2022-2023學(xué)年廣西南寧市高一年級下冊學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年廣西南寧市高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知a為實數(shù)，若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則（

）A．i B． C．1 D．【答案】B【分析】由給定復(fù)數(shù)為純虛數(shù)求出，再利用復(fù)數(shù)的乘方運(yùn)算及除法運(yùn)算求解作答.【詳解】因為復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則，解得，所以.故選：B2．我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》有一抽樣問題：“今有北鄉(xiāng)若干人，西鄉(xiāng)三百人，南鄉(xiāng)兩百人，凡三鄉(xiāng)，發(fā)役六十人，而北鄉(xiāng)需遺十，問北鄉(xiāng)人數(shù)幾何？“其意思為：“今有某地北面若干人，西面有300人，南面有200人，這三面要征調(diào)60人，而北面共征調(diào)10人（用分層抽樣的方法），則北面共有（

）人．”A．200 B．100 C．400 D．300【答案】B【分析】根據(jù)分層抽樣的定義結(jié)合題意列方程求解即可【詳解】設(shè)北面共有人，則由題意可得，解得，所以北面共有100人，故選：B3．一個斜邊長為2的等腰直角三角形繞斜邊旋轉(zhuǎn)一周，所形成的幾何體的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題意可知，所形成的幾何體是由底面半徑為1，高為1的兩個圓錐拼接而成，則其表面積是兩個圓錐的側(cè)面積之和【詳解】由題意可知，所形成的幾何體是由底面半徑為1，高為1的兩個圓錐拼接而成，所以所形成的幾何體的表面積為，故選：D4．設(shè)，是互不重合的平面，，，是互不重合的直線，下列命題中正確的是（

）A．若，，，則 B．若，，，，則C．若，，，則 D．若，，，，則【答案】B【分析】對于A，可能相交，也可能平行，可判斷A;根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理可判斷B;對于C，判斷m,n可能平行也可能異面，即可判斷正誤，對于D，根據(jù)線面垂直的的判定定理可判斷.【詳解】對于A，，，，則可能相交，也可能平行，故A錯誤‘對于B,若，，，，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理可知，故B正確；對于C,若，，，則m,n可能平行也可能異面，故C錯誤；對于D，若，，，，由于不能確定m,n是否相交，故不能確定，故D錯誤，故選:B5．已知某人射擊每次擊中目標(biāo)的概率都是0.6，現(xiàn)采用隨機(jī)模擬的方法估計其3次射擊至少2次擊中目標(biāo)的概率．先由計算器產(chǎn)生0到9之間的整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，指定0，1，2，3，4，5表示擊中目標(biāo)，6，7，8，9表示未擊中目標(biāo)；因為射擊3次，所以每3個隨機(jī)數(shù)為一組，代表3次射擊的結(jié)果．經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了以下20組隨機(jī)數(shù)：169

966

151

525

271

937

592

408

569

683471

257

333

027

554

488

730

863

537

039據(jù)此估計的值為（

）A．0.6 B．0.65 C．0.7 D．0.75【答案】B【分析】由20組隨機(jī)數(shù)中找出至少2次擊中目標(biāo)的包含的隨機(jī)數(shù)的組數(shù)，即可求概率的值.【詳解】20組隨機(jī)數(shù)中至少2次擊中目標(biāo)的包含的隨機(jī)數(shù)為：151

