全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽簡況課件

第八章數(shù)學(xué)建模簡介§8.1數(shù)學(xué)建模教育的發(fā)展

§8.2數(shù)學(xué)建模過程及實(shí)例§8.3大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽的由來

§8.4優(yōu)秀參賽論文與評(píng)述§8.5競(jìng)賽題選

第八章數(shù)學(xué)建模簡介§8.1數(shù)學(xué)建模教育的發(fā)展1§8.1數(shù)學(xué)建模教育的發(fā)展§8.1數(shù)學(xué)建模教育的發(fā)展2六十多年來，計(jì)算機(jī)的迅速發(fā)展，對(duì)各行各業(yè)都產(chǎn)生了巨大的影響.今天，幾乎沒有哪個(gè)部門、哪一個(gè)行業(yè)不再使用計(jì)算機(jī)，四個(gè)現(xiàn)代化從某種意義上來說就是計(jì)算機(jī)化.而衡量一個(gè)國家經(jīng)濟(jì)發(fā)達(dá)的重要標(biāo)志之一，就是計(jì)算機(jī)的普及和應(yīng)用程度.同樣地，伴隨著計(jì)算機(jī)的發(fā)展，數(shù)學(xué)科學(xué)也取得了飛速的發(fā)展，新的數(shù)學(xué)分支層出不窮，大量的新興數(shù)學(xué)方法在科學(xué)研究和生產(chǎn)管理各種領(lǐng)域中被成功地應(yīng)用，現(xiàn)代數(shù)學(xué)已不再僅僅是其他科學(xué)的基礎(chǔ)，而是直接發(fā)揮著第一生產(chǎn)力的作用.

六十多年來，計(jì)算機(jī)的迅速發(fā)展，對(duì)各行各業(yè)都產(chǎn)生了巨大3

隨著計(jì)算機(jī)及數(shù)學(xué)軟件的普及，數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)的廣泛開展，已有越來越多的人認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)教學(xué)不僅要注重演繹思維、歸納思維和創(chuàng)造思維等基本能力的培養(yǎng)，而且要注意運(yùn)用數(shù)學(xué)方法和計(jì)算機(jī)技術(shù)解決實(shí)際問題能力的培養(yǎng).將數(shù)學(xué)軟件和數(shù)學(xué)建模融入數(shù)學(xué)教學(xué)的全過程是值得深入研究和大力實(shí)踐的重要課題.

數(shù)學(xué)模型（MathematicalModelling）并不是新東西，盡管過去很長時(shí)間很少用這一術(shù)語，但確實(shí)在很久以前就建立了不少數(shù)學(xué)模型.例如，歐幾里得幾何，牛頓、萊布尼茲發(fā)明的微積分都是很好的數(shù)學(xué)模型.隨著計(jì)算機(jī)及數(shù)學(xué)軟件的普及，數(shù)學(xué)建模活動(dòng)的廣泛開4

什么叫數(shù)學(xué)模型呢？可以說有了數(shù)學(xué)就要用數(shù)學(xué)去解決實(shí)際問題，用數(shù)學(xué)的語言、方法去近似地刻畫實(shí)際問題，而這種刻畫的數(shù)學(xué)表達(dá)就是一個(gè)數(shù)學(xué)模型.其過程就是數(shù)學(xué)建模的過程.數(shù)學(xué)模型的建立要有實(shí)際應(yīng)用才可能得到迅速的發(fā)展.由于以前沒有必要的計(jì)算手段，這些模型往往不能實(shí)用，因此發(fā)展緩慢，也停留在理論上.正是由于計(jì)算機(jī)的飛速發(fā)展，解決了計(jì)算推理、計(jì)算速度等問題，數(shù)學(xué)建模才有了如今的快速發(fā)展.

大約

20

世紀(jì)

70

年代末

80

年代初，英國著名的劍橋大學(xué)專門為研究生開設(shè)了數(shù)學(xué)建模課程，差不多同時(shí)，在歐洲、美國等工業(yè)發(fā)達(dá)國家也開始把數(shù)學(xué)建模的內(nèi)容正式列入研究生、大學(xué)生以至中學(xué)生的教學(xué)計(jì)劃中去，并于

1983

年開始舉行兩年一次的“數(shù)學(xué)建模和應(yīng)用數(shù)學(xué)國際會(huì)議”，進(jìn)行定期的交流.

