不僅含有死區(qū)特性,而且還含有滯環(huán)特性。繼電器的返回電流i2與動作電流

i1之比稱為返回系數(shù)。若返回系數(shù)

m=1,則無滯環(huán),其特性稱為具有死區(qū)的單值繼電器特性,如下圖(a)所示。若返回系數(shù)m=-1,即繼電器的正向返回電流等于反向動作電流時,其特性稱為具有滯環(huán)的繼電器特性,如下圖(b)所示。若I=0,即繼電器的動作電流及返回電流均為零值切換,則稱這種特性為理想繼電器特性,如下圖(C)所示。

第13頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月五、變放大系數(shù)特性第一張上一張下一張最后一張結(jié)束授課變放大系數(shù)特性如下圖所示，其數(shù)學表達式為式中k1、k2---輸出特性斜率

---切換點

當輸入信號的幅值在不同范圍變化時,具有不同的放大系數(shù)。

變放大系數(shù)特性可使系統(tǒng)獲得較好的動態(tài)性能。如在大誤差信號時,該環(huán)節(jié)具有較大的放大系數(shù),使系統(tǒng)響應迅速;而在小誤差信號時,該環(huán)節(jié)具有小的放大系數(shù),使系統(tǒng)響應平穩(wěn),減少甚至消除超調(diào)量。

第14頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月復雜非線性特性第一張上一張下一張最后一張結(jié)束授課

除上述典型非線性特性之外,還有一些更為復雜的非線性特性,其中有些可視為上述典型特性的組合,如下圖(a)為死區(qū)-飽和特性，下圖(b)為死區(qū)-繼電器特性。

需要指出的是：盡管各種復雜非線性特性可以看作是各種典型非線性的組合,但是,絕不可將各個包含單一典型非線性特性系統(tǒng)的響應相加作為復雜非線性系統(tǒng)的響應,這是因為疊加原理不適用于非線性系統(tǒng)。

第15頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月第三節(jié)描述函數(shù)法

第一張上一張下一張最后一張結(jié)束授課在非線性系統(tǒng)的響應過程中,自振蕩是一種最常見且極為重要的運動形式,描述函數(shù)法是研究非線性系統(tǒng)自振蕩的一種有效方法。主要用于分析非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性、自振蕩特性及消除自振蕩的方法。雖然是一種近似方法,但對常見實際非線性系統(tǒng)而言,分析結(jié)果基本滿足工程需要,在非線性系統(tǒng)分析及設計中得到了廣泛應用。

一、描述函數(shù)的定義

設非線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如下圖所示。其中線性部分的傳遞函數(shù)為

N(x)為非線性環(huán)節(jié),它的輸出量與輸入量之間為非線性函數(shù)

若設其輸入為正弦信號x（t）=Sin

t則其輸出一般不是正弦信號,但仍是一個周期信號,其傅立葉級數(shù)展開式為

第16頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月第一張上一張下一張最后一張結(jié)束授課式中表明,非線性環(huán)節(jié)的輸出信號y(t)中含有基波及各高次諧波。通常諧波的次數(shù)越高,其相應的傅立葉系數(shù)越小,即相應的諧波分量幅值就越小。式中基波幅值

基波初相位此時,非線性環(huán)節(jié)相當于一個對正弦輸入信號的幅值及相位進行變換的環(huán)節(jié),可以仿照頻率特性的概念建立非線性特性的等效幅相特性。

如果系統(tǒng)線性部分G(s)具有低通濾波特性,則高次諧波分量通過線性部分后將被衰減到忽略不計,可以近似認為當輸入為正弦信號x(t)時,只有y(t)的基波分量沿閉環(huán)反饋回路送至比較點,其高次諧波分量可忽略不計,即第17頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月描述函數(shù)的定義第一張上一張下一張最后一張結(jié)束授課非線性環(huán)節(jié)輸出量的基波分量與其輸入正弦量的復數(shù)比即為其描述函數(shù)其數(shù)學表達式為

式中N（X）——非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)

X——正弦輸入信號的振幅——非線性環(huán)節(jié)輸出基波分量的振幅

——非線性環(huán)節(jié)輸出基波分量相對于輸入信號的相位

描述函數(shù)一般為輸入信號振幅的函數(shù),故記作N（X）,當非線性元件中包含儲能元件時,N同時為輸入信號振幅及頻率的函數(shù),記作N（X,

）。

非線性特性能用描述函數(shù)表達的條件：（1）非線性特性具有中心對稱特性(奇對稱)（2）線性部分具有低通濾波特性第18頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月二、典型非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)

