人教版九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)第八講二次函數(shù)綜合問題學(xué)案(附訓(xùn)練題及答案)

人教版九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)第八講二次函數(shù)綜合問題【趣題引路】例2已知拋物線）=—m+2工+8與X軸交于5、。兩點(diǎn)，點(diǎn)。平分5C若在X軸上方的A點(diǎn)為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，且NA4C為銳角，求4。的取值范圍.解析：?「y=-χ2-μ2x?8=—%+12+9???拋物線頂點(diǎn)為A'（1，9）,對(duì)稱軸為x=1.拋物線與X軸的交點(diǎn)為B-22,0）,C（4,0）.如圖8-2,分別以BC,OA'為直徑作DD、OE，可求得其與拋物線均交于P1-2√2,1和Q1+√2,1.根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角為直角，圓外角為銳角，圓內(nèi)角為鈍角，可知點(diǎn)A在不含端點(diǎn)的拋物線PA'Q上時(shí)，∠BAC<90°,又?.?DP2=1-1+2√22?1=9DP=DQ=3,DA,=9???3<AD≤9點(diǎn)評(píng)：此題應(yīng)用于圓內(nèi)角，圓外角，直徑的有關(guān)性質(zhì)，是幾何、代數(shù)綜合以及數(shù)形結(jié)合的能力題，其關(guān)鍵是為什么作兩圓.（請(qǐng)多思考）.【知識(shí)延伸】例1設(shè)a、b、c、d是任意實(shí)數(shù)，且滿足a+b+c^≥2a2+b2+c2+4d,求證：不等式ab+bc+ca≥3d.證明：將已知不等式化簡(jiǎn)整理，得C2—2a-?-bc-μa2+b2-2ab-μ4dj<。，①設(shè)y=fx=χ2-2a+bx+a2+b2—2ab+4d,則①式表明f（c）≤0,故拋物線（開口向上）與x軸有交點(diǎn)，則,Δ=4β??2-4∣a2+b2-2ab+4d^>0即a+b2—12+8242ab-4d>0化簡(jiǎn)，得而≥d,②由于此題關(guān)于〃、從C是對(duì)稱的，故用同樣的方法可證得A≥d,③ca≥J,④②、③、④相加得證.點(diǎn)評(píng)：此題的關(guān)鍵和難點(diǎn)是利用題設(shè)中已有的不等式構(gòu)造二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)和結(jié)論證明不等式是常用的方法.今有網(wǎng)球從斜坡。點(diǎn)處拋去，網(wǎng)球的拋物路線方程是丁=47一!”，斜坡的方程是y=<χ,其一 N中y是垂直高度（m）,X是與O點(diǎn)的水平距離（m）,如圖8-1.（1）網(wǎng)球落地時(shí)撞擊斜坡的落點(diǎn)為A,寫出A點(diǎn)的垂直高度，以及A點(diǎn)與。點(diǎn)的水平距離：（2）在圖象中，求標(biāo)志網(wǎng)球所能達(dá)到的最高點(diǎn)B的坐標(biāo)，并求05與水平線QX之間夾角的正切.解析:（1）由方程組, 1 Cy=4% X221yx2解得A點(diǎn)坐標(biāo)為(7,3.5),(2)由y=4x——x2=一