什么叫數(shù)學(xué)模型呢？可以說有了數(shù)學(xué)就要用數(shù)學(xué)去解決實(shí)際5

競(jìng)賽促進(jìn)了數(shù)學(xué)建模教育，許多學(xué)校都開設(shè)了數(shù)學(xué)建模的必修課和選修課，數(shù)學(xué)建模的教材也很快地發(fā)展起來.

數(shù)學(xué)建模教育的意義有以下幾點(diǎn)：

（i）數(shù)學(xué)建模本身就是將數(shù)學(xué)應(yīng)用于實(shí)際，是用數(shù)學(xué)的語言和方法，通過抽象、簡化建立能近似刻畫并“解決”實(shí)際問題的一種強(qiáng)有力的數(shù)學(xué)工具.顧名思義，Modelling一詞在英文中有塑造藝術(shù)的意思，可以理解從不同的側(cè)面、角度去考察問題就會(huì)有不盡相同的模型；而數(shù)學(xué)模型的創(chuàng)造又帶有一定的藝術(shù)特點(diǎn)，特別是現(xiàn)在的數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽題往往要給予學(xué)生有更多的想象和發(fā)揮的余地.

競(jìng)賽促進(jìn)了數(shù)學(xué)建模教育，許多學(xué)校都開設(shè)了數(shù)學(xué)建模的必6（ii）數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽推動(dòng)了數(shù)學(xué)建模教育的發(fā)展，數(shù)學(xué)建模教育能提高學(xué)生理論聯(lián)系實(shí)際的能力，能提高學(xué)生綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)工具，特別是計(jì)算機(jī)應(yīng)用的能力.目前，集體協(xié)作的團(tuán)隊(duì)精神在現(xiàn)代管理和科研中都有十分重要的意義，建模競(jìng)賽是三人組隊(duì)，互相協(xié)作，共同完成論文.因此，建模競(jìng)賽對(duì)提高學(xué)生的團(tuán)隊(duì)合作能力是一個(gè)很好的鍛煉和培養(yǎng).

（iii）任何學(xué)科由低級(jí)到高級(jí)的發(fā)展無不與數(shù)學(xué)緊密相連，理工科的不說了，就是文科、管理類也經(jīng)常需要利用數(shù)學(xué)模型來刻畫和分析問題.事實(shí)上有許多數(shù)學(xué)建模課題都是管理方面的內(nèi)容，比如2003年的競(jìng)賽題B——露天礦生產(chǎn)的車輛調(diào)度優(yōu)化問題.（ii）數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽推動(dòng)了數(shù)學(xué)建模教育的發(fā)展，數(shù)學(xué)建模教育能7§8.2數(shù)學(xué)建模過程及實(shí)例§8.2數(shù)學(xué)建模過程及實(shí)例8

數(shù)學(xué)建模，如果一定要給出一個(gè)定義的話，可以說它是一種數(shù)學(xué)的思考方法，是“對(duì)現(xiàn)實(shí)的現(xiàn)象通過心智活動(dòng)構(gòu)造出能抓住其重要且有用的特征的表示，常常是形象化的或符號(hào)的表示.”從科學(xué)、工程、經(jīng)濟(jì)、管理等角度看數(shù)學(xué)建模就是用數(shù)學(xué)的語言和方法，通過抽象、簡化建立能近似刻畫并“解決”實(shí)際問題的一種強(qiáng)有力的數(shù)學(xué)工具.數(shù)學(xué)建模的創(chuàng)造帶有一定的藝術(shù)的特點(diǎn).而數(shù)學(xué)建模最重要的特點(diǎn)是要接受實(shí)踐的檢驗(yàn)、有一個(gè)多次修改模型漸趨完善的過程.數(shù)學(xué)建模，如果一定要給出一個(gè)定義的話，可以說9建模示例之一問題——椅子能在不平的地面上放穩(wěn)嗎？

本例討論的問題來源于日常生活中一件普通的事實(shí)：把椅子往不平的地面上一放，通常只有三只腳著地，放不穩(wěn)，然而只需稍挪動(dòng)幾次，就可以使四只腳同時(shí)著地，放穩(wěn)了，這個(gè)看來似乎與數(shù)學(xué)無關(guān)的現(xiàn)象能用數(shù)學(xué)語言給以表述，并用數(shù)學(xué)工具來證實(shí)嗎？