第一張上一張下一張最后一張結(jié)束授課1．飽和特性

飽和非線性環(huán)節(jié)的輸入/輸出特性及其在正弦信號作用下的輸入輸出波形如下圖所示。當輸入正弦信號的幅值X＞a時,由于飽和非線性作用,其輸出波形為一削頂?shù)恼也?其數(shù)學表達式為式中考慮到y(tǒng)(t)波形的對稱性和周期性,故只列出0~

/2區(qū)間的關系式

。第19頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月由式描述函數(shù)定義式并考慮到飽和非線性特性為單值奇對稱，有

第一張上一張下一張最后一張結(jié)束授課得飽和非線性的描述函數(shù)為

實際應用中,常將描述函數(shù)中的某些參數(shù)分離出來,將其歸算到線性部分中去,構(gòu)成相對描述函數(shù),又稱基準描述函數(shù)。對飽和非線性特性,其相對描述函數(shù)為

第20頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月分析非線性系統(tǒng)自振時,常用到相對描述函數(shù)的負倒特性-1／N（X）

。第一張上一張下一張最后一張結(jié)束授課飽和非線性相對描述函數(shù)的負倒特性如圖7-20所示,隨輸入信號振幅X的增加,-1／N（X）曲線起于（-1，0j）點,趨向（-

，j0）。

2.死區(qū)特性圖7-21表示的是死區(qū)特性及其在正弦信號作用下的輸出波形,當輸入信號的振幅X＜

時,輸出為0,圖中表示的是X＞

的情況輸入正弦信號時,其輸出量的數(shù)學表達式為式中

----死區(qū)寬度由于死區(qū)特性具有單值奇對稱特性,故上式只列出了0~

/2區(qū)段的表達式,有A0=0A1=0第21頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月第一張上一張下一張最后一張結(jié)束授課其描述函數(shù)為

相對描述函數(shù)為

它的相對描述函數(shù)的負倒特性如圖7-22所示。也是一條沿負實軸變化的曲線。但它隨X的增加，從（-

，j0）沿負實軸趨向（-1，j0）點。第22頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月3.間隙特性第一張上一張下一張最后一張結(jié)束授課間隙非線性特性及其在正弦輸入信號作用下的輸入輸出波形如圖7-23所示。由圖可見,y（t）相對于x（t）有時間滯后,但y（t）并非被削頂?shù)恼也?其數(shù)學表達式為

式中2b----間隙寬度間隙特性為非單值奇對稱,其輸出特性y（t）為非奇非偶函數(shù),但仍是180o鏡對稱函數(shù)。故上式僅列出了0～

區(qū)間的表達式。由式（7-l）經(jīng)過一系列推導，得間隙特性的描述函數(shù)為

第23頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月間隙特性的描述函數(shù)特點：第一張上一張下一張最后一張結(jié)束授課間隙特性的描述函數(shù)是X的復函數(shù),因X＞b,故其虛部為負,這說明間隙特性會造成相位滯后。間隙特性的相對描述函數(shù)為

其負倒特性曲線如右圖所示

第24頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月4.繼電器特性第一張上一張下一張最后一張結(jié)束授課右下圖是具有死區(qū)和滯環(huán)的繼電器特性及其在正弦信號作用下的輸入/輸出波形。

繼電器特性輸出信號的數(shù)學表達式為

式中繼電器特性為非單值奇對稱,其輸出波形y(t)為非奇非偶函數(shù),但為180o鏡對稱函數(shù),故上式只列出了0～

區(qū)間的數(shù)學表達式。由式(7-1)并考慮到正負半周的對稱性，經(jīng)過一系列推導，得到繼電器特性的描述函數(shù)：

第25頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月上式兩側(cè)同除以M/

，得繼電器特性的相對描述函數(shù)

第一張上一張下一張最后一張結(jié)束授課由上式可知，No（X）是

／X及m的復函數(shù),令m取一系列的數(shù)值,可以給出No(X)的負倒特性曲線,如下圖所示。

第26頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月三種特殊情況：第一張上一張下一張最后一張結(jié)束授課(1)m=1時,繼電器只有死區(qū),其特性如圖7-15(a)所示,相對描述函數(shù)為