2即可求得A點(diǎn)的垂直高度為3.5m,A點(diǎn)與O點(diǎn)水平距離為7m.1 8-x-42+8知，最高點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4,8），且tanα=8=2（記2 4∠BOx=α).點(diǎn)評(píng)：本題是香港考題，在日常情境中，本題運(yùn)用了許多數(shù)學(xué)知識(shí)，如方程組，一元二次方程，二次函數(shù)的畫圖及求二次函數(shù)的極值.【好題妙解】佳題新題品味例1要使二次方程依2_a+1x_4=0的一根在-1和0之間，另一根在2和3之間，試求整數(shù)a的值.解析：令fx=ax2—a+1X—4，?.?f(X)=0在(-1,0)之間有一根，:?f(-1)f6)=(2a-3)(-4)<0Yf(X)=0在(2,3)之間有一根，???f(2)f(3)=(2a-b)(6a-7)<0②.解不等式組2α-3>0a-36a—7<0得—<a<3Ya為整數(shù) .??a=2時(shí)，二次方程ax-a+1x-4=0的兩個(gè)根分別在(-1,0)和(2,3)之間.點(diǎn)評(píng)：如果用方程的知識(shí)來解,由求根公式,須解下列不等式組：aa+1_Ja2+18a+1 ?-1< ÷; <0上 .這較難解出a,a+1+Ja2+18a+12\\32a易求出a的范圍.利用函數(shù)的觀點(diǎn),根據(jù)根的分布和符號(hào)性質(zhì)較中考真題欣賞例1(長(zhǎng)沙市中考試題)設(shè)拋物線C的解析式為y=x2-2kx+√3+kk,k為實(shí)數(shù).(1)求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱軸方程(用k表示)；(2)任意給定k的三個(gè)不同實(shí)數(shù)值，請(qǐng)寫出三個(gè)對(duì)應(yīng)的頂點(diǎn)坐標(biāo)，試說明當(dāng)k變化時(shí)，拋物線C的頂點(diǎn)在一條定直線L上，求出直線L的解析式并畫出圖象：(3)在第一象限有任意兩圓O、O相外切，且都與x軸和(2)中的直線L相切，設(shè)兩圓在12OAX軸上的切點(diǎn)分別為A、B(OA<0B),試問：O-是否為一定值？若是，請(qǐng)求出該定值；若不OB是,請(qǐng)說明理由；(4)已知一直線L與拋物線C中任意一條都相截，且截得的線段長(zhǎng)都為6,求這條直線的解1析式；解析：(1)配方，得y=x-k2+v3k,???頂點(diǎn)坐標(biāo)為k,v3k,對(duì)稱軸為x=k.(2)設(shè)頂點(diǎn)為(X、y),則x=k,y=√3k,消去k得直線L的解析式為y=,△x，如圖8-3(I)所示.令左二/，2,3得三個(gè)對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)坐標(biāo)為(，P,(2,2√3)(3,3√3).^S-3(3)在y=√3X上任取一點(diǎn)a,√3a)設(shè)直線與X軸成角為α(0°<α<90°),則??.α=60。.由切線長(zhǎng)定理可知，OO平分∠α,ΛOOAA=30。，如圖8-3(1)所示，即

1 1OO=2OA,

1 1OO=2OB

2 2又OO-OO=OO=AA+0B=2OB-OA,2 1 12 1 2 2 1?OA:OB=1:3.

1 2τ7OAOA OOA1^又—1—,■■一OBOBOB32即OA為一定值.OB(4)如圖8—3(2)要使該直線與拋物線C中任意一條相截且截得線段長(zhǎng)都為6,則該直線必平行于y=√3X.設(shè)其為y=√3X+b，考慮其與y=X2相交，則:J=X2y=/X-?-b即X2-√3X-b≥0,設(shè)此方程兩根為Xa，Xb，一11V又IBCI=-IABI=32,12J9=IX—X∣2=X+X2—4XX=3+4bAB AB AB3 3??b=—,即L為J=%3X+—2 1 2點(diǎn)評(píng)：(2)中消去參數(shù)k求X,j的函數(shù)關(guān)系應(yīng)掌握；(4)拋物線C的頂點(diǎn)軌跡為直線J=√3X,若直線L與拋物線截得的線段等長(zhǎng)，則L必與J=V3X平行，在利用截線段長(zhǎng)為6時(shí)，只須考1 1慮一種最簡(jiǎn)單的解析式J=X2與J=√3X的聯(lián)立方程組即可.競(jìng)賽樣題展示例1對(duì)于X的二次三項(xiàng)式aX2+bX+Aa〉0)，(1)當(dāng)c<0時(shí)，求函數(shù)y=-21ax2+bx+CI-1的最大值;(2)若不論k為任何實(shí)數(shù)，直線y=kQ-1)-巴與拋物線y=ax2+bx+c有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，

4求a、b、c的值.解析(1)???a>0，c<0.??b2-4ac>0故Iax2+bx+CI的最小值為0,y=-2Iax2+bx+CI-1值的最大值為-1;(2)欲使直線尸k(x-1)-已與拋物線y=ax2+bx+C只有一個(gè)交點(diǎn)，則方程組J=k(xT)-Iy=ax2+bx+C只有一組解，消去y得到關(guān)于X的二次方程ax2+(b-k)x+歸+k+C=0.4?A=(b-k)2k k2 1—4a—+k+C14?=0,