建模示例之一本例討論的問題來源于日常生活中一10模型假設(shè)：對(duì)椅子和地面需要先作一些必要的假設(shè).（i）椅子四條腿一樣長，椅腳與地面接觸處可視為一個(gè)點(diǎn)，四腳的連線呈長方形.（ii）地面高度是連續(xù)變化的，沿任何方向都不會(huì)出現(xiàn)間斷（沒有像臺(tái)階那樣的情況），即地面可視為數(shù)學(xué)上的連續(xù)曲面.（iii）對(duì)于椅腳的間距和椅腳的長度而言，地面是相對(duì)平坦的，使椅子在任何位置至少有三只腳同時(shí)著地.模型建立：關(guān)鍵是要用數(shù)學(xué)語言把椅子四只腳同時(shí)著地的條件和結(jié)論表示出來.模型假設(shè)：對(duì)椅子和地面需要先作一些必要的假設(shè).模型建立：關(guān)11

首先要用變量表示椅子的位置.注意到椅腳連線呈長方形，以中心為對(duì)稱點(diǎn)，長方形繞中心的旋轉(zhuǎn)正好代表了椅子位置的改變，于是可以用旋轉(zhuǎn)角度這一變量表示椅子的位置，在圖

8.2

中椅腳連線為長方形

ABCD，對(duì)角線

AC

與

x

軸重合，椅子繞中心點(diǎn)

O

旋轉(zhuǎn)角度

后，長方形ABCD轉(zhuǎn)至A

B

C

D

的位置，所以對(duì)角線AC與x軸的夾角

表示了椅子的位置首先要用變量表示椅子的位置.注意到椅腳連線12其次要把椅腳著地用數(shù)學(xué)符號(hào)表示出來.如果用某個(gè)變量表示椅腳與地面的豎直距離，那么當(dāng)這個(gè)距離為零時(shí)就是椅腳著地了，椅子在不同位置時(shí)椅腳與地面的距離不同，所以這個(gè)距離是椅子位置變量

的函數(shù).雖然椅子有四只腳，故有四個(gè)距離.但由于長方形的中心對(duì)稱性，所以只要設(shè)兩個(gè)距離函數(shù)就行了.記A、D兩腳與地面距離之和為f

(

)，B、C兩腳與地面距離之和為g(

)，且f

(

)，g(

)≥0，由假設(shè)（2）可知，f

和g都是連續(xù)函數(shù).由假設(shè)（3）可知，椅子在任何位置至少有三只腳著地，所以對(duì)于任意的

，f

(

)

和g(

)

中至少有一個(gè)為零.當(dāng)

＝0

時(shí)，不妨設(shè)g(

)＝0，f

(

)＞0，這樣，改變椅子的位置使四只腳同時(shí)著地，就歸結(jié)為證明如下的數(shù)學(xué)命題：其次要把椅腳著地用數(shù)學(xué)符號(hào)表示出來.如果用某個(gè)變量表示椅腳13命題：已知

f

(

)

和g(

)

是

的連續(xù)函數(shù)，對(duì)任意

，f

(

)·g(

)＝0，且g(

)＝0，f

(0

)＞0，則在(0＜

0＜π)

內(nèi)存在

0，使

f

(

0)＝g(

0)＝0.模型求解：將椅子旋轉(zhuǎn)180

(π)，邊AD和BC互換.由g

(0)＝0和f

(0)＞0可知g(π)＞0和f

(π)＝0.令

h(

)＝f

(

)－g(

)，則h(0

)＞0和h

(π)＜0.則由f和g的連續(xù)性知h也是連續(xù)函數(shù).根據(jù)連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì)，必存在

0

(0＜

0＜π，使h(

0)＝0，即

f

(

0)＝g(

0)．最后，因?yàn)?/p>

f

(

0)·g(

0)＝0，所以

f

(

0)＝g(

0)＝0.命題：已知f()和g()是的連續(xù)函數(shù)14建模示例之二問題——商人們?cè)鯓影踩^河？

三名商人各帶一個(gè)隨從乘船渡河，一只小船只能容納二人，由他們自己劃行.隨從們密約，在河的任一岸，一旦隨從的人數(shù)比商人多，就殺人搶貨，但是如何乘船渡河的大權(quán)掌握在商人們手中，試問商人們?cè)鯓硬拍馨踩珊幽兀拷Ｊ纠倘烁鲙б粋€(gè)隨從乘船渡河15建模示例之三問題——傳染病傳播規(guī)律