525

271

592

408

471

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333

027

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730

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039一個有組，所以其3次射擊至少2次擊中目標(biāo)的概率，故選：B.6．設(shè)，，，則下列結(jié)論正確的是A． B． C． D．【答案】D【詳解】試題分析：因為，，，又函數(shù)在上是增函數(shù)，所以，，故選D.【解析】1、兩角和的正弦公式；2、正弦函數(shù)的單調(diào)性.7．已知正四面體ABCD，M為BC中點，N為AD中點，則直線BN與直線DM所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用空間向量的線性運(yùn)算性質(zhì)，結(jié)合空間向量夾角公式進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)該正面體的棱長為，因為M為BC中點，N為AD中點，所以，因為M為BC中點，N為AD中點，所以有，，根據(jù)異面直線所成角的定義可知直線BN與直線DM所成角的余弦值為，故選：B8．已知函數(shù)，若在上無零點，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先結(jié)合二倍角公式和輔助角公式將函數(shù)進(jìn)行化簡，得，由于在上無零點，因此，且，，在的條件下，解不等式可得解.【詳解】，由，得，因為在上無零點，所以，得，因為，所以，因為，，所以解得，因為，所以解得，因為，所以或，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以的取值范圍是，故選：B【點睛】關(guān)鍵點點睛：此題考查三角函數(shù)的綜合問題，考查三角恒等變換公式的應(yīng)用，考查函數(shù)與方程，解題的關(guān)鍵是將函數(shù)在上無零點，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為關(guān)于的不等式組，從而可求得結(jié)果，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想和計算能力，屬于較難題.二、多選題9．為普及疫情知識，某校不定期地共組織了10次全員性的防控知識問答競賽，下面是甲、乙兩個班級10次成績Y（單位：分）的折線圖：根據(jù)折線圖（）A．甲班的成績分?jǐn)?shù)呈上升趨勢B．甲班乙班的成績分?jǐn)?shù)平均值均為7C．甲班成績分?jǐn)?shù)的方差大于乙班成績分?jǐn)?shù)的方差D．從第7次到第10次甲班成績分?jǐn)?shù)增量大于乙班成績分?jǐn)?shù)增量【答案】ABCD【分析】由頻率分布折線圖,判斷甲班的成績分?jǐn)?shù)呈.上升趨勢，計算甲、乙兩班成績平均值，估計它們的方差大小，判斷成績分?jǐn)?shù)增量情況.【詳解】對于A，由頻率分布折線圖知，甲班的成績分?jǐn)?shù)呈上升趨勢，A正確；對于B，計算甲班成績平均值為，計算乙班成績平均值為，所以甲班乙班的成績分?jǐn)?shù)平均值均為7，故B正確；對于C，根據(jù)甲班成績數(shù)據(jù)比乙班成績數(shù)據(jù)波動性更大些，所以甲班方差比乙班方差大些，故C正確；對于D，由頻率分布折線圖知，從第7次到第10次甲班成績分?jǐn)?shù)增量大于乙班成績分?jǐn)?shù)增量，故D正確.故選:ABCD.10．關(guān)于函數(shù)，下列說法正確的是（

）A．若是函數(shù)的零點，則是的整數(shù)倍B．函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱C．函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象相同D．函數(shù)的圖象可由的圖象先向上平移個單位長度，再向左平移個單位長度得到【答案】BC【分析】首先由三角恒等變換化簡函數(shù)解析式，作出圖象，數(shù)形結(jié)合判斷A錯誤；由正弦函數(shù)的對稱性可判斷函數(shù)的對稱性；利用三角函數(shù)誘導(dǎo)公式可判斷C選項；根據(jù)三角函數(shù)圖象變換規(guī)則可判斷D選項.【詳解】，畫出函數(shù)的圖象，如圖所示：的圖象與軸相鄰的兩個交點的距離不相等，且不為，故A錯；因為，所以函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，則函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，故B正確；函數(shù)，故C正確；函數(shù)的圖象可由先向上平移個單位，再向左平移個單位長度得到，故D錯誤.故選：BC【點睛】本題考查三角恒等變換、正弦型函數(shù)的對稱性、三角函數(shù)誘導(dǎo)公式及三角函數(shù)圖象變換規(guī)則，屬于中檔題.11．已知向量，，，則下列命題正確的是（

