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2021年中考數(shù)學(xué)壓軸題
1.如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中,已知直線N8:y=-3+3與直線CD:-2相
交于點(diǎn)A/(4,a),分別交坐標(biāo)軸于點(diǎn)/、B、C、。,點(diǎn)尸是線段CD延長(zhǎng)線上的一個(gè)點(diǎn),
的面積為15.
(1)求直線CD解析式和點(diǎn)P的坐標(biāo);
(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)P為線段CD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)時(shí),將BP繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到BQ,
連接與.點(diǎn)。隨著點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng),請(qǐng)求出點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)所形成的線段所在直線
的解析式,以及的最小值.
(3)在(1)的條件下,直線N8上有任意一點(diǎn)凡平面直角坐標(biāo)系內(nèi)是否存在點(diǎn)N,使
得以點(diǎn)8、D、F、N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形,如果存在,請(qǐng)直接求出點(diǎn)N的坐標(biāo);如果
不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
-
圖1圖2備用圖
解:(1)將點(diǎn)/的坐標(biāo)代入y=-3+3并解得:a=\,故點(diǎn)M(4,1),
將點(diǎn)M的坐標(biāo)代入y=Ax-2并解得:k=4,
故直線CD的表達(dá)式為:》=%-2,則點(diǎn)。(0,-2),
1
/\PBM的面積=SziBDM+SAB0P=2XBDX(x“-xp)=x(3+2)(4-xp)=15,
解得:xp=-2,故點(diǎn)尸(-2,一夕;
(2)如下圖,分別過(guò)點(diǎn)P、。作y軸的垂線,垂足為G、H,
y
、S
第1頁(yè)共5頁(yè)
3
設(shè)點(diǎn)P(m,一機(jī)-2),
4
*:/HQB+/HBQ=90°,NHBQ+NGBP=90°,
:./HQB=/GBP,ZQHB=ZBGP=90°,
BP=BQ,
:.△BGPQAQHB(4,S),
:.HQ=GB,HB=GP=m,
3Q
故HQ=BG=3-(-/w-2)=5—左機(jī),OH=OB+BH=m+3,
故點(diǎn)。(5—4加,3+加),
令x=5一五加,>=3+加,
則尸告+拳設(shè)該直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為R、S,則R弓0)、S(0,y),
即OR=學(xué)29QS=詈?9,
當(dāng)O0_LS及時(shí),。0最小,
則SNORS=3xORX0S=.xOQXSR,
口吟Xy=OQXJ晝)2+譚)2,
解得:0。=曷
29
即。。的最小值為三;
1
(3)設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為(團(tuán),一會(huì)《+3),點(diǎn)N(a,b),
由(1)知,點(diǎn)5、。的坐標(biāo)分別為(0,3)、(0,-2),則8。=5,
①當(dāng)8。是邊時(shí),
當(dāng)點(diǎn)尸在點(diǎn)N的上方時(shí),則尸,即52=加2+(一±?)2,解得加=±2k,
則點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(2V5,-V5+3)或(-2祈,V5+3)
點(diǎn)N在點(diǎn)F的正下方5個(gè)單位,則點(diǎn)N(2遙,-V5-2)或(-2有,遍一2);
當(dāng)點(diǎn)尸在點(diǎn)N的上方時(shí),則BD=DF,即52="/+(一排+3+2)2,解得加=。(舍去)
或4,
第2頁(yè)共5頁(yè)
同理可得,點(diǎn)N(4,6);
②當(dāng)BD是對(duì)角線時(shí),則BD的中點(diǎn)即為酒的中點(diǎn)且BF=BN,
/I1
2(0+0)=2(a+rn)
m=5
111
則彳.(3-2)=*(b_*zn+3)解得a=-5,
b=0.5
m2+(-1m+3-3)2=a2+(fa-3)2
故點(diǎn)N的坐標(biāo)為(-5,0.5);
綜上,點(diǎn)N的坐標(biāo)為(2V5,-V5-2)或(-2V5,V5-2)或(4,6)或(-5,0.5).
2.己知直線2與拋物線y=7-6x+c(6,c為常數(shù),6>0)的一個(gè)交點(diǎn)為N(-1,
0),點(diǎn)/(m,0)是x軸正半軸上的動(dòng)點(diǎn).
(1)當(dāng)直線y=fcv-2與拋物線(h,c為常數(shù),6>0)的另一個(gè)交點(diǎn)為該拋
物線的頂點(diǎn)E時(shí),求A,b,c的值及拋物線頂點(diǎn)E的坐標(biāo);
(2)在(1)的條件下,設(shè)該拋物線與y軸的交點(diǎn)為C,若點(diǎn)。在拋物線上,且點(diǎn)。的
橫坐標(biāo)為b,當(dāng)S&EQM=¥^CE時(shí),求機(jī)的值;
1一2742
(3)點(diǎn)、D在拋物線上,且點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為b+之,當(dāng)dM+2DM的最小值為----時(shí),
求6的值.
解:(1):直線、=h-2與拋物線y=/-b+c(b,c為常數(shù),h>0)的一個(gè)交點(diǎn)為4
(-1,0),
-k-2=0,l+b+c=0,
:.k=-2,c=-b-I,
直線y=kx-2的解析式為y=-2x-2,
b4c—/?2
拋物線y=--6x+c的頂點(diǎn)坐標(biāo)為E(一,------),
24
b—4匕-4—b
;?E(一,---------),
24
?.?直線y=-2x-2與拋物線y=f-Z>x+c(6,c為常數(shù),Z>>0)的另一個(gè)交點(diǎn)為該拋物
線的頂點(diǎn)E,
—4ZJ—4-272b
=-2x亍-2,
42
解得,6=2,或6=-2(舍),
當(dāng)b=2時(shí),c=-3,
:.E(1,-4),
第3頁(yè)共5頁(yè)
故4=-2,6=2,c=-3,E(1,-4);
⑵由(1)知,直線的解析式為尸-2%-2,拋物線的解析式為尸f-2x-3,
:.C(0,-3),Q(2,-3),
如圖1,設(shè)直線y=-2x-2與y軸交點(diǎn)為N,則N(0,-2),
???CN=1,
*e?^LACE=S&ACN+S&ECN=1X1X1+2X1X1=1,
J
:?S〉EQM=2
設(shè)直線£0與x軸的交點(diǎn)為。,顯然點(diǎn)M不能與點(diǎn)。重合,
設(shè)直線E。的解析式為(dHO),
則氏+”13,
解得,『=1
.??直線EQ的解析式為歹=x-5,
:.D(5,0),
:?SAEQM=S^EDM-S^QDM=xI-4|xI—3|=*DM=^\5-m\=
解得,加=4,或〃?=6;
(3)???點(diǎn)。(6+1,川)在拋物線1上,
「?知=(b+1)2-b(Jj=
可知點(diǎn)。(6+參-1-1)在第四象限,且在直線x=b的右側(cè),
第4頁(yè)共5頁(yè)
,:也AM+2DM=2(竽4M+DM),
可取點(diǎn)N(0,1),則司。4N=45°,
如圖2,過(guò)。作直線ZN的垂線,垂足為G,0G與x軸相交于點(diǎn)M,
則此時(shí)點(diǎn)加滿足題意,
過(guò)。作。軸于點(diǎn)則點(diǎn),(/>+;,0),
在RtAJ/D〃中,可知NDMH=NMDH=45°,
:.DH=MH,DM
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