數(shù)學(xué)建模的這種反復(fù)迭代性質(zhì)正反映了人們運(yùn)用這種方法逐步逼近、真正認(rèn)識(shí)、掌握實(shí)際問題的過程，從而達(dá)到預(yù)測(cè)、預(yù)報(bào)或指導(dǎo)實(shí)踐以至指導(dǎo)生產(chǎn)的目的.今天，在某種意義下講，數(shù)學(xué)建模已經(jīng)發(fā)展成一個(gè)相對(duì)獨(dú)立的數(shù)學(xué)分支，而且不斷向應(yīng)用數(shù)學(xué)和純粹數(shù)學(xué)提供大量的挑戰(zhàn)性問題，從而推進(jìn)了數(shù)學(xué)科學(xué)的發(fā)展.

建模示例之三數(shù)學(xué)建模的這種反復(fù)迭代性質(zhì)正反映16§8.3大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽的由來

§8.3大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽的由來171985

年以前，美國只有一種大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽［TheWilliamLowellPutnammathematicalCompetition，簡稱

Putnam（普特南）數(shù)學(xué)競(jìng)賽］，這是由美國數(shù)學(xué)協(xié)會(huì)（MAA─MathematicalAssociationofAmerica的縮寫）主持，于每年12月的第一個(gè)星期六分兩試進(jìn)行，每試

6

題，每試各為

3

小時(shí).近年來在次年的美國數(shù)學(xué)月刊（TheAmericanMathematicalMonthly）上刊出競(jìng)賽小結(jié)、獎(jiǎng)勵(lì)名單、試題及部分題解.這是一個(gè)歷史悠久、影響很大的全美大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽，自

1948

年舉行第一屆競(jìng)賽以來已經(jīng)

55

屆了.主要考核基礎(chǔ)知識(shí)、邏輯推理及證明的能力、思維敏捷、計(jì)算能力等.試題中很少有應(yīng)用題，完全不能用計(jì)算機(jī)，是閉卷考試的.1985年以前，美國只有一種大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽［The18

1985

年開始了第一屆美國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽（MathematicalContestinModelling，簡稱MCM），形式是通訊比賽，每年一屆，一般在2月份的一個(gè)周末（周五至周日）舉行.競(jìng)賽的主持者是美國數(shù)學(xué)及其應(yīng)用聯(lián)合會(huì)（ConsortiumforMathematicsandItsApplications，簡稱COMAP），也會(huì)得到一些其他的單位或?qū)W校的協(xié)助.2003年的協(xié)助單位有美國運(yùn)籌及工業(yè)和應(yīng)用數(shù)學(xué)協(xié)會(huì)（INFORMS）、美國工業(yè)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)（SIAM）、美國數(shù)學(xué)協(xié)會(huì)（MAA）．MCM的宗旨是鼓勵(lì)大學(xué)師生對(duì)范圍并不固定的各種實(shí)際問題予以闡明、分析并提出解法，通過這樣一種結(jié)構(gòu)鼓勵(lì)師生積極參與并強(qiáng)調(diào)實(shí)現(xiàn)完整的模型構(gòu)造的過程.每個(gè)參賽隊(duì)（3

人）有一名指導(dǎo)教師，他（或她）在比賽開始前負(fù)責(zé)對(duì)隊(duì)員的訓(xùn)練和戰(zhàn)術(shù)指導(dǎo)，并接受考題，然后即由學(xué)生自行參賽，指導(dǎo)教師不得參賽.比賽于每年2月或3月的某個(gè)周末（大約）進(jìn)行，共有三天時(shí)間.每次只有兩個(gè)考題（一般是連續(xù)和離散各一題），每隊(duì)只需任選一題.