No(X)是實函數(shù),-1/No(x)特性沿負實軸變化,當X/

=1時曲線從(-

,j0)開始。當

X/

=時,-1/No(x)取得最大值。當

X/

>21/2時,隨X的增加又逐漸趨向(-

,j0)。

(2)m=-l時,只有滯環(huán)而沒有死區(qū),其特性如圖7-15（b）所示,描述函數(shù)為

-1／No(X)曲線是一條平行于負實軸的直線,當

X／

=1時,曲線始于(0,-j

／4)，當X／

時,曲線趨向于(-

,-j

／4)(3)

=0時為理想繼電器特性,特性曲線見圖7-15(c),其相對描述函數(shù)為：

-1／No(X)曲線與負實軸重合,X=0時特性始于坐標原點,隨X的增加逐漸趨于-

處

第27頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月第一張上一張下一張最后一張結(jié)束授課第28頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月常見非線性特性描述函數(shù)表第一張上一張下一張最后一張結(jié)束授課第29頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月第一張上一張下一張最后一張結(jié)束授課第30頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月第四節(jié)用描述函數(shù)法分析非線性系統(tǒng)第一張上一張下一張最后一張結(jié)束授課許多包含非線性環(huán)節(jié)的控制系統(tǒng),經(jīng)過對方框圖的變換及簡化,都可以表示成由線性部分G（s）（低通濾波器）與非線性部分N相串聯(lián)的系統(tǒng),如下圖所示

對非線性系統(tǒng)進行分析時,必然要分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性以及是否產(chǎn)生自振蕩。描述函數(shù)法對系統(tǒng)穩(wěn)定性、產(chǎn)生自振蕩的條件、自振蕩的振幅及頻率、消除自振蕩的途徑等問題,都可得出較為符合實際的結(jié)果。自振蕩是非線性系統(tǒng)內(nèi)部自發(fā)的持續(xù)振蕩,與外加給定信號及干擾信號無關,可認為r(t)=0,n(t)=0。假定由于自振產(chǎn)生系統(tǒng)輸出信號,經(jīng)反饋后成為非線性環(huán)節(jié)的輸入，是一個正弦信號。從前述可知非線性環(huán)節(jié)的輸出信號為非正弦信號周期信號,其中包括基波及高次諧波，僅有基波信號通過線性環(huán)節(jié)，得以反饋到非線性部分。第31頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月

但是一般說來,高次諧波的幅值較小,當系統(tǒng)的線性部分具有低通濾波特性第一張上一張下一張最后一張結(jié)束授課時,高次諧波將被進一步衰減。因此,可以認為能夠通過線性部分又反饋到非線性環(huán)節(jié)輸入端的信號只是基波正弦信號。這個結(jié)果,與前面的假定相吻合。在上述的條件下,可以用非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)近似表示非線性環(huán)節(jié)的特性,此時非線性系統(tǒng)的方框圖如下圖所示。描述函數(shù)N(x)是一個復變量,它的幅值及相角是輸入信號幅值X的函數(shù)。將N(x)看成一個可變的放大系數(shù),使用線性系統(tǒng)頻率特性的概念,右圖所示系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性為：閉環(huán)特征方程式為或?qū)τ谀骋粋€特定的Xo及

o,上式成立，相當于線性系統(tǒng)中G(j

)=-l的情況,將產(chǎn)生等幅的周期性振蕩。式中-1／N(X)為描述函數(shù)的負倒特性,它相當于線性系統(tǒng)的臨界穩(wěn)定點(-1,0j)。

第32頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月一、奈魁斯特穩(wěn)定判據(jù)的應用第一張上一張下一張最后一張結(jié)束授課在復平面上同時作出線性部分的頻率特性G（j

）及非線性部分描述函數(shù)的負倒特性-1／N(X),判斷非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法如下：(1)如果在復平面上,-1／N(X)曲線不被G(j)曲線所包圍,如圖7-29(a)所示,則非線性系統(tǒng)是穩(wěn)定的。(2)如果在復平面上,-1／N(X)曲線被G(j

)曲線所包圍,如圖7-29(b)所示,則非線性系統(tǒng)不穩(wěn)定。(3)如果在復平面上,-1／N(X)曲線與G(j

)曲線相交,如圖7-29(c)所示,則在非線性系統(tǒng)中產(chǎn)生周期性振蕩,振蕩的振幅由-1／N(X)曲線交點處對應的X值決定,振蕩的頻率由G(j)曲線交點處的