）A．若，則 B．存在，使得C．向量是與共線的單位向量 D．在上的投影向量為【答案】BCD【分析】根據(jù)向量關(guān)系依次計算判斷即可.【詳解】對A，若，則，則，故A錯誤；對B，要使，則，則，因為，所以，故存在，使得，故B正確；對C，因為，所以，又，所以向量是與共線的單位向量，故C正確；對D，因為為單位向量，則在上的投影向量為，故D正確.故選：BCD.12．如圖，正方體的棱長為2，E是棱的中點，F(xiàn)是側(cè)面上的動點，且滿足平面，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．平面截正方體所得截面面積為B．點F的軌跡長度為C．存在點F，使得D．平面與平面所成二面角的正弦值為【答案】AC【分析】取CD中點G，連接BG、EG，計算截面的面積后判斷A的正誤，取中點M，中點N，則點F的運(yùn)動軌跡為線段MN，故可判斷B的正誤，取MN的中點F，則可判斷，故可判斷C的正誤，而即為平面與平面所成二面角，計算其正弦值后可判斷D的正誤.【詳解】取CD中點G，連接BG、EG，則等腰梯形為截面，而，，故梯形面積為，A正確；取中點M，中點N，連接，則，故四邊形為平行四邊形，則得，而平面，平面，故平面，同理平面，而，平面，故平面平面，∴點F的運(yùn)動軌跡為線段MN，其長度為，B錯誤；取MN的中點F，則，∴，∵，∴，C正確；因為平面平面且，，∴即為平面與平面所成二面角，，D錯誤．故選：AC.三、填空題13．設(shè)平面向量，滿足，，，則在方向上的投影向量為．【答案】【分析】根據(jù)已知條件，運(yùn)用向量的投影公式，即可求解．【詳解】在方向上的投影向量．故答案為：14．基尼系數(shù)是國際上用來綜合衡量居民內(nèi)部收入分配差異狀況的一個重要指標(biāo)，它的一種簡便易行的計算方法是根據(jù)中位數(shù)對平均數(shù)的占比來估計基尼系數(shù)（換算表如下表所示）.假設(shè)某地從事自媒體的人員僅有4人，年收入分別為5萬元，10萬元，30萬元，55萬元，則這4人的年收入的基尼系數(shù)為.中位數(shù)占比一基尼系數(shù)換算表：中位數(shù)占比0％20％40％50％60％70％80％90％95％100％基尼系數(shù)【答案】【分析】首先計算平均數(shù)和中位數(shù)，從而得到中位數(shù)對平均數(shù)的占比為，再根據(jù)換算表即可得到答案.【詳解】4個人年收入的中位數(shù)為萬元，4個人年收入的平均數(shù)為萬元，則中位數(shù)對平均數(shù)的占比為，基尼系數(shù)為.故答案為：15．在中，，，，則的面積為．【答案】/【分析】由已知和內(nèi)角和定理得到與的關(guān)系式及的范圍，利用二倍角的余弦可得的值，根據(jù)正弦定理求出，利用誘導(dǎo)公式可得，根據(jù)面積公式求出即可．【詳解】由，和，得，所以．故，即，可得，．又由正弦定理，得，可得，由，，，．故答案為：16．已知正方形中，，E是邊的中點，現(xiàn)以為折痕將折起，當(dāng)三棱錐的體積最大時，該三棱錐外接球的表面積為．【答案】//【分析】由是邊的中點，可得為定值，當(dāng)平面平面時，高最大值，此時體積最大，求得三角形外接圓的半徑，即可求得球的表面積．【詳解】由題意，當(dāng)平面平面時，三棱錐的高有最大值，此時體積最大．是直角三角形，取斜邊的中點，則為直角三角形的外心，設(shè)等腰三角形的外心為，連接，則平面，則，即為三棱錐的外接球的球心，在中，，，則，得，外接球半徑，三棱錐外接球的表面積為．故答案為：四、解答題17．某課外活動小組有三項不同的任務(wù)需要完成，已知每項任務(wù)均只分配給組員甲和組員乙中的一人，且每項任務(wù)的分配相互獨(dú)立，根據(jù)兩人的學(xué)習(xí)經(jīng)歷和個人能力知，這三項任務(wù)分配給組員甲的概率分別為，，.（1）求組員甲至少分配到一項任務(wù)的概率；（2）設(shè)甲、乙兩人分配到的任務(wù)數(shù)分別為項和項，求.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）先求甲一項任務(wù)都沒有被分配的概率，利用對立事件的概率求法求組員甲至少分配到一項任務(wù)的概率.（2）由題意知，或，，可得三項任務(wù)可分配情況：甲甲甲，甲甲乙，甲乙甲，乙甲甲，再應(yīng)用獨(dú)立事件的乘法公式、互斥事件的加法公式求概率即可.【詳解】（1）記事件為甲一項任務(wù)都沒有被分配，則，∴組員甲至少分配到一項任務(wù)的概率為；（2）滿足，即，或，，∴三項任務(wù)的具體分配對象依次為：甲甲甲，甲甲乙，甲乙甲，乙甲甲，故所求概率.18．在中，角、、的對邊分別為、、，．(1)求；(2)若，且，求的周長．在①的面積為，②這兩個條件中任選一個，補(bǔ)充在上面空白處，并完成解答．【答案】(1)(2)條件選擇見解析，的周長為【分析】（1）利用余弦定理、切化弦以及正弦定理化簡可得出的值，結(jié)合角的取值范圍可求得角的值；（2）選①，利用三角形的面積公式可求得，結(jié)合余弦定理可求得的值，即可得出的周長；選②，求出、的值，利用正弦定理可求得、的值，即可得出的周長.【詳解】（1）解：由余弦定理可得，則，同理可得，因為，即，由題意，且，所以，，所以，，因為，則，所以，，故.（2）解：若選①：，可得，由余弦定理可得，所以，，解得，因此，的周長為；若選②：因為，則為銳角，則，由正弦定理可得，所以，，，由正弦定理可得，得，因此，的周長為.19．某校為了提高學(xué)生安全意識，利用自習(xí)課時間開展“防溺水”安全知識競賽（滿分150分），加強(qiáng)對學(xué)生的安全教育，通過知識競賽的形式，不僅幫助同學(xué)們發(fā)現(xiàn)自己對“防溺水”知識認(rèn)知的不足之處，還教會了同學(xué)們溺水自救的方法，提高了應(yīng)急脫險能力．現(xiàn)抽取了甲組20名同學(xué)的成績記錄如下：甲：92，96，99，103，104，105，113，114，117，117，121，123，124，126，129，132，134，136，141，142．抽取了乙組20名同學(xué)的成績，將成績分成[100，110），[110，120），[120，130），[130，140），[140，150]五組，并畫出了其頻率分布直方圖．(1)根據(jù)以上記錄數(shù)據(jù)求甲組20名同學(xué)成績的中位數(shù)和第80百分位數(shù)；(2)估計乙組20名同學(xué)成績的平均分（同組中的每個數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表替）；(3)現(xiàn)從甲乙兩組同學(xué)的不低于140分的成績中任意取出2個人的成績，求取出的2個人的成績不在同一組的概率．【答案】(1)中位數(shù)是，第80百分位數(shù)為(2)(3)【分析】（1）利用中位數(shù)與第百分位數(shù)的定義即可求解；（2）利用在頻率分布直方圖中，平均數(shù)的估計值等于頻率分布直方圖中每個小矩形的面積乘以小矩形底邊中點的橫坐標(biāo)之和即可求解；（3）利用列舉法寫出基本事件的個數(shù)，結(jié)合古典概型的計算公式即可求解.【詳解】（1）由題意可知，甲組20名同學(xué)成績的中位數(shù)是，∵，∴甲組20名同學(xué)成績的第80百分位數(shù)為．所以甲組20名同學(xué)成績的中位數(shù)為119,甲組20名同學(xué)成績的第80百分位數(shù)為133.（2）由頻率分布直方圖可知：乙組20名同學(xué)成績的平均數(shù)分為：．（3）甲組20名同學(xué)的成績不低于140（分）的有2個，記作、；乙組20名同學(xué)的成績不低于140（分）的有個，記作、、．記事件為“取出的2個成績不是同一組”，任意選出2個成績的所有樣本點為：，，，，，，，，，，共10個，其中兩個成績不是同一組的樣本點是：，，，，，，共6個，∴．所以取出的2個人的成績不在同一組的概率為.20．如圖所示，正四棱錐中，O為底面正方形的中心，已知側(cè)面與底面所成的二面角的大小為60°，E是PB的中點．