1985年開始了第一屆美國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽（19我國大學(xué)生于1989年開始參加美國MCM（北京理工大學(xué)葉其孝教授于1988年訪問美國時(shí)，應(yīng)當(dāng)時(shí)MCM負(fù)責(zé)人B·A·Fusaro教授之邀訪問他所在學(xué)校時(shí)，商定了中國大學(xué)生組隊(duì)參賽的有關(guān)事宜），到

2003

年已有國內(nèi)近

80

所大學(xué)300隊(duì)參賽.歷年來都取得了較好的成績.在我國不少高校教師也萌發(fā)了組織我國自己的大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽的想法.上海市率先于1990年

12

月

7~9

日舉辦了“上海市大學(xué)生（數(shù)學(xué)類）數(shù)學(xué)模型競(jìng)賽”．于1991年6月7~9日舉辦了“上海市大學(xué)生（非數(shù)學(xué)類）數(shù)學(xué)模型競(jìng)賽”.西安也于1992年4月6日舉辦了“西安市第一屆大學(xué)生數(shù)學(xué)模型競(jìng)賽”．由中國工業(yè)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)（CSIAM）舉辦的“1992年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)模型聯(lián)賽”也于

1992

年

11

月

27

~29

日舉行，全國有

74

所大學(xué)的

314

個(gè)隊(duì)參加.我國大學(xué)生于1989年開始參加美國MCM（北京理工大學(xué)葉其孝20全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽簡況參賽校數(shù)參賽隊(duì)數(shù)年份19961997199819992000200120021996199719981999200020012002總計(jì)3373734004605175295721

6831

8742

1032

657(416)3

210(608)3

887(780)4

448(914)全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽簡況參賽校數(shù)參賽隊(duì)數(shù)年份121§8.4優(yōu)秀參賽論文與評(píng)述§8.4優(yōu)秀參賽論文與評(píng)述22

1994年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽題目A題逢山開路要在一山上修建公路，首先測(cè)得一地點(diǎn)的高程，數(shù)據(jù)見表

8.3（平面區(qū)域0≤x≤5

600，0≤x≤4

800，表中數(shù)據(jù)為坐標(biāo)點(diǎn)的高程，單位：m）．?dāng)?shù)據(jù)顯示：在y＝3

200

處有一東西走向的山峰；從坐標(biāo)

(2

400，2

400)

到

(4

800，0)

有一西北─東南走向山谷；在

(2

400，2

800)附近有一山口湖，其最高水位略高于

1

350

m，雨季在山谷中形成一溪流，經(jīng)調(diào)查知，雨量最大時(shí)溪流水面寬度W與（溪流最深處的）x坐標(biāo)的關(guān)系可近似表示為公路從山腳

(0，800)

處開始，經(jīng)居民點(diǎn)

(4

000，2

000)

至礦區(qū)

(2

000，4

000)．已知路段工程成本及對(duì)路段坡度（上升高程與水平距離之比）的限制如表所示.1994年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽題目要在23①試給出一種線路設(shè)計(jì)方案，包括原理、方法及比較精確的線路位置（含橋梁、隧道）并估算該方案的總成本.②如果居民點(diǎn)改為3

600≤x≤4

000，2

000≤y≤2

400的居民區(qū)，公路只需經(jīng)過居民區(qū)即可，那么你的方案有什么改變.

工程種類一般路線橋梁隧道工程成本（元/m）3002

0001

500(長度≤300m)；3000(長度＞300m)對(duì)坡度a的限制

＜0.125

＝0

＜0.100①試給出一種線路設(shè)計(jì)方案，包括原理、方法及比較精確的線路位24

摘要本文討論的是在山區(qū)修建公路的路線選擇問題.①針對(duì)問題，本文闡述了局部優(yōu)化的原理，并根據(jù)這個(gè)原理提出了對(duì)山區(qū)的具體情形設(shè)置控制點(diǎn)的方法.這種設(shè)置控制點(diǎn)局部優(yōu)化的方法對(duì)一般修路問題都適用.②結(jié)合具體實(shí)例，詳細(xì)說明具體的設(shè)置控制點(diǎn)局部優(yōu)化方法.③利用計(jì)算機(jī)進(jìn)行計(jì)算并配以圖形≤

處理顯示，說明這種方法.④對(duì)其他方法進(jìn)行一些比較和討論，考慮各種方法對(duì)本類問題的適用性.摘要本文討論的是在山區(qū)修建公路的路線選擇問題.25§8.5競(jìng)賽題選

