初中數(shù)學(xué)湘教版九上3.1.2 成比例線段 課件

3.1

比例線段

第3章圖形的相似3.1.2成比例線段兩張地圖中，黃鶴樓與長(zhǎng)江的距離為何不同嗎？線段的比和成比例線段如果選用同一個(gè)長(zhǎng)度單位量得兩條先線段

AB，CD的長(zhǎng)度分別是

m，

n，那么它們長(zhǎng)度的比就是這兩條線段的比，即ABCDmn如果的比值為

k，那么

=k，或

AB=k·CD，兩條線段的比實(shí)際上就是兩個(gè)數(shù)的比.AB∶CD=

m∶n

或思考：兩條線段長(zhǎng)度的比與所采用的長(zhǎng)度單位是否有關(guān)？有關(guān)？無(wú)關(guān)？求兩條線段的比時(shí)，所使用的長(zhǎng)度單位應(yīng)該統(tǒng)一在對(duì)長(zhǎng)度單位進(jìn)行統(tǒng)一時(shí)，無(wú)論采用哪一種單位，比值都相同.注意：雖然兩條線段的比要在單位統(tǒng)一的前提下進(jìn)行，但比值卻是一個(gè)不帶單位的正數(shù).練一練1.若線段

AB＝6cm，CD＝4cm，則

.

.2.若線段

AB＝8cm，CD＝2dm，則4.五邊形

ABCDE與五邊形

A'B'C'D'E'形狀相同，AB＝5cm，A'B'＝3cm，AB∶A'B'＝

.ABCDEA'B'C'D'E'5∶33.已知線段

AB＝8cm，A'B'＝2cm，AB∶A'B'的比為

，AB∶A'B'的比值為

，AB＝

A'B'.4∶144練一練做一做：設(shè)小方格的邊長(zhǎng)為1，四邊形

ABCD與四邊形

EFGH的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，那么

AB，AD，EF，EH的長(zhǎng)度分別是多少？ABCDGHEF計(jì)算

的值，你發(fā)現(xiàn)了什么？ABCDGHEF

在四條線段中，如果如果其中兩條線段的比等于另外兩條線段的比，那么這四條線段叫作成比例線段，簡(jiǎn)稱為比例線段.歸納總結(jié)例如已知四條線段

a,b,c,d

，若

則

a,b,c,d

是比例線段.類(lèi)似的，如果

那么稱線段

AB，BC，AC，與線段

A′B′，B′C′，A′C′，對(duì)應(yīng)成比例.

例1判斷下列線段

a、b、c、d是否是成比例線段：

（1）a＝4，b＝6，c＝5，d＝10；解：（1）∵∴線段

a、b、c、d不是成比例線段．，

，∴

.典例精析（2）a＝2，b＝，c＝，d＝．（2）∵∴

∴線段

a、b、c、d是成比例線段．注意：1.若

a∶b=k，說(shuō)明

a是

b的

k倍；2.兩條線段的比與所采用的長(zhǎng)度單位無(wú)關(guān)，但求比時(shí)兩條線段的長(zhǎng)度單位必須一致；3.兩條線段的比值是一個(gè)沒(méi)有單位的正數(shù)；4.除了

a=b外，a∶b≠b∶a，

互為倒數(shù).1.判斷下列各組線段是否成比例線段，為什么？成比例線段不成比例線段2.下列各組線段中成比例線段的是（）C練一練解：根據(jù)題意可知，AB=am，AE=am，AD=1m.

例2一塊矩形綢布的長(zhǎng)

AB

=

a

m，寬

AD

=

1

m，按照?qǐng)D中所示中方式它裁剪成相同的三面矩形彩旗，且使才裁出的每面彩旗的寬與長(zhǎng)的比與原綢布的寬與長(zhǎng)的比相同，即，那么

a

的值應(yīng)當(dāng)是多少？DAFECB即，開(kāi)平方，得由

，得答：a

的值應(yīng)當(dāng)是

m.