值決定。第33頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月實際應用中為了作圖的方便,常將描述函數(shù)表示成相對描述函數(shù)與一個系數(shù)的第一張上一張下一張最后一張結(jié)束授課乘積，即N(X)=KoNo(X)，此時特征方程式可表示成：

或?qū)⑸蠄D中的曲線分別換成-1／No(X)與KoG(j),判斷穩(wěn)定性的方法不變。第34頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月二、自振蕩分析若復平面中-1／N(X)曲線與G(j)曲線有交點,則該交點對應著可能的等幅振蕩,問題是這個等幅振蕩能否穩(wěn)定地存在？也就是說,如果系統(tǒng)受到某個擾動使振蕩的振幅發(fā)生變化,系統(tǒng)是否具有恢復到擾動前的等幅振蕩狀態(tài)的能力？如果系統(tǒng)具備這種能力,則該等幅振蕩能夠穩(wěn)定地存在,并能被觀察到,稱這個穩(wěn)定的等幅振蕩為自持振蕩。反之,振蕩不能穩(wěn)定地存在,必然轉(zhuǎn)移到其它運動狀態(tài)(收斂到零或發(fā)散)。以右上圖為例進行分析。圖中-1／N(X)曲線與G(j)曲線有兩個交點a和b,對應于不同的振蕩頻率和振幅。對a點,振幅及頻率為Xa及

(j),若由于擾動使振蕩的振幅略有增大,這時工作點將沿-1／N(X)曲線由a點移動到c點。由于c點不被G(j)所包圍,故系統(tǒng)進入穩(wěn)定區(qū),周期振蕩的振幅要衰減,并逐步恢復到Xa,即自動返回原狀態(tài)；若由于擾動使振蕩的振幅略有減小,這時工作點將沿-1／N(X)曲線由a第一張上一張下一張最后一張結(jié)束授課第35頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月點轉(zhuǎn)移到

d點,由于

d點被G(j)所包圍,故系統(tǒng)不穩(wěn)定,輸出將發(fā)散,其結(jié)果將使第一張上一張下一張最后一張結(jié)束授課輸出信號振幅變大,工作點又從d點返回a點。由此可見a點是穩(wěn)定的等幅振蕩點,形成可觀察到的穩(wěn)定自持振蕩。用相同方法分析b點的等幅振蕩狀態(tài)。若干擾使得振蕩加劇,則系統(tǒng)的工作點由b點移至e點,由于e點被G(j)曲線包圍。故系統(tǒng)將發(fā)散,振蕩的振幅繼續(xù)變大,更加遠離b點。若干擾使振蕩振幅略有減小,則工作點由b點轉(zhuǎn)移到f點,f點不被G(j)包圍,所以系統(tǒng)的振蕩將收斂,振幅將一步減小,更加原理b點。由此可見,b點的振蕩狀態(tài)是不穩(wěn)定的,無法觀察到。顯然,圖7-29(c)所示系統(tǒng)將最終呈現(xiàn)兩種可能的運動狀態(tài)：當擾動較小,其振幅小于Xb時,系統(tǒng)趨于平衡狀態(tài),不出現(xiàn)自振蕩。當擾動較大,其幅值超過了Xb時,系統(tǒng)將出現(xiàn)自持振蕩,其振幅為Xa，角頻率為

a。判別-1/N(X)與G(j)曲線交點是否是穩(wěn)定的自振點還有一個簡便方法:若在交點處,被G(j)包圍的-1／N(X)部分對應的振幅X值小于未包圍部分對應的X值,則該交點為穩(wěn)定的自振點。若在交點處,被G(j

)包圍的-1/N(X)部分對應的振幅X值大于未包圍部分對應的X值,則該交點為不穩(wěn)定的自振點。第36頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月第一張上一張下一張最后一張結(jié)束授課三、分析系統(tǒng)自振蕩的例題以下通過幾個例子具體說明運用描述函數(shù)分析非線性系統(tǒng)自振蕩的方法?！纠?-1】非線線性系統(tǒng)如圖7-30（a）所示（1）當K=15時,判斷自振蕩的性質(zhì),求出自振蕩的振幅和頻率。（2）線性部分的放大倍數(shù)K取何值時,該系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài)。第37頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月線性部分的頻率特性為