§8.5競(jìng)賽題選261996年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽題目A題最優(yōu)捕魚策略為了保護(hù)人類賴以生存的自然環(huán)境，可再生資源（如漁業(yè)、林業(yè)資源）的開發(fā)必須適度.一種合理、簡化的策略是，在實(shí)現(xiàn)可持續(xù)收獲的前提下，追求最大產(chǎn)量或最佳效益.考慮對(duì)某種魚的最優(yōu)捕撈策略：假設(shè)這種魚分4個(gè)年齡組，稱1齡魚，…，4齡魚.各年齡組每條魚的平均重量分別為5.07，11.55，17.86，22.99（g），各年齡組魚的自然死亡率均為0.8（1/年），這種魚為季節(jié)性集中產(chǎn)卵繁殖，平均每條4齡魚的產(chǎn)卵量為1.09×105（個(gè)），3齡魚的產(chǎn)卵量為這個(gè)數(shù)的一半，2齡魚和1齡魚不產(chǎn)卵.產(chǎn)卵和孵化期為每年的最后4個(gè)月，卵孵化并成活為1齡魚，成活率（1齡魚條數(shù)與產(chǎn)卵總量n之比）為1.22×1011/(1.22×1011＋n).漁業(yè)管理部門規(guī)定，每年只允許在產(chǎn)卵孵化期前的8個(gè)月內(nèi)進(jìn)行捕撈作業(yè).如果每年投入的捕撈能力（如漁船數(shù)、下網(wǎng)次數(shù)等）固定不變，這時(shí)單位時(shí)間捕撈量將與各年齡組魚群條數(shù)成正比，比例系數(shù)不妨稱為捕撈強(qiáng)度系數(shù).通常使用13

mm網(wǎng)眼的拉網(wǎng)，這種網(wǎng)只能捕3齡魚和4齡魚，其兩個(gè)捕撈強(qiáng)度系數(shù)之比為

0.42∶1.漁業(yè)上稱這種方式為固定努力量捕撈.①建立數(shù)學(xué)模型分析如何實(shí)現(xiàn)可持續(xù)捕獲（即每年開始捕撈時(shí)漁場(chǎng)中各年齡組魚群條數(shù)不變），并且在此前提下得到最高的年收獲量（捕撈總重量）．②某漁業(yè)公司承包這種魚的捕撈業(yè)務(wù)5年，合同要求5年后魚群的生產(chǎn)能力不能受到太大破壞.已知承包時(shí)各年齡組魚群的數(shù)量分別為：122×109，29.7×109，10.1×109，3.29×109條，如果仍用固定努力量的捕撈方式，該公司應(yīng)采取怎樣的策略才能使總收獲量最高.1996年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽題目為了保護(hù)人類賴以27

1996年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽題目B題節(jié)水洗衣機(jī)

我國淡水資源有限，節(jié)約用水人人有責(zé).洗衣在家庭用水中占有相當(dāng)大的份額，目前洗衣機(jī)已非常普及，節(jié)約洗衣機(jī)用水十分重要.假設(shè)在放入衣物和洗滌劑后洗衣機(jī)的運(yùn)行過程為：加水─漂流─脫水─加水─漂洗─脫水—…—加水—漂洗─脫水（稱“加水─漂洗─脫水”為運(yùn)行一輪）．請(qǐng)為洗衣機(jī)設(shè)計(jì)一種程序（包括運(yùn)行多少輪，每輪加水量等），使得在滿足一定洗滌效果的條件下，總用水量最少，選用適量的數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算，對(duì)照目前常用的洗衣機(jī)的運(yùn)行情況，對(duì)你的模型和結(jié)果做出評(píng)價(jià).1996年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽題目282003年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽題目B題露天礦生產(chǎn)的車輛安排鋼鐵工業(yè)是國家工業(yè)的基礎(chǔ)之一，鐵礦是鋼鐵工業(yè)的主要原料基地.許多現(xiàn)代化鐵礦是露天開采的，它的生產(chǎn)主要是由電動(dòng)鏟車（以下簡稱電鏟）裝車、電動(dòng)輪自卸卡車（以下簡稱卡車）運(yùn)輸來完成.提高這些大型設(shè)備的利用率是增加露天礦經(jīng)濟(jì)效益的首要任務(wù).露天礦里有若干個(gè)爆破生成的石料堆，每堆稱為一個(gè)鏟位，每個(gè)鏟位已預(yù)先根據(jù)鐵含量將石料分成礦石和巖石.一般來說，平均鐵含量不低于