黃金分割的概念一個(gè)五角星如下圖所示.問(wèn)題：度量

C到點(diǎn)

A、B的距離，

與相等嗎？ACBABCABC點(diǎn)

C把線段

AB分成兩條線段

AC和

BC，如果，

那么稱線段

AB被點(diǎn)

C黃金分割.點(diǎn)

C叫做線段

AB的黃金分割點(diǎn)，較長(zhǎng)線段AC與原線段

AB的比稱為黃金分割比.概念學(xué)習(xí)1.計(jì)算黃金比.解：由，得

AC2=AB·BC.設(shè)

AB=1，AC=x，則

BC=1

–

x.

∴x2=1×(1-

x)，即x2+x–1=0.解方程，得

x1=(不合題意，舍去)，x2=黃金比做一做2.如圖所示，已知線段

AB按照如下方法作圖：1.經(jīng)過(guò)點(diǎn)

B作

BD⊥AB，使

BD=AB.2.連接

AD，在

AD上截取

DE=DB.3.在

AB上截取

AC=AE.思考：點(diǎn)

C是線段

AB的黃金分割點(diǎn)嗎?ABDEC∴點(diǎn)

C是線段

AB的黃金分割點(diǎn).令

AB=1，則巴臺(tái)農(nóng)神廟（ParthenomTemple）FCAEBD想一想：如果把圖中用虛線表示的矩形畫(huà)成如圖所示的矩形

ABCD，以矩形

ABCD

的寬為邊在其內(nèi)部作正方形

AEFD，那么我們可以驚奇地發(fā)現(xiàn)，點(diǎn)

E是

AB

的黃金分割點(diǎn)嗎？矩形

ABCD的寬與長(zhǎng)的比是黃金比嗎？為什么?點(diǎn)

E是

AB的黃金分割點(diǎn)（即）是黃金分割比矩形

ABCD的寬與長(zhǎng)的比是黃金比寬與長(zhǎng)的比等于黃金分割比的矩形也稱為黃金矩形.ABCDEF例1

在人體軀干與身高的比例上，肚臍是理想的黃金分割點(diǎn)，即比值越接近0.618越給人以美感.小明的媽媽腳底到肚臍的長(zhǎng)度與身高的比為0.60，她的身高為1.60m，她應(yīng)該穿多高的高跟鞋看起來(lái)會(huì)更美？解：設(shè)肚臍到腳底的距離為xm，根據(jù)題意，得 ，解得

x=0.96.設(shè)穿上ym高的高跟鞋看起來(lái)會(huì)更美，則

解得y≈0.075，而0.075m=7.5cm.故她應(yīng)該穿約為7.5cm高的高跟鞋看起來(lái)會(huì)更美.1.在中華經(jīng)典美文閱讀中，小明同學(xué)發(fā)現(xiàn)自己的一本書(shū)的寬與長(zhǎng)之比為黃金分割比，已知這本書(shū)的長(zhǎng)為20cm，則它的寬約為()(A)12.36cm(B)13.6cm(C)32.36cm(D)7.64cmA練一練【解析】選A.0.618×20=12.36(cm).2.如圖是一種貝殼的俯視圖，點(diǎn)

C分線段

AB近似于黃金分割，已知

AB=10cm，則

AC的長(zhǎng)約為_(kāi)____cm.（結(jié)果精確到0.1cm）【解析】本題考查黃金分割的有關(guān)知識(shí)，由題意知由圖可知，AC＞BA，∴即

AC2=(10-

AC)×10.解得

AC≈6.2cm.6.2【解析】由黃金分割定義可知，AC

=

BD

=

×AB

=

(40

-

40)cm，AD

=

AB

-

BD

=

(120

-

40

)cm，

所以

DC

=

AC

-

AD

=

(80

-

160)cm.3.如圖所示，樂(lè)器上的一根弦

AB=80cm，兩個(gè)端點(diǎn)

A、B固定在樂(lè)器板面上，支撐點(diǎn)

C是靠近點(diǎn)

B的黃金分割點(diǎn)，支撐點(diǎn)

D是靠近點(diǎn)

A的黃金分割點(diǎn)，則

AC=______cm，DC=_______cm.ABCD打開(kāi)地圖，你就會(huì)發(fā)現(xiàn)那些好茶產(chǎn)地大多位于北緯

30°左右.特別是紅茶中的極品“祁紅”，產(chǎn)地在安徽的祁門(mén)，也恰好在此緯度上.這不免讓人聯(lián)想起許多與北緯

30°

有關(guān)的地方.奇石異峰，名川秀水的黃山，廬山，九寨溝等等.銜遠(yuǎn)山，吞長(zhǎng)江的中國(guó)三大淡水湖也恰好在這黃金分割的緯度上.大自然與黃金分割圖中主葉脈與葉柄和主葉脈的長(zhǎng)度之和比約為

0.618.