實部及虛部分別為

解（1）飽和非線性特性的描述函數(shù)為第一張上一張下一張最后一張結(jié)束授課第38頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月由非線性特性知a=1,k=2,在同一復平面上分別作出-1／N(X)及K=15時的G(j)第一張上一張下一張最后一張結(jié)束授課曲線,如圖7-30(b)所示。從圖中可知,當X

a時,-1／N(X)曲線起于(-1/2,

j0)點,隨著X的增大,-1/N(X)曲線沿負實軸趨于-

,G(j)曲線與-1／N(X)曲線有一個交點b2,因為被G(j)包圍的-1／N(X)部分對應的振幅X值小于未包圍部分對應的X值,故該交點為穩(wěn)定的自振蕩點,振蕩的振幅及頻率可按如下方法求出：令Im[G(j)]=0得=代入Re[G(j)]表達式兩條曲線的交點處，有將a=1,k=2代入上式,解得

X

2.5。即K=15時,自振幅度為X

2.5,頻率為

=7.05(S-1)

（2）若使系統(tǒng)穩(wěn)定,不產(chǎn)生自振蕩,可減少線性部分的放大倍數(shù)K。由圖7-30(b)得知,本系統(tǒng)-1／N(X)曲線位于(-

,-1/2)區(qū)段,當k=7.5時,-1／N(X)與G(j)曲線相交于[-1/2,0j]點,若取k

7.5,則兩曲線不相交,此時系統(tǒng)是穩(wěn)定的,不會產(chǎn)生自振蕩。

第39頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月【例7-2】下圖為含有死區(qū)繼電器特性的非線性系統(tǒng),圖中M=1.7,a=0.7,試判斷第一張上一張下一張最后一張結(jié)束授課該系統(tǒng)是否存在自振蕩,若是,求出自振狀態(tài)的振幅及頻率。解

死區(qū)繼電器特性的描述函數(shù)為

相對描述函數(shù)為負倒幅相特性

第40頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月令X、

取一系列數(shù)值,可算出-1／No(X)及KoG(j)的值如表7-2、表7-3所示。

第一張上一張下一張最后一張結(jié)束授課第41頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月在復平面上作出-1/No(X)及KoG(j)曲線如下圖所示。

第一張上一張下一張最后一張結(jié)束授課圖中-1／No(X)曲線與負實軸重合,當a／X由0

0.707時,-l／No(X)由實軸上-

-0.707；當a/X由0.707

1時,-1／No(X)由實軸上-0.707

-

從圖中可見,-1／No(X)與KoG(j)相交于A、B兩點,它們對應的頻率和振幅為

根據(jù)判斷自振蕩穩(wěn)定的方法可以判定,B點不是穩(wěn)定的振蕩點。A點是穩(wěn)定自振點,振蕩角頻率為200s-1,振幅為1.84。第42頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月四、非線性系統(tǒng)方框圖的簡化第一張上一張下一張最后一張結(jié)束授課以上討論的是非線性系統(tǒng)的典型結(jié)構(gòu)。為了應用描述函數(shù)法分析系統(tǒng)的自振蕩及穩(wěn)定性,可將其它結(jié)構(gòu)形式轉(zhuǎn)化為前述典型結(jié)構(gòu)。

第43頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月第五節(jié)相平面法基礎第一張上一張下一張最后一張結(jié)束授課設非線性二階系統(tǒng)可用微分方程描述：

令x1=x,x2=,則可將上述方程變一階微分方程組:

或?qū)⑸鲜街械?式除以第1式，得

x1,x2稱為系統(tǒng)的狀態(tài)變量，不直接用時間變量而用狀態(tài)變量表示系統(tǒng)動態(tài)過程的方法稱為狀態(tài)空間法,也稱為相空間法。相平面和相平面法：以x1為橫坐標、x2為縱坐標的平面稱為相平面，相應的相空間法稱為相平面法。稱為相軌跡方程第44頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月相點、相軌跡或相平面第一張上一張下一張最后一張結(jié)束授課二階系統(tǒng)有兩個狀態(tài)變量,系統(tǒng)每個狀態(tài)對應相平面上的一個點,稱為相點。時間變化時,系統(tǒng)狀態(tài)發(fā)生變化,相點位置也隨之移動,移動的軌跡稱為相軌跡或相平面圖。

平衡點或奇點若對于系統(tǒng)某時刻的狀態(tài)（x1、x2）,有此時兩個狀態(tài)變量對時間的變化率都為零,系統(tǒng)的狀態(tài)不再發(fā)生變化,即系統(tǒng)到達了平衡狀態(tài)，相應的狀態(tài)點稱為平衡點。平衡點處有