25%

的為礦石，否則為巖石.每個(gè)鏟位的礦石、巖石數(shù)量，以及礦石的平均鐵含量（稱為品位）都是已知的.每個(gè)鏟位至多能安置一臺(tái)電鏟，電鏟的平均裝車時(shí)間為5

min.卸貨地點(diǎn)（以下簡稱卸點(diǎn)）有卸礦石的礦石漏、2個(gè)鐵路倒裝場(chǎng)（以下簡稱倒裝場(chǎng)）和卸巖石的巖石漏、巖場(chǎng)等，每個(gè)卸點(diǎn)都有各自的產(chǎn)量要求.從保護(hù)國家資源的角度及礦山的經(jīng)濟(jì)效益考慮，應(yīng)該盡量把礦石按礦石卸點(diǎn)需要的鐵含量（假設(shè)要求都為29.5%1%，稱為品位限制）搭配起來送到卸點(diǎn)，搭配的量在一個(gè)班次（8

h）內(nèi)滿足品位限制即可.從長遠(yuǎn)看，卸點(diǎn)可以移動(dòng)，但一個(gè)班次內(nèi)不變.卡車的平均卸車時(shí)間為3

min.所用卡車載重量為

154

t，平均時(shí)速

28

km/h.卡車的耗油量很大，每個(gè)班次每臺(tái)車消耗近

1

t

柴油.發(fā)動(dòng)機(jī)點(diǎn)火時(shí)需要消耗相當(dāng)多的電瓶能量，故一個(gè)班次中只在開始工作時(shí)點(diǎn)火一次.卡車在等待時(shí)所耗費(fèi)的能量也是相當(dāng)可觀的，原則上在安排時(shí)不應(yīng)發(fā)生卡車等待的情況.電鏟和卸點(diǎn)都不能同時(shí)為兩輛及兩輛以上卡車服務(wù).卡車每次都是滿載運(yùn)輸.每個(gè)鏟位到每個(gè)卸點(diǎn)的道路都是專用的寬

60

m

的雙向車道，不會(huì)出現(xiàn)堵車現(xiàn)象，每段道路的里程都是已知的.一個(gè)班次的生產(chǎn)計(jì)劃應(yīng)該包含以下內(nèi)容：出動(dòng)幾臺(tái)電鏟，分別在哪些鏟位上；出動(dòng)幾輛卡車，分別在哪些路線上各運(yùn)輸多少次（因?yàn)殡S機(jī)因素影響，裝卸時(shí)間與運(yùn)輸時(shí)間都不精確，所以排時(shí)計(jì)劃無效，只求出各條路線上的卡車數(shù)及安排即可）．一個(gè)合格的計(jì)劃要在卡車不等待條件下滿足產(chǎn)量和質(zhì)量（品位）要求，而一個(gè)好的計(jì)劃還應(yīng)該考慮下面兩條原則之一：①總運(yùn)量（噸公里）最小，同時(shí)出動(dòng)最少的卡車，從而運(yùn)輸成本最小.②利用現(xiàn)有車輛運(yùn)輸，獲得最大的產(chǎn)量（巖石產(chǎn)量優(yōu)先；在產(chǎn)量相同的情況下，取總運(yùn)量最小的解）．請(qǐng)你就兩條原則分別建立數(shù)學(xué)模型，并給出一個(gè)班次生產(chǎn)計(jì)劃的快速算法.針對(duì)下面的實(shí)例，給出具體的生產(chǎn)計(jì)劃、相應(yīng)的總運(yùn)量及巖石和礦石產(chǎn)量.

2003年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽題目鋼鐵工業(yè)29

1989

年美國數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽題目問題B飛機(jī)排隊(duì)

機(jī)場(chǎng)通常都是用“先來后到”的原則來分配飛機(jī)跑道，即當(dāng)飛機(jī)準(zhǔn)備好離開登機(jī)口時(shí)，駕駛員電告地面控制中心，加入等候跑道的隊(duì)伍.假設(shè)控制搭可以從快速聯(lián)機(jī)數(shù)據(jù)庫中得到每架飛機(jī)的如下信息：①預(yù)定離開登機(jī)口的時(shí)間；②實(shí)際離開登機(jī)口的時(shí)間；③機(jī)上乘客人數(shù)；④預(yù)定在