蝴蝶身長(zhǎng)與雙翅展開(kāi)后的長(zhǎng)度之比，普通樹(shù)葉的寬與長(zhǎng)之比也接近

0.618.人與黃金分割

人體肚臍不但是黃金點(diǎn)美化身型，有時(shí)還是醫(yī)療效果黃金點(diǎn)，許多民間名醫(yī)在肚臍上貼藥治好了某些疾病.人體最感舒適的溫度是

23℃

(體溫)，也是正常人體溫(37℃)的黃金點(diǎn)(23

=

37×0.618).這說(shuō)明醫(yī)學(xué)與

0.618

有千絲萬(wàn)縷聯(lián)系，尚待開(kāi)拓研究.人體還有幾個(gè)黃金點(diǎn)：肚臍上部分的黃金點(diǎn)在咽喉，肚臍以下部分的黃金點(diǎn)在膝蓋，上肢的黃金點(diǎn)在肘關(guān)節(jié).上肢與下肢長(zhǎng)度之比均近似

0.618.

在人的面部，五官的分布越符合黃金分割，看起來(lái)就越美．BCA設(shè)計(jì)與黃金分割文明古國(guó)埃及的金字塔，形似方錐，大小各異.但這些金字塔底面的邊長(zhǎng)與高的比都接近于0.618.東方明珠塔，塔高468米.設(shè)計(jì)師在

263米處設(shè)計(jì)了一個(gè)球體，使平直單調(diào)的塔身變得豐富多彩，非常協(xié)調(diào)、美觀.人的俊美，體現(xiàn)在頭部及軀干是否符合黃金分割.美神維納斯，她身體的各個(gè)部位都暗藏比例

0.618，雖然雕像殘缺，卻能仍讓人嘆服她不可言喻的美．黃金分割的魅力Applelogo蘋(píng)果中小葉子的高度和缺口的高度比是0.6，而缺口的位置也和黃金分割有著千絲萬(wàn)縷的關(guān)系.也許這里面還有更多黃金的分割的密碼，這里就要同學(xué)們自己去發(fā)現(xiàn).1.一把矩形米尺，長(zhǎng)

1

m，寬

3

cm，則這把米尺的長(zhǎng)和寬的比為（）A.100∶3B.1∶3C.10∶3D.1000∶32.甲、乙兩地相距

35

km，圖上距離為

7

cm，則這張圖的比例尺為（）A.5∶1B.1∶5C.1∶500000D.500000∶1AC3.已知線段

AB，點(diǎn)

P是它的黃金分割點(diǎn)，AP＞BP，設(shè)以

AP為邊的正方形的面積為

S1，以

PB、AB為邊的矩形面積為

S2，則

S1

與

S2

的關(guān)系是（）A．S1＞S2B．S1＜S2

C．S1=S2 D．S1≥S2PABC5.小明家搬進(jìn)了新房，他買(mǎi)了一幅山水畫(huà)，想掛到書(shū)房（書(shū)房高3米），請(qǐng)你幫他設(shè)計(jì)一下，掛在多高能給人賞心悅目的感覺(jué)？4.點(diǎn)

C是線段

AB的黃金分割點(diǎn)，如果

AB=4，求線段AC的長(zhǎng)度．AC=4×0.618=2.472或者AC=4×(1-0.618)=1.518.離地面的高度h=3×0.618=1.854m解：根據(jù)題意可知，

，

AB=15，

AC=10，BD=6，

則AD=AB

-

BD=15-6=9，

6.已知，AB=15，AC=10，BD=6．求

AE．ABCDE1.一條線段的長(zhǎng)度是另一條線段的5倍，則這兩條線段的比等于

.2.已知

a、b、c、d

是成比例線段，其中

a

=

3cm，b

=

2cm，c

=

6cm