相軌跡上斜率不確定的點在數(shù)學上也稱為奇點,故平衡點即為奇點。

奇點處,由于相軌跡的斜率dx2／dx1為不定值,可理解為有多條相軌跡在此交匯,即相軌跡可以在奇點相交。在非奇點處,由于相軌跡的斜率為確定的值,故相軌跡不會相交。

第45頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月一、二階線性系統(tǒng)的相軌跡第一張上一張下一張最后一張結(jié)束授課設二階線性系統(tǒng)的微分方程為

取相坐標x,上式化為

或設

n為正，根據(jù)阻尼系數(shù)的不同取值范圍進行討論1.無阻尼運動（

=0）此時系統(tǒng)特征根為一對共軛虛根,相軌跡方程變?yōu)?/p>

對上分離變量并積分,得

式中,A為由初始條件決定的積分常數(shù)。初始條件不同時,上式表示的系統(tǒng)相軌跡是一族同心橢圓。每一個橢圓對應一個等幅振動。在原點處有一個平衡點(奇點)，該奇點附近的相軌跡是一族封閉橢圓曲線，這類奇點稱為中心點。第46頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月第一張上一張下一張最后一張結(jié)束授課2.欠阻尼運動（0

1）系統(tǒng)特征方程的根為一對具有負實部的共軛復根,已知系統(tǒng)的零輸入解為式中,A、

為由初始條件確定的常數(shù)。時域響應過程是衰減振蕩的，見下圖左。

可求出系統(tǒng)有一個位于相平面原點的平衡點（奇點），不同初始條件出發(fā)的相軌跡呈對數(shù)螺旋線收斂于該平衡點，見右圖右。這樣的奇點稱為穩(wěn)定焦點。第47頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月3.過阻尼運動（

＞1）

第一張上一張下一張最后一張結(jié)束授課系統(tǒng)特征根為兩負實根,已知系統(tǒng)零輸入解的表達式為

式中,A1,A2——初始條件決定的常數(shù)；

1,

2——特征根不同初始條件下系統(tǒng)的響應曲線如下圖左所示。相軌跡是一族匯聚到原點的拋物線,單調(diào)地趨于平衡點(奇點)—坐標原點,如下圖右所示。這種奇點稱為穩(wěn)定節(jié)點。第48頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月4.負阻尼運動(

<0)（系統(tǒng)不穩(wěn)定，根據(jù)極點位置分三種情況分別討論）第一張上一張下一張最后一張結(jié)束授課(l)-1＜

＜0時,特征根為S右半平面的共軛復根,響應為振蕩發(fā)散,相軌跡是一族從原點向外卷的對數(shù)螺旋線,如下圖左所示。奇點為坐標原點,稱為不穩(wěn)定焦點。(2)

＜-1時,特征根是兩個正實根,響應為單調(diào)發(fā)散,相軌跡是一族從原點出發(fā)向外單調(diào)發(fā)散的拋物線,如下圖右所示。奇點為坐標原點,稱為不穩(wěn)定節(jié)點。第49頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月(3)對下圖（a）所示的正反饋二階系統(tǒng),其特征方程式為第一張上一張下一張最后一張結(jié)束授課特征根為一對符號相反的實根,響應依然單調(diào)發(fā)散的,相軌跡是一族雙曲線,如下圖（b）所示。這時的奇點也是坐標原點,稱為鞍點。

以上分析表明,二階線性系統(tǒng)特征根在復平面上位置不同時,時域響應形式不同。相軌跡的形狀也完全不同。可見相軌跡的形狀與系統(tǒng)閉環(huán)極點的位置密切相關，與奇點類型也密切相關.第50頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月閉環(huán)極點位置、奇點類型與相軌跡的關系第一張上一張下一張最后一張結(jié)束授課第51頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月二、相軌跡的繪制方法第一張上一張下一張最后一張結(jié)束授課相軌跡可以通過解析法作出,也可用圖解法或?qū)嶒灧椒ɡL制。1.解析法當系統(tǒng)相軌跡方程比較簡單或易于分段線性化時,可使用解析法求出相軌跡方程的解,再繪制相軌跡?！纠?-3】含有理想繼電器特性的非線性系統(tǒng)如圖7-48所示，試繪制其相軌跡。