(1)請在棱AB與BC上各找一點M和N，使平面∥平面，作出圖形并說明理由；(2)求異面直線與所成角的正切值．【答案】(1)作圖、理由見解析(2)【分析】（1）取,的中點,，連接,，可得平面，再利用面面平行的判定定理證明即可；（2）連接,，可得為異面直線與所成的角或其補(bǔ)角，計算即可；【詳解】（1）分別取,的中點,，連接,，

則平面平面，證明：在中，,分別為，的中點，所以，同理，，又平面，平面，所以平面，同理平面又平面，所以平面平面，（2）連接,，取中點為，連接,由于,由于底面，底面,，又因為，，，平面，所以平面,平面,故,故為側(cè)面與底面所成的二面角的平面角，故60°，不妨設(shè)底面正方形的邊長為，則，,

因為，所以為異面直線與所成的角或其補(bǔ)角，因為，，，,平面，所以平面，又平面，所以，所以，所以，則異面直線與所成角的正切值為；21．為了美化環(huán)境，某公園欲將一塊空地規(guī)劃建成休閑草坪，休閑草坪的形狀為如圖所示的四邊形ABCD．其中AB＝3百米，AD＝百米，且△BCD是以D為直角頂點的等腰直角三角形．?dāng)M修建兩條小路AC，BD（路的寬度忽略不計），設(shè)∠BAD＝，(，)．（1）當(dāng)cos＝時，求小路AC的長度；（2）當(dāng)草坪ABCD的面積最大時，求此時小路BD的長度．【答案】（1）；（2）【分析】（1）在△ABD中，由余弦定理可求BD的值，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求sinθ，根據(jù)正弦定理可求sin∠ADB，進(jìn)而可求cos∠ADC的值，在△ACD中，利用余弦定理可求AC的值．（2）由（1）得：BD2＝14﹣6cosθ，根據(jù)三角形面積公式，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用可求．SABCD＝7sin（θ﹣φ），結(jié)合題意當(dāng)θ﹣φ時，四邊形ABCD的面