)整理，得關(guān)于k的二次方程(1-a尢2-2(2a+b尢+b2-4ac=0(*)因?yàn)榇朔匠虒?duì)任意實(shí)數(shù)k都成立，故1-a=0-2(2a+b)=0b2-4ac=0a=1b=-2c=1,即點(diǎn)評(píng)：根據(jù)題意，(*)對(duì)任意實(shí)數(shù)k都成立，說明關(guān)于k的各項(xiàng)系數(shù)都為0.例2已知函數(shù)y=X2-IXI-12的圖象與X軸交于相異兩點(diǎn)A，B,另一拋物線y=ax2+bx+C過點(diǎn)A、B，頂點(diǎn)為尸，且△APB是等腰直角三角形.求a,b,C.解析：考慮方程X2-1XI-12=0，當(dāng)x>0時(shí)，X2-X-12=0，解得X=4，X=-3(舍去)；1 2當(dāng)X<0時(shí)，X2+X-12=0，解得X=-4，X=3(舍去).12??A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)是(4,0),(-4,0).:y=ax2+bx+C過A、B兩點(diǎn)，即過(4,0),(-4,0),，?可設(shè)y=ax2+bx+c為y=a(x-4)(x+4) ①:△APB為等腰直角三角形，而A、B為頂點(diǎn)，AB可為斜邊，也可為直角邊.當(dāng)AB為斜邊時(shí)，可求得P點(diǎn)坐標(biāo)為(0,4)或(0,-4)；當(dāng)AB為直角邊時(shí)，這種情況不滿足題設(shè)條件.將P(0,4)代人①得a=-1,則①變?yōu)?l(c“)1C”y——12—16=—χ2+,,4 4故有a--—,b-0,C—4.4將P00,-4)代入①得a—1，則①變?yōu)閥-1(2-16Z1x2-44 4 4故有a—1,b=0,c—-4.4點(diǎn)評(píng)：求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)，應(yīng)注意分兩種情況去絕對(duì)值；條件△ABC為等腰直角三角形應(yīng)分情況討論.【過關(guān)檢測(cè)】B級(jí).現(xiàn)有一個(gè)計(jì)時(shí)沙漏，開始時(shí)盛滿沙子，沙子從上面均勻下漏，經(jīng)過5min漏完，H是沙漏面下降的高度，則H與下落時(shí)間t0min)的函數(shù)關(guān)系用圖象表示應(yīng)是( )0如圖8-6)圖8-6.如圖8-7,在直角坐標(biāo)系XOy中，二次函數(shù)y—1χ2+3nχ+2-m的圖象與X軸交于A、B兩點(diǎn)，2 4與y軸交于C點(diǎn)，其中，點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊，若∠ACB=90°,CO+BO—1.AOCO(1)求點(diǎn)C的坐標(biāo)及這個(gè)二次函數(shù)的解析式；(2)設(shè)計(jì)兩種方案，作一條與y軸不重合，與△ABC兩條邊相交的直線，使截得的三角形與△ABC相似，并且面積為△AOC面積的1,求所截得的三角形三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo).43.如圖8-8,已知拋物線y=αχ2+法+4≠θ)經(jīng)過X軸上的兩點(diǎn)A(V0),5%,0)和》軸上的點(diǎn)C0-3,PP的圓心P在>軸上，且經(jīng)過B、C兩點(diǎn)，右b=Ma，AB=2√3.I2j(1)求拋物線的解析式；(2)D在拋物線上，且C、D兩點(diǎn)關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，問直線BD是否過圓心P?并說明理由；(3)設(shè)直線BD交OP于另一點(diǎn)E，求經(jīng)過E的OP的切線的解析式.(1)畫函數(shù)y=|X2一2+3X+11的圖象;(2)為使方程|X2-2y3X+11=?X+b√3有四個(gè)不同的實(shí)根，求b的變化范圍..要使二次方程aX2-(a+Ix-4=0的一根在-1和0之間，另一根在2和3之間，試求整數(shù)a的值：A級(jí).已知拋物線y=2X2與直線y=X+k有交點(diǎn)，求k的取值范圍，3.如圖8-4,P是拋物線y=X2上第一象限內(nèi)的一個(gè)點(diǎn)，A點(diǎn)的坐標(biāo)是(3,0).(1)令P點(diǎn)坐標(biāo)為(X,y),求4OPA的面積S；S是y的什么函數(shù)？