解

系統(tǒng)線性部分輸入/輸出關系為

非線性部分輸入/輸出關系為

因為

故該系統(tǒng)的相軌跡方程式為

第52頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月對所得相軌跡方程進行分離變量積分，得第一張上一張下一張最后一張結(jié)束授課式中A1,A2為積分常數(shù),由初始條件求得。由此,可在相平面上作出系統(tǒng)的相軌跡如圖7-49所示。直線c=r將相平面分為兩個區(qū)域,即I區(qū)及II區(qū),它們分別對應于方程式(7-31)及式(7-32),每個區(qū)域內(nèi)的相軌跡都是一族拋物線。若系統(tǒng)的初始條件處于A點,A點位于II區(qū)內(nèi),應按照II區(qū)對應的方程式(7-32)運動,則隨時間推移相點將逐步移動到B點,越過B點相點進入I區(qū),將按照I區(qū)對應的方程式(7-31)運動,則相點逐步移動到C點,在C點發(fā)生切換又沿II區(qū)的相軌跡經(jīng)A點趨向B點,周而復始。這兩條拋物線構(gòu)成一個封閉曲線,故本例的時間響應呈周期運運狀態(tài)。奇點類型為中心點,位于(r，0)。

第53頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月2.等傾線法第一張上一張下一張最后一張結(jié)束授課當系統(tǒng)相軌跡方程不易用解析法求解時,可使用等傾線法繪制系統(tǒng)的相軌跡。對非線性系統(tǒng)：將上式表示為：其中d/dx是相軌跡的斜率,令d/dx=

,

為一常數(shù),則有或繪制思路：對于給定斜率

,求解等頃線方程,得到一條等頃曲線。給定不同的

值,可在相平面上繪制不同的等傾曲線。由給定的初始條件出發(fā),沿各條等傾曲線所決定相軌跡的切線方向,依次畫出系統(tǒng)相軌跡。

上式稱為等頃線方程，各相軌跡與該曲線交點的斜率相等,且等于

。【例7-4】

線性二階系統(tǒng)的運動方程為

試用等傾線法繪制系統(tǒng)的相軌跡。解

系統(tǒng)的微分方程可以化成

或第54頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月令第一張上一張下一張最后一張結(jié)束授課得等傾線的方程圖7-50中作出了

取不同值時的等傾線及等傾線上表示斜率值的小線段。若給定的初始條件為A點,從A點出發(fā)順時針將各小線段光滑地聯(lián)接起來,就得到了從A點出發(fā)的一條相軌跡。繪制非線性系統(tǒng)相軌跡的圖解方法還有

法等。

第55頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月三、由相平面圖求時間解

第一張上一張下一張最后一張結(jié)束授課相軌跡是系統(tǒng)的時間響應c(t)在c-響應的主要特征,但不能直接表示時間信息,如需要求出系統(tǒng)的時間響應,可以采用以下兩種方法。相平面上的映象,它雖然可以反映系統(tǒng)時間1.根據(jù)相軌跡的平均斜率求時間t設系統(tǒng)的相軌跡如圖7-51所示,設相點由A點轉(zhuǎn)移到B點所需的時間為

tAB,,故在此期間考慮到的平均值為據(jù)此可求得相點由A點轉(zhuǎn)移到B點所需的時間

式中用同樣的方法可求出相點由B點轉(zhuǎn)移到C點的時間,以次類推可得X(t)的曲線,也可以進一步求得其時域響應指標。

第56頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月2.用面積法求時間t

第一張上一張下一張最后一張結(jié)束授課根據(jù)相軌跡圖,以x為橫坐標,1／

為縱坐標畫出1／

曲線,如圖7-52所示。由于即當時間由t1變至t2時,有

積分的數(shù)值等于1／的面積,如圖7-52中陰影部分所示,利用解析法或圖解法可以求得此面積。曲線與X軸之間包圍第57頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月第六節(jié)非線性系統(tǒng)的相平面分析第一張上一張下一張最后一張結(jié)束授課如二階非線性特性可以表示為分段的線性特性,則適宜用相平面法進行研究。思路：非線性特性的每一線性段對應著一個線性微分方程,一個線性微分方程在相平面上對應著一個區(qū)域,用解析法或等傾線法求得每一個區(qū)域的相軌跡族之后,將它們拼接在一起,就得到整個系統(tǒng)的相平面圖。根據(jù)給定的初始條件,在相平面上確定相軌跡的起點,相點在相應的區(qū)域內(nèi)按相軌跡族中的某一軌跡運動,在兩區(qū)域交界處作相應的轉(zhuǎn)換：前一區(qū)域相軌跡的終點即是下一區(qū)域相軌跡的起點,依次類推,可得出全部相軌跡。根據(jù)繪制的相軌跡可分析非線性系統(tǒng)的運動特性。一、繼電器非線性系統(tǒng)

1.帶死區(qū)的繼電器非線性系統(tǒng)

圖7-53為帶死區(qū)的繼電器系統(tǒng),設系統(tǒng)在靜止狀態(tài)下施加階躍信號r(t)=R·l(t)則第58頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月由結(jié)構(gòu)圖知第一張上一張下一張最后一張結(jié)束授課得由系統(tǒng)線性部分的結(jié)構(gòu)有

將上式轉(zhuǎn)換成關于的方程并考慮非線性特性，有非線性方程轉(zhuǎn)化為三個線性微分方程,它們分別對應于相平面上I、II、III區(qū)對相平面e＞

的區(qū)域,即

I區(qū),由

則相應方程可表示為

令

，得I區(qū)相軌跡的等傾線方程

第59頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月I區(qū)內(nèi)相軌跡的等傾線為一系列平行于e軸的直線,其中對應于

=0,有第一張上一張下一張最后一張結(jié)束授課此為I區(qū)相軌跡的漸近線。用等傾線法繪出I區(qū)相軌跡族如圖7-54所示。

對e＜-

的區(qū)域,即III區(qū),相應方程表示為

與I區(qū)內(nèi)相軌跡做法類似,用等傾線法可作出III區(qū)相軌跡族,的漸近線。

其中是該區(qū)相軌跡

對-

＜e＜

的區(qū)域,即II區(qū),相應方程表示為

即相軌跡是斜率

=1/T的直線或者是=0的直線。

第60頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月由圖7-54看出,在直線e=

及e=-

處,相軌跡發(fā)生了轉(zhuǎn)折,該直線稱為開關線.它表示第一張上一張下一張最后一張結(jié)束授課繼電器由一種狀態(tài)轉(zhuǎn)換為另一種狀態(tài)。令分別代入I、II、III區(qū)方程，其中I、III區(qū)無解,表明相軌跡在I、III區(qū)內(nèi)無奇點。II區(qū)中的解為,表明在II區(qū)內(nèi)上的所有點都是奇點,都可以成為系統(tǒng)最終的平衡位置,這種線段稱為奇線。從初始相點M1(R，0)出發(fā),相軌跡經(jīng)過M2、M3、M4、M5最后終止在M6點。在M2、M3及M5處,繼電器的工作狀態(tài)都發(fā)生了轉(zhuǎn)換。M1處的誤差為正向最大值,M4處誤差為反向最大值,在終點M6處仍有殘余誤差,這是由于繼電器特性帶有死區(qū),當誤差的絕對值小于死區(qū)特征值時,非線性環(huán)節(jié)無輸出,系統(tǒng)進入平衡狀態(tài)。

2.帶有死區(qū)及滯環(huán)的繼電器非線性系統(tǒng)

帶有死區(qū)及滯環(huán)的繼電器系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖7-55所示。

由線性部分可知

選相變量為

將e=r-c代入上式得

第61頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月設系統(tǒng)在靜止狀態(tài)下加入單位階躍信號r(t)=1(t),則有

第一張上一張下一張最后一張結(jié)束授課非線性特性為

I區(qū)的相軌跡方程為

I區(qū)內(nèi)相軌跡的等傾線為一系列平行于e軸的直線,相軌跡的漸近線為

II區(qū)的相軌跡方程為

II區(qū)內(nèi)相軌跡是斜率

=1／T的直線及

的水平線。

第62頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月III區(qū)相軌跡方程為

第一張上一張下一張最后一張結(jié)束授課III區(qū)相軌跡的等傾線為一系列平行于e軸的直線,相軌跡的漸近線為

當T＝1,K=4,

=0.2,m=0.5,M=0.2時,繼電器控制系統(tǒng)在單位階躍信號作用下的相軌跡如圖7-56所示,它表達了系統(tǒng)單位階躍響應全過程。

相軌跡的起點位于e（0）=1，一個極限環(huán)。極限環(huán)是指在相平面