S是X的什么函數(shù)？(4)當(dāng)S=6時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(5)在拋物線y=X2上求一點(diǎn)P,，使AOP'A的兩邊P'O=P'A..拋物線y=ax2+bχ+C的頂點(diǎn)位于直線y=x-1和y=-2x-4的交點(diǎn)上，且與直線y=4x-4有唯一交點(diǎn)，試求函數(shù)表達(dá)式..已知實(shí)數(shù)p<q，拋物線y1=X2.PX+2q與y2=X2.qχ+2P在X軸上有相同的交點(diǎn)A.(1)求A點(diǎn)坐標(biāo)；(2)求p+q的值..已知拋物線y=X2+kX+k-1.(1)求證：無論k是什么實(shí)數(shù)，拋物線經(jīng)過X軸上一個(gè)定點(diǎn)；(2)設(shè)拋物線與y軸交于。點(diǎn)，與X軸交于a(x,0)，B(X,0)兩點(diǎn)，且滿足：X<X，|X|<1XI，1 2 12 12S =6，問：過A、B、C三點(diǎn)的圓與該拋物線是否有第四個(gè)交點(diǎn)，試說明理由，如果有，求AABC出其坐標(biāo).6.要圍成一個(gè)如圖8-5的豬舍三間，它們是一排大小相等的三個(gè)長(zhǎng)方形，一面利用舊墻，其他各墻(包括中間隔墻)都是木料.已知現(xiàn)有木料可圍24m的墻，問每間豬舍的長(zhǎng)X為多少米時(shí)，豬舍總面積最大，這時(shí)總面積為多少？第八講二次函數(shù)綜合問題A級(jí)1.由題意知,方程組［尸尹'有實(shí)數(shù)解,即方程“…上有實(shí)數(shù)解,整理,得濾-3?3'=0二.y=%+A^ζ? ' , 3 ? ?’'，?=9-4×2X(-3k)2≡0,Λ??!.**,8?.??；2(1)€=%又,=心.￡=汪；(2)正比例函數(shù)；⑶二次函數(shù)；(4)P(2,4);⑸P信詈). —^=?2÷r-τ， ?“…二」(1)^(-2,G);(2)p+g=-2. ：■「【?”,...一‘，二?(1)(/,0)；.(2)過4、8、C三點(diǎn)的圓與拋物續(xù)有第四個(gè)交點(diǎn)A?,?T%lgJ"∕,CE於∕^人,/.點(diǎn)C不是拋血線的頂點(diǎn),由于拋物畿都是軸對(duì)都圖形,過4H<三點(diǎn)的圓相物麒際?,健科林圉形,所以過爾樂GM煮的圓與拋物線第四個(gè)交點(diǎn)與C是對(duì)稱點(diǎn)????巧=-1Vo用蜜;百餐生；1二?電,∣,即xi>i,-k>ltΛk<0.VSA.=6,.?.γll-?l?(1+ll-?l)=6,Λ(l-?>4+(l-A)L14=-4或1-A=3..?.*=-2或石=5(舍去). ..?.y=d-2%~3其對(duì)稱軸為，=1.據(jù)對(duì)秫性,。點(diǎn)坐標(biāo)為(2,-3). -.,.I-.,S=24x-4x2=-4(?—3)1+36.當(dāng)每間豬舍長(zhǎng)與=3m時(shí),豬舍總面積36ι√為最大? ? '6，—?，B級(jí) ，L觀察沙那,由其規(guī)格可知.陟子減少是由慢到怏的過程,又不規(guī)貝L故選B. “匕?2.(1)設(shè)4外0),3(￡,0),由乙<3=8。知。<0道>。,則必且是：方程/￡￡/焦+2；7?*0的兩個(gè)根, ... ……..AO?BO=Iad?1尸1=一ctβ=2(m-2). ._ .?α=}>G,拋物線r-4-x1+箕^+2-抽與力軸有兩個(gè)交點(diǎn),二以0.2二成)，其中12三幾.&0：L i? ?????.r.CO≡12-mJ≡πι-2i?.?4a0f=%6,co,4β于點(diǎn)。，???AAOCCO"窈二舞 ■ 二CO7=AO*BOt[πι-2)1=2(zπ-2)解得Ot1=29嗎≈4.當(dāng)加=2時(shí),2」m=O不含題意； .當(dāng)m=4時(shí),2-m<0符合題章.當(dāng)府二4時(shí),二次函數(shù)化為)=∕√+∕∩x-2①??0+≤2?ι段二絲/10=2Co?4V點(diǎn)H在*軸負(fù)半釉上,J供-4,0）.把蟲-％。）代人①得幾=2,得τ=#弓工-2一設(shè)C的嗡為（DM代入了=#十去T即得C點(diǎn)坐標(biāo).（2）方案一:分別序吊CMC中點(diǎn)口、",連結(jié)D。'惻△同皿T為所求.點(diǎn)D、。的坐標(biāo)分別.為：鞏-2,。）,平-2,T兀方案二:在Oi上截取CE,使CE=CO=2隹CB上截取C